2024年高考押題預測模擬測試卷02（新題型地區(qū)專用）-沖刺2024年高考數(shù)學考點押題模擬預測卷含解析

2024年高考押題預測模擬測試卷02（滿分150分，考試用時120分鐘）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復數(shù),其中為虛數(shù)單位，則A． B．2 C． D．12．設全集，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）

A． B． C． D．3．某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）進行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個班共抽取10名同學，相關統(tǒng)計情況如下：高三（1）班答對題目的平均數(shù)為，方差為；高三（2）班答對題目的平均數(shù)為，方差為，則這10人答對題目的方差為（

）A． B． C． D．4．已知點，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，是函數(shù)的極值點，設等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．或 B． C． D．26．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．7．如圖圓柱的底面半徑為1，母線長為6，以上下底面為大圓的半球在圓柱內(nèi)部，現(xiàn)用一垂直于軸截面的平面去截圓柱，且與上下兩半球相切，求截得的圓錐曲線的離心率為（

）A． B． C． D．38．已知為函數(shù)圖象上一動點，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.為了建立茶水溫度隨時間變化的回歸模型，小明每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到若干組數(shù)據(jù)，，…，（其中，），繪制了如圖所示的散點圖.小明選擇了如下2個回歸模型來擬合茶水溫度隨時間的變化情況，回歸模型一：；回歸模型二：，下列說法正確的是（

）.

A．茶水溫度與時間這兩個變量負相關B．由于水溫開始降得快，后面降得慢，最后趨于平緩，因此模型二能更好的擬合茶水溫度隨時間的變化情況C．若選擇回歸模型二，利用最小二乘法求得到的圖象一定經(jīng)過點D．當時，通過回歸模型二計算得，用溫度計測得實際茶水溫度為65.2，則殘差為10．直三棱柱，中，，，點D是線段上的動點（不含端點），則以下正確的是（

）A．AC∥平面B．CD與不垂直C．∠ADC的取值范圍為D．的最小值為11．在平面直角坐標系中，雙曲線：的下、上焦點分別是，，漸近線方程為，為雙曲線上任意一點，平分，且，，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的方程為C．若直線與雙曲線的另一個交點為，為的中點，則D．點到兩條漸近線的距離之積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在的展開式中，項的系數(shù)為.13．已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與拋物線交于點A、B，與直線交于點D，若且，則.14．有個編號分別為1，2，…，n的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是，從第個盒子中取到白球的概率是．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求A；(2)若D為邊BC上一點，且，試判斷的形狀.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，，．(1)證明：(2)若平面平面PCD，且，求直線AC與平面PBC所成角的正弦值．17．近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能．某機構在網(wǎng)上隨機對1000人進行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP，得到如下數(shù)據(jù)：青年人中年人老年人對短視頻剪接成長視頻的APP有需求200對短視頻剪接成長視頻的APP無需求150其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400．(1)求的值；(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？參考公式：，其中．臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，短軸長為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設直線l與橢圓C相切于點A，A關于原點O的對稱點為點B，過點B作，垂足為M，求面積的最大值．19．已知函數(shù)，對于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個“源數(shù)列”.(1)已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，求；(2)已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對任意正整數(shù)，均有；(3)已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項按從小到大的順序構成數(shù)列，試問在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項構成等比數(shù)列?請說明理由.2024年高考押題預測模擬測試卷02（滿分150分，考試用時120分鐘）一、選擇題1．已知復數(shù),其中為虛數(shù)單位，則A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】由復數(shù)的乘方、復數(shù)的除法法則化簡復數(shù)后由模的定義計算．【解析】，所以，故選：A.2．設全集，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦函數(shù)性質(zhì)求集合A，解一元二次方程求集合B，根據(jù)韋恩圖、集合的并、補運算求結果.【解析】由題設得，則，由圖知：陰影部分為.故選：D3．某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）進行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個班共抽取10名同學，相關統(tǒng)計情況如下：高三（1）班答對題目的平均數(shù)為，方差為；高三（2）班答對題目的平均數(shù)為，方差為，則這10人答對題目的方差為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)分層抽樣求各層的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)、方差的公式運算求解.【解析】由分層抽樣可得高三（1）班抽取的人數(shù)為，高三（2）班抽取的人數(shù)為，設高三（1）班（6人）答對題目數(shù)依次為，高三（2）班（4人）答對題目數(shù)依次為，由題意可得：，可得，則這10人答對題目的平均數(shù)，這10人答對題目的方差.故選：D.4．已知點，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由單位向量的定義、向量坐標的線性運算以及向量模的坐標公式即可求解.【解析】由題意，所以，從而與向量同方向的單位向量為.故選：A.5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，是函數(shù)的極值點，設等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．或 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)極值點的定義可得是的兩個實數(shù)根，進而由等比以及等差數(shù)列的性質(zhì)，結合求和公式即可求解.【解析】由得，由題意可知是的兩個實數(shù)根，所以又，所以，因此，故選：C6．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，求出的值，排除A，進而可得求出，比較三個數(shù)值的大小，即可求得答案.【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，有，排除A，又由，排除C、D，故只有B符合題意故選：B.【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)表達式求函數(shù)圖象，解題掌握函數(shù)圖象基礎知識和靈活使用特殊值法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.7．如圖圓柱的底面半徑為1，母線長為6，以上下底面為大圓的半球在圓柱內(nèi)部，現(xiàn)用一垂直于軸截面的平面去截圓柱，且與上下兩半球相切，求截得的圓錐曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)題意作出截面圖，分析出平面與底面夾角余弦值為，再利用立體圖形得到，，再計算出值得到離心率.【解析】作出截面圖，顯然平面經(jīng)過中點，設中點為，切點分別為，，半徑為1，，則，，，則，作出以下立體圖，則平面與底面夾角余弦值為，圓柱的底面半徑為橢圓的短軸,得，又橢圓所在平面與圓柱底面所成角余弦值為,以為原點建立上圖所示平面直角坐標系，，則橢圓標準方程為，，故離心率,故選：A.8．已知為函數(shù)圖象上一動點，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先觀察出函數(shù)關于對稱，在根據(jù)所求的式子可以判斷時比的值要大，所以只需研究的情況即可，把所求的式子經(jīng)過換元，適當?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為復合函數(shù)問題，其中一個內(nèi)層函數(shù)又是兩點斜率問題，借助數(shù)形結合思想和導數(shù)的幾何意義即可求出最值.【解析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)關于對稱，設，不妨設則，當，，即當時的值要大于時的值，所以只需研究的情況即可，

當時，，設，則，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知：時，遞增，當，遞減.，所以的幾何意義是函數(shù)上一點與點的斜率，設過點的切線與函數(shù)的交點坐標（即切點）為，，所以切線的斜率，切線方程為，把點代入切線方程整理得：，所以或，設，，所以在單調(diào)遞增，所以，即不合題意，所以，此時切線的斜率，如圖：

根據(jù)數(shù)形結合思想可知的范圍為，所以當時，最大，此時.故選：A【點睛】方法點睛：式子較為復雜的最值問題需要經(jīng)過適當?shù)淖冃吻蠼?，求函?shù)的最值或值域常用方法有：（1）換元法；（2）函數(shù)單調(diào)性法；（3）復合函數(shù)法；（4）數(shù)形結合；（5）導數(shù)法；（6）基本不等式.二、多選題9．中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.為了建立茶水溫度隨時間變化的回歸模型，小明每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到若干組數(shù)據(jù)，，…，（其中，），繪制了如圖所示的散點圖.小明選擇了如下2個回歸模型來擬合茶水溫度隨時間的變化情況，回歸模型一：；回歸模型二：，下列說法正確的是（

）.

A．茶水溫度與時間這兩個變量負相關B．由于水溫開始降得快，后面降得慢，最后趨于平緩，因此模型二能更好的擬合茶水溫度隨時間的變化情況C．若選擇回歸模型二，利用最小二乘法求得到的圖象一定經(jīng)過點D．當時，通過回歸模型二計算得，用溫度計測得實際茶水溫度為65.2，則殘差為【答案】AB【分析】由正負相關的定義即可判定A；由圖象中變量的變化趨勢即可判定B；由最小二乘法及非線性回歸模型的擬合方法判斷C；由殘差的定義即可判定D.【解析】由散點圖可知隨時間增加，溫度逐漸降低，且變化趨勢趨于平緩，故為負相關且模型二擬合更好，即A、B正確；根據(jù)非線性回歸模型的擬合方法，先令，則，此時擬合為線性回歸方程，對應的回歸直線過點，原曲線不一定經(jīng)過，故C錯誤；殘差為真實值減估計值，即為65.2-65.1=0.1，故D錯誤.故選：AB.10．直三棱柱，中，，，點D是線段上的動點（不含端點），則以下正確的是（

）A．AC∥平面B．CD與不垂直C．∠ADC的取值范圍為D．的最小值為【答案】AD【分析】A.將直三棱柱其補成正方體，再利用線面平行的判定定理判斷；B.以A為坐標原點，AC為x軸，AB為y軸，為z軸，利用向量法判斷；C.判斷以AC為直徑的球與的交點情況即可；D.將面，翻折至與共面，此時點C與重合求解判斷.【解析】A.如圖所示：，將其補成正方體，因為，平面，平面，所以AC∥平面，故A正確．B.如圖所示：，以A為坐標原點，AC為x軸，AB為y軸，為z軸，則，，，，，設，，則，，，，當時，，當且時，與不垂直，故B錯誤．C.判斷以AC為直徑的球與的交點情況，如圖所示：，取AC中點F，則，，所以以AC為直徑的球與沒有交點．所以，故C錯誤．D.將面，翻折至與共面，此時點C與重合，所以的最小值為，且，故D正確．故選：AD11．在平面直角坐標系中，雙曲線：的下、上焦點分別是，，漸近線方程為，為雙曲線上任意一點，平分，且，，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的方程為C．若直線與雙曲線的另一個交點為，為的中點，則D．點到兩條漸近線的距離之積為【答案】AD【分析】延長，交于點，平分，且，則為的中點，可得，漸近線方程為，得，可得雙曲線方程，逐個驗證選項即可.【解析】不妨設為雙曲線的下支上一點，延長，交于點，如圖，

因為，因為平分，所以，所以，所以為等腰三角形，則為中點，又為中點，所以，根據(jù)雙曲線的定義得，，所以，，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，得，，，所以雙曲線的標準方程為，離心率為，所以A正確，B不正確；設，，，因為，在雙曲線上，所以①，②，①②并整理得，，因為，，所以，，所以C不正確.由，代入，即，即，所以點到兩條漸近線的距離之積為，所以D正確；故選：AD.三、填空題12．在的展開式中，項的系數(shù)為.【答案】220【分析】根據(jù)給定條件，分析展開式中項出現(xiàn)的情況，再列式計算作答.【解析】的展開式通項，當時，展開式中的最高指數(shù)小于12，而的指數(shù)小于等于，因此中的指數(shù)是負整數(shù)，要得到項，當且僅當，所以展開式中項的系數(shù)是展開式中項的系數(shù).故答案為：22013．已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與拋物線交于點A、B，與直線交于點D，若且，則.【答案】3【分析】設準線與軸的交點為，作，垂足分別為，，利用幾何關系和拋物線的定義得到，解方程即可求得.【解析】如圖，設準線與軸的交點為，作，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知，，設，因為，所以，∴.設，所以，所以.14．有個編號分別為1，2，…，n的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是，從第個盒子中取到白球的概率是．【答案】【分析】記事件表示從第i個盒子里取出白球，利用全概率公式可得，進而可得，然后構造等比數(shù)列，求通項公式即得.【解析】記事件表示從第個盒子里取出白球，則，，所以，，，進而可得，，又，，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故答案為：；.四、解答題15．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求A；(2)若D為邊BC上一點，且，試判斷的形狀.【答案】(1)；(2)直角三角形.【分析】（1）利用三角變換得到，即可求出；（2）設，利用正弦定理，化簡求出，得到，即可證明.【解析】（1）由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以.（2）設，，則，，，在中，由正弦定理知，即，即，化簡得，所以，，所以是直角三角形.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，，．(1)證明：(2)若平面平面PCD，且，求直線AC與平面PBC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可得，進而根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)分析判斷；（2）方法一：建系，利用空間向量求線面夾角；方法二：利用等體積法求點A到平面PBC的距離，結合線面夾角的定義分析運算.【解析】（1）如圖1，連接BD，因為四邊形ABCD是平行四邊形，且，，，所以，，，所以，所以，所以，所以，又因為，，BD，PD平面PBD，所以平面PBD，因為PB平面PBD，所以，因為，所以．（2）如圖2，設平面PAB和平面PCD的交線為直線l，因為，CD平面PAB，AB平面PAB，所以平面PAB，因為CD平面PCD，平面PAD平面，所以，因為平面PBD，所以平面PBD，因為PB，PD平面PBD，所以∠BPD是平面PAB與平面PCD的二面角，因為平面平面PCD，所以，即在Rt△ABP中，因為，，所以在Rt△BPD中，因為，則，所以△BPD為等腰直角三角形，方法一：由（1）得CD⊥平面PBD，如圖3，以點D為坐標原點，DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，過點D垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面PBC的法向量為，則，取，則，得，記直線AC與平面PBC所成角為θ，則，所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值為．方法二：在△ABC中，因為，，，則，設點A到平面PBC的距離為d，由（1）知CD⊥平面PBD，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以，又因為平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以，因為，所以，設點A到平面PBC的距離為d，由（1）知CD⊥平面PBD，所以，在△PBC中，，，，因為，所以，所以，所以，解得，記直線AC與平面PBC所成角為θ，則，所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值為．17．近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能．某機構在網(wǎng)上隨機對1000人進行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP，得到如下數(shù)據(jù)：青年人中年人老年人對短視頻剪接成長視頻的APP有需求200對短視頻剪接成長視頻的APP無需求150其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400．(1)求的值；(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？參考公式：，其中．臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)(2)有差異【分析】（1）根據(jù)題意列式求解即可；（2）根據(jù)題意可得列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析.【解析】（1）由題意可得：，解得．（2）零假設為：對短視頻剪接成長視頻APP的需求，青年人與中老年人沒有差異．由已知得，如下列聯(lián)表：青年人中老年人合計對短視頻剪接成長視頻的APP有需求300250550對短視頻剪接成長視頻的APP無需求100350450合計4006001000可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，所以對短視頻剪接成長視頻的APP有需求，青年人與中老年人有差異．18．已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，短軸長為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設直線l與橢圓C相切于點A，A關于原點O的對稱點為點B，過點B作，垂足為M，求面積的最大值