第十八講全等三角形講義（原卷版）

第四章第四章三角形第十八講全等三角形滿分講義知識梳理夯實基礎(chǔ)知識點(diǎn)1：全等三角形的定義和性質(zhì)1.定義能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形2．全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．知識點(diǎn)2：全等三角形的判定1.全等三角形的判定（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（3）角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可間寫成“角角邊”或“AAS”）（4）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（5）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2.證明三角形全等的思路3.全等三角形模型模型圖形示例歸納總結(jié)平移模型可看成是由一個三角形沿其一條邊所在直線平移得到.對稱模型兩個三角形關(guān)于某一直線對稱,即這條直線兩邊的部分能完全重合,重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn).旋轉(zhuǎn)模型可看成由三角形繞某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成,故一般有一對相等的角隱含在平行線、對頂角、某些角的和或者差中.角平分線模型把角平分線看成一條公共邊所在的射線,在角的兩邊截取相等的線段,就可以構(gòu)造出全等三角形.三垂直模型也叫雙直角三角形,其中的證明多數(shù)可以用到同(等)角的余角相等這一結(jié)論,相等的角就是對應(yīng)角.典例解析呈現(xiàn)命題點(diǎn)命題點(diǎn)1全等三角形的判定（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在上，，，添加一個條件，不能證明的是（）A． B． C． D．（2023年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，工人師傅設(shè)計了一種測零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為、的中點(diǎn)，只要量出的長度，就可以道該零件內(nèi)徑的長度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實是（

）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C．兩余直線被一組平行線所截，所的對應(yīng)線段成比例 D．兩點(diǎn)之間線段最短（2024·全國·八年級競賽）下列說法：有兩邊對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等；周長相等的兩個等邊三角形全等；有一條邊和一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．其中錯誤的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個（2024·全國·八年級競賽）如圖，已知點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為外一點(diǎn)，如果，且，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在和中，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，只添加一個條件，能判定的是（

）A． B． C． D．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，，，要使，還需添加一個條件是如圖，在中，，，點(diǎn)D是線段上任意一點(diǎn)，連接，作，交線段于點(diǎn)E．(1)若，求和的度數(shù)；(2)若，求證：．命題點(diǎn)2全等三角形的性質(zhì)（2022年廣東省深圳市龍崗區(qū)金稻田學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬題）如圖，△ABC≌△A′B′C，且點(diǎn)B′在AB邊上，點(diǎn)A′恰好在BC的延長線上，下列結(jié)論錯誤的是()A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠BC．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′（黑龍江省哈爾濱市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．（2022年黑龍江省省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，中，，AD平分與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若的面積是24，，則PE的長是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3一個三角形的兩邊長分別為4和8，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．如圖，，點(diǎn)在線段上，，，則的長為．如圖，在中，，，平分，于點(diǎn)，則的周長為．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若，則的長為．已知，，若的面積是，則中邊上的高是.已知三邊長分別是4，，9，的三邊長4，，若這兩個三角形全等，則．命題點(diǎn)3全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，．求證：．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，．求證：．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，B是的中點(diǎn)，，.求證：．（2023年吉林省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，在和中，．求證：．（吉林省長春市九臺區(qū)20232024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在和中，延長交于F．，，．求證：（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）______（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填