6.2.2排列數(shù)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.2.2排列數(shù)

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．

排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”．“一定順序”就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標(biāo)志．

排列定義:問題2就是求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)，那么，從n個不同元素中任取2個元素的排列數(shù)是多少？

問題1

從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加某天的一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的方法？問題1就是求從3個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，問題2：從1，2，3，4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？排列數(shù)公式：求排列數(shù)可以這樣考慮：第1步先填第1個位置的元素,從n個元素任選一個,有n種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理，每一種填法就得到一個排列；假定有排好順序的2個空位（如圖），a1，a2，…，an

中任意取2個去填空，從n個不同元素一個空位填一個元素，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)完成填空這件事可分為2個步驟：反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到.第2步確定第2個位置的元素,可從剩下n-1個元素任取1個填空，有n-1種方法.可以按依次填3個空位來考慮得一般地，從n個不同元素中任取m個不同元素的排列數(shù)可用占位法計算⒈位⒉位⒊位

··········m位解：分m個步驟完成：第一步確定第一個位置上的元素：有n種方法；第二步確定第二個位置上的元素：有（n-1）種方法；第三步確定第三個位置上的元素：有（n-2）種方法；··········第m步確定第m個位置上的元素：每一種填法就得到一個排列；反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到。有〔n-（m-1）〕=（n－m＋１）種方法。由分步計數(shù)原理得出：排列數(shù)公式的特點：⒈m個連續(xù)正整數(shù)的連乘積；⒉最大因數(shù)為n以下依次減1，最小因數(shù)是（n-m+1）.全排列數(shù)：⑴全排列：從n個不同素中取出n個元素的一個排列稱為n個不同元素的一個全排列.⑵階乘：正整數(shù)1到n的連乘積1×2×3×······×n稱為n的階乘，記做n！.=n！排列數(shù)公式：全排列數(shù)為因此全排列數(shù)為（m，n∈N*

且m≤n）說明：排列數(shù)公式兩種不同形式的應(yīng)用一般地：連乘形式用于值的計算；階乘形式用于有關(guān)的式子化簡。規(guī)定:0！=1.排列數(shù)公式的階乘形式：

例題講評

1.計算:(1)（2）鞏固練習(xí)=16×15×14=3360.⑵=6！=720.例1.計算：⑴⑵⑶⑷鞏固練習(xí)應(yīng)用探究1.計算:(1)（2）解：想一想：1714想一想：分析：拓展探究例2.求證：證明：左式=—————+m———————

n！n?。╪－m）！（n－m+1）！=————————————n！(n－m+1)+n！·m(n－m+1)！=—————

n！(n+1)(n+1－m)！=——————=（n+1）?。╪+1-m）！=右式例題講評例3.解方程：解：∴(n－3)(4n－23)=0∴n=3.解排列數(shù)方程解排列數(shù)不等式例5.5個人站成一排：（l）共有多少種不同的排法？（2）其中甲必須站在中間有多少種不同排法？（3）其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？（4）其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？（5）其中甲、乙兩人不站排頭和排尾有多少種不同的排法？（6）其中甲不站排頭，乙不站排尾有多少種不同的排法？解：（1）由于沒有條件限制，5個人可作全排列，共有種排法．

（2）由于甲的位置已確定，其余4人可任意排列，有種排法．（3）其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？（4）其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？解：（3）因為甲、乙兩人必須相鄰，可視甲、乙在一起為一個元素與其他3人有種排法，

而甲、乙又有種根據(jù)分步計數(shù)原理共有種排法.（4）甲、乙兩人外的其余3人有種排法，

要使甲、乙不相鄰只有排在他們的空檔位置，有種排法，

所以共有種排法；排法，(5)其中甲,乙兩人不站排頭和排尾有多少種不同的排法？(6)其中甲不站排頭，乙不站排尾有多少種不同的排法？解：（5）甲、乙兩人不站排頭和排尾，則這兩個位置可從其余3人中選2人來站有種排法，

剩下的人有種排法，

共有種排法．

可將問題分為兩類：一類是甲站在排尾，另一類是甲既不站在排尾也不站排頭其余的人可全排列，有種排法；

有種站法，

乙不站排尾有種站法，

其余的人可全排列，有種排法,

故這一類有種排法.

由加法原理知：共有種排法.

(6)其中甲不站排頭，乙不站排尾有多少種不同的排法？解：解法2：甲站排頭有種排法，

乙站排尾有種排法，

但兩種情況都包含了“甲站排頭，且乙站排尾”的情況，

有種排法，

故共有種排法．

1排列的概念任意取出元素按照一定順序排列2排列數(shù)公式：小結(jié)反思升華素養(yǎng)基礎(chǔ)知識基本技能排列數(shù)公式的應(yīng)用：計算、解方程、不等式、實際應(yīng)用須注意的問題排列的應(yīng)用題可分兩大類:①無條件限制的排列問題：解題關(guān)鍵：⑴確定該題是否是排列問題⑵正確地找出n、m的值⑶準(zhǔn)確地運用兩個原理②有條件限制的排列問題：主要表現(xiàn)為：某位置上不能排某元素，或某元素只能排在某位置上。小結(jié)反思升華素養(yǎng)（l）直接計算法排列問題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個（或某些）位置、某個（或某些）位置只能放某些元素，因此進行算法設(shè)計時，常優(yōu)先處理這些特殊要求．便有了：先處理特殊元素或先處理特殊位置的方法．（2）間接計算法先不考慮限制條件，把所有的排列種數(shù)算出，再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)，間接得出符合條件的排列種數(shù)．這種方法也稱為“排除