安徽省合肥市廬江縣湯池鎮(zhèn)初級中學2023-2024學年下學期八年級數(shù)學期中測試卷

安徽省合肥市廬江縣湯池鎮(zhèn)初級中學2023-2024學年八年級數(shù)學下冊期中測試卷（人教版）一．選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．二次根式有意義的條件是（）A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥32．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．下列運算中，正確的是（）A． B．＝1 C． D．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）A．225 B．200 C．150 D．無法計算5．如圖，在△ABC中，點D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于點M，N是AC的中點，連結MN，若AB＝6，BC＝10，則MN為（）A．3 B．4 C．1 D．26．如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M．若BC＝6，則線段CM的長為（）A． B．7 C． D．87．如圖，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分別是AC，AB上的高，F(xiàn)，G分別是BC，DE的中點，若ED＝10，則FG的長為（）A．10 B．12 C．13 D．148．在長方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，連接AC，∠BAC的角平分線交BC于點E，則線段BE的長為（）A． B． C．3 D．49．如圖，在△ABC中，D是BC上的一點，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，EF＝3，則AC的長是（）A．3． B．4 C．5 D．610．對于平面直角坐標系內(nèi)的任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”為dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三點A，B，C滿足dAC＝dAB﹣dBC，下列四個結論中，不正確的結論是（）A．A，B，C三點可能構成銳角三角形 B．A，B，C三點可能構成直角三角形 C．A，B，C三點可能構成鈍角三角形 D．A，B，C三點可能構成等腰三角形二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）11．小明做數(shù)學題時，發(fā)現(xiàn)；；；；…；按此規(guī)律，若（a，b為正整數(shù)），則a+b＝．12．如圖，一根橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，其中A點坐標（0，0），B點坐標（8，0），然后把中點C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了cm．13．如圖，BD為平行四邊形ABCD的對角線，∠DBC＝45°，DE⊥BC于點E，BF⊥CD于點F，DE，BF相交于點H，直線BF交線段AD的延長線于點G，下列結論：①∠C＝45°；②∠A＝∠BHE；③∠BHD＝∠BDG；④BH2+BG＝AG2．其中正確的結論有．14．圖1是鄰邊長為2和6的矩形，它由三個小正方形組成，將其剪拼成不重疊、無縫隙的大正方形（如圖2），則圖1中所標注的d的值為；記圖1中小正方形的中心為點A，B，C，圖2中的對應點為點A′，B′，C′．以大正方形的中心O為圓心作圓，則當點A′，B′，C′在圓內(nèi)或圓上時，圓的最小面積為．三．解答題（共9小題，共9題，共90分）15．（8分）若x，y為實數(shù)，且y＝++．求﹣的值．16．（8分）觀察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想：（1）＝（2）請你按照上面每個等式反映的規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式：；（3）利用上述規(guī)律計算：（仿照上式寫出過程）17．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分∠ADC交AB于點E，BF平分∠ABC交CD于點F，求證：DE＝BF．18．（8分）如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝3m，若秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．19．（10分）如圖，已知四邊形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E為CD邊上的一點，DE＝7，動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著邊AB向終點B運動，連接PE，設點P運動的時間為t秒．（1）求BE的長；（2）若△BPE為直角三角形，求t的值．20．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊形ADCF是菱形．21．（12分）已知：如圖，在△ABC中，D、E、F分別是各邊的中點，AH是高．（1）求證：DH＝EF；（2）求證：∠DHF＝∠DEF．22．（12分）定義：我們把三角形某邊上高的長度與這邊中點到高的距離的比值稱為三角形某邊的“中偏度值”．（1）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，求△ABC中AB邊的“中偏度值”；（2）在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC邊上的高AD＝12，求△ABC中BC邊的“中偏度值”．23．（14分）如圖，四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：ED＝EF；（2）若AB＝2，，求CG的長度；（3）當線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時，求∠EFC的度數(shù)．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x+3≥0，求出即可．【解答】解：∵要使有意義，必須x+3≥0，∴x≥﹣3，故選：C．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件的應用，注意：要使有意義，必須a≥0．2．【分析】直接利用最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，進而得出答案．【解答】解：A、＝，不是最簡二次根式，故此選項錯誤；B、，是最簡二次根式，故此選項正確；C、＝2，不是最簡二次根式，故此選項錯誤；D、＝，不是最簡二次根式，故此選項錯誤．故選：B．【點評】此題主要考查了最簡二次根式的定義，正確把握定義是解題關鍵．3．【分析】根據(jù)二次根式的運算法則進行判斷便可．【解答】解：A．不是同類二次根式不能合并，選項錯誤；B．不是同類二次根式不能合并，選項錯誤；C.，選項正確；D.，選項錯誤；故選：C．【點評】本題主要考查了二次根式的四則運算，熟記法則是解題的關鍵．4．【分析】根據(jù)勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝152＝225，從而得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，∴正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為225，故選：A．【點評】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．5．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AM＝MD，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【解答】解：∵BD＝AB，AB＝6，BM⊥AD，∴BD＝6，AM＝MD，∵BC＝10，∴CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4，∵AM＝MD，AN＝AC，∴MN是△ADC的中位線，∴MN＝DC＝2，故選：D．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．6．【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得DE∥BC，求出DE，進而證得△DEF∽BMF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BM，即可求出結論．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，∴△DEF∽△BMF，∴＝＝＝2，∴BM＝，CM＝BC+BM＝．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵．7．【分析】連接EF、DF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得FG⊥ED，，然后利用勾股定理列式計算即可求解．【解答】解：如圖：連接EF、DF，，∵F是BC的中點，BD⊥AC，CE⊥AB，∴，∵G是DE的中點，∴FG⊥ED，，在Rt△DGF中，，故選：B．【點評】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及勾股定理，作輔助線利用性質(zhì)是解題的關鍵．8．【分析】作EF⊥AC于點F，由∠B＝90°，AB＝5，CB＝12，根據(jù)勾股定理求得AC＝13，由角平分線的性質(zhì)得FE＝BE，再證明Rt△AFE≌Rt△ABE，得AF＝AB＝5，則CF＝8，再由勾股定理得BE2+82＝（12﹣BE）2，即可求得BE＝．【解答】解：作EF⊥AC于點F，則∠AFE＝∠CFE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝5，CB＝12，∴∠B＝90°，∴EB⊥AB，AC＝＝＝13，∵AE平分∠BAC，∴FE＝BE，在Rt△AFE和Rt△ABE中，，∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），∴AF＝AB＝5，∵FE2+CF2＝CE2，且CF＝13﹣5＝8，CE＝12﹣BE，∴BE2+82＝（12﹣BE）2，∴BE＝，故選：A．【點評】此題重點考查矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．9．【分析】連接AF．由AB＝AD，F(xiàn)是BD的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AF⊥BD．再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得EF＝AC，即AC＝2EF＝4．【解答】解：如圖，連接AF．∵AB＝AD，F(xiàn)是BD的中點，∴AF⊥BD．在Rt△ACF中，∵∠AFC＝90°，E是AC的中點，EF＝3，∴AC＝2EF＝6．故選：D．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AF⊥BD是解題的關鍵．10．【分析】不妨設C（0，0），A（1，0），B（x1，y1），則||AC||＝1，||CB||＝|x1|+|y1|，||AB||＝|x1﹣1|+|y1|，討論x1，y1的值即可判定．【解答】解：不妨設C（0，0），A（1，0），B（x1，y1），則dAC＝1，dCB＝|x1|+|y1|，dAB＝|x1﹣1|+|y1|，由||AC||+||CB||＝||AB||，可知1+|x1|＝|x1﹣1|，當x1＝0，y1≠0時1+|x1|＝|x1﹣1|成立，此時△ABC為直角三角形，故B正確；當x1＝0，y1＝1時，此時△ABC為等腰三角形，故D正確；當x1＞0時，無解，故A錯；當x1＜0時，此時∠BCA為鈍角，且1+|x1|＝|x1﹣1|成立，故C正確．故答案為：A．【點評】本題主要考查了以命題的真假為載體，考查新定義，解題的關鍵是理解新的定義，同時考查了學生的推理能力．二．填空題（共4小題）11．【分析】找出一系列等式的規(guī)律為（n≥1的正整數(shù)），令n＝8求出a與b的值，即可求得a+b的值．【解答】解：根據(jù)題中的規(guī)律得：（n≥1的正整數(shù)），∵＝a?，∴a＝8，b＝82+1＝65，則a+b＝8+65＝73．故答案為：73．【點評】此題考查了數(shù)字類規(guī)律，找出題中的規(guī)律是解本題的關鍵．12．【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長的距離．【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝＝＝5（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉長了2cm．故答案為：2．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．13．【分析】根據(jù)“AAS”可證明△BEH≌△DEC，得到BH＝CD，CE＝EH，可對①進行判斷；通過判斷△BDE為等腰直角三角形，得到BE＝DE，根據(jù)等角的余角相等得到∠BHE＝∠C，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A＝∠C，則∠A＝∠BHE，于是可對②進行判斷；因為∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，可對③進行判斷；接著由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，則AB＝BH，可對④進行判斷．【解答】解：在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴EH＝EC，∴CE≠DE，∴∠C≠45°，故①錯誤；∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，∴△DEB是等腰直角三角形，∴BE＝DE，∵BF⊥CD，∴∠FHD+∠FDH＝90°，∵∠C+∠FDH＝90°，∴∠C＝∠FHD，∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，∴∠A＝∠BHE，故②正確；∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，∵∠BDE＞∠HBE，∴∠BDG＞∠BHD，故③錯誤；∵△BEH≌△DEC，AB＝CD，∴BH＝CD，∴AB＝BH，∵BF⊥CD，∴BG⊥AB，∴AB2+BG2＝AG2，∴BH2+BG2＝AG2，故④正確；故答案為：②④．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練運用平行四邊形的性質(zhì)是本題的關鍵．14．【分析】如圖，連接FW，由題意可知點A′，O，C′在線段FW上，連接OB′，B′C′，過點O作OH⊥B′C′于H．證明∠EGF＝30°，解直角三角形求出JK，OH，B′H，再求出OB′2，可得結論．【解答】解：如圖，連接FW，由題意可知點A′，O，C′在線段FW上，連接OB′，B′C′，過點O作OH⊥B′C′于H．∵大正方形的面積＝12，∴FG＝GW＝2，∵EF＝WK＝2，∴在Rt△EFG中，tan∠EGF＝＝＝，∴∠EGF＝30°，∵JK∥FG，∴∠KJG＝∠EGF＝30°，∴d＝JK＝GK＝（2﹣2）＝6﹣2，∵OF＝OW＝FW＝，C′W＝，∴OC′＝﹣，∵B′C′∥QW，B′C′＝2，∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°，∴OH＝HC′＝﹣1，∴HB′＝2﹣（﹣1）＝3﹣，∴OB′2＝OH2+B′H2＝（﹣1）2+（3﹣）2＝16﹣8，∵OA′＝OC′＜OB′，∴當點A′，B′，C′在圓內(nèi)或圓上時，圓的最小面積為（16﹣8）π．故答案為：6﹣2，（16﹣8）π．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，圓等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，推出∠EGF＝30°，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．三．解答題（共9小題）15．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)求得x的值，進而得到y(tǒng)的值，代入求值即可．【解答】解：依題意得：x＝，則y＝，所以＝＝，＝＝2，所以﹣＝﹣＝﹣＝．【點評】考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．16．【分析】（1）根據(jù)提供的信息，即可解答；（2）根據(jù)規(guī)律，寫出等式；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，即可解答．【解答】解：（1）＝1＝1；故答案為：1；（2）＝1+＝1+；故答案為：＝1+；（3）．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解決本題的關鍵是關鍵信息，找到規(guī)律．17．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明∠ADE＝∠CBF，根據(jù)ASA證明△ADE≌△CBF，即可得到DE＝BF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠CBA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠ADE＝∠ADC，∠CBF＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，注意證得△ADE≌△CBF是解題的關鍵．18．【分析】設秋千的繩索長為xm，根據(jù)題意可得AC＝（x﹣2）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣2）2．【解答】解：∵CE＝BF＝3m，DE＝1m，∴CD＝CE﹣DE＝3﹣1＝2（m），在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，BC＝4m，設秋千的繩索長為xm，則AC＝（x﹣2）m，故x2＝42+（x﹣2）2，解得：x＝5，答：繩索AD的長度是5m．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是正確理解題意，表示出AC、AB的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．19．【分析】（1）根據(jù)勾股定理計算即可；（2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°兩種情況，根據(jù)勾股定理計算．【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7，∴CE＝10﹣7＝3，在Rt△CBE中，BE＝＝5；（2）當∠BPE＝90°時，AP＝10﹣3＝7，則t＝7÷1＝7（秒），當∠BEP＝90°時，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，解得，t＝，∴當t＝7或時，△BPE為直角三角形．【點評】本題考查的是勾股定理的應用，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．20．【分析】（1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE；（2）利用（1）中全等三角形的對應邊相等得到AF＝BD．結合已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD＝DC，從而得出結論．【解答】證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，∴AD＝DC＝BC，∴四邊形ADCF是菱形．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應用，主要考查學生的推理能力．21．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到EF＝AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DH＝AB，證明結論；（2）連接DF，證明△DHF≌△DEF，證明結論．【解答】證明：（1）∵E、F分別是邊BC、AC的中點，∴EF＝AB，∵AH⊥BC，D是AB的中點，∴DH＝AB，∴DH＝EF；（2）連接DF，由（1）得，DH＝EF，同理DE＝HF，在△DHF和△DEF中，，∴△DHF≌△DEF，∴∠DHF＝∠DEF．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．22．【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到AB＝＝5，過C作CD⊥AB于D，設CE是斜邊AB上的中線，求得BE＝AE＝AB＝，根據(jù)三角形的面積公式得到CD＝，根據(jù)勾股定理得到BD＝，于是得到△ABC中AB邊的“中偏度值”＝；（2）如圖，當△ABC為銳角三角形時，設AE是△ABC中BC邊的中線，根據(jù)勾股定理得到BD＝5，CD＝9，得到BC＝5+9＝14，如圖，當△ABC為鈍角三角形時，設AE是△ABC中BC邊的中線，得到BC＝CD﹣BD＝4，于是得到結論．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，過C作CD⊥AB于D，設CE是斜邊AB上的中線，∴BE＝AE＝AB＝，∵S△ABC＝，∴CD＝＝＝，∴BD＝＝＝，∴DE＝BE﹣BD＝＝，∴△ABC中AB邊的“中偏度值”＝＝；（2）如圖，當△ABC為銳角三角形時，設AE是△AB