2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)模擬試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.4.試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合與之間的關(guān)系是A． B． C． D．2．已知，（為自然對數(shù)的底數(shù)），比較，，的大?。?/p>

）A． B．C． D．3．設(shè)函數(shù)，若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．某校校慶日為每年5月4日，根據(jù)氣象統(tǒng)計(jì)資料，這一天吹南風(fēng)的概率為20%，下雨的概率為30%，吹南風(fēng)或下雨的概率為35%，則既吹南風(fēng)又下雨的概率為（

）A．6% B．15% C．30% D．50%5．為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的（

）A．橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長度B．橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長度C．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長度D．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長度6．已知直線，若，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．3 C．1或3 D．07．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．8．千年寶地，一馬當(dāng)先．2023年10月15日7時(shí)30分，吉利銀河．2023寶雞馬拉松賽在寶雞市行政中心廣場鳴槍開跑，比賽吸引了全國各地職業(yè)選手及路跑愛好者共2萬人的熱情參與．為確?；顒禹樌e行，組委會自起點(diǎn)開始大約每隔5公里設(shè)置一個(gè)飲水站（志愿者為選手遞送飲料或飲用水，為選手提供能量補(bǔ)給），兩個(gè)飲水站中間設(shè)置一個(gè)用水站（志愿者為選手遞送濕毛巾等，協(xié)助醫(yī)務(wù)工作者），共15個(gè)飲用水服務(wù)點(diǎn)，分別由含甲、乙在內(nèi)的15支志愿者服務(wù)隊(duì)負(fù)責(zé)，則甲隊(duì)和乙隊(duì)服務(wù)類型不同且服務(wù)點(diǎn)不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對1個(gè)得2分.9．已知，，，，，則下列說法正確的是A． B．C． D．10．如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動了3周，則（

）A．圓錐的母線長為3B．圓錐的表面積為C．圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為D．若一螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A，則爬行的最短距離為11．已知二項(xiàng)式的展開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是，則下列說法正確的是（

）A．所有項(xiàng)的系數(shù)之和為 B．所有項(xiàng)的系數(shù)之和為C．含的項(xiàng)的系數(shù)為 D．含的項(xiàng)的系數(shù)為三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則．13．已知復(fù)數(shù)w滿足（i為虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z，且z滿足不等式，則點(diǎn)Z構(gòu)成的平面圖形的面積為.14．過雙曲線的右焦點(diǎn)的直線分別在第一?第二象限交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，且.若，則雙曲線的離心率為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于直線對稱.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.16．已知兩個(gè)定點(diǎn)，如果動點(diǎn)滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡方程并說明該軌跡是什么圖形；(2)若直線分別與點(diǎn)的軌跡和圓都有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．如圖，在中，點(diǎn)D在邊BC上，．(1)若，，，求AB；(2)若是銳角三角形，，求的取值范圍．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，分別是的中點(diǎn)，平面經(jīng)過點(diǎn)與棱交于點(diǎn)．

(1)試用所學(xué)知識確定在棱上的位置；(2)若，求與平面所成角的正弦值．19．已知雙曲線的右焦點(diǎn)，漸近線方程．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，若，，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求面積的取值范圍．1．C【分析】對集合中的整數(shù)分偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，并將集合中的等式化簡，由此可判斷出集合與集合之間的關(guān)系.【詳解】對于集合，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，.所以，集合，因此，.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查角的兩個(gè)集合之間包含關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵就是對整數(shù)進(jìn)行分類討論，并將集合中的等式化簡，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.2．D【分析】由常見的不等式可比較和的大??；利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間量可比較，和的大小，進(jìn)而得出答案.【詳解】由三角函數(shù)線可得：不等式，則，又函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，則，所以，綜上所述：，故選D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查比較函數(shù)值的大小.解題關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)線得到不等式，進(jìn)而比較和的大?。辉倮脙绾瘮?shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間量，比較，和的大小.3．C【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，借助圖象求出的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，

觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，所以有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C4．B【分析】根據(jù)概率的加法公式即可求解.【詳解】記吹風(fēng)為事件A，下雨為事件B,因?yàn)?，所以既吹南風(fēng)又下雨的概率為：，故選：B.5．D【分析】變換，根據(jù)三角函數(shù)平移和伸縮法則依次判斷每個(gè)選項(xiàng)，對比得到答案.【詳解】，對選項(xiàng)A：得到的函數(shù)為，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：得到的函數(shù)為，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C：得到的函數(shù)為，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：得到的函數(shù)為，正確；故選：D6．A【分析】根據(jù)直線平行公式求出參數(shù)m的值，驗(yàn)證是否重合.【詳解】因?yàn)椋?，解得：或，?dāng)時(shí)，，，兩直線平行，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，舍，所以.故選：A.7．C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，

則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.8．B【分析】由題意可知15個(gè)飲用水服務(wù)點(diǎn)種有8個(gè)飲水站，7個(gè)用水站，分別計(jì)算隨意安排甲乙參與和滿足服務(wù)類型不同且服務(wù)點(diǎn)不相鄰要求的方法種數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】由題意，，故共有飲水站8個(gè)，用水站7個(gè)，分別設(shè)為，其中任取2個(gè)飲用水服務(wù)點(diǎn)安排給甲、乙，共有種不同的安排方法，甲隊(duì)和乙隊(duì)服務(wù)類型不同且服務(wù)點(diǎn)不相鄰的時(shí)，可以分別取一個(gè)飲水站和一個(gè)用水站安排給甲、乙共有，再減去其中甲、乙相鄰的情況，相鄰時(shí)，共有，14種情況，故甲隊(duì)和乙隊(duì)服務(wù)類型不同且服務(wù)點(diǎn)相鄰的安排方法為，即滿足甲隊(duì)和乙隊(duì)服務(wù)類型不同且服務(wù)點(diǎn)不相鄰的安排方法有種，由古典概型可知，，故選：B9．AC【解析】由已知條件兩邊平方相加，消去得，可知A正確，B錯(cuò)誤，再根據(jù)角的范圍可得，所以C正確，D錯(cuò)誤.從而可得答案.【詳解】由已知，得，.兩式分別平方相加，得，，，A正確，B錯(cuò)誤.，，，，，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查了平方關(guān)系式，考查了兩角差的余弦公式的逆用，考查了由三角函數(shù)值求角，屬于基礎(chǔ)題.10．BD【分析】由題意可求出圓錐的母線長判斷A；由此可求得圓錐的表面積判斷B；由側(cè)面展開圖扇形的形狀可判斷C；由側(cè)面展開圖的扇形求最短距離判斷D.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，則以S為圓心，SA為半徑的圓的面積為，圓錐的側(cè)面積，因?yàn)閳A錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時(shí)，圓錐本身滾動了3周，所以圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，故C錯(cuò)誤；，解得，所以圓錐的母線長為9，故A錯(cuò)誤；圓錐的表面積，故B正確；如圖為圓錐沿SA的側(cè)面展開圖，連接，則為等腰三角形，所以螞蟻爬行的最短距離為，故D正確.故選：BD.11．AC【分析】先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)題中條件，得到，求出，令代入原式，即可得出所有項(xiàng)的系數(shù)；進(jìn)而可得出指定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為：，因?yàn)檎归_式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是，所以，解得；則該二項(xiàng)式為，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，故A正確，B錯(cuò)誤；則展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，因此含的項(xiàng)的系數(shù)為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和，以及指定項(xiàng)的系數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于常考題型.12．2【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義可得，整理可得，根據(jù)此時(shí)可得成立，代入化簡即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，整理可得，可得當(dāng)，即成立，又，代入可得.故答案為：.13．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷點(diǎn)Z的軌跡為圓環(huán)，即可由圓的面積公式求解.【詳解】，.，點(diǎn)Z構(gòu)成的平面圖形為一個(gè)圓環(huán)，其中大圓是以為圓心，2為半徑的圓，小圓是以為圓心，1為半徑的圓，點(diǎn)Z構(gòu)成的平面圖形的面積為.故答案為：14．【分析】根據(jù)漸近線的斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切二倍角的公式、正切的定義、勾股定理、雙曲線離心率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知該雙曲線的漸近線方程為，如圖所示：令，于是有，由雙曲線和兩條漸近線的對稱性可得：，因?yàn)椋?，即，在直角三角形中，設(shè)，根據(jù)勾股定理可得：，或舍去，即，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，因?yàn)?，所以，或舍去，由，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用二倍角的正切公式、由已知等式化簡成為的齊次方程，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.15．(1)，(2)最小值為2，最大值為3【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，然后通過對稱性和周期得到，然后求解單調(diào)區(qū)間．（2）由的取值范圍，求出的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的值域即可．【詳解】（1）∵，由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，所以，所以，由，，得，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.（2）∵，∴，，由，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，16．(1)，軌跡是以為圓心，半徑為2的圓；(2).【分析】（1）設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式及已知，整理化簡即可得軌跡方程，進(jìn)而判斷圖形.（2）由直線與圓的有交點(diǎn)，利用圓心到直線距離與半徑的關(guān)系列不等式求參數(shù)k的范圍即可.【詳解】（1）設(shè)，由，則，化簡得：；∴的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓.（2）直線與圓相切或相交，即圓心到直線的距離不大于半徑：，解得，直線與圓相切或相交，即圓心到直線的距離不大于半徑：，解得，∴綜上，直線分別與的軌跡和圓都有公共點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù).17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，在與中，利用余弦定理求解即得.（2）由給定條件，求出角的范圍，再利用正弦定理邊化角，借助差角的正弦及正切函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，即，而，解得，則，在中，，由余弦定理得.（2）在銳角中，，，且，則，由正弦定理得，顯然，即有，因此，即，所以的取值范圍是.18．(1)靠近的三等分點(diǎn)處(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）過作直線與平行，延長與交于點(diǎn)，連接與的交點(diǎn)即為點(diǎn)．因?yàn)榈酌媸蔷匦?，是的中點(diǎn)，所以，且．又，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得，則，所以．故在棱的靠近的三等分點(diǎn)處．

（2）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．取中點(diǎn)，連接，易知兩兩相互垂直，如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，．

設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以．．設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線方程及求得，寫出雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線：與雙曲線方程得韋達(dá)定理，由，用表示，將韋達(dá)定理代入后