山東省濰坊市2023屆高三二模數(shù)學含解析

濰坊市高考模擬考試

數(shù)學試卷

本試卷共4頁.滿分150分.

注意事項：

1.答題前，考生務必在試題卷.答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合加={6+12°},"={刈2'<1},則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合

【解析】

【分析】化簡集合M,N,根據(jù)集合的運算判斷{幻-1WX<O}為兩集合交集即可得解.

【詳解】A/={x|x+l>0}=[-l,-Ko),N={x|2'<1}=(9,0),

：.M7V={x|-l<x<0}

由Venn圖知，A符合要求.

故選：A

2.若角a的終邊過點P(3,-4),貝ijsin2a的值為()

12122424

A.—B.------C.—D.

25252525

【答案】D

【解析】

【分析】結合三角函數(shù)定義求得sina,cos。，由sin2a=2sinacosa即可求解

【詳解】：角a的終邊過點P(3,T),，|OP\=5,

.43

/.sina=——,cosa=一,

55

?c-?24

sin2a=2sinacosa=------

25

故選：D

【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，正弦二倍角公式的使用，屬于基礎題

3.已知函數(shù)=-3S則/(%)=()

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

【答案】C

【解析】

【分析】判斷/.(-x),/(x)的關系即可得出函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)的單調(diào)

性.

【詳解】函數(shù)的定義域為R,

因〃_力=3'—口］=-/(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，

又因為函數(shù)y=?=-3-'在R上都是減函數(shù)，

所以函數(shù)=K—3、在R上是減函數(shù).

故選：C.

4.在4ABe中，=點E是AO的中點，記=AC=b，則BE=()

1.121,11,21,

A.——a+-bB.——a+—bC.——a——bD.-a——b

33363336

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形中向量對應線段的數(shù)量及位置關系，用A3、AC表示出即可.

1____11___1__1_____2__1___

【詳解】由題設3E=—(3A+3O)=—(BA+—3C)=—[3A+—(3A+AC)]=--AB+-AC,

2232336

21

所以哈丁+/

5.已知事件A、8滿足P(A|B)=0.7,P(A)=0.3,則()

A.P[AB)=0.3B.P(6|A)=0.3

C.事件A,5相互獨立D.事件A,B互斥

【答案】C

【解析】

【分析】利用對立事件概率求法得P(A)=0.7,結合已知即獨立事件的充要條件=P(A)P(B)判斷

C,由于P(8)未知其它選項無法判斷.

【詳解】由題設[(由)=1一尸(>)=0.7=>(A17),

所以P(A8)=P(A|8)P(B)=P(A)P(8),即A,8相互獨立，同一試驗中不互斥，

而P(8)未知，無法確定P(AcB)、P(B\A).

故選：C

6.某公司為實現(xiàn)利潤目標制定獎勵制度，其中規(guī)定利潤超過10萬元且少于1000萬元時，員工獎金總額y

(單位：萬元)隨利潤x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金總額不超過5萬元，則y關于x的函數(shù)可

以為()(參考數(shù)據(jù)：1.002IOOO?7.37，lg7=0.845)

1

A.y=1.002'B.=log7x+lC.),=*5_5D.y=5+sinx

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性排除D,再由函數(shù)值在(0,5］排除AC,即可得解.

【詳解】由題意，函數(shù)在x6(10,1000)時為增函數(shù)，故D不合題意，排除D；

因為當xw(10,125)時，y=%_5<0,故C不符合題意，排除C；

當x=1000時，1.0021°0°*7.37>5,故y=1.002'不符合題意，排除A；

因為y=log7x+l為增函數(shù)，且x>10時，y>(),當x=1000時，上=3+1少4.55<5,滿足

愴7

題意，故B正確.

故選：B

7.如圖，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一.現(xiàn)制作一件三層六角宮

燈模型，三層均為正六棱柱(內(nèi)部全空)，其中模型上、下層的底面周長均為36j§cm，高為4cm.現(xiàn)在

其內(nèi)部放入一個體積為36兀口力的球形燈，且球形燈球心與各面的距離不少于8cm.則該模型的側面積至

少為()

rr

A.800^cm2B.544^cm2C.(288x^+384)cm2D.(28873+768)cm2

【答案】B

【解析】

【分析】由球心到各面距離為8,求出對應正棱柱的側面積，即可得解.

【詳解】由題意，上下兩層是底面周長36j§cm，高為4cm的正六棱柱，

所以側面積為￡=2x36^x4=288&cm2,

當球形燈球心到各面的距離等于8cm時，中間六棱柱的高為/z=2x8—2x4=8cm,

由球心到側面距離為8,可知棱柱底面邊長滿足ax3=8,解得。=也叵，

23

所以中層正六棱柱的側面積邑=6x當1x8=2566cm2，

2

故該模型的側面積至少為S=S,+S2=544gcm，

故選：B

8.已知雙曲線=l(。＞0力＞0)的左，右焦點分別為￡,F2,。為坐標原點，過耳作。的

ab~

一條浙近線的垂線，垂足為￡＞,且|。鳥|=2及|0。|,則C的離心率為()

A.V2B.2C.V5D.3

【答案】C

【解析】

【分析】利用點到直線的距離公式求出|。制，利用勾股定理求出由銳角三角函數(shù)得出

cosZPOf；=-,在，。。國利用余弦定理可得出。、b、。的齊次方程，可解出雙曲線C離心率。的值.

C

【詳解】如下圖所示，雙曲線。的右焦點耳(-c,o),漸近線4的方程為云-砂=。，

由勾股定理得|。4=加用2T*2="2一/=a,

兀\0D\a

在Rt^OO片中，ZODF；=-,cosZDOF[=~=-

2C/JT|C

在,DO七中，|OD|=a,周二2啦Q,|Og|二c,

cosZDOF2-cos(n-ZDOF})=-cosZDOF1=--,

\ODf+\OF2f-\DF2fQ2+C2—8。~

由余弦定理得cos/DOF?

2|0蛆叫一lac

化簡得，C2=5〃，即C=6,因此，雙曲線。的離心率為e=￡=石，

a

故選：C.

【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：

①直接求出〃、C,可計算出離心率；

②構造C的齊次方程，求出離心率；

③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解.

二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.在復數(shù)范圍內(nèi)關于x的實系數(shù)一元二次方程/+內(nèi)+2=0的兩根為由,與，其中玉=l+i,則

()

A.p=2B.%2=1-iC.X?可=-2iD.—L=i

X2

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程中韋達定理可求出々判斷B，再由韋達定理判斷A,根據(jù)復數(shù)的乘法及

共枕復數(shù)判斷C,再由復數(shù)除法判斷D.

【詳解】因為占=1+1且實系數(shù)一元二次方程/+a+2=0的兩根為內(nèi),當，

22

所以砧=2,可得％=,=幣=故B正確;

又玉+W=l+i+l—i=2=一〃，所以p=-2,故A錯誤;

由E=l+i,所以為?弓=(l+i)2=2iw—2i,故C錯誤；

%,1+i(1+i)22i.-“

—=——=-~-=-=i,故D正確.

x21-i22

故選：BD

10.已知實數(shù)a>b>0，則()

bb+2a+b〉Iga+lgb

A.-<----B.(XH—>bT—C.b>bnD.1g

aa+2baa22

【答案】ABD

【解析】

【分析】作差法判斷A、B；特殊值法。=4,6=2判斷c；由基本不等式易知絲2>J茄，再根據(jù)對數(shù)

2

性質(zhì)判斷D.

b〃+22(1-a)則9<力+2

【詳解】A：--^2正確;

a(a+2)aa+2

B：a+--h-=(?-/7)+---=(a-Z?)(l+—)>0,則+正確；

baababha

C：當。=4,Z?=2時，a。=/,錯誤；

D：由土吆>5/茄(注意等號取不到)，則但"2>3疝=思”毆，正確.

222

故選：ABD

11.已知函數(shù)/(x)=Asin(5+°)+B(其中4>0,。>0,冏<兀)的部分圖象如圖所示，貝U()

B.函數(shù)小+,為偶函數(shù)

c.y(x)+/[—x)=2

D.曲線)=/(力在X=強處的切線斜率為—2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷AB,再由函數(shù)圖象中心對稱的性

質(zhì)判斷C,利用導數(shù)的幾何意義判斷D.

【詳解】由函數(shù)圖象可知，A=—=\,B=-=\,7=2(弓+11=兀，

22136J

2兀

CD=—=2,

71

,兀?/兀、兀5兀_,

當x=時，2x()+°=—卜2kli(k￡Z),(p-F2Zc7i,(keZ),

6626

又冏V7C,：.(p=斗,

6

/./(x)=sin(2x+—)+1,

6

對A,/(F)=sin(47i+￡)+l=2,孚］正確；

62I6/

TT77rjr

對B,/(x+—)=sin(2x+——)+l=—sin(2無+—)+1,顯然不是偶函數(shù)，故錯誤；

666

對C,若+—x)=2,則f(x)圖象關于點信1］對稱，又嗚)=sin(2x聯(lián)+也+1=1,

故正確；

57rTTIT>TTTT

對D,/'(x)=2cos(2x+—),，/'(—)=2cos(2x—+~)=-2,所以曲線丁=/(%)在1=一■處的

61212612

切線斜率為一2，故D正確.

故選：ACD

12.已知四棱錐P-ABCD,底面ABC。是正方形，24,平面ABC。，B4=AZ)=2，點〃在平面

ABCD1.,且AM=/IAZ>(O</1<1),則()

A.存在2,使得直線依與A〃所成角為￡

B.不存在幾，使得平面RW_L平面

C.當2一定時，點P與點〃軌跡上所有的點連線和平面A8CQ圍成的幾何體的外接球的表而積為

4(萬+1)~兀

D.若4=也，以尸為球心，為半徑的球面與四棱維P—ABCD各面的交線長為叵辿兀

22

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)線面角是斜線與平面內(nèi)直線所成角的最小角判斷A,根據(jù)平面平面Q46判斷B,根

據(jù)圓錐與其外接球軸截面求球的半徑判斷C,利用側面展開圖求球與側面交線長，再由球與底面交線為以

點A為圓心，、歷為半徑的四分之一圓弧即可判斷D.

【詳解】對A,如圖,

//''八/

BC

7TTTJT7T

由題意NPBA=-為直線與平面ABCD所成的角,所以必與AM所成的角不小于^，匕〉,，故A錯

4446

誤；

對B,PAmABCD,BCu平面ABC。，：.BC±PA,又BCLAB,PAoAB^A,PA,ABcz

面R4B，?面Q46，二點M要在直線B(「上，

因為AM=/LAZ)(O</1<1),所以不存在，故B正確.

對C,由題意知，幾何體為圓錐，作圓錐及外接壬龍的軸截面圖，如圖，

P

所以外接球的半徑R滿足收=(2—R)2+(22)2,解得R=%2+I，

所以外接球的表而積為5=4(萬+1)2兀，故Cif三確;

對D,將側面展開，知球與側面的交線為以點P為圓心，逐為半徑的圓與側面展開圖的交線，即圖中

EMF>

D

__

CC

因為tanNAPb=Y2=tanN8PC=」==也，所以NAPF=NBPC,

22V22

7T71

又ZAPF+ZFPB=—，所以ZFPC=ZBPC+ZFPB=-,

44

71

由對稱性知NEPC=NCPE,所以NFPE=一,

2

故EM尸的長為

又球與底面交線為以點A為圓心，V2為半徑的圓與底面ABCD的交線，

故長度為色xJ5,所以球面與四棱璀p-ABC。各面的交線長為叵辿兀，D正確.

22

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：因為平面與球的截面為圓面，交線為一段圓弧，所以球與棱錐各面的交線是圓上

一段，且圓的半徑為卡，所以只需求出圓心角，本題選項D可以沿側棱展開，棱錐各個側面放在同一

平面上，借助平面幾何知識及對稱性求出圓心角為百即可得解.

2

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.

13.若“x=a”是“sinx+cof<x>l”的一個充分條件，則々的一個可能值是.

【答案】:（只需滿足。€（2為1,2也+5）（左€2）即可）

【解析】

【分析】解不等式sinx+co&x>l,可得出滿足條件的一個a的值.

【詳解】由sinx+cosx>l可得V^sin"胃>1,則可/引>當，

所以，2阮+：<工+：<2阮+’（攵￡2）,解得2E<%<2攵兀+5（左eZ）,

因為“x=a”是“sinr+cosx>l”的一個充分條件，故。的一個可能取值為色.

4

故答案為：:（只需滿足+（女eZ）即可）.

14.某學校門口現(xiàn)有2輛共享電動單車，8輛共享自行車.現(xiàn)從中一次性隨機租用3輛，則恰好有2輛共享

自行車被租用的概率為.

7

【答案】—

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型列式結合組合數(shù)計算求解概率即可.

C2cd28x27

【詳解】恰好有2輛共享自行車被租用的概率為P=『2=——=—

Lx?Q，4U1J

7

故答案為：~.

15.如圖，菱形架A8CC是一種作圖工具，由四根長度均為4的直桿用錢鏈首尾連接而成.已知4,C可在

帶滑槽的直桿/上滑動：另一根帶滑槽的直桿。，長度為4,且一端記為從另一端用錢鏈連接在。處，

上述兩根帶滑槽直桿的交點尸處有一栓子（可在帶滑槽的直桿上滑動）.若將“，8固定在桌面上，且兩

點之間距離為2,轉動桿4D,則點尸到點8距離的最大值為.

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可得|P〃|+|~B|=4,

【詳解】如圖，連接BD,PB,BH,故點P的軌跡為以為焦點的橢圓，結合橢圓的性質(zhì)分析運算.

因為ABCO為菱形，則AC為線段的垂直平分線，故|P4=歸。，

所以|PH|+|P@=|「印+|^^\DH\=4>\BH\,

故點P的軌跡為以8,“為焦點的橢圓，

可得2。=4,2c=2,即。=2,c=1,

所以|「邳的最大值為a+c=3.

故答案為：3.

=2023(1-——)

n+1

[S“]=2023(1—-=2021

2021<2023(1-——)<2022

〃+1

<n<2022

2

1011</2<2021,/?eN+

故答案為：257；1011<?<2021,neN+

【點睛】方法點睛：本題綜合性較強，第一問即可直接寫出生，也可構造等比數(shù)列求出4,結合取整函

數(shù)，能夠分析出a=〃是解題的關鍵，據(jù)此利用裂項相消法求和，再由[S“]=2021建立不等式求解，屬

于難題.

四.解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在四邊形ABC。中，ABAD=~,ZACD=-,AD=6，S為二ABC的面積，且

23

2S=—也BABC.

(2)若cosZ)=L,求四邊形ABCO的周長.

2

2兀

【答案】(1)—

3

(2)2+2百

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形面積公式及數(shù)量積的定義化簡方程可得tan3,即可得解;

7T

(2)求出。=一，再由正弦定理求出A8=8C=1,即可得解.

3

【小問1詳解】

由2s=,

在.ABC中得2x,ABx8Csin8=->/3ABxBCcosB,

2

即sinB=-gcosB，可得tanB=-，

27r

因為3e(O,7r),所以8=3-.

小問2詳解】

ITT

由cosO=],￡)w(0,兀)，所以￡>=§,

所以ABC為等邊三角形，AC=6,/CAD=/,

一兀71

所以N8AC=—,/AC8=—,

66

V3xl

ACABAC-sin/AC8

由正弦定理知得AB=-------------

sinBsin/ACBsinfi73

T

故四邊形ABCD的周長為2+273.

18.己知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前〃項和為S“，且S，S2，S4成等比數(shù)歹ij.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

（2）若勿，〃eN”,求數(shù)列也“｝的最大項.

%,向+6

【答案】（1）%=2〃—1

,1

（2）b=-

-27

【解析】

【分析】（1）由等差數(shù)列前〃項和及等比中項列方程求出首項即可得出通項公式;

（2）化筒為，利用換元法由函數(shù)的單調(diào)性確定數(shù)列的最大項.

【小問1詳解】

由題意知S“=叫1）,

又因為s；=s/s”

即（2q+2『=a,-｛4a,+12）,

解得4=1，又d=2,

所以勺=2〃-1.

【小問2詳解】

,2n-l2n-l

由（1）知—（2n-l）（2n+l）+6-4n2+5'

設，=2九-1,（1=1,3,5）,

所以〃=上1,又因為2>0,

2

所以/（'）=?+1）2+5=產(chǎn)+2+6=,+9+2,（，=1，3,5,…）

t

因為函數(shù)在時遞減，

所以的最大值可能出現(xiàn)在，=1或r=3時,

1_

1=1時，n=

1+6+2-5'

111

1=3時，〃=2也.............———

3+2+2-79'

所以數(shù)列｛2｝的最大項為a=；

19.如圖，圓臺QQ上底面半徑為1,下底面半徑為近，A3為圓臺下底面的一條直徑，圓。2上點。

滿足AC=BC,是圓臺上底面的一條半徑，點RC在平面45。的同側，且pq〃8c.

（1）證明：0］。2〃平面PAC；

（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面P8C所成的正弦值.

4

條件①：三棱錐a-A3C的體積為1；條件②：與圓臺底面的夾角的正切值為J5.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）證明見解析

力2而

15

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意證明四邊形POQM為平行四邊形，得到「加〃。1。2,利用線面平行的判定定理

證明；

選擇條件①根據(jù)體積求出。選擇條件②根據(jù)線面角的正切值求出建立

（2）02=2,ZOXAO2OR=2,

空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

取AC中點連接如圖，

又PO/BC,PO]=；BC

又0?M〃BCQM=；BC,

故P0\〃O[M,PO\=O1M,

所以四邊形P。。2M為平行四邊形，

則PM//OR，又加u面PAC,ORU平面PAC,

故。儀平面PAC.

【小問2詳解】

選①：S——AC-BC=—x2x2=2,

ARC22

又。。2，平面4BC,

14

所以三棱錐a-ABC體積丫=§XSABCX002=-.

所以002=2.

選②：因為平面ABC,

所以“qAQ為A。與底面所成的角,

所以tan/RAO,=0,

又AQ=3,所以。。2=2；

以。z為坐標原點，O2B,O2C,O2O｝所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則有A（-V2,0,0）,B（V2,0,0）,C（0,V2,0）,P

-與'與'2

故A?=（夜,0,2）,

設平面PBC的法向量n=（x,y,z）,

而3C=b1V^,V^,0）,CP=,

ri-BC=-V2x+\Z2y=0,

故.72>/2

n?CP=---x———y+2z=0,

令z=l，解得x=y=0,得〃=（夜,也,1）,

設所求角的大小為氏

卜。|.“_|2+2|_2回

則sin?=|cosAO1,“=

.同店x店15

所以直線A。與平面PBC所成角的正弦值為拽°.

15

20.已知拋物線口)2=2內(nèi)(0>0)的焦點為尸，圓M:(x—4〃)2+y2=4〃2,拋物線上一點N到其準線

215/2

的距離等于其到圓心M的距離，且S

NFM32

（1）求拋物線C和圓M的方程；

（2）過拋物線上一點〃（氣，幾）作圓”的切線PAPB分別交拋物線于A,8兩點，已知直線AB的斜率

3

為-一，求點尸的坐標.

4

【答案】（1）拋物線C的方程為V=x,圓”的方程為（x—2）2+y2=i

（2）尸（；,—g）或P（4,2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意求出N點的橫坐標，再根據(jù)在拋物線上求出縱坐標，由三角形面積可得。，即可得

解；

（2）設直線A3的方程為y=—：x+O,聯(lián)立拋物線，由根與系數(shù)關

系求出乂+%=-。，再寫出圓的切線方程，得出九%為方程（義―1）9+2先丁+3-必=0的兩根，即

可借助根與系數(shù)的關系求解.

【小問1詳解】

由題意知|NF|=|NM],易知點知橫坐標為4+4旨=9口,故N（?,±±孕），

1

而7C_AP3ap_210由z2_1H|I_1

所以S.NFM=^x4p_gX—廠=32，所以〃=1，即p=5，

所以拋物線C的方程為＞2=X,圓M的方程為（X—2）2+V=1.

【小問2詳解】

設P（N；，%），A（y；，M）,B（y；,y2），直線A8的方程為y=一：》+6,

3,

y=—x+b,,°

由彳4得3y2+4y-4A=0,

y2=x,

,4

則ny+%=_§，

設直線24的方程為（y-yi）（y；-加一（y-%乂x-y；）=o,

整理得x_（%+y）y+%y=0,

2+%y,

因為附與圓相切，所以/,F=i，

，i+（%+x）~

整理得（乂-l）y；+2%y+3-巾=0,

同理可得（乂-1）￡+2%%+3-尤=。，

所以X,為為方程（乂-1）/+2為y+3-尤=0的兩根,

2yo

則必+必=一y七

2yo42

所以一亍合=一§，即2/一3%一2=0,

所以%=-；或%=2,經(jīng)檢驗符合題意.

所以P或P（4,2）

21.5G網(wǎng)絡是新一輪科技革命最具代表性的技術之一.已知某精密設備制造企業(yè)加工5G零件，根據(jù)長期檢

測結果，得知該5G零件設備生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布N（〃,b2）.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中

隨機抽取100件、測得產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖.根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，質(zhì)量指標值樣本數(shù)

據(jù)的方差的近似值為100,用樣本平均數(shù)元作為〃的近似值，用樣本標準差s作為cr的估計值.已知質(zhì)量

指標值不低于70的樣品數(shù)為25件.

頻率

附：尸(〃一cr?XW〃+CT)H0.683,P(/Z-2cr<X<//+2cr)?0.954,

P^-3a<X<〃+3o■卜0.997.

（1）求?。ㄍ唤M中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）若質(zhì)量指標值在［54,84］內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；

（3）已知該企業(yè)的5G生產(chǎn)線的質(zhì)量控制系統(tǒng)由“（〃eN,〃之3）個控制單元組成，每個控制單元正常工

作的概率為〃（0<〃<1）,各個控制單元之間相互獨立，當至少一半以上控制單元正常工作時，該生產(chǎn)線

正常運行生產(chǎn).若再增加1個控制單元，試分析該生產(chǎn)線正常運行概率是否增加？并說明理由.

【答案】（1）64

（2）0.819

（3）質(zhì)量控制系統(tǒng)有奇數(shù)個控制單元，增加1個控制單元設備正常工作的概率變?。毁|(zhì)量控制系統(tǒng)有偶數(shù)

個控制單元，增加1個控制單元設備正常工作的概率變大.答案見解析

【解析】

【分析】（I）根據(jù)題意求出再由頻率分布直方圖中頻率之和為1求人，計算均值即可；

（2）由產(chǎn)品質(zhì)量指標值X?N（64』（）2）,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解即可；

（3）分原控制單元的個數(shù)為偶數(shù)、奇數(shù)兩類情況分別討論，分別計算增加一個控制單元后正常工作概率，

作差比較即可得解.

【小問1詳解】

因為質(zhì)量指標值不低于70的樣品數(shù)為25件，所以

25

（a+0.005）x10=—

所以a=0.020,

因為(0.010+0.020+0+0.020+0.005)x10=1,

所以6=0.045,.

由題意，估計從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取100件的平均數(shù)為:

元=0.010>10><4°+50+0020x10〉50+6°+065x1?！?°+70+oo2OxlOx

222

70+8080+90

+0.005x10x64.

22

【小問2詳解】

由題意知4=64,

樣本方差『=100,故b=10,

所以產(chǎn)品質(zhì)量指標值X?N(64,l()2),

優(yōu)等品的概率P(54<X<84)=P(54<X<64)+P(64<X<84)

=P(〃-cr4X4〃)+P(〃MX4〃+2b)=gx0.683+；x0.954y0.819;

【小問3詳解】

假設質(zhì)量控制系統(tǒng)有奇數(shù)個控制單元,

設〃=2I(ZeN+?22),

記該生產(chǎn)線正常運行的概率為0,若再增加1個控制單元，

則第一類：原系統(tǒng)中至少有攵+1個控制單元正常工作，

其正常運行概率為M1)=衛(wèi)—0火_”(1—7?廣.

第二類：原系統(tǒng)中恰好有&個控制單元正常工作，新增1個控制單元正常工作，其正常運行概率為

p(2)=CMp*(l-p)ip=CkpN(l-p廣；

所以增加一個控制單元正常運行的概率為

PN=P*(1-〃廣+vi-產(chǎn)=/+c"(i—p)z

即—

因為。<?<1,所以<0,

即增加1個控制單元設備正常工作的概率變??；?

假設質(zhì)量控制系統(tǒng)有偶數(shù)個控制單元，設〃=2MkeN+次22),記該生產(chǎn)線正常運行的概率為％,若增

加1個元件，

則第一類：原系統(tǒng)中至少有A+1個元件正常工作，其正常運行概率為〃。)=〃?；

第二類：原系統(tǒng)中恰好有上個控制單元正常工作，新增1個控制單元正常工作，

kk

其正常運行概率為p(2)=C2kp(1-〃)"〃=(1一；

k+

所以增加一個控制單元正常運行的概率為P