2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步專(zhuān)題熱點(diǎn)難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)練：反比例函數(shù)

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步專(zhuān)題熱點(diǎn)難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

專(zhuān)題26.5反比例函數(shù)（章節(jié)復(fù)習(xí)+能力強(qiáng)化卷）

思維導(dǎo)圖知識(shí)索引

作圖象時(shí)要注意用

光滑的曲線連接

形如卜=：（k/0）的函數(shù)，

稱(chēng).，是、的反比例函數(shù)

x表達(dá)式

或0=比（比wo）

概念

?設(shè)反

?代比

待定系數(shù)法例

?解表達(dá)式的求法函

數(shù)

?寫(xiě)

利用比例系數(shù)〃的幾何意義

在實(shí)際生活中的應(yīng)用

反比例函數(shù)的比例系數(shù)一⑼亠亠一宀

確幾何意義的應(yīng)用罩烹甥它知現(xiàn)應(yīng)用

的綜口應(yīng)用

與一次函數(shù)結(jié)合的應(yīng)用

知識(shí)模塊精講講練

知識(shí)點(diǎn)1:反比例函數(shù)的概念

一般地，形如＞=丄（左為常數(shù)，k力0）的函數(shù)稱(chēng)為反比例函數(shù)，其中％是自變量,y是函數(shù),自變

X

量X的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).

細(xì)節(jié)剖析：

在丁=丄中，自變量X的取值范圍是X3。，y=-GHO）可以寫(xiě)成曠=尢宀（4"））的形式，也可

XX

以寫(xiě)成卩=上的形式.

知識(shí)點(diǎn)2：反比例函數(shù)解析式的確定

k

反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由于反比例函數(shù)丫=—中,只有一個(gè)待定系數(shù)上,因此只

X-

需要知道一對(duì)不y的對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出左的值，從而確定其解析式.

知識(shí)點(diǎn)3：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.反比例函數(shù)的圖象

k

反比例函數(shù)y=2（左wO）的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、

四象限.它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),反比例函數(shù)的圖象與X軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn),即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近

坐標(biāo)軸,但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交.

細(xì)節(jié)剖析：

觀察反比例函數(shù)y-上的圖象可得：x和y的值都不能為o,并且圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形,又是

X

中心對(duì)稱(chēng)圖形,它有兩條對(duì)稱(chēng)軸,對(duì)稱(chēng)中心是坐標(biāo)原點(diǎn).

①y=丄（4w0）的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)軸為y=X和y=-X兩條直線；

X

k

②y=—（左wO）的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)（0,0）；

X

注：正比例函數(shù)y=%x與反比例函數(shù)y=3,

x

當(dāng)后?七＜0時(shí)，兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)分?七＞0時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原

點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)

（1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)

當(dāng)上＞0時(shí)，］、y同號(hào)，圖象在第一、三象限,且在每個(gè)象限內(nèi)，丁隨」的增大而減小;當(dāng)左＜o(jì)時(shí)，

了、丁異號(hào)，圖象在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，丁隨犬的增大而增大.

（2）若點(diǎn)（a,方）在反比例函數(shù)y=丄的圖象上，則點(diǎn)（-a,-Z?）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)

x

于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較

正比例函數(shù)反比例函數(shù)

y=與(七N0)

解析式y(tǒng)=kx(kw0)

X

圖像直線有兩個(gè)分支組成的曲線（雙曲線）

左＞0,一、三象限；左＞0,一、三象限

位置

左＜0,二、四象限左＜0,二、四象限

k＞o,丁隨x的增大而增大k＞o,在每個(gè)象限，y隨x的增大而減小

增減性

k＜o(jì),丁隨工的增大而減小k＜o(jì),在每個(gè)象限，丁隨x的增大而增大

（4）反比例函數(shù)y=&中左的意義

X

①過(guò)雙曲線y=&（左W0）上任意一點(diǎn)作X軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為何亠

x

②過(guò)雙曲線y=K（左力0）上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為四.

x2

知識(shí)點(diǎn)4：應(yīng)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題須注意以下幾點(diǎn)

1.反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2.列出函數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍.

［能力拔高百分沖刺

一、選擇題(每題2分，共20分)

1.(本題2分)(2021春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)丫=%父-47小+3〃7((〃7>0)的圖像與無(wú)軸

交于A、8兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)C,連接AC、BC,若C4平分/0C3,則加的值為()

A.GB.72C.—D.叵

23

【答案】D

【分析】先求出A(l,0),B(3,0),C(0,3m),再證△COBsaADB,列比例式求解即可.

【詳解】解：：二次函數(shù)丁=如2-4如+3雙(加>0)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C,

當(dāng)y=0時(shí)，即0=如;2_4nxr+3刃，解得，Xi=l,x2-3,

.,.A(l,0),B(3,0),

當(dāng)x=0時(shí)，y=3m,

C(0,3m),

過(guò)點(diǎn)A作AD丄BD于點(diǎn)D,如圖,

.\AD=OA=1,

又；AB=2,

;.BD=G

ZCOB=ZADB,ZB=ZB,

/.△COB^AADB,

,COOB3m3

?.=--,即Bn———~~j=,

ADDB1V3

故選D

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)和相似三角形的判定與性質(zhì).正確的添加輔助線和證

-△ADB是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.（本題2分）（2022?河南鄭州?鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1,在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從A出

發(fā)，沿A-B-C方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作EF丄AE交CD于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路程為

x,CF=y,如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，給出下列結(jié)論：①a=3；②當(dāng)CF=I時(shí)，點(diǎn)

A.①②都對(duì)B.①②都錯(cuò)C.①對(duì)②錯(cuò)D.①錯(cuò)②對(duì)

【答案】A

【分析】由已知，AB=a,AB+BC=5,當(dāng)E在BC上時(shí)，如圖，可得△ABEsZ\ECF,繼而根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)可得y=-丄/+2。尤-5,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得-丄（g31+,+5"+5一5=丄,由此可得滸3,繼

aaa\2）al3

ioi7qi

而可得y=-公/+：尤-5,把y=i代入解方程可求得xi=j,x2=1,由此可求得當(dāng)E在AB上時(shí)，y=1時(shí)，

DD?乙乙I

x=?,據(jù)此即可作出判斷.

4

【詳解】解：由已知，AB=a,AB+BC=5,

當(dāng)E在BC上時(shí)，如圖,

?.?E作EF丄AE,

,AABE^AECF,

.ABCE

*BE-FCy

a_5-x

,x-ay

1。+5

—X2H----------x-5

aa

.ba+5.ifa+5^^a+5a+5_1

??=x=-『='—時(shí),

2a2ay2Ja23

75

解得@i=3,a2=—（舍去），

y——一—%—5,

33

wJI128口

當(dāng)y二一時(shí)，一二—三+-x-5,

4433

7Q

解得Xi=Q,x2=—,

當(dāng)E在AB上時(shí)，y二丄時(shí)，

4

c111

x=3=——，

44

故①②正確，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，弄清題意，正確畫(huà)出符合

條件的圖形，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（本題2分）（2023?山東聊城?統(tǒng)考三模）如圖，已知矩形/閱9的長(zhǎng)相為5,寬6。為4,￡是宛邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AELEF,EF交CD于息F,設(shè)B拄x,FOy,則點(diǎn)￡從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，能表示p關(guān)于x的函

數(shù)關(guān)系的大致圖象是

【答案】A

【分析】利用三角形相似求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行分析，即可求解.

【詳解】解：在矩形加力中，N分N俏90°,

:./CEF+/CF芹郷,

?:除4,BE=x,

：.C￡=4-x.

■:AELEF,

:./AEB+/CE六9b°,

???ZAEB^ZCFE.

又???/廬N卽90°,

AAEBs叢EFC,

.ABBE

9,~CE~~CF"

“5x

即^——，

4-xy

I14

?\y=—(4x-x)=—(x-2)2+—

555

14

???y與x的函數(shù)關(guān)系式為：j---(^-2)2+y(0W后4)

4

由關(guān)系式可知，函數(shù)圖象為一段拋物線，開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,y）,對(duì)稱(chēng)軸為直線尸2.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象問(wèn)題，根據(jù)題意求出函

數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

4.（本題2分）（2023?湖北襄陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某氣球內(nèi)充滿(mǎn)了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球

內(nèi)氣體的氣壓P（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，如圖，當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120kPa時(shí)，氣球

將爆炸，為了安全起見(jiàn)，氣球體積丫應(yīng)（）n?.

5454

【答案】A

【分析】由題意得尸與V成反比例，設(shè)氣球內(nèi)氣體的氣壓尸和氣體的體積V之間的函數(shù)關(guān)系式為

尸=￡（左＞0）,代入（1.6,60）,求出解析式，由尸W120,求出V的范圍即可.

【詳解】解：設(shè)氣球內(nèi)氣體的氣壓尸和氣體的體積V之間的函數(shù)關(guān)系式為尸="（左＞0）,

??,圖象過(guò)（1660）,

60=-^―,

1.6

解得，左=96,

.p-96

,,V'

???在第一象限內(nèi)尸隨V的增大而減小，

964

???當(dāng)PW120時(shí)，y＜120,即

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象上已知點(diǎn)的坐標(biāo),

利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.

5.（本題2分）（2023?吉林長(zhǎng)春??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)力在反比例函數(shù)y=；（x>0）

的圖象上，點(diǎn)6在y軸上，點(diǎn)C、點(diǎn)。在x軸上，AO與y軸交于點(diǎn)￡,若5"￡=3,則"的值為（）

A.3B.3A/3C.6D.6g

【答案】C

【分析】作AF丄x軸于F,先證明四邊形廠是矩形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到S平行四邊映BCD=2SBCE=6,

再根據(jù)矩形ABOF與平行四邊形A3CD面積相等即可求出陽(yáng)=6進(jìn)而求解.

【詳解】解：作AF丄x軸于廣，如下圖所示：

在平行四邊形ABCD中，ABCD,

???CD丄y軸，

AB丄y軸，

尸丄x軸，30丄。尸軸，

四邊形ABO尸是矩形，

???QV.BCE~=）3，

S平行四邊形ABCD=2SBCE=6,

S矩形ABOF=S平行四邊形ABC。，

??$矩形4B0F=6,

又：S矩形4B0f=ABxBO，

.,.悶=6,

?.?點(diǎn)/在第一象限，

：.k=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)中4的幾何意義：過(guò)反比例函數(shù)上任一點(diǎn)作x軸和y

軸的垂線，則兩個(gè)垂足、原點(diǎn)及該點(diǎn)所圍成的矩形面積等于反比例函數(shù)的I禮得出S平行四邊形ABC?=2S皿=6,

是解答本題的關(guān)鍵.

6.（本題2分）（2023春?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C在反比

例函數(shù)＞=+（左＞0）的圖象上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B、D在反比例函數(shù)y=§優(yōu)2＜。）的圖象上.已知點(diǎn)A的

坐標(biāo)為（3,2）,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為石，若四邊形A3CD為矩形，則性的值為（）

A.-2y/2B.-2A/5C.-2屈D.-2岳

【答案】C

【分析】連接OA.OB,根據(jù)四邊形A3CD為矩形,可得OA=OB,根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,2），可求得OA=OB=

萬(wàn)，根據(jù)點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為石，即可求得點(diǎn)5的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求心的值.

【詳解】解：如圖，連接。4、OB,

k

四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)＞=：（匕＞0）的圖象上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

OA=OB,

.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,2）,

OA=J32+2、='s/T^，

OB=y/l3,

點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為石，點(diǎn)8在第四象限，

點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為713-5=-提=-2&

k2的值為-20XA/5=-2V10，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用反比例函

數(shù)的圖象和性質(zhì)、矩形的性質(zhì).

7.（本題2分）（2023?湖北恩施??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2尤+4與x軸、7

軸分別交于48兩點(diǎn)，以為邊在第二象限作正方形ABCD,點(diǎn)，在雙曲線y=A上，將正方形ABCD沿

X

X軸正方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)C恰好落在此雙曲線上，則a的值是（）

【答案】B

【分析】作CE丄y軸于點(diǎn)E,交雙曲線于點(diǎn)G.作小丄X軸于點(diǎn)尸，易證絲FD陰EBC,求得4B

的坐標(biāo)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以求得C、。的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，

進(jìn)而求得平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)，貝I」。的值即可求解.

【詳解】解：作CE丄y軸于點(diǎn)E,交雙曲線于點(diǎn)G,作。尸丄x軸于點(diǎn)

在y=2x+4中，令x=0,解得：y=4,

.?.8的坐標(biāo)是(。，4).

令y=。，解得：x=-2,

r.A的坐標(biāo)是(-2,0).

:.OB=4,04=2.

:四邊形A3CD是正方形，

ZBAD=90°,AD=AB,

ZBAO+ZDAF=90°,

又；直角,ABO中，ZBAO+ZOBA^90°,

:.ZDAF=ZOBA,

在,和△FDA中，

ZABO=ZDAF

<ZBOA=ZAFD,

AB=DA

OAB^,FDA(AAS),

同理可證△Q鉆絲△￡?(7,

:.AF=OB=EC=4,DF=OA=BE=2,

.:￡＞的坐標(biāo)是(-6,2),C的坐標(biāo)是(T，6).

.,.k=6x2=—12,

，反函數(shù)的解析式是：y=-上19.

12

把>=6代入y亠得：x=-2.

X

a=—2—（—4）=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)

法求函數(shù)的解析式，正確求得C、。的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

8.（本題2分）（2023春?湖北襄陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于反比例函數(shù)、=-纟，下列結(jié)論：

X

①圖象分布在第二，四象限；

②當(dāng)x<。時(shí)，y隨工的增大而增大；

③從圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積都是6；

④若點(diǎn)A（占,M）,3（*2，%）都在圖象上，且%</，則

其中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確.

【詳解】解：?反比例函數(shù)>=-纟，-6<0,

,該函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，故①正確;

當(dāng)x<o時(shí)，y隨x的增大而增大，故②正確；

當(dāng)根據(jù)上的幾何意義可知，③正確；

若點(diǎn)A（X，yJ,Ww，%）都在圖象上，且為＜%,則點(diǎn)A和點(diǎn)B都在第二象限或都在第四象限時(shí)以〈為，點(diǎn)

A在第二象限，點(diǎn)B在第四象限時(shí)%＞%，故④錯(cuò)誤；

故選：A.

k

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)y=*（左是常

X

數(shù)，%W0）的圖象是雙曲線，當(dāng)左＞0,反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨X

的增大而減?。划?dāng)上＜0,反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增

大.

9.（本題2分）（2023秋?甘肅蘭州?九年級(jí)校考期末）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y=之和y=*在第一象限的

尤x

圖象分別是和Cz，設(shè)點(diǎn)戶(hù)在G上，叢丄X軸于點(diǎn)4交a于8貝!]PO3的面積為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y」（人0）系數(shù)上的幾何意義得到S9,SA0B,然后利用SPOB=SAOP-SA.進(jìn)

X

行計(jì)算即可.

【詳解】解：???如丄工軸于點(diǎn)4交于點(diǎn)民

**?S^AOP=,x4=2,SAOB=，x2=1，

SPOB=SAOP-SAOB=2-1=1.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)y=A（z#o）系數(shù)％的幾何意義：從反比例函數(shù)y=勺（左二。）圖象上任意一

XX

點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為網(wǎng).

2

10.（本題2分）（2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)/在函數(shù),=一（％＞0）的圖象上，點(diǎn)6在函數(shù)

3

>=—（兀>0）的圖象上，且軸，5c丄九軸于點(diǎn)G則四邊形ABCO的面積為（）

X

-----——°------------->

0CX

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)54交y軸于點(diǎn)。，根據(jù)反比例函數(shù)上值的幾何意義得到5厶也。=/X2=1,S矩形OCBD=3,根據(jù)

四邊形ABCO的面積等于S矩形OC5D-SADO,即可得解.

【詳解】解：延長(zhǎng)54交y軸于點(diǎn)。，

-of-CX

AB〃x軸，

..?。4丄y軸，

..?點(diǎn)/在函數(shù)y=—（尤>0）的圖象上，

X

「?=當(dāng)X2=1,

3

??5C丄x軸于點(diǎn)。，05丄y軸，點(diǎn)8在函數(shù)y=—（%>0）的圖象上，

X

??S矩形0c5。=3,

???四邊形ABCO的面積等于S矩形g加-S的=3-1=2；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用.熟練掌握反比例函數(shù)中上的幾何意義，是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共20分）

11.（本題2分）（2022?福建南平?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，ABC

的頂點(diǎn)均落在坐標(biāo)軸上，SLAC=BC,將線段AC沿x軸正方向平移至DE,點(diǎn)〃恰好為中點(diǎn)，DE與BC

交于點(diǎn)廣，連接AE、AF.若△AEF的面積為6,點(diǎn)￡在函數(shù)>=勺4#0）的圖像上，則次的值為.

【答案】16

【分析】設(shè)6點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（O,c），由已知條件可得A（-。，0）,-

分別求出直線BC與直線QE的解析式，聯(lián)立方程組，可求得點(diǎn)尸坐標(biāo)，再結(jié)合三角形面積公式可得出ac的

值，最后利用反比例函數(shù)中孑的幾何意義可得出答案.

【詳解】解：???ACuBC,

.工BC為等腰三角形，

OA=OB,

設(shè)6點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，。），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c）,

A（-a,0）,

設(shè)直線AC的解析式為y=履+8，

把A（-a,0）,C（0,c）代入>=厶+。，

,_c

得F,

b=c

直線AC的解析式為y=￡x+c,

a

..?線段OE是由線段AC沿x軸正方向平移得到，且。為中點(diǎn)，

設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n,

1

將C］，代入y=痛+〃，

2

c

m=—

a

得得

c

n=——

2

直線OE的解析式為了=￡》-《

a2

同理可得直線3c的解析式為y=-￡x+C,

a

ccc3

由一x—=—X+c,得

a2a

所以b

13

??Q—Q-Q=—X—QX=6,

?°AEF~°ADE°AFD22

3

—ac=16,

2

..?點(diǎn)￡在函數(shù)y=［伍xO）的圖像上,

3

k=—ac=16,

2

故答案為：16.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)A的幾何意義、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握反比例函數(shù)中A

的幾何意義是解答本題的關(guān)鍵.

12.（本題2分）（2023秋?浙江金華?九年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？奸_(kāi)學(xué)考試）菱形A3CD在平面

直角坐標(biāo)系中如圖1所示，已知NC=45。，CD〃x軸，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-1.直線y=x向左平移0個(gè)單位，

在平移過(guò)程中，被菱形截得的線段長(zhǎng)為〃，〃與0之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則過(guò)點(diǎn)8的反比例函數(shù)表達(dá)

式為.

【分析】觀察所給圖象可知，當(dāng)m=2時(shí)，平移后圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,由此求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；當(dāng)平移后圖象在點(diǎn)

8和點(diǎn)，之間時(shí)，被菱形截得的線段長(zhǎng)〃=2,由此求出菱形邊長(zhǎng)，由此可解.

【詳解】解：直線y=x向左平移加個(gè)單位后的解析式為，=*+%,當(dāng)平移后圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)戸時(shí)如下圖所示,

直線y=x+7〃與AD交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)8作3/丄CD于點(diǎn)F,

由圖2知，當(dāng)m=2時(shí)，平移后圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)G即直線y=x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)G

點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1,y=-i+2=i,

，點(diǎn)，的坐標(biāo)為(-M).

由圖2知，當(dāng)平移后圖象在點(diǎn)6和點(diǎn)，之間時(shí)，被菱形截得的線段長(zhǎng)〃=2,即亜=2,

AB〃CD〃x軸，

???直線V=x+機(jī)與43的夾角NABEH5。，

又；菱形ABCD中，ZA=ZC=45°,

ZAEB=90°,

厶4￡8是等腰直角三角形，

AB=?BE=20，

BC=AB=2應(yīng),

ZC=45°,BFLCD,

???/C是等腰直角三角形，

CF=BF=2>/2x—=2,

2

.??點(diǎn)6的坐標(biāo)為(—1—2,1+2),即2(—3,3)

設(shè)過(guò)點(diǎn)8的反比例函數(shù)表達(dá)式為丁=：(4*0),

將5(—3,3)代入,得：左=—3x3=—9,

9

???點(diǎn)B的反比例函數(shù)表達(dá)式為y=—-,

x

9

故答案為：y=--.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖象，一次函數(shù)圖象的平移，求反比例函數(shù)解析式，等腰直角三角

形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是求出菱形邊長(zhǎng)和點(diǎn)c的坐標(biāo).

13.（本題2分）（2023?安徽六安??？级＃┤鐖D，反比例函數(shù)y=-，（x<0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4反比例函

bo

數(shù)>（無(wú)<0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,A3所在直線垂直x軸于點(diǎn)C,M是y軸上一點(diǎn)，連接MB,若%MAB=~>

則k的值等于.

【答案】-2.4

【分析】首先設(shè)OC=7〃，依題意得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)均為一〃?，于是可表示出點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可

9

表示出線段A3的長(zhǎng)，然后依據(jù)若以“初=不可求出％的值.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為m，則OC=-機(jī)，

依題意得：點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)均為一相，

.?點(diǎn)A在反比例函數(shù)丁=-纟的圖象上，

X

???點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為：-纟，

m

?點(diǎn)5在反比例函數(shù)y=&的圖象上，

x

點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為:y,

o

…6kZ+6

二.AB=------=------,

mmm

-2

s-5，

19

-ABOC=-,

25

1,k+6、/、9

n即n：—,（-----）?（一機(jī)）=—，

2m5

解得：k=-2.4,

故答案為：-2.4.

k

【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)y=勺中，上的幾何意義，解題的關(guān)鍵是設(shè)加，并用加的代數(shù)式

X

表示出線段A5的長(zhǎng).

14.（本題2分）（2022?廣東珠海?校考三模）兩個(gè)反比例函數(shù)》=丄和y=—在第一象限內(nèi)的圖象如圖所

xx

k7?

示，點(diǎn)夕在y=上的圖象上，PC丄x軸于點(diǎn)G交丁=女的圖象于點(diǎn)4丄y軸于點(diǎn)〃交y=4的圖象于

XXX

點(diǎn)6,當(dāng)點(diǎn)戶(hù)在>=纟的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①△OD8與亠?的面積相等；②四邊形的面積

不會(huì)發(fā)生變化；③以與PB始終相等；④2<%<4.其中一定正確的是.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是根據(jù)反比例函數(shù)孑的幾何意義，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析,

即可得出正確答案.

【詳解】解：由于點(diǎn)/和點(diǎn)〃均在同一個(gè)反比例函數(shù)y=4的圖象上，

X

所以S.ODB=5孫=1，OCA=~A>，=1'

故△OD3與厶。。的面積相等，故①正確；

:矩形OCPD的面積是上而/XODB、厶。。為定值1,則四邊形的面積只與孑有關(guān)，

...四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化，故②正確；

只有當(dāng)四邊形OCPD為正方形時(shí)滿(mǎn)足上4=PB,

.?.以與PB不一定相等，故③錯(cuò)誤；

由圖象可知：當(dāng)x=2時(shí)，y<2,則上<4,

又?.?當(dāng)x取同一個(gè)值時(shí)，y=*的圖象在y=女的圖象的上方，

XX

故左>2,

：.2<k<4,故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)y=:（左#0）中左的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任

意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為陶，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做

此類(lèi)題一定要正確理解k的幾何意義.

15.（本題2分）（2023春?江蘇淮安?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將反比例函數(shù)y=*（x>0）的圖象繞坐標(biāo)原

點(diǎn)（0,0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，旋轉(zhuǎn)后的圖象與X軸相交于/點(diǎn)，若直線y=gx與旋轉(zhuǎn)后的圖象相交于昆則OAB

的面積為.

外

【答案】在以也住6

333

【分析】反比例函數(shù)>=*（X>。）的圖象上點(diǎn)E繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)E作防丄x軸于尸，

得出。4=。￡=w，作3c丄x軸于C,設(shè)并且△OBC是由_OKH繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到

的，則OH=OC=x,從而H—x,jx，可證出oKGH是等腰直角三角形，得K的坐標(biāo)，代入y=—（x>0）

I22丿x

從而得出x的值，進(jìn)而求得3C的長(zhǎng)度，利用三角形面積公式解決問(wèn)題.

【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)>=9（x>0）的圖象上點(diǎn)E繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。得點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)E作EF丄x

X

軸于P,

設(shè)中,二，

QNEO戶(hù)=45。，

:.EF=OFf

5

a

a>0,

/.a=y/5，

OA=OE=JlO,

作BC丄x軸于C,AOBC是由aOKH繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的，

.?.點(diǎn)/在原反比例函數(shù)圖象上.

設(shè)

.-.OH=OC=x,

KH^BC=-x,

2

:.KG=GH=-x,

4

.J亞“亞叵亠6\Bnd3正，

..K.\----x-------Xf-----x-\------x.即K----XJ----------x

(2424丿(44

.V23A/2.

-----x-------x=5，

44

解得方迥或X一迥(舍),

33

故答案為：巫.

3

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，反比例

函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，求得8點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

16.（本題2分）（2023春?黑龍江大慶?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A，4,4…在反比例函數(shù)y=j尤>0）

的圖象上，點(diǎn)與，B?B3,…紇在y軸上，且/瓦。41=/及44=/"&4=……，直線y=x與雙曲線>=丄

X

交于點(diǎn)4，片A丄。4，與&丄與人,鳥(niǎo)人丄紇4…，則8”（〃為正整數(shù)）的坐標(biāo)是.

J

54

5

3

8

52

1

【答案】（。,26）

【分析】如圖，過(guò)4作4"丄y軸于H,求解A?！唬?，結(jié)合題意，片&為，&A鳥(niǎo)，…，都是

等腰直角三角形，想辦法求出。與，OB2,OB3,OB&,…,探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過(guò)A作4冃丄y軸于“，

1

y=—

vr%,其中x>o,

y=x

f%—1,、

解得：[=],即A(L1),

.?.OH=AlH=l,

：./AQH=45。，

.?…。44是等腰直角三角形,

OBX=2；

同理可得：一片層厶3鳥(niǎo)，…，都是等腰直角三角形,

?

歹/

54

83

2

55-

1

T

/7Z

------7厶---------------------------?

x\oX

同理設(shè)4（粧加+2）,

m（2+m）=l,

解得m=0-1,（負(fù)根舍去）

???。巴=2+2亞-2=2血，

同理可得：OB3=2y/3,

OBn=2>J~n,

???&（0,2冊(cè)）.

故答案為：（0,2冊(cè)）.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程的解法，規(guī)律型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考選擇題中的壓軸題.

4

17.（本題2分）（2023?浙江溫州?校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=—（x>0）

x

的圖象經(jīng)過(guò)平行四邊形。RC的頂點(diǎn)4將該反比例函數(shù)圖象沿y軸對(duì)稱(chēng)，所得圖象恰好經(jīng)過(guò)5c中點(diǎn)

【答案】10

【分析】設(shè)《力,根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行得到點(diǎn)6的縱坐標(biāo)*根據(jù)圖象沿y軸對(duì)稱(chēng)所得圖

象為y=-:及中點(diǎn)性質(zhì)得到”[-2兌彳]，根據(jù)點(diǎn)。、力的水平距離為x及平行四邊形對(duì)邊平行且相等，推出

得至IJAB=』x

點(diǎn)、欣8的水平距離為推出得到S°ABC=10-

2I2尤2

4

【詳解】???>=—（x>0）的圖象經(jīng)過(guò)平行四邊形。1BC的頂點(diǎn)4

x

設(shè)厶（羽-1,

?.?AB.%軸，

4

???點(diǎn)戸的縱坐標(biāo)為一，

x

44

???y=—圖象沿了軸對(duì)稱(chēng)所得圖象為y=—-,這個(gè)圖象恰好經(jīng)過(guò)中點(diǎn)M,

xx

??,點(diǎn)。、/的水平距離為X,OA//BC,OA=BC,

???點(diǎn)B、。的水平距離也為x,

丄點(diǎn)從6的水平距離為1%,

2

A.B=xH—x——x,

22

54

---SOABC=ZT--=10-

2x

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，軸對(duì)稱(chēng)，平行四邊形.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖象

上點(diǎn)的性質(zhì)，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形邊的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì).

18.（本題2分）（2023春?山東日照?九年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形QBCD的邊

在x軸上，反比例函數(shù)>=—（尤>0）的圖像經(jīng)過(guò)菱形對(duì)角線的交點(diǎn)A,且與邊8C交于點(diǎn)尸，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

x

（8,4）,貝I]08尸的面積為

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)求出點(diǎn)A坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)的一般形式后求得左值即可確定函

數(shù)的解析式；過(guò)點(diǎn)A作厶M丄無(wú)軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。作CN丄入軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)/作切丄工軸于〃，求得點(diǎn)B

的坐標(biāo)，然后求得直線3c的解析式，確定直線和雙曲線的交點(diǎn)b坐標(biāo)，然后根據(jù)求解即

可.

【詳解】解：；四邊形OBCD是菱形，

，OA=AC,

:點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8,4),

/.A(4,2),

把點(diǎn)44,2)代入反比例函數(shù)y=纟，解得左=8,

X

Q

...反比例函數(shù)的解析式為y=2；

X

過(guò)點(diǎn)厶作A〃丄x軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)C^、CN丄x軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)尸作丄x軸于如下圖，

貝i]CV=4-0=4,

設(shè)O3=x,貝U3C=C?=x,BN=S-x,

在Rt^CNB中，可有BM+CN2=BC2,即（8-X>+42=Y,

解得x=5,

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),

設(shè)直線3c的函數(shù)表達(dá)式為丁=依+6,直線3c過(guò)點(diǎn)8（5,0）,C（8,4）,

4

a———

0=5Q+Z?3

4=8〃+獷解得

720

b=-----

3

...直線2C的解析式為y=*等,

8

y=-x=6

X

解（不合題意,舍去)或＜4,

y=-

4

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(6,§),

/.S=-OBFH=-x5x-=—.

O0BF2233

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、菱形的性質(zhì)、勾股定理、反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合應(yīng)用等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是正確確定點(diǎn)B坐標(biāo)，從而確定直線的解析式.

19.（本題2分）（2022?福建三明?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）反比例函數(shù)必=幺（a>0,。為常數(shù)）和%=?在第

XX

一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)M■在%=2的圖象上，MC丄X軸于點(diǎn)C,交％=9的圖象于點(diǎn)A；9丄y軸

XX

于點(diǎn)D,交％=幺的圖象于點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)M在％=2的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：

XX

①SODB=SOCA；

②四邊形。4M3的面積為2-〃；

③當(dāng)。=1時(shí)，點(diǎn)A是MC的中點(diǎn);

④若S四邊形0AM§—SQDB+SOCA,則四邊形0cMe為正方形.

其中正確的是.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）

【答案】①②③

【分析】①由反比例函數(shù)的幾何意義可得答案；②S四邊形=S矩形DMCO-SBDO-AOC，進(jìn)行計(jì)算即可得到

答案；③連接OM,根據(jù)已知條件得到％=烏=丄，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；④由①②知，

XX

2-a=a,解得：a=l,得到0C不一定等于從而得出結(jié)論.

【詳解】解：①，MC丄x軸于點(diǎn)C,交3=4的圖象于點(diǎn)A；9