2023-2024學(xué)年寧夏吳忠市高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)（文）試題（含答案）

2023-2024學(xué)年寧夏吳忠市高二上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)（文）

試題

一、單選題

1.已知集合A={T,0,l,2},8={x∣0<x<3},則AB=（）

A.{1,2}B.{0,l}C.{-l,l,2}D.{-1,0,1）

【正確答案】A

【分析】利用集合的交集運(yùn)算即可.

【詳解】由題可知，AB={l,2},

故選:A.

2.從編號(hào)為1~IOO的樣品中利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取10件樣品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若所抽取的

樣本中包含編號(hào)為2的樣品，則一定不會(huì)被抽到的樣品的編號(hào)是（）

A.28B.42C.52D.82

【正確答案】A

【分析】首先求出抽樣間隔，即可判斷.

【詳解】解：從編號(hào)為1~100的樣品中利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取10件樣品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，

則抽樣間隔為100÷10=10,因?yàn)樗槿〉臉颖局邪幪?hào)為2的樣品，

則按照系統(tǒng)抽樣的方法可知編號(hào)尾數(shù)為2的樣品會(huì)入樣，

則編號(hào)為28的樣品一定不會(huì)被抽到.

故選：A

3.若a>b,ab≠0,則下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b1B.ac>bcC.?>?D.a+c>b+c

ab

【正確答案】D

【分析】通過舉例的方法判斷A、B、C,根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對(duì)于A.取"1/=-2,則加，故錯(cuò)誤：

對(duì)于B.取c=0,則αc=6c,故錯(cuò)誤；

對(duì)于C.取α=2,6=l,則故錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于D.由不等式的性質(zhì)“在不等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變”可知D正

確，

故選：D.

4.甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員在5場(chǎng)比賽的得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別

為X甲、X乙，則下列判斷正確的是()

?乙

6715

82868

4033

A.Xπ,>X乙，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定B.X.>X乙,乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

C.X,p<X乙，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定D.X甲<Xz,,乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

【正確答案】D

【分析】計(jì)算出甲、乙得分的平均值與方差，可得出結(jié)論.

…心….也時(shí)一r/曰V16+17+28+30+34CUV15+28+26+28+33M

［詳解］由莖葉圖可得X中=-----------------=25,X乙=------------------二26,

甲得分的方差為%;(16-25)2+(17-25)2+(28—25)2+(30-25?+(34-25丫,

乙得分的方差為4=(15-26R(28-26)［+(26-26)2+(33-26『二??e

所以，X甲<X乙，5?>?,故XFP<X乙，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，

故選：D.

5.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群，是中國(guó)現(xiàn)

存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢(shì)鑿石

分階而建，由下而上逐層增高，依山勢(shì)自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,

若該數(shù)列從第5項(xiàng)開始成等差數(shù)列，則該塔群共有().

A.10層B.11層C.12層D.13層

【正確答案】C

【分析】設(shè)該數(shù)列為｛%｝,塔群共有，層，則數(shù)列｛4｝為1,3,3,5,5,7,…，該數(shù)列

從第5項(xiàng)開始成等差數(shù)列，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)求和公式可得12+〃(〃-4)=1()8,從而可求

出〃的值

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列為｛%｝，塔群共有〃層，

即數(shù)列有〃項(xiàng)，數(shù)列｛4｝為1,3,3,5,5,7,

則S*=l+3+3+5=12.

該數(shù)列從第5項(xiàng)開始成等差數(shù)列，且％=5,必=7,則其公差4=2,

貝IJ有S11-S4=a5+a6+L+all=5x(?-4?)+S5)*2=吁—4),

又S,,=108,則有12+〃(〃-4)=108,

即”(〃-4)=96,解得〃=12或”=-8(舍去)，貝∣]"=12.

故選：C.

2

6.在二ABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,則SinB=()

A.-√3B.>6C.-√5D.-45

9494

【正確答案】C

【分析】先利用余弦定理求出AB,由同角平方關(guān)系求SinC,然后結(jié)合正弦定理即可求解.

2

【詳解】COSC=AC=4,BC=3,由余弦定理得：

2

AB2=AC2+BC2-2AC?BCcosC=16+9-2×4×3×-=9

3

.?.AB=3,

cosC=∣.?.sinC=@，由正弦定理得：

33

ACAB4x好，/7

..34√5

sinBSinC..sinBd=------=-----

39

故選：C.

7.已知直線y=履+2與圓C:/+y2=2交于A,8兩點(diǎn)，且I明=2,則￠=()

A.昱B.士立C.√3D.+√3

33

【正確答案】D

【分析】利用圓的弦長(zhǎng)、弦心距、半徑之間的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解即

可.

【詳解】因?yàn)閳AC:d+y2=2的圓心C(0,0),半徑r=&,弦長(zhǎng)|做=2,

所以C到直線V=依+2的距離d==

2L

即不K=1,解得％=±g.

故選：D.

8.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，是由中國(guó)舉辦的國(guó)際性?shī)W林

匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.小林觀看了本屆冬奧會(huì)后，打算從冰壺

、短道速滑、花樣滑冰、冬季兩項(xiàng)這四個(gè)項(xiàng)目中任意選兩項(xiàng)進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，則小林沒有選擇

冰壺的概率為()

冬季兩項(xiàng)

【正確答案】C

【分析】記冰壺、短道速滑、花樣滑冰、冬季兩項(xiàng)分別為A,B,C,D,用列舉法寫出所有的

基本事件及沒有選擇冰壺的所有事件，從而求出沒有選擇冰壺的概率.

【詳解】記冰壺、短道速滑、花樣滑冰、冬季兩項(xiàng)分別為A，B,C,D,

則從這四個(gè)項(xiàng)目中任選兩項(xiàng)的情況有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6種情況，

其中沒有選擇冰壺的有BC,BD,CD,共3種情況，

所以所求概率為=3=1

62

故選：C.

9.哈六中數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?yōu)榱擞?jì)算六中數(shù)學(xué)組二維碼中黑色部分的面積，在如圖一

個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有225個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估

計(jì)黑色部分的面積為

A.11B.10C.9D.8

【正確答案】C

【分析】設(shè)黑色部分的面積為S,利用幾何概型概率計(jì)算公式列出方程能估計(jì)黑色部分的面

積.

【詳解】設(shè)黑色部分的面積為S,

正方形二維碼邊長(zhǎng)為4,

在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有225個(gè)點(diǎn)，

S225

；?/=衾，解得S=9,

4×4400

據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為9,故選C.

本題主要考查幾何概型概率公式以及模擬實(shí)驗(yàn)的基本應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題，求不規(guī)則圖形的面

積的主要方法就是利用模擬實(shí)驗(yàn)，列出未知面積與已知面積之間的方程求解.

10.已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是（計(jì)算平均值時(shí)

同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（）

【正確答案】B

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

【詳解】由圖可知:各組的頻率依次為030.4,0.15,0.1,0.05,

可得［60,70）的頻率最大，故眾數(shù)的估計(jì)值為65,

：0.3<0.5,0.3+0.4=0.7>0.5,故中位數(shù)位于［60,70)內(nèi)，

設(shè)中位數(shù)為則0.3+0.040x(α-60)=0?5,解得。=65,

平均數(shù)［=0.3x55+0.4x65+0.15x75+0.1x85+0.05x95=67，

故選：B.

11.已知函數(shù)/(X)=優(yōu)「+1(α>0且“≠l)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于Hy

1?

的方程M+“y=4(m>0,">0),則一+一的最小值為()

mn

A.9B.24C.4D.6

【正確答案】C

【分析】由題意可得2%+〃=2,利用基本不等式求最值即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“處=4+13>0,"1)圖象恒過定點(diǎn)(4,2)

又點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于%》的方程如+〃>=4(m>0,〃>0),

所以4m+2n=4,即2m+n=2

所以，+2=??2相+")(-!-+2)=1(4+—+-^-)

mn2mn2nm

.=(4+2、隹N)=4,當(dāng)且僅當(dāng)%=巴即"=2m=l時(shí)取等號(hào)；

2?nmnm

所以'\+上2的最小值為4.

mn

故選：C.

12.已知一ASC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為α,h,c,且SinA,sinB,SinC成等比

數(shù)列，則角B的取值范圍為()

a?Mb?(?

U(fJπ旬π^∣d?hπ,2兀)、

【正確答案】A

【分析】由SinA、sinB.Sine依次成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正

弦定理化簡(jiǎn)，再利用余弦定理表示出CosB,把得出關(guān)系式代入并利用基本不等式求出cos8

的范圍，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)確定出8的范圍即可.

【詳解】在工ASC中，SinA、Sin3、SinC依次成等比數(shù)列，

/.sin2B=SinAsinC,

利用正弦定理化簡(jiǎn)得從="c,

22

由余弦定理得COSB="+C"-'=a+c-ac2ac-ac=?（當(dāng)且僅當(dāng)。=C時(shí)取等號(hào)），

2ac2ac2ac2

因?yàn)?<8<乃，

則B的范圍為（。，g,

故選：A.

本題主要考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的

關(guān)鍵.

二、填空題

【正確答案】6

【分析】根據(jù)條件分支求值即可.

【詳解】??Z=3<10,貝IJy=2α=6.

故6

x+y>2

14.若實(shí)數(shù)X,丫滿足約束條件-x+2y44,則z=2x-y的最大值是.

y>0

【正確答案】8

【分析】由題中條件作出平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義分析運(yùn)算.

x+y>2

【詳解】由τ+2>≤4,作出平面區(qū)域，如圖所示，

y≥0

7z=2x-y,BRy=2x-z,表示斜率為2,橫截距為1?的直線,

當(dāng)直線y=2x-z過點(diǎn)A(4,0)時(shí)，橫截距取到最大值,

故z=2x-y的最大值是Znm=2χ4-0=8.

X,則事件“l(fā)og.3x-2≥0”發(fā)生的概率為.

【正確答案】?7

【分析】由對(duì)數(shù)不等式的解法得：x≥9,由幾何概型中的線段型：P(A)=與zW=??,得

16-115

解.

【詳解］解：解不等式bg3X-2≥O得：x≥9,設(shè)事件A為“l(fā)og3X_2≥0”,

由幾何概型中的線段型可得：P(A)=-1^6--49=^7

16-115

7

故答案為不

本題考查了對(duì)數(shù)不等式的解法及幾何概型中的線段型，屬基礎(chǔ)題.

三、雙空題

16.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)他們根據(jù)沙?；蛐∈铀?/p>

排列的形狀把數(shù)分成許多類，下圖中第一組的1,3,6,10稱為三角形數(shù)，第二組的1,5,

12,22稱為五邊形數(shù),則三角形數(shù)的第7項(xiàng)為，五邊形數(shù)的第〃項(xiàng)為.

(一組)(二組)

【正確答案】28

【分析】根據(jù)其圖形規(guī)律得出其通項(xiàng)，即可得出答案.

【詳解】三角形數(shù)的每一項(xiàng)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，則為=當(dāng)W(〃eN),

則三角形數(shù)的第7項(xiàng)為%=28,

五邊形數(shù)的第一項(xiàng)為I=郊t二?,第二項(xiàng)為5=3.2?二2,第三項(xiàng)為的=3x3,二3,

222

則五邊形數(shù)的第〃項(xiàng)為

故28,3xζ~z7(n∈N^).

四、解答題

17.在..ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為。，b,c,已知“cos8=J的SinA.

⑴求8；

(2)若α=l,c=√J,求b的值.

【正確答案】(I)Bq

0

(2)6=1

【分析】(1)由已知結(jié)合正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求tanB,進(jìn)而可求8；

(2)由已知結(jié)合余弦定理即可直接求解.

【詳解】(I)“cosB=√?>sinA,，由正弦定理得SinACoS8=KSinBSinA,

A是三角形內(nèi)角，sinA≠O,

?"?tanB=>B是三角形內(nèi)角，

3

（2）由余弦定理，得b2=Y+c2-24ccosB=l+3-2gcos工=1,

6

.?h=l.

18.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出X（單位：百萬元）與銷售額y單位：百萬元）之間有如下的對(duì)

應(yīng)數(shù)據(jù)：

X24568

y3040605070

（1）求元予;

（2）求y關(guān)于X的線性回歸方程.

（3）如果廣告費(fèi)支出為9百萬元，預(yù)測(cè)銷售額大約為多少百萬元？

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公

Yχiyi-nχ-y$$

2

式.8=V---------,a^y-bx^xiyi=1380,∑x,=145.

∑x,2-n∞2

Z=I

【正確答案】（1）5；50

⑵y=6.5x+17.5

⑶76

【分析】（1）利用平均數(shù)計(jì)算公式，可得答案:

（2）利用題目中提及的計(jì)算公式，可得答案;

（3）利用回歸直線方程，可得答案.

-2+4+5+6÷8-30÷40+60+50+70S

【詳解】（1）X=-------------------=5,y=-----------------=50.

5

,_1380-5×5×50

2）b=145-5×52=°5,々=50-6.5x5=17.5'

則y關(guān)于X的線性回歸方程為y=6.5x+17.5?

（3）將x=9代入y=6.5χ+17.5，解得y=76,

則預(yù)測(cè)銷售額大約為76百萬元.

19.已知四棱錐S-ABC。的底面是正方形，54，平面48。。，求證:

(1)3。上平面SAC；

(2)若AB=AS=I,求點(diǎn)C到平面SB。的距離.

【正確答案】(1)證明見解析

Q)B

3

【分析】(1)由SAJL平面ABCD,可得SAlBD,由四邊形ABCD為正方形,可得BDA.AC,

然后由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論，

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AAS分別為x、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求

解即可

【詳解】(1)證明：SAj?平面ABCC,BDu平面48CZ),

.?.SA±BD,

又四邊形ABCQ為正方形，

.-.BDA.AC,

又Q&HAC=A,

.?60"L平面S4C；

(2)因?yàn)镾Al,平面ABe￡>,A8,AΔ>u平面ABCZ),

所以S4_LAB,SAJ.4),

因?yàn)锳B_LAD,

所以A8,40,AS兩兩垂直，

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AaAS分別為XMZ軸建立空間直角坐標(biāo)系

則B(l,0,0),D(0,1,0),5(0,0,1),C(l,1,0),

所以=(-1,1,0),=(-1,0,1),BC=(OJ5O)

設(shè)平面BDS的法向量為〃=(x,y,z),則

n?BD=-x+y7=0?π

，令x=l,則H=(I.U)

n`BS=-x+z=Q

BC?n_J__@

所以點(diǎn)到平面SBD的距離d=

C~M~^√3^~

*

X

20.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S“，且S“=/+3”；

（1）求它的通項(xiàng)q,.

（2）若仇=2"&,求數(shù)列｛"｝的前”項(xiàng)和卻

【正確答案】(1)4=2〃+2(2)Tll=n?2"

【分析】（1）由S,,="+3”，利用。,與S,,的關(guān)系式，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)由⑴可得2=2"5+l）,利用乘公比錯(cuò)位相減法，即可求得數(shù)列電｝的前〃項(xiàng)和.

【詳解】（1）由S,,=n^+3n,

當(dāng)“=］時(shí)，q=S∣=4;

當(dāng)”>1時(shí)，an=Sn-5,,.l=“2+3〃-(〃-1)2-3(〃-1)=2〃+2,

當(dāng)〃=1也成立,

所以則通項(xiàng)。,=2〃+2；

(2)由(1)可得"=2"("+l),-

23

Tn=2?2'+3?2+4?2++(H+1)?2?

2iπ+l

2Tn=2?2+3?2++tt?2"+(n+l)?2,

23nΛ+

兩式相減得-4=4+(2+2++2)-(n+1).2'

=4+2P""-(n+l)?2,,+l=-n?2π+1

1-2

所以數(shù)列出J的前"項(xiàng)和為。-2B+I.

本題主要考查了數(shù)列4和S“的關(guān)系、以及“錯(cuò)位相減法“求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問題

中的常見題型，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后

求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，著重考查了的邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.

21.卡塔爾世界杯將于2022年11月到來，這是世界足球的一場(chǎng)盛宴.為了了解全民對(duì)足球

的熱愛程度，某足球比賽組委會(huì)在某場(chǎng)比賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了200名觀眾進(jìn)行對(duì)足球“喜

愛度”的調(diào)查評(píng)分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6段：[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],

繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖.

(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖；

(2)將評(píng)分在90分及以上的觀眾確定為“足球發(fā)燒友”.

(i)若該場(chǎng)比賽共有3000名觀眾觀看，請(qǐng)你估計(jì)這3000名觀眾中，有多少人不是“足球發(fā)

燒友”？

(ii)現(xiàn)從被確定為“足球發(fā)燒友”的兩組中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人，然后再?gòu)某槿?/p>

的5人中任意選取兩人作進(jìn)一步的訪談，求這兩人中至少有1人的評(píng)分在區(qū)間[90,95)的概

率.

【正確答案】(1)頻率分布直方圖見解析

9

(2)(i)1875；(ii)—

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出在［80,85)上的頻率比組距，即可補(bǔ)全頻率分布直

方圖；

(2)G)根據(jù)頻率分布直方圖得出再90分及以上的觀眾的概率，即可得出該場(chǎng)比賽中是“足

球發(fā)燒友''的人數(shù)，即可得出該場(chǎng)比賽中不是“足球發(fā)燒友”的人數(shù)；

(ii)根據(jù)兩組比例關(guān)系結(jié)合分層抽樣得出各有多少人，即可根據(jù)古典概型的概率求法求出

答案.

【詳解】(1)在［80,85)上的頻率比組距為：0.2-(0.02+0.025+0.05+0.045+0.03)=0.03,

故頻率分布直方圖如下：

A頻率/組距

O50

o45

(2)(i)根據(jù)已知，該場(chǎng)比賽中是“足球發(fā)燒友”的有(0?045+0.03)χ5χ3000=1125人,

則該場(chǎng)比賽中不是“足球發(fā)燒友”的有3(XX)-1125=1875人;

(ii)兩組的比例為0.045:0.03=3:2,

32

則應(yīng)在［90,95)內(nèi)取5乂1=3人，應(yīng)在［95,100］內(nèi)取5乂：=2人,

CClC=9

則這兩人中至少有1人的評(píng)分在區(qū)間［90,95)的概率P=

C；C；10

22.在①出=9,②1=20,③%+%=13這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并

進(jìn)行解答已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S.，n∈N?,.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)bn=—?-,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和T.；

anan+?

(3)若存在〃eN*,使得7L-∕km≥0成立，求實(shí)數(shù)/1的取值范圍.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【正確答案】(1)4“=〃+1

⑵7L=??

MV

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解％,",即可求通項(xiàng)公式;

（2）利用裂項(xiàng)相消法求和;

（3）根據(jù)題意可得存在"cN?,使得二成立，根據(jù)存在性問題結(jié)合基本不等式運(yùn)算求