4.1課時(shí)1棱柱棱錐棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)

第4章

立體幾何初步4.1

空間的幾何體課時(shí)1

棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征#b#1.通過對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納簡(jiǎn)單多面體——棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.（直觀想象）#b#2.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征解決簡(jiǎn)單多面體的有關(guān)計(jì)算.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）1.空間幾何體的定義是什么？[答案]

如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形叫作空間幾何體.2.常見的空間幾何體分為哪幾類？[答案]

常見的空間幾何體分為多面體與旋轉(zhuǎn)體兩類.3.常見的多面體有哪些？[答案]

棱柱、棱錐、棱臺(tái).4.棱柱有哪些結(jié)構(gòu)特征？[答案]

棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行.5.什么是棱錐？棱錐怎么分類？什么是正棱錐？[答案]

幾何體有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，像這樣的多面體叫作棱錐.按底面多邊形的邊數(shù)分，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等.如果棱錐的底面是正多邊形，將底面水平放置后，它的頂點(diǎn)又在過正多邊形中心的鉛垂線上，則這樣的棱錐稱為正棱錐.6.什么是棱臺(tái)？棱臺(tái)怎么分類？[答案]

過棱錐任一側(cè)棱上不與側(cè)棱端點(diǎn)重合的一點(diǎn)，作一個(gè)與底面平行的平面去截棱錐，截面和原棱錐底面之間的這部分多面體叫作棱臺(tái).由三棱錐、四棱錐、五棱錐截得的棱臺(tái)，分別叫作三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái).1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫作棱錐.(

)

×（2）棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形.(

)

√（3）將棱臺(tái)的各側(cè)棱延長可交于一點(diǎn).(

)

√（4）棱錐的所有面都可以是三角形.(

)

√2.下列說法正確的是(

)

.AA.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行B.棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一條側(cè)棱就是棱柱的高D.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形[解析]

棱柱的兩個(gè)底面互相平行，故A正確；棱柱的側(cè)面也可能有平行的面（如正方體），故B錯(cuò)誤；對(duì)齊后立在一起的一摞書可以看成一個(gè)四棱柱，當(dāng)把這摞書推至傾斜時(shí)，它的側(cè)棱就不是棱柱的高，故C錯(cuò)誤；由棱柱的定義知，棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形,但它的底面可以是平行四邊形，也可以是其他多邊形，故D錯(cuò)誤.3.下列幾何體中，________是棱柱，____是棱錐，____是棱臺(tái).（僅填相應(yīng)的序號(hào)）①③④⑥⑤①②③④⑤⑥探究1

空間幾何體

觀察下面兩組物體：（1）（2）問題1：

你能說出各組物體的共同點(diǎn)嗎？[答案]

第（1）組中每個(gè)物體都是由多個(gè)平面多邊形圍成，第（2）組中每個(gè)物體都是由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到.問題2：

構(gòu)成多面體的面最少是多少個(gè)？[答案]

三棱錐是面最少的多面體，共有3個(gè)側(cè)面和1個(gè)底面，故構(gòu)成多面體的面最少是4個(gè).新知生成1.空間幾何體（1）概念：如果只考慮物體的______和______，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的__________叫作空間幾何體.形狀大小空間圖形（2）多面體：由若干個(gè)____________（包括三角形）所圍成的封閉體叫作多面體（如圖），圍成多面體的各個(gè)多邊形叫作多面體的面；相鄰兩個(gè)面的________叫作多面體的棱；棱與棱的______叫作多面體的頂點(diǎn).平面多邊形公共邊交點(diǎn)2.旋轉(zhuǎn)體把平面上一條封閉曲線內(nèi)的區(qū)域繞著該平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.新知運(yùn)用例1

中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖①）.“半正多面體”是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，“半正多面體”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖②是一個(gè)棱數(shù)為48的“半正多面體”，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該“半正多面體”共有____個(gè)面，其棱長為_______.26

①②

方法指導(dǎo)

第一空可從圖②直接得到，第二空需在正方體中簡(jiǎn)單還原出物體的位置，利用對(duì)稱性，根據(jù)平面幾何的性質(zhì)解決.

六子聯(lián)方起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合得十分巧妙.六子聯(lián)方類玩具比較多，一般都是易拆難裝.如圖①，這是一種常見的六子聯(lián)方玩具，圖②是該六子聯(lián)方玩具的直觀圖.它有多少條棱？它有多少個(gè)頂點(diǎn)和面？①②[解析]

由圖知六子聯(lián)方玩具的上部分有16條棱，中間有4條棱，下部分有16條棱，共有36條棱;上、下兩面各有8個(gè)頂點(diǎn)，中間部分也有8個(gè)頂點(diǎn)，共有24個(gè)頂點(diǎn)；八邊形有6個(gè)，三角形有8個(gè)，共有14個(gè)面.探究2

棱柱的結(jié)構(gòu)特征

小明用包裝盒做了幾個(gè)幾何體，如圖所示：?jiǎn)栴}1：

觀察圖中的多面體，想一想：這些多面體各有什么特點(diǎn)？[答案]

直觀上可以發(fā)現(xiàn)，圖中的每個(gè)多面體的上、下兩面都是邊數(shù)相同的全等多邊形，且上、下兩個(gè)面所在平面都不會(huì)相交，其余各面都是平行四邊形.問題2：

棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形嗎？[答案]

棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形.新知生成1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫作棱柱圖示及相關(guān)概念底面：兩個(gè)互相平行的面.側(cè)面：底面以外的其余各面.側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊.頂點(diǎn)：側(cè)棱與底面的公共頂點(diǎn)分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱……2.棱柱的高與兩個(gè)底面都垂直的直線夾在兩底面間的線段長叫作棱柱的高.3.棱柱的分類（1）按底面多邊形的邊數(shù)來分：底面可能為三角形、四邊形、五邊形等，這樣的棱柱分別叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱等.（2）按側(cè)棱是否與底面垂直：側(cè)面都是矩形的棱柱稱為直棱柱.底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.如果棱柱的底面和側(cè)面都是矩形，這樣的棱柱是長方體，所有棱長都相等的長方體是正方體.兩個(gè)底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體.新知運(yùn)用

（1）這個(gè)長方體是棱柱嗎？若是，是幾棱柱？為什么？

方法指導(dǎo)

根據(jù)棱柱的定義、結(jié)構(gòu)特征判斷.

&1&

有關(guān)棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略

（1）有關(guān)棱柱的概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱的定義：①兩個(gè)面互相平行；②其余各面是平行四邊形；③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行.求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)面平行，再看是否滿足其他特征.

（2）多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片，便于反例排除.（多選題）下列關(guān)于棱柱的說法正確的是(

)

.ABDA.所有的棱柱的兩個(gè)底面都平行B.所有的棱柱一定有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D.棱柱至少有五個(gè)面

探究3

棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征（1）（2）（3）（4）問題1：

觀察圖（1）（2）中的幾何體，它們有什么共同特點(diǎn)？[答案]

直觀地看，它們的側(cè)面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，底面是多邊形.問題2：

觀察圖（3）（4）中的幾何體，它們有什么共同特點(diǎn)？[答案]

上下底面平行，側(cè)棱延長交于一點(diǎn).新知生成1.棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體叫作棱錐圖示及相關(guān)概念底面：多邊形面.側(cè)面：有同一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形面.側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊.頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……2.棱錐的分類（1）按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……（2）底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐稱為正棱錐.3.棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,把原棱錐底面和截面之間的那部分多面體叫作棱臺(tái)圖示及相關(guān)概念上底面：原棱錐的截面.下底面：原棱錐的底面.側(cè)面：除上、下底面以外的面.側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.頂點(diǎn)：側(cè)棱與上（下）底面的公共頂點(diǎn)分類按底面多邊形的邊數(shù)分:三棱臺(tái)、四棱臺(tái)……新知運(yùn)用一、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征例3

下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法：（1）用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)；（2）棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；（3）棱錐的側(cè)面只能是三角形；（4）由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；（5）棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.其中正確說法的序號(hào)是__________.

[解析]

（1）錯(cuò)誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐，則棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)；（2）正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；（3）正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；（4）正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；（5）錯(cuò)誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.&2&

有關(guān)棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征問題的判斷方法：（1）舉反例法，結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確;（2）直接根據(jù)棱錐、棱臺(tái)的定義判斷.觀察如圖所示的四個(gè)幾何體，其中判斷不正確的是(

)

.B①②③④A.①是棱柱

B.②不是棱錐

C.③不是棱錐

D.④是棱臺(tái)[解析]

結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義可知①是棱柱，②是棱錐，③不是棱錐，④是棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤.二、多面體的表面展開圖例4

畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖.（1）（2）

[解析]

幾何體的表面展開圖如圖所示：（1）（2）&3&

多面體展開圖問題的解題策略

（1）繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.

在解題過程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖.

（2）由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把（1）中過程逆推.同一個(gè)幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開圖.水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，已知一個(gè)正方體的表面展開圖如圖所示（圖中數(shù)和字寫在正方體的外表面上），若圖中的“2”在正方體的“上面”，則這個(gè)正方體的“下面”是(

)

.BA.1

B.7

C.快

D.樂[解析]

由題意，將正方體的展開圖還原成正方體，“1”與“樂”相對(duì)，“2”與“7”相對(duì)，“0”與“快”相對(duì)，所以“下面”是“7”.

C

2.下列說法正確的是(

)

.CA.直四棱柱是長方體B.有兩個(gè)面互相平行，其余各