2024年浙江杭州市高三二模高考數(shù)學(xué)模擬試卷試題（含答案）

杭州市高三年級(jí)二模教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無(wú)效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．2．設(shè)表示兩條不同直線(xiàn)，表示平面，則（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A．30° B．60° C．90° D．120°4．設(shè)甲：“函數(shù)在單調(diào)遞增”，乙：“”，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，則（）A．110 B．120 C．288 D．3066．將5名志愿者分配到三個(gè)社區(qū)協(xié)助開(kāi)展活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少1名，則不同的分配方法數(shù)是（）A．300 B．240 C．150 D．507．設(shè)集合，函數(shù)（且），則（）A．為增函數(shù) B．為減函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)8．在中，已知．若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知關(guān)于的方程的兩根為和，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)均滿(mǎn)足，則（）A． B．C． D．函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)11．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C：交于兩點(diǎn)．拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則（）A．直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C有2個(gè)公共點(diǎn)B．直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)C．點(diǎn)的軌跡方程是D．的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．寫(xiě)出與圓相切且方向向量為的一條直線(xiàn)的方程______．13．函數(shù)的最大值為_(kāi)_____．14．機(jī)場(chǎng)為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線(xiàn)長(zhǎng)為，開(kāi)口直徑為．旅客使用紙杯喝水時(shí)，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過(guò)母線(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，橢圓的離心率等于______．（第14題）四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿(mǎn)足，令，求證：．16．（15分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．17．（15分）如圖，在多面體中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，．（第17題圖）（1）證明：；（2）若多面體的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．18．（17分）已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn)．（?。┳C明：點(diǎn)在定直線(xiàn)上；（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線(xiàn)的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（17分）在概率統(tǒng)計(jì)中，常常用頻率估計(jì)概率．已知袋中有若干個(gè)紅球和白球，有放回地隨機(jī)摸球次，紅球出現(xiàn)次．假設(shè)每次摸出紅球的概率為，根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，則每次摸出紅球的概率的估計(jì)值為．（1）若袋中這兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機(jī)摸取3個(gè)球，設(shè)摸出的球?yàn)榧t球的次數(shù)為，則．注：表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為時(shí)，摸出紅球次數(shù)為的概率）（?。┩瓿上卤恚?123（ⅱ）在統(tǒng)計(jì)理論中，把使得的取值達(dá)到最大時(shí)的，作為的估計(jì)值，記為，請(qǐng)寫(xiě)出的值．（2）把（1）中“使得的取值達(dá)到最大時(shí)的作為的估計(jì)值”的思想稱(chēng)為最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計(jì)方法稱(chēng)為最大似然估計(jì)．具體步驟：先對(duì)參數(shù)構(gòu)建對(duì)數(shù)似然函數(shù)，再對(duì)其關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計(jì)值．已知的參數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為，其中．求參數(shù)的估計(jì)值，并且說(shuō)明頻率估計(jì)概率的合理性．

2023學(xué)年第二學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678CBBAACDA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．ABC10．ACD11．BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12．或（寫(xiě)出一個(gè)即可）13．14．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）解（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為．由，得解得．所以．（2）由（1）知，，即，利用累乘法：所以．所以．16．（15分）解（1）因?yàn)椋á。┊?dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)．當(dāng)．當(dāng)．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．（2）（?。┯桑?）知．（ⅱ）由（1）知極大值為，因?yàn)?，又因?yàn)椋院瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．17．（15分）解（1）在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以．又因?yàn)椋云矫妫裕@然，四邊形為平行四邊形，所以．又，所以，所以．（2）因?yàn)椋?，所以平面．取中點(diǎn)，連接，設(shè)．設(shè)多面體的體積為，則．解得．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．則平面的一個(gè)法向量．所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即?。裕云矫媾c平面夾角的余弦值為．18．（17分）解（1）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，則．因?yàn)椋偃?，解得（舍去）．②若，解得（舍去）或．所以點(diǎn)的坐標(biāo)位．（2）（?。┰O(shè)直線(xiàn)．由，得．所以．所以 ①由，得或．易知直線(xiàn)的方程為 ②直線(xiàn)的方程為 ③聯(lián)立②③，消去，得④聯(lián)立①④，消去，則．解得，即點(diǎn)在直線(xiàn)上．（ⅱ）由圖可知，，即．所以點(diǎn)在以為直徑的圓上．設(shè)，則，所以，即．故直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立，得．解得等于．所以，所以．故．19．（17分