1.4函數(shù)的連續(xù)性

高等數(shù)學(xué)主講人

宋從芝河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院

本講概要函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)的間斷點(diǎn)初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.4函數(shù)的連續(xù)性有許多自然現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等，都是隨著時(shí)間在連續(xù)不斷地變化的，這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性．溫度計(jì)一、函數(shù)連續(xù)性的概念如果變量u從初值u0變到終值u1，那么終值與初值的差u1-u0

，叫做變量u的增量（或改變量），記為Δu，即

1.函數(shù)的增量定義1Δu=u1-u0

注意①Δu是一個(gè)整體記號(hào)②不都是正值設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其近旁有定義，當(dāng)自變量x從x0變到x0+Δx時(shí)有增量Δx，則函數(shù)f(x)相應(yīng)地從f(x0)變到f(x0+Δx)也有增量Δy，即函數(shù)的增量的定義Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

設(shè)，求適合下列條件的自變量的增量Δx和函數(shù)增量Δy：①當(dāng)x由1變到1.5；②當(dāng)x由1變到0.5；③當(dāng)x由1變到1+Δx

。例1如果我們說(shuō)一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)x=x0

處連續(xù)是指這個(gè)函數(shù)的圖象在x=x0

處“連接”的沒(méi)有“縫隙”。函數(shù)的連續(xù)源于人們對(duì)函數(shù)圖象的直觀認(rèn)識(shí)，連續(xù)函數(shù)的圖像可以一筆畫(huà)成，如ox0xy2.函數(shù)y=f(x)在

x0的連續(xù)性從圖形觀察函數(shù)y=f(x)在x0的連續(xù)性定義2（連續(xù)的第一個(gè)定義）若：①函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其近旁有定義②

那么就稱y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)。其中Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

根據(jù)定義2，證明，在點(diǎn)x0=1處連續(xù)。例2

根據(jù)定義2，證明，在點(diǎn)x0=2處連續(xù)。練習(xí)定義3（連續(xù)的第二個(gè)定義）若：①函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其近旁有定義②那么就稱y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)。定義3（連續(xù)的第二個(gè)定義）若：①函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其近旁有定義②③那么就稱y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)。

根據(jù)定義3，證明，在點(diǎn)x0=1處連續(xù)。例33.單側(cè)連續(xù)

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其右側(cè)近旁有定義,并且則稱f(x)在點(diǎn)x0處右連續(xù)。xy

oa類似的

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其左側(cè)近旁有定義,并且則稱f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)。f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)f(x)在點(diǎn)x0處左、右連續(xù)定理即4.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性如果f(x)在某一開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)，就說(shuō)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)連續(xù)，（a,b）是函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間。

（a,b）連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)連續(xù)，且在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)。[a,b]連續(xù)：結(jié)論基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。例4練習(xí)1解

所以f(x)在x=0處連續(xù).因?yàn)樾〗Y(jié)

1、變量增量、函數(shù)增量的定義；2、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的兩個(gè)定義。

作業(yè)

習(xí)題1.4

4

0x處連續(xù)的定義：在點(diǎn)根據(jù)函數(shù)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

考慮下列三個(gè)函數(shù)在x=1處的連續(xù)性。例5oxy12解①∵函數(shù)f(x)在x=1處無(wú)定義

∴函數(shù)f(x)在x=1處不連續(xù)。(1)在x=1及近旁有定義(2)12oxy2.5②解∵左、右極限不相等∴函數(shù)f(x)當(dāng)x→1極限不存在。則函數(shù)f(x)在x=1處不連續(xù)。（1）在x=1及近旁有定義；（2）③(3)yxo12解∴函數(shù)f(x)在x=1處不連續(xù)。函數(shù)在x

=1處間斷的可能情形：o

xy1212oxy2.5yxo12沒(méi)有定義極限不存在極限值和函數(shù)值不等第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)左=右左

右左、右極限都存在左、右極限至少一個(gè)不存在間斷點(diǎn)的分類:函數(shù)在x

=1處間斷的可能情形：沒(méi)有定義極限不存在極限值和函數(shù)值不等o

xy1212oxy2.5yxo12注可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).②解例如第二類間斷點(diǎn)①三、初等函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理2例如定理3例如2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理4

例如同理，反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).3.反函數(shù)的連續(xù)性★定理5

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)。注意4.初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)意義：2.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;1.能代則代（初等函數(shù)、定義區(qū)間內(nèi)點(diǎn)）3.求間斷點(diǎn)例6=2例7①②③性質(zhì)1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在該區(qū)間上至少取得它的最大值和最小值各一次。注意:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立。四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)≠f(b),那么對(duì)于介于f(a)和f(b)之間的任意一個(gè)常數(shù)C,在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C.CBAO推論(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào)（即f(a)f(b)<0）,那么在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0（a<ξ<b）。①充分條件非必要條件

②零點(diǎn)不一定唯一注意：例如例8證明：在[0,1]內(nèi)至少有一個(gè)