第七章立體幾何與空間向量專題8有關(guān)空間直線相交問題 講義（含解析） 2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考新教材）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題8

有關(guān)空間直線相交問題[浙江省紹興市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月]如圖，△ABC為正三角形，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，AC＝CD，AE＝2CD，點(diǎn)F，P分別為AB，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段BE上，且BE＝4BQ．證明：直線CP與直線FQ相交；連接DG，GF，F(xiàn)C，PQ，先由四邊形CDGF為平行四邊形證明，再由中位線定理證明，進(jìn)而得出直線CP與直線FQ相交．證明：取BE中點(diǎn)G，連接DG，GF，F(xiàn)C，PQ，則，因?yàn)锳E⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，所以，所以，CD＝FG，則四邊形CDGF為平行四邊形，所以，CF＝DG．因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段BE上，且BE＝4BQ，所以Q是BG的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，所以，所以，即PQ，CF共面，且PQ，CF長(zhǎng)度不等，所以直線CP與直線FQ相交．1．每個(gè)面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖.若點(diǎn)G、H、M、N分別是正八面體的棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．與是異面直線C．平面 D．與是相交直線2．如圖，在直三棱柱中，O是與的交點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，，，給出下列結(jié)論．

①AB與是相交直線；

②平面﹔③平面平面﹔

④平面，其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②④將該幾何體補(bǔ)成正三棱柱，延長(zhǎng)CP交BG中點(diǎn)于M點(diǎn)，連接MA，再證明與Q重合，得出FQ與CP交于M點(diǎn).構(gòu)造正三棱柱HE－CBA，延長(zhǎng)CP交BG于M點(diǎn)，易知M為GB中點(diǎn)連接MA交EB于，下證Q與重合作交BE于R，則R為BE中點(diǎn)，為BR中點(diǎn)∴，即與Q重合，∴FQ與CP交于M點(diǎn)3．如圖，已知正方體，，分別是，的中點(diǎn)，則（

）

A．直線與直線相交，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線垂直，直線平面D．直線與直線異面，直線平面4．如圖所示，長(zhǎng)方體中，給出以下判斷，其中正確的是（

）A．直線與相交B．直線與是異面直線C．直線與有公共點(diǎn)D．建系，得，由證明線CF與直線FQ相交.取AC中點(diǎn)為O，以O(shè)B，OA方向?yàn)閤，y軸作z軸⊥平面ABC設(shè)，則，CP與QF不平行，直線CF與直線FQ相交.5．如圖，平面平面，，是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，，是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且，，，直線，，分別是線段，的中點(diǎn).下列判斷正確的是（

）A．若，則B．若，重合，則C．若與相交，且，則可以與相交D．若與是異面直線，則不可能與平行6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC、BD的交點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．C1、O、A、M四點(diǎn)共面B．直線C1O與直線A1C為異面直線C．直線A1A與直線OM相交D．D1、D、O、M四點(diǎn)共面由基底表示，，進(jìn)而由證明線CF與直線FQ相交.利用向量減法的三角形法則，向量的數(shù)乘，證明，所以P為BD中點(diǎn)，所以，即所以，CP與FQ相交.7．如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則（

）

A．直線與是相交直線 B．直線與是平行直線C．直線與是異面直線 D．直線與是相交直線8．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)（異于所在棱的端點(diǎn)）.則下列結(jié)論不正確的是（

）

A．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，直線可能與平行B．直線與一定相交C．設(shè)直線、分別與平面相交于點(diǎn)、，則點(diǎn)可能在直線上D．設(shè)直線、分別與平面相交于點(diǎn)、，則點(diǎn)一定不在直線上以G為原點(diǎn)，GA為y軸，GB為x軸，GH為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出CP，F(xiàn)Q的直線方程，由兩直線交點(diǎn)唯一得出CP與FQ相交.以G為原點(diǎn)，GA為y軸，GB為x軸，GH為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴CP的直線方程為FQ的直線方程為聯(lián)立方程組兩方程在內(nèi)的解唯一∴兩直線交點(diǎn)唯一，∴CP與FQ相交9．正方體中，M，N分別是正方形和正方形的中心，則下列說法正確的有（

）A．直線與直線是相交直線 B．直線與直線是異面直線C．直線與直線是相交直線 D．直線與直線沒有公共點(diǎn)10．在三棱錐中，分別是的重心.則下列命題中正確的有（

）A．直線共面 B．直線相交C． D．11．如圖，點(diǎn)為正方形的中心，平面平面，且，是線段的中點(diǎn)，則（

）A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線12．如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（

）A．直線與直線相交B．與共面C．與是異面直線但不垂直D．平面垂直于平面13．如圖，正三棱柱中，，分別是的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．與是相交直線B．平面C．異面直線與所成角的余弦值為D．14．正方形ABCD和矩形BEFC組成圖1，G是EF的中點(diǎn)，BC=2BE.將矩形BEFC沿BC折起，使平面平面ABCD，連接AG，DF，得到圖2，則（

）A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線15．在正方體中，分別是線段的中點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是.16．如圖，四棱錐，其中為正方形，底面，，，分別為，的中點(diǎn)，，在棱，上，且滿足，.(1)求證：直線與直線相交；(2)求平面與平面夾角的余弦值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】作出輔助線，得到四邊形是平行四邊形，排除BD，進(jìn)而證明出GH與BC不垂直，故與平面不垂直，平面，得到正確答案.【詳解】連接，BD，則它們相交且相互平分，故四邊形為平行四邊形，則∥.又G、H、M、N分別是正八面體的棱的中點(diǎn)，所以，且，∴，且所以四邊形是平行四邊形，排除B、D選項(xiàng)，易證平面平面，又平面，∴平面，C正確；因?yàn)镋H⊥BC，MH⊥BC，，所以BC⊥平面EMH，而GH平面EMH，而GH，所以GH與BC不垂直，故與平面不垂直，A錯(cuò)誤；故選：C2．D【分析】根據(jù)線線平行即可求解①②，根據(jù)線面垂直即可求解④，根據(jù)平面有公共點(diǎn)即可求解③.【詳解】由于,與相交，所以AB與是異面直線，故①錯(cuò)誤，連接,由于均為中點(diǎn)，所以,平面,平面,平面,故②正確，由于平面平面,所以平面與平面相交，故③錯(cuò)誤，由于且三棱柱為直三棱柱，所以平面,平面,故,又，進(jìn)而，由，可知四邊形為正方形，所以,，平面，所以平面，④正確，故選：D

3．C【分析】由題意，連接，顯然為中點(diǎn)，由直線與平面平行的判定定理可得平面，又易判斷，可得.【詳解】

解：如圖，連接，則與互相平分，即是的中點(diǎn)，又由是的中點(diǎn)，則，而平面，平面，故平面，四邊形是正方形，則，又由，則平面，所以.故選：C.4．D【分析】利用異面直線的定義可以判斷出A、C，利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷出B、D.【詳解】對(duì)于A，面，面，且B不在AC上，根據(jù)異面直線的定義得，直線與是異面直線，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，四邊形為平行四邊形，，即直線與平行直線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，面，面，，根據(jù)異面直線的定義得，直線與是異面直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，四邊形為平行四邊形，，故D選項(xiàng)正確；故選：D.5．BD【分析】根據(jù)空間直線的位置關(guān)系判斷各選項(xiàng)．【詳解】A．若與相交于點(diǎn)，如圖1，，∴是平面的一個(gè)公共點(diǎn)，則在直線上，∵，此時(shí)一定過這個(gè)交點(diǎn)，A錯(cuò)；圖1B．若，重合，如圖2，則與相交且平分，四邊形是平行四邊形，則，由得，由得，，B正確；圖2C．若與相交，見圖2，則確定一個(gè)平面，由可得，又由得，C錯(cuò)；D．假設(shè)，如圖3，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，則，，與是異面直線，則，，所以，又，，所以，而，所以平面，同理平面，這樣就有，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，即與不平行，D正確．圖3故選：BD．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的空間想象能力．解題時(shí)能根據(jù)定義、定理、公理直接判斷的可直接判斷，不能直接判斷的可以用反證法證明，對(duì)錯(cuò)誤的結(jié)論可以舉反例說明．6．AC【分析】根據(jù)點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，連接，

因?yàn)镺為AC、BD的交點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，所以點(diǎn)在平面與平面的交線上，即三點(diǎn)共線，則點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由選項(xiàng)A的分析可知三點(diǎn)共線，所以直線與直線相交，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，點(diǎn)為直線與平面的交點(diǎn)，所以不是的中點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?，且與不平行，所以直線與直線相交，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)、、均在平面內(nèi)，點(diǎn)不在平面內(nèi)，且直線與直線沒有交點(diǎn)，所以直線與直線異面，則點(diǎn)、、、四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.7．CD【分析】根據(jù)異面直線的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，且直線，可得直線與是異面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槠矫妫矫?，且直線不過點(diǎn)，可得直線與是異面直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接分別為棱的中點(diǎn)，，因?yàn)?，四邊形是平行四邊形，，四點(diǎn)共面，平面，平面，平面，直線與是異面直線，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知，，，直線與是相交直線，故D正確.故選：CD.

8．BD【分析】取、分別為、的中點(diǎn)，證明出四邊形為平行四邊形，可判斷A選項(xiàng)；取、異面，可判斷B選項(xiàng)；取、分別為、的中點(diǎn)，證明出、、三點(diǎn)共線，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在長(zhǎng)方體中，當(dāng)點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)時(shí)，取線段的中點(diǎn)，連接、、，

因?yàn)榍遥忠驗(yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，同理可證四邊形為平行四邊形，則且，又因?yàn)榍?，故且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，則、平行或異面，當(dāng)、異面時(shí)，則、、、可視為三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)，與異面，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)時(shí)，由勾股定理可得，對(duì)于CD選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連接，如下圖所示：

因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)?，，所以，，所以，，因?yàn)?，則，即為的中點(diǎn)，同理可知，為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，，所以，，則，因?yàn)椋瑒t，所以，、、三點(diǎn)共線，故點(diǎn)可能在直線上，C對(duì)D錯(cuò).故選：BD.9．ABD【分析】直線與直線相交于，A正確，根據(jù)異面直線判斷定理得到BD正確，C錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：直線與直線相交于，正確；對(duì)選項(xiàng)B：三點(diǎn)在平面內(nèi)，在平面外，故直線與直線是異面直線，正確；對(duì)選項(xiàng)C：三點(diǎn)在平面內(nèi)，在平面外，直線與直線是異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：在平面內(nèi)，在平面外，直線與直線是異面直線，正確；故選：ABD10．ABD【分析】根據(jù)題意，由條件結(jié)合三角形重心的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得到結(jié)果.【詳解】由于分別是的重心，所以分別延長(zhǎng)交于中點(diǎn).因此正確.因?yàn)?，所以，因?直線相交，B正確.因?yàn)槭堑闹匦?，所以，因此，C不正確.因?yàn)?，所?因此，D正確.故選：ABD.11．A【分析】由題意作出圖形，并連接，結(jié)合已知條件容易證明四邊形為等腰梯形，從而由等腰梯形的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖所示：連接，點(diǎn)為正方形的中心，則經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)為中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，所以在中，，又，且由正方形性質(zhì)可知，所以，即四邊形為等腰梯形，又為等腰梯形的對(duì)角線，所以，且直線是相交直線.故選：A.12．A【分析】在三棱柱中，根據(jù)線線，線面關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】在三棱柱中，，且，所以四邊形為梯形，直線與直線相交，故A正確；由幾何圖形易知與為異面直線，故B錯(cuò)誤；與是異面直線，且三角形是正三角形，，又，則，故C錯(cuò)誤；在三棱柱中未給出側(cè)面與上下底面的關(guān)系，不能判斷AE是否與平面垂直，故無法判斷平面與平面的關(guān)系，故D錯(cuò)誤；故選：A13．C【分析】根據(jù)異面直線的判定可知A錯(cuò)誤；根據(jù)平面，直線可知B錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)，以及異面直線所成角定義可知所求角為或其補(bǔ)角，利用余弦定理可求得C正確；假設(shè)D正確，由線面垂直的判定與性質(zhì)可知，顯然不成立，知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，平面，平面，平面，與是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，直線，平面，平面，又直線，直線平面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，，，四邊形為平行四邊形，；分別為中點(diǎn)，，異面直線與所成角即為或其補(bǔ)角；設(shè)，則，，又，，，則異面直線與所成角的余弦值為，C正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接，假設(shè)成立，平面，平面，，，平面，平面，又平面，；由已知可知：為等邊三角形，又，與不垂直，假設(shè)錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.故選：C.14．B【分析】根據(jù)平面圖形翻折前后，相關(guān)線段或直線的位置變化可知，，并未改變，所以可知在一個(gè)平面內(nèi)，又因?yàn)?所以是相交直線．再根據(jù)條件可得平面，所以，即．【詳解】如圖，連接，因?yàn)?，且，同理，?所以,且，故為平行四邊形，所以在一個(gè)平面內(nèi)．又因?yàn)?所以是相交直線．由題知，所以平面．故平面，所以，所以，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面圖形翻折前后相關(guān)線段或直線位置變化，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．15．相交【分析】利用平面的性質(zhì)結(jié)合圖形可得答案.【詳解】在正方體中，易知，且，即四邊形是平行四邊形