高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第38講 8.6.3平面與平面垂直（第2課時 平面與平面垂直的性質(zhì)定理）（教師版）

第15講8.6.3平面與平面垂直（第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)定理）課程標準學(xué)習(xí)目標①掌握面面垂直的性質(zhì)定理，并能利用面面垂直的性質(zhì)定理證明一些簡單的問題。1.空間中平面與平面的垂直關(guān)系是“空間直線、平面的垂直”中的又一個重點，是繼直線、平面的平行關(guān)系，直線與平面的垂直關(guān)系之后的遷移與拓展，是“類比”與“轉(zhuǎn)化”思想的又一重要體現(xiàn).本節(jié)內(nèi)容包括二面角和兩個平面互相垂直的定義、判定與性質(zhì)，這一節(jié)的學(xué)習(xí)對理順“空間直線、平面的垂直”的知識結(jié)構(gòu)體系、提高學(xué)生的綜合能力起著十分重要的作用.知識點01：平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．(2)符號（圖形）語言：，，.(3)應(yīng)用：①面面垂直線面垂直②作平面的垂線.【即學(xué)即練1】（2023·廣東·校聯(lián)考二模）如圖，在四面體中，，平面平面為線段的中點，則下列判斷錯誤的是（

）

A． B．平面C． D．平面【答案】C【詳解】因為平面平面，平面平面，所以平面，即B項正確；因為平面，所以，即A正確；因為為線段的中點，所以，同理可得平面，即D正確；因為平面，平面，所以，平面，若，則平面，顯然不重合，故C錯誤.故選：C題型01平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用【典例1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）在三棱錐中，分別為的中點，且.(1)證明：平面；(2)若平面平面，證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）證明:因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面；（2）證明：因為，為的中點，，又平面平面平面平面，所以平面又平面.所以.【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，和都垂直于平面，且，是的中點

(1)證明：直線//平面；(2)若平面平面，證明：直線平面.【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）證明：取中點，連接，，因為為的中點，所以，，因為，均垂直面，所以，因為，所以且，所以為平行四邊形，所以，面，面，所以面．（2）如圖，過作于，平面平面，且兩平面的交線為,平面,平面，由平面，．平面，平面，，又平面，平面．.

【典例3】（2023上·江西·高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）如圖1，山形圖是兩個全等的直角梯形和的組合圖，將直角梯形沿底邊翻折，得到圖2所示的幾何體.已知，,點在線段上，且在幾何體中，解決下面問題.(1)證明：平面；(2)若平面平面，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）連接與相交于,連接，由于，且,所以,又,所以,平面,平面,所以平面，

（2）過作交于，由于平面平面，且兩平面交線為，平面，所以平面，平面,故，又四邊形為直角梯形，故,是平面內(nèi)的兩相交直線，所以平面，平面，故.

【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．求證：平面；【答案】證明見解析【詳解】在矩形中，，又平面平面，平面平面=，平面，所以平面，又平面，所以，在矩形中，，又，所以，所以，又，平面，所以平面.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.求證：面；

【答案】證明見解析【詳解】取的中點，連接，，

因為，，所以四邊形為平行四邊形，則，又，所以，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，即，且，平面，所以平面.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點，點D在AC上，滿足，且面面ABC．證明：面POD．

【答案】證明見解析【詳解】證明：由條件、為等邊三角形，為的中點，則，，，由余弦定理得從而在中，，得為直角三角形，且，又面面，面面，且，面，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得面由面,所以因此由，，，平面，所以平面，即面POD.題型02平面圖形折疊后的垂直問題【典例1】（2023上·浙江杭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知菱形的邊長為2，.將菱形沿對角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點，F(xiàn)為三棱錐表面上動點，且總滿足，則點F軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】取的中點，連接，因為菱形的邊長為2，，所以，均為等邊三角形，故⊥，⊥，且，為二面角的平面角，則，故為等邊三角形，，又，平面，所以⊥平面，又E為的中點，取的中點，的中點，連接，則，且，因為平面，平面，所以平面，同理得平面，因為，平面，故平面平面，所以⊥平面，故點F軌跡為（除外），故點F軌跡的長度為.

故選：A【典例2】（2022上·四川巴中·高二四川省通江中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直角梯形中，，，為上的點，且，，將沿折疊到點，使.

(1)求證：平面平面；(2)求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點，中點，連接，，，

又，∴，∵，∴，又∵，∴，又，平面，∴平面，平面，則，∵，為中點，，而與不平行，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）由（1）知，平面，在直角梯形中，過作，垂足為，則為矩形，∵，，，，在中，，得到的距離，則四邊形的面積，在中，，求得，則為等邊三角形，可得，即.∴.【典例3】（2023上·江西宜春·高二?？奸_學(xué)考試）如圖①梯形中，，，，且，將梯形沿折疊得到圖②，使平面平面，與相交于，點在上，且，是的中點，過三點的平面交于．

(1)證明：是的中點；(2)是上一點，己知二面角為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在圖①中過C作，則，，圖②中，，又∵，∴，∴，∴且．∴，∴，在中，，，∴，又平面ACD，平面ACD，∴平面ACD，平面平面，∴，∴，又是的中點，∴是的中點；

（2）如圖，過作交BE于H，過作于點，連結(jié)，且，因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，平面，所以，則為二面角的平面角，∴，設(shè)，∴，又，∴，在中，，,由得，即，∴，∴．

【變式1】（多選）（2023上·四川達州·高二達州市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為2，現(xiàn)將正方形沿其對角線進行折疊，使其成為一個空間四邊形，在空間四邊形中，下列結(jié)論中正確的是（

）A．兩點間的距離滿足B．C．對應(yīng)三棱錐的體積的最大值為D．當(dāng)二面角為時，【答案】AB【詳解】如圖所示，取的中點，連接對于，在正方形中，，將正方形沿其對角線進行折疊，易得兩點間的距離滿足，故A正確；對于,，ON,OD含于面BOD平面，又平面，,故B正確；對于，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積的最大，最大為，故C錯誤;對于,因為，所以為二面角的平面角，則當(dāng)時，三角形為等邊三角形，則,故錯誤，故選：AB.【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）如圖，已知中，是邊上的高，以為折痕折疊，使為直角.求證：平面平面，平面平面.

【答案】證明見解析【詳解】因為，，，平面，所以平面；因為平面，所以平面平面；已知為直角，所以，又，，平面，因此平面，因為平面ABD，所以平面平面.【變式3】（2023上·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知矩形ABCD中，，，M，N分別為AD，BC中點，O為對角線AC，BD交點，如圖1所示．現(xiàn)將和剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿MN將折疊，并使OA與OB重合，OC與OD重合，連接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN圍成的無蓋幾何體，如圖2所示．

(1)求證：MN⊥平面；(2)求此多面體體積V的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)1【詳解】（1）

在圖2中，取的中點E，連，因為，E為的中點，所以，同理得，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面．（2）根據(jù)圖形的對稱性可知，，因為的面積為，為定值，所以當(dāng)點M到平面OCN的距離最大值時，三棱錐體積最大，此時平面OMC⊥平面ONC，點M到平面OCN的距離等于點M到OC的距離，等于，所以此多面體體積V的最大值為．題型03直線與平面垂直、平面與平面垂直的綜合應(yīng)用【典例1】（2024上·上?！じ叨虾Ｊ袕?fù)旦中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，．

(1)證明：與平面不垂直；(2)證明：平面平面；(3)如果，二面角等于，求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）若平面，則，由已知，得，這與矛盾，所以與平面不垂直．（2）取、的中點、，連接、、，由，，得，，為直角梯形的中位線，，又，平面，由平面，得，又且梯形兩腰、必交，平面,又平面，平面平面,（3）由（2）及二面角的定義知為二面角的平面角,作于，連，由于平面,平面,故,,平面,故平面平面,所以故為二面角的平面角,即，由已知，得，又．，．，故二面角的大小為．

【典例2】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┤鐖D，平行四邊形中，，將沿翻折，得到四面體．(1)若，作出二面角的平面角，說明作圖理由并求其大?。?2)若，求點到平面的距離．【答案】(1)二面角的平面角見解析，(2)【詳解】（1）如圖所示：取點為的中點，連接，則即為所求的二面角的平面角，理由如下：由題意，又因為四邊形是平行四邊形，所以，又因為，所以，又點為的中點，所以由三線合一可知，又面面，所以即為所求的二面角的平面角，而，所以，同理，而，所以在中，由余弦定理有，即.（2）由題意，，由余弦定理有，解得，所以，即，所以由題意有，，又因為，所以，即，又面，所以面，所以，因為，所以，即，所以，不妨設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，解得，即點到平面的距離為.【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平行六面體的底面是菱形，且．試用盡可能多的方法解決以下兩問：

(1)若，記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？【答案】(1)(2)1【詳解】（1）連接、設(shè)和交于，連接，作，垂足為，作，垂足為，連接．

四邊形是菱形，，又，．又，，△△，，，，又，，平面平面，又平面，．是二面角的平面角．方法一：∵，可得，，又．因為平面，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，平面，故平面，而平面，故，∴．又，∴，∴．方法二：在中，．由余弦定理知，又，∴，∴，即．∴是中點，．方法三：∵，，∴，即．∴，∴，，．∴，故．（2）當(dāng)時，能使平面．方法一：由前知平面，∴．當(dāng)時，平行六面體的六個面是全等的菱形．同的證法可得，而平面，故平面．方法二：∵，∴．由題設(shè)可知三棱錐是正三棱錐，設(shè)與相交于．

∵，且，∴．又是正三角形的邊上的高和中線，∴點是正三角形的中心．∴平面，即平面．方法三：如圖，沿面補一個全等的平行六面體．

∴．若平面，則平面．∴．令．由余弦定理可知，．又，則，即．∴，解得或（舍）．由此可知當(dāng)時，平面．方法四：如圖，若平面，則與成的角．過作交的延長線于，則．四邊形為平行四邊形．設(shè)，，則．∵，∴．∴，．在Rt中，，即，∴，解得或（舍去）．由此可知當(dāng)時，平面．

【變式1】（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將沿BE折起到如圖2中的位置，得到四棱錐.(1)證明：；(2)當(dāng)平面平面時，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在圖1中，連接,∵，，E是AD的中點，所以四邊形是正方形，∴,∴在圖2中，，，又，、平面，∴平面.又，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面，又∵平面，∴；（2）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又∵，，∴.【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面是的一條斜線，是在平面內(nèi)的射影，為斜線和平面所成的角．設(shè)，過作的垂線，連結(jié)，則，且即為二面角的平面角（銳二面角），設(shè)．請推導(dǎo)關(guān)于的等式關(guān)系（1）；關(guān)于的等式關(guān)系（2）．并用上述兩結(jié)論求解下題：設(shè)和所在的兩個平面互相垂直，且，求二面角的正弦值的大小．【答案】關(guān)系（1）：；關(guān)系（2）：；.【詳解】關(guān)系（1）：；關(guān)系（2）：；下面給出證明：在題干的左圖中，因為平面，平面，所以，又，，平面,所以平面，且平面，所以，所以，又因為，故關(guān)系（1）：；同理可得：，故關(guān)系（2）：；如下圖，過作延長線于，連結(jié)，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，設(shè)二面角的平面角中的銳角為，因為，所以與全等，所以且，所以，又因為，所以，設(shè)二面角的平面角中的銳角為，由兩個重要關(guān)系，可得，，利用同角的三角關(guān)系可得：，所以，由于為銳角，因此，即二面角的平面角的正弦值為．【變式3】（2024·四川遂寧·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.

(1)求證：；(2)若，在棱上是否存在一點，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見講解；(2)當(dāng)點為中點時，四棱錐的體積為，理由見詳解.【詳解】（1）過點作，垂足為，

因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）當(dāng)點為中點時，四棱錐的體積為，理由如下：

過點作，交于點，因為平面，平面，所以，又，所以，由（1）可知，，所以，即，所以，設(shè)點到平面的距離為，則，所以，即到平面的距離為，在三棱柱中，，由（1）可知，平面，所以平面，又，所以，又，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為，即，故為中點，所以為中點時，四棱錐的體積為.題型04空間垂直的轉(zhuǎn)化【典例1】（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知正方形ABCD所在平面與正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是對角線CE的中點，Q是對角線BD上一個動點，則P，Q兩點之間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】取邊的中點為,連接,P是CE的中點，則,由于,平面平面,平面平面，平面,故平面,平面,故,在直角三角形中，,,要使最小，則最小，故當(dāng)時，此時最小，故的最小值為,所以，、故選：C【典例2】（2023上·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校考期末）如圖，在棱長為1的正方體中，為的中點，點在線段上，點到直線的距離的最小值為．

【答案】【詳解】解：如圖所示，取的中點，連接，，所以，又平面，平面，所以平面，所以直線上任一點到平面的距離即為兩條異面直線與的距離，過點作，因為平面平面，且平面，所以平面．過點作交于點，則，取，連接，則四邊形是矩形，可得平面，在直角中，由，所以，故點到直線的距離的最小值為．故答案為：．

【典例3】（2023上·黑龍江雞西·高二密山市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）兩個邊長為2的正方形和各與對方所在平面垂直，、分別是對角線、上的點，且.

(1)求證：平面；(2)設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)求、兩點間的最短距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）過點作，交于點，連接、，因為，所以，由已知可得，，，所以，，，所以，，所以，，又，所以，因為平面，，平面，所以，平面，同理可得，平面，因為平面，平面，，所以，平面平面，因為平面，所以直線平面.

（2）由（1）可知，，，所以，，所以，，同理可得，，又平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因為平面，所以，因為，，所以，所以，是直角三角形，所以，，即；（3）由，且，所以當(dāng)，即、分別為線段、中點時，有最小值，、兩點間的最短距離為.【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，給出下列說法：①若，且，則；②若，且，則且；③若，，則．其中正確的是．【答案】①②【詳解】對于①，因為兩個平行平面中的一個平面與已知平面垂直，則另一個平面也與這個平面垂直，故①正確；對于②，如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直，故②正確；對于③，可能，故③錯誤.故答案為：①②.【變式2】（2023上·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）正方體棱長為2，為底面的中心，點在側(cè)面內(nèi)運動且，則最小值是.【答案】/【詳解】連接如圖所示線段，其中為中點，由正方體棱長為2，則，則，，有，故，又，且、平面，，故平面，又平面，故，又平面，平面，故，又、平面，，故平面，又為中點，故，故平面，故平面，故，連接點與中點，則有、、、，又，故與全等，則有，故，即，即點在線段上，故當(dāng)時，有最小值，此時有，即，即最小值為.故答案為：.【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知，在與的交線上取線段，且AC，BD分別在平面和平面內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且，，求CD的長.【答案】13【詳解】如圖，連接BC.因為，直線AB是兩個互相垂直的平面和的交線，所以.因為，所以.所以是直角三角形.在中，.在中，.所以CD長為13.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知直線a、b與平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】由線面位置關(guān)系的判定，分析選項中結(jié)論是否正確.【詳解】A選項，缺條件，結(jié)論不成立；B選項，直線與直線可能平行可能異面，結(jié)論不成立；C選項，由直線與平面垂直的定義可知，結(jié)論正確D選項，直線可能與平行，可能在內(nèi)，也可能與相交，不一定滿足垂直，結(jié)論不成立.故選：C2．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知在長方體中，在平面上任取一點，作于，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．以上都有可能【答案】A【分析】易知平面，由面面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】

平面，，即平面，平面，又平面平面，平面平面，平面.故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】AB選項，可以舉出反例，C選項，可以通過面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)進行證明；D選項可以證明出.【詳解】如圖，滿足，但不垂直，A錯誤；若，則或異面，或相交，B錯誤；因為，則或，又因為，所以，C正確；因為，所以，又因為，設(shè)，則，所以則，D錯誤.故選：C4．（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知矩形中，，，是的中點，沿直線將△翻折成△，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)平面平面，此時點到平面的距離取得最大值，取的中點，得到，證得平面，得到三棱錐的高為，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，要使得三棱錐的體積取得最大值，當(dāng)平面平面，此時點到平面的距離取得最大值，取的中點，因為，可得，因為平面平面，且平面，所以平面，在直角中，可得，即三棱錐的高為，又由三角形的面積為，所以三棱錐的體積的最大值.故選：B.

5．（2023·廣東·校聯(lián)考二模）如圖，在四面體中，，平面平面為線段的中點，則下列判斷錯誤的是（

）

A． B．平面C． D．平面【答案】C【分析】利用面面垂直的性質(zhì)可判定線面垂直，從而得出線線垂直，即可判定A、B、D三項正確.【詳解】因為平面平面，平面平面，所以平面，即B項正確；因為平面，所以，即A正確；因為為線段的中點，所以，同理可得平面，即D正確；因為平面，平面，所以，平面，若，則平面，顯然不重合，故C錯誤.故選：C6．（2023上·遼寧大連·高二校考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，、分別是線段、上異于端點的動點，且，現(xiàn)將沿直線折起至，使平面平面，當(dāng)從滑動到A的過程中，的大小變化是（

）

A．由小變大 B．由大變小 C．先變小后變大 D．大小不變【答案】D【分析】不妨設(shè)，根據(jù)面面垂直可得平面，進而可得，可求，在中，利用余弦定理運算求解.【詳解】不妨設(shè)，則，可得，連接，因為，，則，即，平面平面，平面平面，平面，可得平面，且平面，所以，可得，在中，，且，則，所以的大小不變.故選：D.

7．（2023下·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）如圖，三棱臺中，底面是邊長為6的正三角形，且，平面平面，則棱（

）

A． B． C．3 D．【答案】A【分析】取中點分別為，連接,過點作的垂線，垂足為，從而在直角梯形求解即可.【詳解】

如圖，取中點分別為，連接,過點作的垂線，垂足為，因為，所以，且,所以,因為平面平面，平面平面，面,所以平面，又因為平面，所以，又因為在三棱臺中，，所以四邊形為直角梯形，因為,,所以，所以在直角三角形中，,故選:A.8．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，將正方形ABCD沿對角線AC折疊后，平面平面DAC，則二面角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，作出二面角的平面角，再在直角三角形中計算作答.【詳解】設(shè)正方形的邊長為a，取AC的中點O，連接BO，則，過O作AD的平行線OE交CD于E，連接BE，如圖，

因為平面平面DAC，平面平面，平面，則平面DAC，而平面DAC，于是，又，平面BOE，則平面BOE，而平面BOE，即有，因此為二面角的平面角，顯然，，有，即為直角三角形，有，則，所以.故選：C二、多選題9．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）關(guān)于三個不同平面、、與直線，下面命題中的真命題是(

)A．若，則內(nèi)一定存在直線平行于B．若與不垂直，則內(nèi)一定不存在直線垂直于C．若，，，則D．若，則內(nèi)所有直線都垂直于【答案】ABC【分析】設(shè)，則內(nèi)所有平行于的直線都平行，據(jù)此可判斷AD；采用假設(shè)法可判斷B；通過面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判斷定理和性質(zhì)可證明C為真命題.【詳解】對于A，假設(shè)，則內(nèi)所有平行于的直線都平行，故A為真命題；對于B，假設(shè)內(nèi)存在直線垂直于，則，與題設(shè)矛盾，故假設(shè)錯誤，故B為真命題；對于C，設(shè)，，設(shè)m是α內(nèi)，n是β內(nèi)不同于l的直線，且m⊥a，n⊥b，∵，，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，∵mα，nα，∴n∥α，∵nβ，α∩β＝l，∴n∥l，∴l(xiāng)⊥γ，故C為真命題；對于D，假設(shè)，a，但aβ，故D為假命題．故選：ABC．10．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）已知a，b為空間中兩條不同直線，，為空間中兩個不同的平面，則下列命題一定成立的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】ABD【分析】利用面面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)即可求解.【詳解】對于A，由，，得，又因為，所以，故A正確；對于B，由，，得，因為，所以，故B正確；對于C，由，，，得與異面或平行，故C錯誤；對于D，由，，得或，又因為，所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題11．（2023下·江蘇連云港·高二連云港高中校考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，則二面角的正切值等于．【答案】－2【分析】在平面ABC內(nèi)，過作，可證得平面，AH⊥平面BCD，過作，可得平面，則，故為二面角的平面角的補角，設(shè)，求出，即可得出答案.【詳解】在平面ABC內(nèi)，過作，垂足為，連接DH，由題意，，平面，∴平面，∵和所在的平面互相垂直，且平面平面，∴AH⊥平面BCD，過作，垂足為，連接AR，∵平面，平面，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴，故為二面角的平面角的補角．設(shè)，則由題設(shè)知，，在中，，，故二面角的正切值為－2．故答案為：－2．12．（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，矩形中，，為邊的中點，將沿直線翻折至的位置．若為線段的中點，在翻折過程中（平面），給出以下結(jié)論：①存在，使；②三棱錐體積最大值為；③直線平面．則其中正確結(jié)論的序號為．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】②③【分析】①假設(shè)存在，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到，再說明與不垂直，與矛盾，即可得到假設(shè)不成立；②根據(jù)題意得到當(dāng)平面平面時，三棱錐體積最大，然后求體積即可；③證明平面∥平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可得到∥平面.【詳解】取中點，連接，，①假設(shè)存在，因為為中點，，所以，又為中點，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，為中點，所以與不垂直，與矛盾，故假設(shè)不成立，故①錯誤；②當(dāng)平面平面時，三棱錐體積最大，因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，，此時，所以三棱錐體積最大值為，故②正確；③取中點，連接，，因為，分別為，的中點，所以，因為為矩形，且為的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以∥平面，因為，平面，所以平面∥平面，因為平面，所以∥平面，故③正確.故答案為：②③.四、解答題13．（2023上·上?！じ叨A段練習(xí)）已知四邊形為直角梯形，，，為等腰直角三角形，平面⊥平面，E為的中點，，．

(1)求證：平面；(2)求證：⊥平面；(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）證明：取中點F，連，因為E為的中點，所以且，又，，所以且，故四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；

（2）證明：由題意：，．∵，∴⊥，又平面⊥平面，平面平面，平面，∴⊥平面，∵平面，∴PD⊥AB，∵為等腰直角三角形，∴⊥，∵，平面，∴⊥平面；

（3）∵為等腰直角三角形，，∴，∵⊥平面，平面，∴⊥，又，故，由（2）得，⊥平面，又為的中點，所以.14．（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，.(1)求證：平面；(2)若，平面平面.若為中點，求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）因為四邊形為正方形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）若，則為等邊三角形，如圖，因為為中點，所以，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面.又平面，所以.又，，平面，所以平面.又平面，所以.B能力提升1．（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）如圖，平面四邊形中，，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，四面體的頂點在同一個球面上，則該球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】

取的中點，的中點，連接，由題意可知，，所以，由于平面平面，所以平面，所以,，所以，在中，，所以四面體的外接球的球心為，半徑為，所以該球的體積.故選：B2．（2023上·吉林長春·高二長春市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何問題有著深入的研究，從其