高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第32講 8.5.2 直線與平面平行（學(xué)生版）

第09講8.5.2直線與平面平行課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問題。②掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確由線面平行可推出線線平行。1.線面平行的判定定理中，包含要素:兩線一面.兩線一面的關(guān)系是:一線在面外一線在面內(nèi).結(jié)論是:線面平行.線面平行的性質(zhì)定理中，包含要素:兩線兩面.兩線兩面的關(guān)系是:一線在一面內(nèi)平行于另一面，一線是兩面的交線，結(jié)論是:兩線平行。2.熟記和理解直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，就能靈活運用實現(xiàn)“線線”“線面”平行的轉(zhuǎn)化知識點01：直線與平面平行(1)直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號表述：圖形語言直線與平面的平行關(guān)系(空間問題)轉(zhuǎn)化為直線間的平行關(guān)系(平面問題)即線線平行線面平行【即學(xué)即練1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）能保證直線a與平面α平行的條件是（

）A．b?α，abB．b?α，cb，acC．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a(chǎn)?α，b?α，ab【答案】D【詳解】根據(jù)線面平行的判定定理知，選項A：條件缺少，所以不成立，故A錯誤；選項B：同上，條件缺少，所以不成立，故B錯誤；選項C：b?α，A、B∈a，C、D∈b，要加且ABCD，所以不成立，故C錯誤；選項D：根據(jù)線面平行的判定定理知結(jié)論成立，故D正確；故選：D．(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行符號表述：，，簡記：線線平行線面平行注意：①定理中三個條件缺一不可②簡記：線面平行，則線線平行③定理的作用：判斷直線與直線平行的重要依據(jù)④定理的關(guān)鍵：尋找平面與平面的交線【即學(xué)即練2】（多選）（湖南省衡陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）若三個不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（

）A．重合 B．相交于一點 C．兩兩平行 D．恰有兩條交線平行【答案】ABC【詳解】如圖，作出一個長方體.對于A項，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線,故A項正確；對于B項，可把平面依次取為平面，此時，,,,而易得三條交線交于同一點D，故B項正確；對于C項，可把平面依次取為平面,此時，,,,而易得三條交線兩兩平行，故C項正確；對于D項，可把平面依次取為平面,此時，,,,若只有,因平面，而平面，則平面,又平面,而平面平面=，則有,即交線的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項錯誤.故選：ABC.題型01判斷，證明線面平行【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在長方體中，點P，R分別為BC，上的動點，當(dāng)點P，R滿足什么條件時，平面？【典例3】（2024上·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，平面，、分別為、的中點.(1)求三棱錐的體積；(2)證明：平面.【變式1】（多選）（2024上·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在下列底面為平行四邊形的四棱錐中，A，B，C，M，N是四棱錐的頂點或棱的中點，則MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.求證：平面；【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是菱形，，分別是，的中點．求證：平面.

題型02補全線面平行的條件【典例1】（2023上·北京·高二北師大二附中校考期中）已知在棱長均為的正三棱柱中，點為的中點，若在棱上存在一點，使得平面，則的長度為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱臺中，，E，F(xiàn)分別是的中點，點M在上，，若點N在平面內(nèi)，且平面，則點N的位置是．（寫出一種即可）【典例3】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，在五面體中，，底面ABC是正三角形，．四邊形是矩形，問：D在AC上運動，當(dāng)D在何處時，有平面，并說明理由．【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在空間中，直線平面的一個充要條件是（

）A．內(nèi)有一條直線與平行 B．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行C．任意一條與垂直的直線都垂直于 D．存在一個與平行的平面經(jīng)過【變式2】（多選）（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知、是兩條互相平行的直線，是一個平面．若要使得，則需添加下列哪些條件（

）A． B． C． D．【變式3】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AA1中點，點P在側(cè)面BCC1B1上運動，當(dāng)點P滿足條件時，A1P平面BCD(答案不唯一，填一個滿足題意的條件即可)題型03線面平行的性質(zhì)【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．求證：.【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）木工小羅在處理如圖所示的一塊木料時，發(fā)現(xiàn)該木料表面內(nèi)有一裂紋，已知平行于平面AC．他打算經(jīng)過點M和棱將木料鋸開，卻不知如何畫線，你能幫助他解決這個問題嗎？

【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，為線段的中點，平面與棱相交于點.求證：.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，點、分別為棱、的中點，點是線段上的點（不包括兩個端點）．設(shè)平面與平面相交于直線，求證：.【變式2】（2023·全國·高一課堂例題）如圖，點A，B分別位于異面直線a，b上，過AB中點O的平面與a，b都平行，M，N分別是a，b上異于A，B的另外兩點，MN與交于點P．求證：P是MN的中點．

【變式3】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）空間四邊形中，點為邊上的點，且，求證：.

題型04由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點所在位置【典例1】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（

）

A．1 B．2 C． D．【典例2】（2023上·河南·高三安陽縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為棱上的點，，且平面，則.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，且，點在線段（含端點）上運動，設(shè)．當(dāng)平面時，求實數(shù)的值.【變式1】（2023上·上海浦東新·高三校考期中）如圖，四邊形是平行四邊形，是平面外一點，為上一點，若平面，則．

【變式2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）四棱錐中，底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為線段，上的點，，若平面，則.【變式3】（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）A是所在平面外一點，M是的重心，N是的中線AF上的點，并且平面BCD，當(dāng)時，．

題型05由線面平行求線段長度【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知直三棱柱的側(cè)棱和底面邊長均為分別是棱上的點，且，當(dāng)平面時，的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點，分別在和上，并且，平面，則線段的長為．【典例3】（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱上的動點，點P在棱上，且，若平面PBD，求EF的長.

【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正方體的棱長為1，點是平面的中心，點是平面的對角線上一點，且平面，則線段的長為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是上底面內(nèi)一點（含邊界），若平面，則點的軌跡長為.【變式3】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖，是棱長為正方體的棱上的一點，且平面，求線段的長．A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）若直線平面，，且直線與點位于的兩側(cè)，，，，分別交平面于點，，若，，，則的長為（

）A．3 B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形是梯形，，且平面，M是AC的中點，與平面交于點N，，，則等于（

）A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.53．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面其中正確的命題（）①，；②，；③，；④，；⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤4．（2023下·廣東東莞·高一東莞實驗中學(xué)?？计谥校┮阎睦庵?，則下面四條直線中與平面平行的是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)是線段上的兩個動點，平面，則的長度為（

）

A． B． C． D．26．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知三棱柱中，D，E分別是AB，的中點，有以下四個結(jié)論：①直線平面；

②直線平面；③直線平面；

④直線平面CDE.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（

）

A．1 B．2 C． D．8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知圓錐的頂點為S，AB為底面圓的直徑，點M，C為底面圓周上的點，并將弧AB三等分，過AC作平面，使，設(shè)與SM交于點N，則的值為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2024上·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在下列底面為平行四邊形的四棱錐中，A，B，C，M，N是四棱錐的頂點或棱的中點，則MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

10．（2023下·貴州黔東南·高一?？茧A段練習(xí)）若直線平面，且直線不平行于平面.給出下列結(jié)論正確的是（

）A．內(nèi)的所有直線與異面 B．內(nèi)存在直線與相交C．內(nèi)存在唯一的直線與平行 D．內(nèi)不存在與平行的直線三、填空題11．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，E為AD的中點，點F在CD上，若平面，則.12．（2024·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）如圖，為平行四邊形所在平面外一點，分別為上一點，且，當(dāng)平面時，.

四、解答題13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.求證：平面；14．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中底面是正方形，四條側(cè)棱均相等，點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH.求證：.B能力提升1．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）四棱錐中，底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為線段，上的點，，若平面，則.2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，過的平面交于G，則截面的面積為