高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第29講 8.4.1 平面（學(xué)生版）

第06講8.4.1平面課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解平面的表示方法，點(diǎn)、直線與平面的位置關(guān)系。②掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個(gè)基本事實(shí)。③會(huì)用符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。1.認(rèn)識(shí)新的幾何元素“平面”及其性質(zhì)；2.讓學(xué)生經(jīng)歷將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的過程；3.讓學(xué)生在直觀感受的基礎(chǔ)上形成三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論，初步體會(huì)歐幾里得公理化體系；知識(shí)點(diǎn)01：平面的概念與畫法（1）平面的概念幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.幾何里的平面是無(wú)限延展的.平面是絕對(duì)平的；平面是無(wú)限延展的，不可度量；平面沒有厚度.（2）平面的畫法①水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫成,且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如圖(1).②如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來(lái).如圖(2).（3）平面的表示平面通常用希臘字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示，如平面、平面等.知識(shí)點(diǎn)02：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（是點(diǎn)，、是直線，、是平面）文字語(yǔ)言表達(dá)圖形語(yǔ)言表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線外點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)在平面外直線在平面內(nèi)直線在平面外平面,相交于知識(shí)點(diǎn)03：平面的基本性質(zhì)（1）基本事實(shí)1①過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；②圖形語(yǔ)言：③應(yīng)用：確定平面的依據(jù)；判斷兩個(gè)平面是否重合；證明點(diǎn)線共面.④說明：對(duì)于基本事實(shí)1中的“有且只有一個(gè)”，這里的“有”是說圖形存在,“只有一個(gè)”是說圖形唯一,本公理強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩個(gè)方面,因此“有且只有一個(gè)”,必須完整地使用,不能僅用“只有一個(gè)”來(lái)代替“有且只有一個(gè)”.否則就沒有表達(dá)存在性.確定一個(gè)平面中的“確定”是“有且只有一個(gè)”的同義詞,也就是存在性和唯一性這兩個(gè)方面的,這個(gè)術(shù)語(yǔ)今后學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn).（2）基本事實(shí)2①如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)；②符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言：，，且，③應(yīng)用：判斷直線或點(diǎn)是否在平面內(nèi)的依據(jù).④說明：基本事實(shí)2表明，可以用直線的“直”刻畫平面的“平”，用直線的“無(wú)限延伸”刻畫平面的“無(wú)限延展”.如圖,由基本事實(shí)勝于雄辯,給定不共線的三點(diǎn),它們可以確定一個(gè)平面;連接,,,由基本事實(shí)2.這三條直線都在平面內(nèi)，進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點(diǎn)所得直線也都在平面內(nèi),所有這些直線可以編織成一個(gè)“直線網(wǎng)”，這個(gè)“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面.組成“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個(gè)方向無(wú)限延伸，說明了平面的“平”和“無(wú)限延展”.（3）基本事實(shí)3①如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線②符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，且③應(yīng)用：判斷兩平面是否相交及確定交線的依據(jù)；證明三點(diǎn)共線；證明三線共點(diǎn)；作兩平面的交線.④說明：基本事實(shí)3告訴我們，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交于過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.兩個(gè)平面相交成一條直線的事實(shí)，使我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了平面的“平”和“無(wú)限延展”.知識(shí)點(diǎn)04：基本事實(shí)1和基本事實(shí)2的三個(gè)推論（1）推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（2）推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面（3）推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面【即學(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）有下列四個(gè)判斷：①兩條相交直線確定一個(gè)平面；②兩條平行直線確定一個(gè)平面；③三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；④一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面.正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】?jī)蓷l相交直線確定一個(gè)平面，兩條平行直線確定一個(gè)平面，①②正確.在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，③錯(cuò)誤.直線和直線上一點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，④錯(cuò)誤.所以正確的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B題型01文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用符號(hào)表示“點(diǎn)A不在直線上，直線在平面內(nèi)”，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示，點(diǎn)，線，面之間的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言關(guān)系為（

）A．， B．， C．， D．，【典例3】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知，為不重合的兩個(gè)平面，A，B，M，N為空間中不同的四個(gè)點(diǎn)，a為直線，則下列推理正確的是.（填序號(hào)）①，，，；②，，，；③，.【變式1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如果A點(diǎn)在直線上，而直線在平面內(nèi)，點(diǎn)在內(nèi)，可以用集合語(yǔ)言和符號(hào)表示為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式2】（2023上·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）用集合符號(hào)表示下列語(yǔ)句：(1)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)不在直線上；(2)平面與平面相交于過點(diǎn)的直線．題型02平面性質(zhì)基本事實(shí)及推論的應(yīng)用【典例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（

）

A． B．9 C． D．【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示的正方體中，是棱上的一點(diǎn)，試說明、、三點(diǎn)確定的平面與平面相交，并畫出這兩個(gè)平面的交線.【變式1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)平面與平面相交于直線,直線，直線,,則M（用符號(hào)表示）．【變式2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體，P為棱的中點(diǎn)，畫出由，，P三點(diǎn)所確定的平面與長(zhǎng)方體表面的交線．

題型03四點(diǎn)共面問題【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在正方體中，、、、分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中、、、四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（2023上·山西大同·高三大同一中校考階段練習(xí)）已知正方體中，為的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三點(diǎn)共線 B．四點(diǎn)共面C．四點(diǎn)共面 D．四點(diǎn)共面【變式1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A．、、、四點(diǎn)共面，且與平行B．、、、四點(diǎn)共面，且與相交C．、、、四點(diǎn)共面，且與平行D．、、、四點(diǎn)不共面【變式2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在四面體ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且.求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在空間四面體中，分別是，的中點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且.求證：（1）四點(diǎn)共面；題型04三點(diǎn)共線問題【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交平面于P，Q，R三點(diǎn)．求證：P，Q，R三點(diǎn)在同一直線上．【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且．設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．【變式1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在正方體中，棱長(zhǎng)，M，N，P分別是，，的中點(diǎn)．(1)直線交PN于點(diǎn)E，直線交平面MNP于點(diǎn)F，求證：M，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．(2)求三棱錐的體積．【變式2】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.題型05三線共點(diǎn)問題【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：直線、、交于一點(diǎn)；(2)若，求多面體的體積．

【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在正四棱臺(tái)中，．(1)求正四棱臺(tái)的體積；(2)若分別為棱的中點(diǎn)，證明：相交于一點(diǎn)．【變式1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)．【變式2】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，不共面的四邊形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求證：三條直線AA'，BB'，CC'相交于一點(diǎn)．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）三個(gè)平面不可能將空間分成（

）個(gè)部分A．5 B．6 C．7 D．82．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列各圖符合立體幾何作圖規(guī)范要求的是（）A．直線在平面內(nèi) B．平面與平面相交 C．直線與平面相交 D．兩直線異面3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是（

）A．B．C．D．4．（2023下·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l在平面內(nèi)，點(diǎn)A不在直線l上，下列用集合表示這些語(yǔ)句的描述中，正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下面表述與結(jié)論都正確的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合B．若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線C．空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)D．三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成七個(gè)部分二、多選題7．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考期中）下列說法正確的是（

）A．棱柱的側(cè)面一定是矩形B．三個(gè)平面至多將空間分為3個(gè)部分C．圓臺(tái)可由直角梯形以高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成D．任意五棱錐都可以分成3個(gè)三棱錐8．（2023下·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下面四個(gè)命題中，正確的為（

）A．相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．B．在平面外，其三邊延長(zhǎng)線分別和交于P，Q，R，則P，Q，R一定共線C．一個(gè)角的兩邊所在直線分別平行于另一個(gè)角的兩邊所在直線，則這兩角相等D．在三維空間中，三個(gè)平面最多把空間分成八部分．三、填空題9．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）一個(gè)平面把空間分為部分；兩個(gè)平面把空間分為部分；三個(gè)平面把空間分為部分．四、解答題11．（2023下·黑龍江大慶·高一?？计谥校?）直線和兩條異面直線都相交，畫出每?jī)蓷l相交直線所確定的平面，并標(biāo)上字母；（2）如圖，已知是空間四點(diǎn)，且點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)不在直線上．求證：直線在同一平面內(nèi)．

12．（2023下·高一單元測(cè)試）如圖，P是所在平面外一點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，試過點(diǎn)做平行于的平面，要求：

(1)畫出平面分別與平面，平面，平面的交線；(2)試對(duì)你的畫法給出證明．B能力提升1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（

）

A． B．9 C． D．2．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺(tái)中，上底面邊長(zhǎng)為3，下底面邊長(zhǎng)為6，體積為，點(diǎn)在上且滿足，過點(diǎn)的平面與平面平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M為底面的中心，，，N為線段AQ的中點(diǎn)，則（

）

A．CN與QM共面B．三棱錐的體積跟的取值無(wú)