2024年濰坊市昌樂(lè)縣高三數(shù)學(xué)3月模擬考試卷附答案解析

2024年濰坊市昌樂(lè)縣高三數(shù)學(xué)3月模擬考試卷（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）2024.03一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）．A．3 B． C．2 D．3．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，若，則（

）A．2 B． C．4 D．4．已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．26．已知公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是等比數(shù)列，則當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A．2或3 B．2 C．3 D．47．若，則（

）A． B． C． D．8．能被3個(gè)半徑為1的圓形紙片完全覆蓋的最大的圓的半徑是（

）A． B． C． D．二．多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．隨機(jī)變量且，隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．10．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說(shuō)法正確的有（

）

A．動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為B．三棱錐體積的最小值為C．與不可能垂直D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為11．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形C．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為，則三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式為.13．若m，n是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，且m，n，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則.14．已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，則；當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為．四．解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15．如圖，四棱錐的底面是矩形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)平面與直線交于點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?6．某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請(qǐng)完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(jì)(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會(huì)導(dǎo)致肥胖等諸多健康問(wèn)題．以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.63517．已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)于任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知函數(shù)．(1)若在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：，．19．如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為．

(1)若直線與軸的交點(diǎn)為，求證：；(2)過(guò)點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：．1．B【分析】分別求兩個(gè)集合，再求集合的混合運(yùn)算.【詳解】，得，即，，得，即，，所以.故選：B2．A【分析】根據(jù)和的幾何意義，結(jié)合雙曲線的圖象即可得到的最小值.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則表示點(diǎn)到的距離與到的距離的差為4，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，圖象如下所示：

表示點(diǎn)到的距離，所以的最小值為3.故選：A.3．B【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

由可得為的中點(diǎn)，所以，易知，可得，所以.故選：B4．A【分析】根據(jù)橢圓離心率定義，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論即可判斷出結(jié)論.【詳解】由可得橢圓，此時(shí)離心率為，此時(shí)充分性成立；若橢圓的離心率為，當(dāng)時(shí)，可得離心率為，解得，即必要性不成立；綜上可知，“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件.故選：A5．A【分析】結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)取得最小值，然后可解.【詳解】將圓化為，圓心，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓C內(nèi)，記圓心C到直線l的距離為d，則，由圖可知，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，因?yàn)?，所以的最小值?故選：A

6．B【分析】利用等比數(shù)列的意義列式，用公差表示出，再確定數(shù)列的所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是等比數(shù)列，得，解得，則，顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)取最大值時(shí)，.故選：B7．D【分析】首先根據(jù)公式化解條件等式，再結(jié)合二倍角和兩角差的正弦公式，即可化解求值.【詳解】由條件等式可知，，整理為，則，又，，所以，，所以.故選：D8．C【分析】根據(jù)給定條件，借助圓的對(duì)稱性可得已知3個(gè)圓的圓心構(gòu)成正三角形，由此建立函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【詳解】要求出被完全覆蓋的最大的圓的半徑，由圓的對(duì)稱性知只需考慮三個(gè)圓的圓心構(gòu)成等邊三角形的情況，設(shè)三個(gè)半徑為1的圓的圓心分別為，設(shè)被覆蓋的圓的圓心為，如圖，設(shè)圓與交于交于交圓于，顯然為正的中心，設(shè)，則，，又，因此圓的最大半徑為，令，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以被完全覆蓋的最大的圓的半徑為，此時(shí)，即圓?圓?圓中的任一圓均經(jīng)過(guò)另外兩圓的圓心．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及幾何圖形最值問(wèn)題，借助幾何圖形建立函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)最值是關(guān)鍵.9．AC【分析】對(duì)于AB，根據(jù)正態(tài)分布的期望方差性質(zhì)可判斷；對(duì)于C，根據(jù)及二項(xiàng)分布期望公式可求出p；對(duì)于D，根據(jù)二項(xiàng)分布方差的計(jì)算公式可求出，進(jìn)而求得.【詳解】對(duì)AB，因?yàn)榍?，所以，故，，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)椋?，所以，解得，選項(xiàng)C正確；對(duì)D，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.10．ABD【分析】對(duì)A由平面，聯(lián)想到存在一個(gè)過(guò)的平面與平面平行，利用正方體特征找到平面平面,進(jìn)而得到的軌跡為線段，對(duì)B，根據(jù)棱錐體積公式分析即可，對(duì)C舉反例即可；對(duì)D，利用勾股定理求出外接球半徑即可.【詳解】對(duì)A，如圖，令中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，又正方體中，為棱的中點(diǎn)，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），平面平面，而平面平面，，即的軌跡為線段.由棱長(zhǎng)為2的正方體得線段的長(zhǎng)度為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時(shí)，體積最小，如圖，，易得在處時(shí)最小，此時(shí),所以體積最小值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，由可得,又中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,，而，,故選項(xiàng)C不正確；對(duì)D，如圖，當(dāng)在處時(shí)，三棱錐的體積最大時(shí)，由已知得此時(shí),所以在底面的射影為底面外心，,,,所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點(diǎn)，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為,由,,可得外接球半徑，外接球的表面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.

11．BCD【分析】借助指數(shù)函數(shù)的值域求解判斷A；利用給定定義計(jì)算判斷B；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則結(jié)合對(duì)稱性判斷C；利用中心對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，顯然的定義域?yàn)镽，，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，即函數(shù)是奇函數(shù)，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，即，兩邊求導(dǎo)得，即，因此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；對(duì)于D，由函數(shù)滿足為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，由選項(xiàng)B知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.12．【分析】根據(jù)圖象可得,可以求出，即可得到解析式.【詳解】根據(jù)圖象可得,而，則，所以或，又，所以，由所以則，即,由，所以，故時(shí)，，所以.故答案為：.13．【分析】由題可確認(rèn)m，n同為正數(shù)，則成等比數(shù)列，又不妨設(shè)，則成等差數(shù)列，即可得答案.【詳解】由題可得，則成等比數(shù)列，得.又不妨設(shè)，則成等差數(shù)列，得.結(jié)合，可得，解得或（舍去），即.故答案為：14．【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，以及基本不等式，即可分別求解.【詳解】設(shè)，則，可得，又因?yàn)榉謩e為雙曲線的左右頂點(diǎn)，可得，所以；又由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，解得，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；.15．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理證明平面，可得，再利用向量法證明，然后由線面垂直判定定理可證；（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可解.【詳解】（1）因?yàn)闉檎切危侵悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，又在平面?nèi)且相交，故平面（2）分別為的中點(diǎn)，，又平面過(guò)且不過(guò)，平面．又平面交平面于，故，進(jìn)而，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)．以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，

設(shè)平面法向量為，則，即，取，得，則，因?yàn)?，所?16．(1)填表見解析；性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系(2)，(3)分布列見解析；期望為【分析】（1）由60名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，代入公式可得，即可得結(jié)論；（2）求出隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，由二項(xiàng)分布即可得和；（3）易知的所有可能取值為，利用超幾何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計(jì)213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無(wú)關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1（2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布，易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到時(shí)，，兩式相減得到，得到及均為公差為4的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，證得為恒成立，設(shè)，求得數(shù)列的單調(diào)性和最大值，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，即，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減得，因?yàn)椋?，所以及均為公差?的等差數(shù)列：當(dāng)時(shí)，由及，解得，所以，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知，可得，因?yàn)閷?duì)于任意成立，所以恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，所以，故，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求得，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，得出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，即可求解.（2）當(dāng)時(shí)，得到且，當(dāng)時(shí)，只需使得，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)遞增，得到；當(dāng)時(shí)，顯然滿足；當(dāng)時(shí)，由和，得到，即可得證.【詳解】（1）由函數(shù)，可得，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，可得在R上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，最大值，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，可得可得，要使得，只需使得，當(dāng)時(shí)，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，又由，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，可得且，所以，滿足；當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)榍遥?，所以，綜上可得，對(duì)于，都有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解答的關(guān)鍵是將證明時(shí)，不等式成立，轉(zhuǎn)化為證明，然后分類討論x的取值范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可證明結(jié)論.19．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線方程求得，，即可得，得證；（2）寫出過(guò)點(diǎn)的的垂線方程，解得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，