2023年四川省宜賓市高考數(shù)學(xué)二診試卷（理科）

2023年四川省宜賓市高考數(shù)學(xué)二診試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={刈-2＜尢＜3},8=2,則4。8=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.[1,2,3）

2.已知（3-2i）z=5+K則3=（）

A.1+iB.1-iC.3+2tD.2+3i

3.2月國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布中華人民共和國2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào).圖1是2018-

2022年國內(nèi)生產(chǎn)總值及其增長速度，圖2是2018-2022年三次產(chǎn)業(yè)增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值比

重（三次產(chǎn)業(yè)包括第一產(chǎn)業(yè)，第二產(chǎn)業(yè)，第三產(chǎn)業(yè)）.根據(jù)圖1,圖2,以下描述不正確的是（）

億元圖I2018-2022年國內(nèi)生產(chǎn)總值及其増長速度％

I~|國內(nèi)生產(chǎn)總值比上年増K,

11492371210207

1200000

<)865151013567

1000000919281

800000

600000

400000

200000

0

20182019202020212022

圖1

%圖22018-2022年三次產(chǎn)業(yè)増加債占國內(nèi)生產(chǎn)總値比依

100

80

60

40

20

0

A.2018-2022年國內(nèi)生產(chǎn)總值呈逐年增長的趨勢

B.2020年與2022年國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長速度較上一年有明顯回落

C.2018-2022年第三產(chǎn)業(yè)增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值比重的極差為1.7%

D.2020年第二產(chǎn)業(yè)增加值較2019年有所減少

4.已知函數(shù)/（乃=公05工一/-1有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是（）

A.0B.1C.2

5.四邊形40EH由如圖所示三個(gè)全等的正方形拼接而成,令

Z.EAD=a,/.FAD~p,則tan(0—a)=()

417

CD

---

A.376

6.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是

兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的最長棱的長度為（）

A.1￡H!H

B.V2

C.V3

D.2

7.下列判斷正確的是（）

A.若%>1,則％+六的最小值是5

B.若x<y,則；>:

“y

C.若x6（0,兀），貝！Js譏％+的最小值是

D.若x>y,則工2>y2

8.如圖是梁思成研究廣濟(jì)寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直于房梁的截面，其中7是房

梁與該截面的交點(diǎn)，A,B分別是兩房檐與該截面的交點(diǎn)，該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直

于水平面的面）對稱，測得柱子C1與C2之間的距離是舊厶（厶為測量單位），柱子C2與C3之間的距

離是26厶.如果把47,B7視作線段，記P1，P2,P3是4T的四等分點(diǎn)，Q1,Q2>Q3是B7的四

等分點(diǎn)，若BQ?=2L,則線段P3Q2的長度為（）

A.V7LB.V3LC.V5LD.2V2L

9.已知長方體ABCO-必當(dāng)?shù)臑橹?，AB=2,BC=AAt=1,E為4當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)，則下列判

斷不正確的是（）

A.41c〃平面EBQ

B.點(diǎn)片到平面EBCi的距離是苧

C.BjD丄平面EBG

D.異面直線EC與BD所成角的余弦值為筆

10.已知雙曲%-泊l(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為Fi，尸2，點(diǎn)P在雙曲線的右支

上，/為△P&Fz的內(nèi)心，記△PFJ，△PF2I,△/Fi6的面積分別為S「S2，S3,且滿足&=52+學(xué)

則雙曲線的離心率是()

A.V2B.V3C.2D.3

11.已知函數(shù)丫=短的圖象在點(diǎn)P(a,b)(其中a<2)處的切線與圓心為Q(l,0)的圓相切，則圓

Q的最大面積是()

A.itB.27rC.37rD.4兀

12.已知函數(shù)/(%)=V3sin2cox4-2sina)xcosa)x—V3cos2a)x—l(a)>0),給出下列4個(gè)結(jié)論:

①/(%)的最小值是-3；

②若3=1,則f(X)在區(qū)間(一芻招)上單調(diào)遞增；

③將y=s譏x的函數(shù)圖象橫坐標(biāo)縮短為原來的?咅，再向右平移點(diǎn)個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)

單位長度，可得函數(shù)y=f(x)的圖象，則3=2；

④若存在互不相同的%1，x2,x3G[0,n],使得/1Qi)+/(%2)+/。3)=3,則32,

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②

二、填空題(本大題共4小題，共分)

13.在AABC中，。是BC的中點(diǎn)，40=4,點(diǎn)P為40的中點(diǎn)，則而?(而+正)=—.

14.當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)碳14會按照確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來

的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式k(t)=

心?)備，(其中k0為生物死亡之初體內(nèi)的碳14含量，t為死亡時(shí)間(單位：年)，通過測定發(fā)現(xiàn)

某古生物遺體中碳14含量為則該生物的死亡時(shí)間大約是_年前.

15.已知拋物線C：y2=■的焦點(diǎn)為尸.過點(diǎn)(2Q)的直線,與拋物線分別交于力，B兩點(diǎn)，則

\AF\+4|BF|的最小值為.

16.已知三棱錐4-BCD的四個(gè)面都是邊長為2的正三角形，M是AABC外接圓。1上的一點(diǎn)，

P為線段01。上一點(diǎn)，P0]=存N是球心為P,半徑為苧的球面上一點(diǎn)，則MN的最小值是一

三、解答題（本大題共7小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題12.0分）

2022年中國新能源汽車銷量繼續(xù)蟬聯(lián)全球第一，以比亞迪為代表的中國汽車交出了一份漂亮

的“成績單”，比亞迪新能源汽車成為2022年全球新能源汽車市場銷量冠軍，在中國新能源

車的銷量中更是一騎絕塵，占比約為30%.為了解中國新能源車的銷售價(jià)格情況，隨機(jī)調(diào)查了

10000輛新能源車的銷售價(jià)格，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)一輛中國新能源車的銷售價(jià)格位于區(qū)間[5,35）（單位：萬元）的概率，以及中國新能源

車的銷售價(jià)格的眾數(shù)；

（2）若從中國新能源車中隨機(jī)地抽出3輛，設(shè)這3輛新能源車中比亞迪汽車的數(shù)量為X,求X的

分布列與數(shù)學(xué)期望.

18.（本小題12.0分）

已知數(shù)列｛an｝,｛bn｝9%=2,記Sn為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和,an=b1b2b3...bn.

條件①：｛等+兀｝是公差為2的等差數(shù)列；條件②：2+今=1?

從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.

（1）求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

n

（2）若d=2-an,求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和

19.（本小題12.0分）

圓柱。1。2中，四邊形DEFG為過軸OiG的截面，DG=4V2.DE=16,△ABC為底面圓01的

內(nèi)接正三角形，AB//DE.

⑴證明：CO2丄平面ABFG；

(2)求平面FCD與平面ABFG所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓E：圣+，=l(a>b>0)的離心率為苧，右焦點(diǎn)為F(l,0).

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知橢圓E的上頂點(diǎn)4在以點(diǎn)尸為圓心的圓外，過4作圓尸的兩條切線％分別與久軸交于

點(diǎn)8,點(diǎn)C,小辦分別與橢圓交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q(都不同于點(diǎn)力)，記△ABC面積為Si，的面

積為S2,若卜爲(wèi)求圓尸的方程.

21.(本小題12.0分)

已知Q>0,函數(shù)/(%)=e"—Q'2,^(%)=Inx.

(1)若0<Q端,求證:/(x)在R上是增函數(shù)；

(2)若存在a,使得/(x)>g(x)+b對于任意的x>0成立，求最大的整數(shù)b的值.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以無軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐

標(biāo)方程為p=2痘sin(9+》.

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知直線2過點(diǎn)P(l,0),1與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，Q為弦48的中點(diǎn)，且尋黑方=:，求，的

斜率.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=|x-1|4-|x+3|.

(1)求不等式f(x)S6的解集；

(2)VxG[0,2],/(x)>a|2x+1|,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案

I.【答案】c

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】4

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】B

12.【答案】A

13.【答案】8

14.【答案】17190

15.【答案】13

16.【答案】整

6

17.【答案】解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知:

銷售價(jià)格位于區(qū)間［5,35)的概率為:(0.022+0.04+0.017)x10=0.79,

銷售價(jià)格的眾數(shù)為：(15+25)+2=20；

(2)根據(jù)題意可知X=0,1,2,3,

又P(X=0)=(1-0.3)3=0.343,

P(X=1)=或0.3x(1-0.3)2=0.441,

P(X=2)=《0.32x(1-0.3)=0.189,

P(X=3)=0.33=0.027,

???X的分布列為：

X0123

p0.3430.4410.1890.027

E(X)=0x0.343+1x0.441+2x0.189+3x0.027=0.9.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖得到概率為(0.022+0.04+0.017)X10,眾數(shù)為(15+25)+2,

計(jì)算得到答案.

(2)X的可能取值為0,1,2,3,計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識，眾數(shù)的概念，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)選條件①：｛等+n｝是公差為2的等差數(shù)列.

則?+幾=?+1+2(n-1)=2n+3,

.G_九(九+3)

??3n--2-'

n>2時(shí)，即=Sn-Sn-1=嗎2-ST器2)=n+1,(n=1時(shí)也成立)，

-an=n+1.

若選條件②：,+,=1.

???an=b1b2b3

n>2時(shí)，言-=b,

an-ln

...￡1+丄=1,

anan

an-=1'

數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，

?-an=2+n—l=n+l.

(2)由(1)可得：選①②都有斯=n+1.

nn

:.cn=2-an=(n+1)-2,

23n

???數(shù)歹U｛cn｝的前n項(xiàng)和7；=2x2+3x2+4x2+-+(n+1)-2,

27；=2x22+3x23+-+n-2M+(n+1)-2n+1,

相減可得-7；=2X2+(22+23+…+2n)-(n+1)-2n+1=2+2(；了)-(n+1)-2n+1，

n+1

化為：Tn=n-2.

［解析］(1)選條件①:利用通項(xiàng)公式可得爭+n=2n+3,化簡可得％,n>2時(shí)，即=S”一Sn^,

即可得出時(shí).

若選條件②：根據(jù)an=兒b2b3…％，可得nN2時(shí)，誥=%，代入卷+今=1,化簡利用等差

數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出時(shí).

nn

(2)由(1)可得：選①②都有即=n+l,cn=2-an=(n+l)-2,利用錯(cuò)位相減法即可得出數(shù)

列｛%｝的前般項(xiàng)和

本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推

理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)連接CO1，并延長交4B于“，連接。2”，02C,

???△4BC為底面圓Oi的內(nèi)接正三角形，

CHLAB,■：AB/IDE,：.CHIDE,

v四邊形DEFG為過軸0i02的截面，

...。1。2丄DE,。1。2nCH=。「二OE丄平面67”。2，

???DE//FG,FG丄平面CH。？，???FG丄。。2，

???DG-4V2>DE-16):.01C=8.0xH-4,CH-12,0x02=4>/2,

2

02C=01c2+。1@=96,02H2=01H2+。心=48,

222

.-.O2C+O2H+CH,02C1O2H,

v。2HnFG=02,

AC02丄平面4BFG；

(2)由(1)可知01。2,CH,DE兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oi-xyz,

則C(0,8,0),F(8,0,472)，￡>(-8,0,0),

??.CP=（8,-8,4或），CD=（-8,-8,0），

設(shè)平面CFD的一個(gè)法向量為為=(%y,z),

則（記?CF=8%—8y+4或z=0

In-CD=-8x—8y=0令y=l,則％=—1,z=2A/2,

由(1)知平面ABFG的一個(gè)法向量為/？=(0,8,-472)，

針詞醞715

則COS＜。2,>=

同I函~159

???平面F8與平面“BFG所成角的正弦值為小一(一斷=等

【解析】(1)連接。。1,并延長交4B于H,連接。2冃，。2。可得DE丄平面CHO2,進(jìn)而可得FG丄CO2,

可證02c丄。2”，進(jìn)而可證。。2丄平面力BFG；

(2)由(1)可知。1。2，CH,DE兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面FCD與平面4BFG的一個(gè)

法向量，利用向量法可求平面FCO與平面4BFG所成角的正弦值.

本題考查線面垂直的證明，考查面面角的求法，屬中檔題.

'￡_V2

20.【答案】解：(1)由已知得?二F,.-.[?=A：.E;(+y2=i.

c—丄3=12

222

ya=h+c

(2)由(1)知，點(diǎn)4(0,1),過點(diǎn)4作圓尸的切線，當(dāng)其中一條斜率不存在時(shí)不合題意,

可設(shè)切線方程為y=kx+1,圓尸的半徑為r(0<r<V2，且r豐1),

|k+l|_

得后:一二二(1-丫242+2fc+(1-r2)=0

設(shè)切線厶，%的斜率分別為的，k2,則心+心=一鼻，/CiB=1，

由，i：y=kyx+1,令y=0得％=一;；

、

y=kx+14kl

由得（2好+I）%2+4kIX=0,Xp-

y+y=12居+1'

同理Xc=/,XQ=一爲(wèi)，

Si^\AB\\AC\sinAJ+k鰭11+"能I

S?一^\AP\\AQ\sinA兩熱成?赤

4k湖+2品后）+1=4+2［（如+6）2-23統(tǒng)+1=1+2x（表丿=33；

16-16-16-16

13

或

2圓

r=F

2-2-

【解析】(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)與離心率公式即可求解；

(2)設(shè)出切線方程，由點(diǎn)到直線的距離可以得出兩條切線的斜率關(guān)系，易得點(diǎn)8,C的橫坐標(biāo)，再

由切線方程與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求出P,Q的坐標(biāo)，代入三角形面積公式化簡即可求解.

本題主要考查橢圓的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，

屬于難題.

21.【答案】證明：(l)f'(x)=e*-2ax,令t(x)=e*—2a,

v0<2a<e,二令t(x)=ex-2a=0,解得x=ln2a,

*'?f'(x)=ex-2ax在(—8,，n2a)上單調(diào)遞減，(萬2a,+8)單調(diào)遞增，

又「f'(，n2a)=2a—2a，n2a=2a(l—，n2a),2a>0,ln2a<1,

：.f'r)>f'(ln2a}=2a(l-Zn2a)>0,

即/(x)在R上是增函數(shù)，命題得證：

解：(2)存在a,使得e*-a/2+b對于VxeR成立，

等價(jià)于存在a，使得e*—7x—對于VxeR成立，

由于a/>o,原題意的必要條件是e、-Inx>b,對VxGR都成立，

設(shè)九(%)=e*—=靖一丄黃e1],使得e&=9,B[J—x=lnx,

XLX。00

???h(x)在(O,%o)是減函數(shù)，在(%o,+8)是增函數(shù)，其中靖。=亠，即一%0=仇孫,

x

：?九=九(X。)=e°-lnxQf

x

顯然九(%)7n譏=e°-lnx0<h(l)=e<3,

x

由上圖知,h(x)min=e°-lnxQ>2,

???對V%ER,e"-"工>b都成立的最大整數(shù)b是2,

以下證明充分性，當(dāng)b=2時(shí)，存在a,使得e"—Q/2)久+2恒成立，ex—ax2>Inx4-2<=>

竺一零二2>a,由上證明知竺岑二存在大于。的正的最小值，

XLXL

故存在大于0的a,使得竺號二2a恒成立，

XL

當(dāng)b=3時(shí)，設(shè)3。)=絲等0,

v<p(l)=e—3<0,

故對Va>0,ex—ax2>Inx+3不恒成立，

二存在a,使得/'(x)>g(x)+b對于任意的xeR成立，

綜上所述，最大的整數(shù)b的值是2.

【解析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，討論單調(diào)性，證明最小值大于0即可；

(2)將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，分別討論兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，利用存在性定理判斷

根的范圍即可求解.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等式恒成立問題，屬于中檔題.

22.【答案】解：(1)由p=2V^sin(8+力得p2=2psin0+2pcos。，

???p2=x2+y2>psind=y,pcosB=x,

：.x2+y2=2x+2y,即(x—I)2+(y—I)2=2,

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為。-I)2+(y-I)2=2：

(2)易知直線l過點(diǎn)P(l,0),設(shè)直線傾斜角為a,

則直線I的參數(shù)方程為I；=ttia°Sa，?為參數(shù))，

代入(％—I)2+(y—I)2=2得產(chǎn)—2tsina-1=0,易得4=4sin2a+4>0,

設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為0,乃，則ti+t2=2sina,txt2=—1,

二用=I空I=向+切

IPQI