2023-2024學年黑龍江省齊齊哈爾市五地市九年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年黑龍江省齊齊哈爾市五地市九年級第一學期期中

數(shù)學試卷

一.選擇題（每小題3分，滿分30分）

1.如圖所示圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

入。09b閡

?

2.一元二次方程2x2-3x+l=0化為（x+q）2=匕的形式，正確的是（）

A.(xj)2=16B.2(x-y)2^-

N410

c.(x2)2』D.以上都不對

416

3.函數(shù)y=ar2+2or+m(〃V0)的圖象過點(2,0),則使函數(shù)值yVO成立的x的取值范

圍是()

A.%<-4或不>2B.-4<x<2C.xVO或x>2D.0<x<2

4.如圖，在。。中，AB是弦，ZOCA=40°,則NBOC的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

5.已知二次函數(shù)y=3(x+1)2-8的圖象上有三點A(1,yi),B(2,”)，C(-2,y3),

則yi,)%>3的大小關(guān)系為()

A.y\>yi>yzB.C.D.yz>yi>y\

6.在平面直角坐標系xO），中，已知點A（-4,-3）,以點A為圓心，則坐標原點。與OA

的位置關(guān)系是（）

A.點0在0A內(nèi)B.點。在OA外

C.點。在OA上D.以上都有可能

7.如圖，在△ABC中，NC4B=65°,使CC'//AB,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）

AB

A.40°B.30°C.50°D.65°

8.如圖，一次函數(shù)”=丘+。與二次函數(shù)丫之二a】J交于A（-1,1）和B（2,4）,則當yi

>”時x的取值范圍是（）

J￡

/0X

A.x<-1B.x>2C.-l<x<2D.x<-l或x>2

9.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,OC的半徑為百，過點P作OC的切線P。，切點

為Q（）

A

A.B.V3C.2百D.3

10.已知二次函數(shù)y=ov2+6x+c(aWO)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：

①abcVO；②9a+36+c<0；③2c<3b(GW+6)(ZHHI)；⑤若方程laf+bx+d=1有四個

根，則這四個根的和為2.其中正確的結(jié)論有()

C.4個D.5個

二、填空題(每小題3分，滿分21分)

11.設a,b是方程N+x-2024=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b=.

12.若等腰三角形的一邊長為6,另兩邊的長是關(guān)于x的一元二次方程N-8x+w=0的兩個

根，則m的值為.

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱.若點A(a,b)

(5,1)、。(-3,-1),則點C的坐標為.(用含〃、〃的式子表

示)

14.將拋物線y=x2_6x繞原點旋轉(zhuǎn)180度，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式

為.

15.如圖，在△ABC中，AB=10,BC=6,以邊AB的中點O為圓心，點尸、。分別是邊

和半圓上的動點，連接PQ.

16.如圖，ZVIBC的內(nèi)切圓。。與AB,BC,E,F,且A￡>=2,ZV1BC的周長為14

A

17.如圖，把RtZXOAB置于平面直角坐標系中，點A的坐標為(0,4)(3,0),點P是

為△OAB內(nèi)切圓的圓心.將RtaOAB沿x軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與

X軸重合I,第二次滾動后圓心為尸2,…，依此規(guī)律，第2023次滾動后2023的坐標

是.

18.解方程:

(1)(x+4)(%-2)=3(%-2)；

(2)N-x-3=0.

19.己知關(guān)于x的一■元二次方程N-4〃氏+3布=0.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若〃?>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求〃?的值.

20.如圖，在平面直角坐標系中，ZVIBC的三個頂點分別是A(1,3),B(4,4),C(2,

1).

(1)把AABC向左平移4個單位后得到對應的△45G,請畫出平移后的△43G；

(2)把aABC繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到對應的△/hB2c2,請畫出旋轉(zhuǎn)后的比C2；

(3)觀察圖形可知，ZVhBiG與△4B2c2關(guān)于點(，)中心對稱.

21.如圖，AB為OO的直徑，C為上一點，垂足為E,8c平分NABE,連接AC.

（1）求證：OE為。0的切線；

（2）若BE與圓交于點片CE=4,EF=2

22.2022年冬奧會在北京順利召開，某商店購進了一批以冬奧會為主題的玩具進行銷售，

玩具的進價為每件30元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（件）（元）的關(guān)系如圖所示,

在銷售過程中每天還要支付其他費用共850元.

（1）求日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當銷售單價為多少元時，該批玩具的日銷售利潤最大，最大利潤為多少元？

23.在RtZ\A8C中，NACB=90°,A8=5,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,其

中點A,C.

（1）如圖1,當點H落在AC的延長線上時，則A4,的長為；

（2）如圖2,當點。落在AB的延長線上時，連接CC,求8M的長；

(3)如圖3,連接AY,CC,若AE=2,連接QE.在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出OE的

最小值：若不存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

24.如圖，拋物線y=/+bx+c與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點，與y軸交于點C,

BC,點P是直線AC下方拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)連接AP,CP,設P點的橫坐標為〃?，求S與，〃的函數(shù)關(guān)系式;

(3)試探究：過點P作8c的平行線1,交線段AC于點。，在直線/上是否存在點E,

請說明理由.

備用圖

參考答案

一.選擇題（每小題3分，滿分30分）

1.如圖所示圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

AOOPB醞

c￡D?

【分析】根據(jù)中心對稱圖形以及軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

解：4不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B.是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.既是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對

稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自

身重合.

2.一元二次方程2%2-3x+l=0化為（x+a）2=匕的形式，正確的是（）

A.（xj）2=16B.2（x-y）2^-

/410

c.（xY）2-rD,以上都不對

【分析】先把常數(shù)項1移到等號的右邊，再把二次項系數(shù)化為1,最后在等式的兩邊同時

加上一次項系數(shù)一半的平方，然后配方即可.

解：-5x+l=0,

二7/-3x=-8,

,31

xz---x=---,

22

53,61,4

x2---AH-----1---，

216216

(x--)5=—；

416

，一元二次方程2A6-3x+l=5化為（x+a）2=b的形式是：（x--1）

故選：c.

【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟:

（1）把常數(shù)項移到等號的右邊;

（2）把二次項的系數(shù)化為1；

（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2

的倍數(shù).

3.函數(shù)丫=以2+2"（<2<0）的圖象過點（2,0）,則使函數(shù)值y<0成立的x的取值范

圍是（）

A.x<-4sgx>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2

【分析】首先求出拋物線的對稱軸方程，進而利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的

另一個交點坐標為（-4,0）,然后利用函數(shù)圖象寫出拋物線在x軸下方所對應的自變

量的范圍即可.

解：拋物線y=or2+2ar+,“的對稱軸為直線：

拋物線與x軸的一個交點坐標為：（8,0）,

由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可知，x軸的另一個交點與（2,

所以另外一個交點的坐標為：（-4,0）,

'：a<0,

拋物線開口向下，

.,.當x<-2或x>2時，y<0.

故選：A.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=or2+bx+c（“，b,c是常數(shù),

。#0)與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程，也考查了二次函數(shù)的性

質(zhì).

4.如圖，在。0中，48是弦，/OC4=40。，則/BOC的度數(shù)為()

A.20°B.30°C.40°D.50°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出/OBA=NOAB=25°,/04C=/OCA=4O°,

再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/AO8和NAOC,再求出答案即可.

解：'：OA=OB,ZOAB=25°,

.,./OBA=/O4B=25°,

...NAOB=180°-ZOAB-ZOBA=130°,

'：OA=OC,NOCA=40°,

.\ZOAC=ZOCA=40o,

AZAC>C=180°-ZOAC-ZOCA=100°,

；.NBOC=/AOB-NAOC=130°-100°=30°.

故選：B.

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和

定理等知識點，能靈活運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵.

5.已知二次函數(shù)y=3(x+1)2-8的圖象上有三點AQ,yi),8(2,”)，C(-2,”)，

則yi,y2,〉3的大小關(guān)系為()

A.yi>j2>ysB.C.”>%>丫2D.ys>y2>yi

【分析】由拋物線解析式可知，拋物線的對稱軸為x=-1,圖象開口向上，A、B兩點在

對稱軸右邊，y隨X的增大而增大，故力<”；A、B、C三點中，C點離對稱軸最近，故

丫3最小.

解：由二次函數(shù)y=3(x+1)7-8可知，對稱軸為x=-l,

可知，4(8,yi),B(2,”)兩點在對稱軸右邊,

y隨x的增大而增大，由1＜2得泗＜”，

4、B、C三點中，故》最小.

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的增減性.當二次項系數(shù)。＞0時，在對稱軸的左邊，），隨

x的增大而減小，在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大；。＜0時，在對稱軸的左邊，y

隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小.

6.在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-4,-3）,以點4為圓心，則坐標原點。與。A

的位置關(guān)系是（）

A.點。在04內(nèi)B.點0在OA外

C.點。在。4上D.以上都有可能

【分析】先求出點A到圓心。的距離，再根據(jù)點與圓的位置依據(jù)判斷可得.

解：?圓心A（-4,-3）到原點。的距離。A={（一7）2十（一3）7,

；.OA=5＞r=4,

.?.點。在G）A外，

故選：B.

【點評】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷.關(guān)鍵要記住若半徑為r,點到圓心的距

離為d,則有：當時，點在圓外；當"=?"時，點在圓上，當時，點在圓內(nèi).

//AB,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）

C.50°D.65°

【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NACC'=NCAB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC

=AC',然后利用等腰三角形兩底角相等求/C4C',再根據(jù)NC4C'、ZBAB,都是

旋轉(zhuǎn)角解答.

解：\'CC//AB,

：.ZACC'=NCAB=65°,

,.?△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AB'C,

J.AC=AC,

：.ZCAC'=180°-2ZACC=180°-2X65°=50°,

=NBAB'=50°.

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖

是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，一次函數(shù)丁1=丘+匕與二次函數(shù)丫2二2乂2交于4(-1,1)和8(2,4),則當yi

>丫2時X的取值范圍是()

-1<%<2D.x<-1或x>2

【分析】解答本題，關(guān)鍵是找出兩函數(shù)圖象交點的橫坐標，比較兩函數(shù)圖象的上下位置,

%>”時，》的圖象在v的上面，再判斷自變量的取值范圍.

解：?.,一次函數(shù)與二次函數(shù)了2=。爐交于A(-1,1)和8(2,

從圖象上看出,

當-1<尤<2時，》的圖象在”的圖象的上方，即yi>)，6,

，當yi>y2時x的取值范圍是-2Vx<2.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)

鍵.

9.如圖，等邊三角形A3C的邊長為4,的半徑為百，過點尸作OC的切線PQ,切點

為Q()

A

p

B\CI

A.￡B.5/3C.2MD.3

【分析】連接C。、CP,過點C作于，，根據(jù)切線的性質(zhì)得到C0，PQ,根據(jù)

勾股定理求出尸Q,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出C4,根據(jù)垂線段最短解答即可.

解：連接c。、CP,

??,P。是OC的切線，

：.CQVPQ,

^e=VcP2-CQ2=VCP7-3,

當CP_LAB時，CP最小，

?:△ABC為等邊三角形，

.\ZB=60°,

：.CH=BC?sinB=26,

PQ的最小值為：V(2/3)5-(A/3)2=5，

故選：D.

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短，掌握圓的切線垂

直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

10.已知二次函數(shù))，=〃/+法+。(〃W0)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：

①abcY0；②9a+3b+cV0；③2cV3Z?(a〃?+b)Wl)；⑤若方程|ox2+6x+c|=1有四個

根，則這四個根的和為2.其中正確的結(jié)論有()

y

C.4個D.5個

【分析】①由二次函數(shù)圖象性質(zhì)知，開口向下，則。<0.再結(jié)合對稱軸x=l,有

即匕=-2a,則h>0.據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸正半軸相交得c>0；②由圖象可知，拋物

線與x軸正半軸交點的橫坐標在2和3之間，則當x=3時，yVO,即可判斷;③*

得b--2a,當x=-1時，y<0,即〃-/?+c<0,所以2a-2h+2c<0,把a替換成b計

算；④尤=1時函數(shù)有最大值，所以當x=l時的y值大于當(機W1)時的y值，即

a+b+c>m(am+b)+c,所以。+/?>加(am+b)成立；⑤當版+c=l時，有

ax2+bx+c-1=0,止匕時有x1+x今=力，當加+匕龍+0=-1時，有以2+歷葉。+]=o,止匕時

1乙a

有叼+乂/告，則有X1+X2+X3+X4=即可判斷，

解：???圖象開口向下，

:對稱軸冗=1，

:.b=-2a,

???b>8,

???拋物線交于y軸正半軸，

Ac>0,

二?abc<0,

故①正確；

由圖象可知，拋物線與x軸正半軸交點的橫坐標在8和3之間,

.?.當x=3時，y<2,

即9a+3b+c<6,

故②正確；

??,根據(jù)圖象可知，當X=-1時，

即a-b+cVO,

：.2a-26+2cV7,

，結(jié)合b=-2a,有-3b+5cV0,

：?2c<6b,

故③正確；

Vx=l時，有y=a+b+cf

又：x=n?("2W1)時，有y=an^+hm+c,

a+b+c>an^+bm^c,

a+b>m(am^-h)(1)成立,

故④正確.

根據(jù)|浸+灰+c|=l有四個根，

可得ax2+bx+c=l和ax2+bx+c=-1各有兩個根，

當芯+加;+c=1時，有QN+^X+C-7=0,此時有x1+x

10a

當Ox2+bx+c=-1時?，有〃x8+/?X+c+l=0,此時有Xo+X*上，

84a

則有X[+X6+X3+X4=分，

,3b,

??------=4?

a

即：|or2+bx+c|=5的四個根和為4,

故⑤錯誤.

綜上：①②③④正確，

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，需要對二次函數(shù)各項系數(shù)對圖象的決定作

用理解透徹，同時需要理解二次函數(shù)與方程的關(guān)系.會用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

二、填空題(每小題3分，滿分21分)

11.設a,b是方程N+x-2024=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a+b—2023.

【分析】根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系可得出“2+4=2024、。+6=-1,將其

代入“2+2a+6=(a2+a)+(a+b)中即可求出結(jié)論.

解：匕是方程N+x-2024=0的兩個實數(shù)根，

“3+0=2024,a+b--1,

.".a2+3a+b—(a2+a)+(a+b)=2024-1=2023.

故答案為：2023.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根據(jù)一元二次方程的解及

根與系數(shù)的關(guān)系找出“2+4=2024、a+b=-1是解題的關(guān)鍵.

12.若等腰三角形的一邊長為6,另兩邊的長是關(guān)于x的一元二次方程爐-8尤+機=0的兩個

根，則m的值為12或16.

【分析】當?shù)妊切蔚牡走厼?時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到關(guān)于x的一元二次方

程x2-8x+〃?=0有兩個相等的實數(shù)根，利用根的判別式的意義得到△=(-8)2-4,〃=。,

解得加=16,再解方程求出兩根，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系判斷加=16符合題意；當

等腰三角形的腰為6時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到x=6為關(guān)于x的一元二次方程N-

8x+m=0一個根，把x=6代入方程得36-48+加=0得〃—⑵然后解方程后根據(jù)三角形

三邊的關(guān)系判斷機=12符合題意.

解：當?shù)妊切蔚牡走厼?時，則關(guān)于x的一元二次方程爐-5x+/n=0有兩個相等的

實數(shù)根，

根據(jù)根的判別式的意義得△=(-8)4-4m=0,

解得tn—16,

此時方程為d-8x+16=0,解方程得即=彳2=4,

因為2+4>6,

所以〃?=16符合題意；

當?shù)妊切蔚难鼮?時，則x=6為關(guān)于x的一元二次方程爐-4x+,〃=0一個根，

把x=6代入方程得36-48+機=7,

解得m—12,

此時方程為9-8x+12=3,解方程得制=2,啟=6,

因為6+2>2,

所以12符合題意；

綜上所述，，"的值為12或16.

故答案為：12或16.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根與A=〃-4"c

有如下關(guān)系：當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當A=0時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；當△<()時，方程無實數(shù)根.也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系.

13.如圖，在平面直角坐標系x。)，中，線段A8與線段CO關(guān)于點P對稱.若點A(a,b)

(5,1)、。(-3,-1),則點C的坐標為(2-a,-b).(用含6的式子

【分析】運用中點坐標公式求答案.

解：設CCm,n),

?.?線段AB與線段CD關(guān)于點尸對稱，點尸為線段AC.

.a+m56b+n31

2222

.".m=3-a,n=-b,

：.C(2-a,-b),

故答案為：(2-a,-b).

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，正確運用中點坐標公式是解題的關(guān)鍵.

14.將拋物線)，=N-6x繞原點旋轉(zhuǎn)180度，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式為)，=-物+3)2+9.

【分析】當拋物線y=x2-6x=(x-3產(chǎn)-9繞原點旋轉(zhuǎn)180°后拋物線的頂點坐標為(-

3,9),并且開口方向相反，于是根據(jù)頂點式寫出旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式.

解：拋物線y=N-6x=(x-8)2-9的頂點坐標為(2,-9),

由于拋物線y=x2-8x繞原點旋轉(zhuǎn)180度后拋物線的頂點坐標為(-3,9),

則所得拋物線解析式為y=-(x+8)2+9.

故答案為：y—~(JC+2)2+9.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不

變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點

平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出

解析式.

15.如圖，在△ABC中，AB=10,BC=6,以邊AB的中點O為圓心，點P、。分別是邊

BC和半圓上的動點，連接P。9

【分析】如圖，設。。與AC相切于點E,連接0E,作OPiLBC垂足為Pi交。。于Qi,

此時垂線段OPi最短，PIQI最小值為OPLOQ,求出。P,如圖當。2在A8邊上時，

P2與B重合時，B。2最大值=5+3=8,由此不難解決問題.

解：如圖，設。。與AC相切于點E,連接OEiLBC垂足為Pi交。。于。6,

此時垂線段OPi最短，PQ最小值為OPi-OQ\,

'：AB=10,AC=6,

：.AB2^AC2+BCb,

；.NC=90°,

VZOPiB=90°,

：.OP\//AC

'：AO=OB,

:?P6C=PIB,

4

；.OPI=WAC=4,

2

：.PsQ\最小值為OPLOQ=1,

如圖，當。2在48邊上時，P4與8重合時，22。2經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，

「5。2最大值=5+3=8,

PQ長的最大值與最小值的和是9.

故答案為：2.

【點評】本題考查切線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確找到點P。

取得最大值、最小值時的位置，屬于中考?？碱}型.

16.如圖，△ABC的內(nèi)切圓。。與A8,BC,E,F,且40=2,△A8C的周長為145?

【分析】根據(jù)切線長定理得到AB=AD=2,BD=BE,CE=CF,由aABC的周長為14,

可求BC的長.

解：：。。與AB,BC,E,F

：.AF=AD=2,BD=BE,

「△ABC的周長為14,

：.AD+AF+BE+HD+CE+CF^14,

A2(BE+CE)=10,

：.BC=2.

故答案為：5.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題

的關(guān)鍵.

17.如圖，把RtZ\OAB置于平面直角坐標系中，點A的坐標為(0,4)(3,0),點P是

□△Q4B內(nèi)切圓的圓心.將沿x軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與

X軸重合I,第二次滾動后圓心為P2,…,依此規(guī)律，第2023次滾動后2023的坐標是

(8093,1).

【分析】依次求出前三次滾動后圓的內(nèi)心的對應點的坐標，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問

題.

解：VA(0,4),7),

；.04=4,08=3.

則在RtAAOB中，

AB-752+45=5-

根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式可知，

r=-3-+-5---5-=9c.

2

則點P坐標為(1,1).

根據(jù)切線長定理可知，

AF=AG=7-1=3,

OE=OF=1,

BE=BG=3-1=2.

...第1次滾動后點Pi的橫坐標為：2+2+2=8,

即點Pi的坐標為(5,8).

同理可得，

點P2的坐標為(11,1),

點門的坐標為(13,1).

???每滾三次一個循環(huán)，

且2023+3=674余7,

.?.第2023次滾動后點P2023的橫坐標為：674X(13-1)+5=8093.

則點P2023的坐標為(8093,7).

【點評】本題考查點的坐標變化規(guī)律及三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，能根據(jù)所給圖形的滾動方

式發(fā)現(xiàn)內(nèi)心橫坐標的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題共7道大題，滿分69分)

18.解方程：

(1)(x+4)(x-2)=3(%-2)；

(2)x2-x-3=0.

【分析】(1)方程移項后用因式分解法解方程即可；

(2)方程運用公式法求解即可.

解：(1)(x+4)(x-2)=3(x-2),

(x+4)(x-8)-3(x-2)=3,

(x+4-3)(%-8)=0,

Ax+1=4,x-2=0,

-1,X2=3；

(2)x2-x-3=5,

這里。=1,b=-

??.△=(-7)2-4X5義(-3)=13>0,

._6±713_3±713

2X12_

._5^713_3-VT3

??X1-------------------->X2---------------------.

22

【點評】本題考查的是解一元二次方程的因式分解法和公式法，熟知解一元二次方程的

基本方法是解答此題的關(guān)鍵.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程N-4mx+3m2=0.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若加>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求機的值.

【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式可得出△=4加2,利用偶次方的非負性

可得出4加220,即△》()，再利用“當A20時，方程有兩個實數(shù)根”即可證出結(jié)論；

(2)方法一：利用因式分解法求出xi=〃?，X2=3m.由題意得出，〃的方程，解方程則可

得出答案.

方法二：利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出答案.

【解答】(1)證明：；a=l,b=-4m1,

A=b2-4ac—(-6m)2-4X6X3M?2=5W!2.

二?無論機取何值時，4加2—0,即△20,

???原方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：方法一：VA4-4/?2X+3A?Z6=0,即(x-m)(x-3m)=7,

J.x\=m,xi=5m.

V/n>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,

.?.4"?-777=2,

/.771=1.

方法二：

設方程的兩根為M,X2,則X1+X8=4/W,xieX3=3m2,

V%2-X2=2f

:.(X5-X2)2=4,

:.(X1+X2)3-4xiX6=4,

:.(4/n)5-4X3/n8=4,

.*.771=±1,

又機>3,

??171~~1.

【點評】本題考查了根的判別式、偶次方的非負性以及因式分解法解一元二次方程，解

題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當△》()時，方程有實數(shù)根”；(2)利用因式分解法求出方程

的解.

20.如圖，在平面直角坐標系中，ZVIBC的三個頂點分別是A(1,3),B(4,4),C(2,

1).

(1)把△ABC向左平移4個單位后得到對應的△43G,請畫出平移后的△4SG；

(2)把△ABC繞原點。旋轉(zhuǎn)180°后得到對應的282c2,請畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2&C2;

(3)觀察圖形可知，△45G與△A2&C2關(guān)于點(-2,0)中心對稱.

x

【分析】(1)依據(jù)平移的方向和距離，即可得到平移后的△AIBCI；

(2)依據(jù)△ABC繞原點。旋轉(zhuǎn)180°,即可畫出旋轉(zhuǎn)后的△4B2c2；

(3)依據(jù)對稱點連線的中點的位置，即可得到對稱中心的坐標.

解：(1)如圖所示，△45C2即為所求；

(2)如圖所示,△426C6即為所求；

(3)由圖可得，△4BC3與△A2&C7關(guān)于點(-2,0)中心對稱.

故答案為：-8,0.

【點評】此題主要考查了平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，正確根據(jù)題意得出對應點位置是解題關(guān)

鍵.

21.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，垂足為E,BC平分NABE,連接AC.

(1)求證：DE為。。的切線；

(2)若BE與圓交于點F,CE=4,EF=2

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判斷可得OC〃BE,

再垂直的性質(zhì)得出OCJ_OE,由切線的判斷方法可得結(jié)論；

(2)連接C凡根據(jù)tan/ECr=tan/C8F,可得更=絲，求出8E=8,根據(jù)勾股定理

CEBE

可得8c=4，弓，由cosZABC=cosZCBE,可得”求出AB=10,進而可以解

V。ABBC

決問題.

【解答】(1)證明：如圖，連接0C,

E

TBC平分NA8E,

???/ABC=/CBE,

*：OC=OB,

??.NOBC=NOCB,

：.ZOCB=ZCBE,

：.OC//BE,

又YDELBE,

C.OCLDE,

??,0C是。。的半徑，

???。七是。。的切線；

（2）解：如圖，3E與圓交于點F,

???四邊形ABFC是圓0的內(nèi)接四邊形，

：.ZEFC=ZCABf

VZECF+ZEFC=90°,ZCAB+ZCBA=90°,

：.ZECF=ZCBA,

■:NCBA=/CBE,

：?4ECF=4CBE,

VCE=4,EF=2,

tanZECF—tanZCBF,

.EF_CE

,?CE-BE，

.U

??4—前，

：.BE=6,

；?BC=VCE2+BE2=V72+87=4V5，

平分N4BE,

；.NABC=NCBE,

為。。的直徑，

AZACB=ZCEB=90°,

cosNABC=cosZCBE,

,BC=BE

"AB-BC，

.875___8_

AB5辰'

.?.AB=10,

二圓的半徑為5.

【點評】本題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，掌握切線的判

斷方法是解決問題的前提.

22.2022年冬奧會在北京順利召開，某商店購進了一批以冬奧會為主題的玩具進行銷售，

玩具的進價為每件30元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（件）（元）的關(guān)系如圖所示,

在銷售過程中每天還要支付其他費用共850元.

（1）求日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當銷售單價為多少元時，該批玩具的日銷售利潤最大，最大利潤為多少元？

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出日銷售量y（件）與銷售單價x（元）

的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以寫出該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價

x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（3）將（2）中的函數(shù)解析式化為頂點式，再根據(jù)x的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)，可

以求得當銷售單價為多少元時，該批玩具的日銷售利潤最大，最大利潤為多少元.

解：（1）設日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式是、=履+6,

:點（40,180）,120）在該函數(shù)圖象上，

.f40k+b=180

*'l60k+b=120,

衣4fk=-3

解0得H｛C"，

lb=300

:物價部門規(guī)定其每件的售價不低于進價且利潤不高于進價的90%,

...3O0W3O+3OX9O%,

；.30?57,

即日銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式是y=-3x+300（30GW57）；

（2）由題意可得，

W=（x-30）（-2x+300）-850=-3N+390x-9850,

即該批玩具的日銷售利潤W（元）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系式是W=-4N+390X

-9850；

（3）由（2）知：卬=-3爐+390彳-9850=-3（%-65）2+2825,

.?.該函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=65,

；300,

.?.當x=57時,W取得最大值,

答：當銷售單價為57元時，該批玩具的日銷售利潤最大.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應用、二次函數(shù)的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫

出相應的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

23.在RtZVIBC中，/4CB=90°,AB=5,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,其

中點A,C.

（1）如圖1,當點A'落在AC的延長線上時，則A4如長為8；

（2）如圖2,當點。落在A3的延長線上時，連接CC,求8M的長；

（3）如圖3,連接44，，CC,若AE=2,連接。E.在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出OE的

最小值：若不存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長為4.再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知

最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出A4的長；

(2)作CCAC"交AC于點。，作CE〃4B交AC于點E.由旋轉(zhuǎn)可得/ABC,

3c=BC=3.再由平行線的性質(zhì)可知/CE3=NA\BC,即可推出NCE8=NA3C,從而

間接求出CE=BC=BC=3,DE=DB.由三角形面積公式可求出CD—.再利用勾股

定理即可求出BET，進而求出C'E=畢?最后利用平行線分線段成比例即可求出8M

55

的長.

(3)作AP〃/VC且交C。延長線于點P,連接4c.由題意易證明/BCC=NBCC,Z

ACP=90。-ZBCC,ZA'CD=90°-Z.BCC,即得出NACP=NA'CD再由平行線性

質(zhì)可知NAPC=N4C￡>,即得出/ACP=NAPC,即可證明AP=AC=4C,由此即易證

△APDQXNCD(A4S),得出AQ=4Q即點。為A4,中點.再由福4可知點E是線

段AC的中點，即。E為△ACH的中位線，即DE=^A'C.即要使OE最小，AC最小即

可.根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當點A'、C、B三點共線時最小，且最小值即為AC=

A,B-BC,由此即可求出DE的最小值.

解：(1)在RtAABC中，AC=JAB2-BC2=個呼_§5.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知48=A6,即△ABA為等腰三角形.

VZACB=90°,BPBCLAAf,

：.A'C=AC=4,

：.AA'=S.

(2)如圖，作。￡>，A。交4。于點。.

圖2

由旋轉(zhuǎn)可得NA'8C=NA8C,BC=BC=5.

■:CEHKB,

：.ZCEB=ZA'BCf

：?/CEB=NABC,

：?CE=BC=BC=3,DE=DB.

：SAABC=2AB?CD=工，即8XCD=4X3,

82

CD平

4

在RtABCQ中，DB癡不于=提，

D

?

■?0B口E=-178"?

D

33