導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義復(fù)習(xí)引入兩類變化率問題:(1)跳水運動員的速度平均速度瞬時速度(2)拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率

這兩類問題來自不同的學(xué)科領(lǐng)域，但在解決問題時，都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時變化率”的思想方法；問題的答案也有一樣的表示形式．下面我們用上述思想方法研究更一般的問題．h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11

f(x)＝x21、平均變化率探究新知對于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋?x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋?x).這時，x的變化量為?x，y的變化量為?y＝f(x0＋?x)－f(x0).我們把比值，即叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋?x的平均變化率.2、導(dǎo)數(shù)的定義探究新知如果當(dāng)?x→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或

，即導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，是瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達.說明：(1)函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，是指?x→0時，

有極限．如果

不存在極限，就說函數(shù)在點x0處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)．(2)?x是自變量x在x0處的改變量，?x≠0，而是函數(shù)值的改變量，?y可以是零.探究新知探究：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們再來重溫前面2個問題情境，你能用導(dǎo)數(shù)重述跳水運動員速度問題和拋物線切線問題的結(jié)論嗎？問題1中運動員在t=1時的瞬時速度為v(1)就是函數(shù)h(t)在t=1處的導(dǎo)數(shù)h′(1)，即問題2中拋物線f(x)＝x2在點P0(1，1)處的切線P0T的斜率k0就是函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)，即

實際上，導(dǎo)數(shù)可以描述任何運動變化事物的瞬時變化率，如效率、交變電流、比熱容等．鞏固練習(xí)1、下列說法中，正確的打“√”，錯誤的打“×”(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx值的正、負無關(guān)．(

)(2)瞬時變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量．(

)(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零．(

)(4)函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)是一個可以變化的數(shù).(

)(5)導(dǎo)數(shù)就是瞬時速度.(

)(6)因為導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，所以函數(shù)在其定義域內(nèi)都有導(dǎo)數(shù).(

)×√××××典型例題1、設(shè)f(x)＝

，求f′(1).追問：對于f(x)＝

，你能求f′(a)(a∈R且a≠0)嗎？方法歸納求函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的步驟:(1)求平均變化率(2)取極限，得導(dǎo)數(shù)典型例題2、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱.已知在第

xh時，原油的溫度(單位：℃)為y=f(x)＝x2-7x＋15(0≤x≤8).計算第2h與第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.解：在第2h和6h時，原油溫度的瞬時變化率就是f′(2)和f′(6).分析：原油溫度在第2h時的瞬時變化率，從數(shù)學(xué)角度求的是什么？=Δx-3說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降.在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率上升.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，典型例題3、一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時汽車的速度(單位：m/s)為y=v(t)＝-t2+6t＋60，求汽車在第2s與第6s時的瞬時加速度，并說明它們的意義.解：在第2s和6s時，汽車的瞬時加速度就是v′(2)和

v′(6).在第2s與第6s時，汽車的瞬時加速度分別為2m/s2與－6m/s2.說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加2m/s；在第6s附近，汽車的速度每秒