條件概率課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性(1)2

第七章隨機變量及其分布

概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量.在必修課程的概率學(xué)習(xí)中，我們結(jié)合古典概型，研究了簡單隨機事件及其概率的計算方法，并討論了概率的一些性質(zhì).本章將在此基礎(chǔ)上，結(jié)合古典概型，研究隨機事件的條件概率，建立概率的乘法公式和全概率公式，并用它們計算較復(fù)雜事件的概率.

為了利用數(shù)學(xué)工具，并以簡潔、統(tǒng)一的形式研究隨機試驗的規(guī)律，本章我們還將把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機變量的概念.對離散型隨機變量

，我們主要研究其分布列及數(shù)字特征，并對二項分布、超幾何分布進行重點研究.對于連續(xù)型隨機變量，我們只研究服從正態(tài)分布的情況.通過用隨機變量描述和分析隨機試驗，解決一些簡單的實際問題，進一步體會概率模型的作用及概率思想和方法的特點.

7.1條件概率與全概率公式

在必修第二冊第十章《概率》一章的學(xué)習(xí)中，我們遇到過求同一試驗中兩個事件A與B同時發(fā)生(積事件AB)的概率的問題.當(dāng)事件A與B相互獨立時,有

P(AB)=P(A)P(B).

如果事件A與B不獨立，如何表示積事件AB的概率呢?下面我們從具體問題入手.

7.1.1條件概率問題1

某個班級有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團員的人

數(shù)(單位：人)如下表所示.一、探究新知團員非團員合計男生16925女生14620合計301545

在班級里隨機選擇一人做代表.

(1)選到男生的概率是多少?

(2)若已知選到的是團員,則選到的是男生的概率是多少?

隨機選擇一人做代表，則樣本空間Ω包含45個等可能的樣

本點.用A表示事件“選到團員”，B表示事件“選到男生”，根

據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以得出，n(Ω)=45，n(A)=30，n(B)=25.

(1)根據(jù)古典概型知識可知，選到男生的概率問題1

某個班級有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團員的人

數(shù)(單位：人)如下表所示.一、探究新知團員非團員合計男生16925女生14620合計301545

在班級里隨機選擇一人做代表.

(1)選到男生的概率是多少?

(2)若已知選到的是團員,則選到的是男生的概率是多少?

(2)“在選到團員的條件下，選到男生”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P(B|A).此時相當(dāng)于以A為樣本空間來考慮事件B發(fā)生的概率，而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB，包含的樣本點數(shù)n(AB)=16．根據(jù)古典概型知識可知：問題2

假定生男孩和生女孩是等可能的,現(xiàn)考慮有兩個小孩的家庭.

隨機選擇一個家庭,那么

(1)該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大?

(2)如果已經(jīng)知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩

的概率又是多大?一、探究新知

觀察兩個小孩的性別，用b表示男孩，g表示女孩，則

樣本空間Ω={bb，bg，gb，gg},且所有樣本點是等可能的.

用A表示事件“選擇的家庭中有女孩”，B表示事件“選擇

的家庭中兩個小孩都是女孩”,則A={bg，gb，gg},B={gg}.

(1)據(jù)古典概型知,該家庭中兩個小孩都是女孩的概率

(2)“在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個小孩都是女孩”

的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概

率，記為P(B|A).此時A成為樣本空間，事件B就是積事件

AB.根據(jù)古典概型知識可知：問題2

假定生男孩和生女孩是等可能的,現(xiàn)考慮有兩個小孩的家庭.

隨機選擇一個家庭,那么

(1)該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大?

(2)如果已經(jīng)知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩

的概率又是多大?一、探究新知

觀察兩個小孩的性別，用b表示男孩，g表示女孩，則

樣本空間Ω={bb，bg，gb，gg},且所有樣本點是等可能的.

用A表示事件“選擇的家庭中有女孩”，B表示事件“選擇

的家庭中兩個小孩都是女孩”,則A={bg，gb，gg},B={gg}.

在上面兩個問題中，在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率都是

這個結(jié)論對于一般的古典概型仍然成立.事實上，如下圖所示，若已知事件A發(fā)生，則A成為樣本空間.

此時，事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點數(shù)與A包含的樣本點數(shù)的比值，即二、條件概率AB

ΩBA

因為

所以，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率還可以通過

來計算.

一般地,設(shè)A、B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.二、條件概率

在問題1和問題2中，都有P(B|A)≠P(B)．一般地，P(B|A)與P(B)不一定相等．如果P(B|A)與P(B)相等，那么事件A與B應(yīng)滿足什么條件?

直觀上看，當(dāng)事件A與B相互獨立時，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，這等價于P(B|A)=P(B)成立.

事實上，若事件A與B相互獨立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，則反之,若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，則即事件A與B相互獨立.

因此，當(dāng)P(A)>0時，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨立時，有

P(B|A)=P(B).二、條件概率P(AB)=P(A)P(B|A)

對于任意兩個事件A與B，如果已知P(A)與P(B|A)，如何計算P(AB)呢?

由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B,若P(A)>0，則概率的乘法公式：二、條件概率例1在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1

道題，抽出的題不再放回.求:

(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；

(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下,第2次抽到幾何題的概率.解法1：三、精典例題例1在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1

道題，抽出的題不再放回.求:

(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；

(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下,第2次抽到幾何題的概率.解法2：三、精典例題

從例1可知，求條件概率有兩種方法:

一種是基于樣本空間Q，先計算P(A)和P(AB)，再利用條件概率公式求P(B|A)；

另一種是根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”的條件后,樣本空間縮小為A,求P(B|A)就是以A為樣本空間計算AB的概率.

條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0，則

(1)P(Ω|A)=1；

(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A);

(3)設(shè)

和B互為對立事件,則P(

|A)=1-P(B|A).三、精典例題例2已知3張獎券中只有1張有獎，甲、乙、丙3名同學(xué)依次不放回

地各隨機抽取1張.他們中獎的概率與抽獎的次序有關(guān)嗎?

事實上，在抽獎問題中，無論是放回隨機抽取還是不放回隨機抽取，中獎的概率都與抽獎的次序無關(guān).三、精典例題例3銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機上

取錢時，忘記了密碼的最后1位數(shù)字.求:

(1)任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率;

(2)如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率.三、精典例題四、課堂小結(jié)1.計算條件概率的兩個公式：

2.概率的乘法公式：

P(AB)=P(A)P(B|A)3.求條件概率有兩種方法：

一種是基于樣本空間Q，先計算P(A)和P(AB)，再利用條件

概率公式求P(B|A)；

另一種是根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”的

件后,樣本空間縮小為A,求P(B|A)就是以A為樣本空間計算AB的

概率.四、課堂小結(jié)4.條件概率的性質(zhì)：

條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概

率的性質(zhì)設(shè)P(A)>