2022年廣東省梅州市潭江中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022年廣東省梅州市潭江中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.當(dāng)x＞0，y＞0，+=1時(shí)，x+y的最小值為（）A．10 B．12 C．14 D．16參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，當(dāng)且僅當(dāng)y=3x=12時(shí)取等號(hào)．∴x+y的最小值為16．故選：D．2.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2=（） A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列；等比數(shù)列． 【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】利用已知條件列出關(guān)于a1，d的方程，求出a1，代入通項(xiàng)公式即可求得a2． 【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比數(shù)列， ∴a32=a1a4， 即（a1+4）2=a1×（a1+6）， 解得a1=﹣8， ∴a2=a1+2=﹣6． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的定義，比較簡(jiǎn)單． 3.中心均為原點(diǎn)的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M，N是雙曲線的兩頂點(diǎn),若M，O，N將橢圓長(zhǎng)軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（

）A.3

B.2

C.

D.參考答案：B4.若實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)分別為與，與的等差中項(xiàng)，則下列結(jié)論正確的是

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.若關(guān)于的不等式內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

） A．

B． C． D．參考答案：A略7.由直線曲線及軸所圍圖形的面積為

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.設(shè)(

)

A．4

B．5

C．6

D．10參考答案：B略9.如果生男孩和生女孩的概率相等，有一對(duì)夫妻生有3個(gè)小孩，已知這對(duì)夫妻的孩子有一個(gè)是女孩，那么這對(duì)夫妻有男孩的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.已知橢圓(a>b>0)的離心率為，準(zhǔn)線為、；雙曲線離心率為，準(zhǔn)線為、；；若、、、正好圍成一個(gè)正方形，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、黃球和藍(lán)球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率為0.42，摸出黃球的概率是0.28.若紅球有21個(gè)，則藍(lán)球有________個(gè)．參考答案：15【分析】根據(jù)紅球的概率和個(gè)數(shù)求出總球數(shù)，從而求出籃球的個(gè)數(shù).【詳解】由題意摸出紅球的概率為0.42，并且紅球有21個(gè)，則總球數(shù)為個(gè)，所以藍(lán)球的個(gè)數(shù)為個(gè).所以本題答案為15.【點(diǎn)睛】本題考查概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查概率的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.12.已知復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R，x≠0）且|z﹣2|=，則的范圍為

．參考答案：考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模．專題：計(jì)算題．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的計(jì)算公式、直線與圓有公共點(diǎn)的充要條件即可得出．解答： 解：∵|z﹣2|=|x﹣2+yi|，，∴．∴（x﹣2）2+y2=3．設(shè)，則y=kx．聯(lián)立，化為（1+k2）x2﹣4x+1=0．∵直線y=kx與圓有公共點(diǎn)，∴△=16﹣4（1+k2）≥0，解得．∴則的范圍為．故答案為．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的計(jì)算公式、直線與圓有公共點(diǎn)的充要條件是解題的關(guān)鍵．13.將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側(cè)面和底面分別叫直角三棱錐的“直角面和斜面”；過(guò)三棱錐頂點(diǎn)及斜面任兩邊中點(diǎn)的截面均稱為斜面的“中面”.已知直角三角形具有性質(zhì)：“斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊邊長(zhǎng)的一半”.仿照此性質(zhì)寫出直角三棱錐具有的性質(zhì)：

參考答案：略14.若曲線y=在點(diǎn)P（a，）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是．參考答案：4【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；直線的截距式方程．【分析】求導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率，進(jìn)而可得切線的方程，可得其截距，由面積為2可得a的方程，解方程可得．【解答】解：對(duì)y=求導(dǎo)數(shù)可得y′=，∴曲線在P（a，）處的切線斜率為k=，∴切線方程為：y﹣=（x﹣a），令x=0，可得y=，即直線的縱截距為，令y=0，可得x=﹣a，即直線的橫截距為﹣a，∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：S=|||﹣a|=2，解得a=4故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的截距，涉及導(dǎo)數(shù)法求曲線上某點(diǎn)的切線，屬基礎(chǔ)題．15.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，C上一點(diǎn)P滿足，則△PF1F2的內(nèi)切圓面積為

．參考答案：4π【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；解三角形；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)橢圓的方程，算出a=5且焦距|F1F2|=2c=10．設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，根據(jù)橢圓的定義和勾股定理建立關(guān)于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF1|?|PF2|=48，結(jié)合直角三角形的面積公式，可得△PF1F2的面積S=|PF1|?|PF2|=24，再由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|），求得r，即可得到所求內(nèi)切圓的面積．【解答】解：∵橢圓，∴a2=49，b2=24，可得c2=a2﹣b2=25，即a=7，c=5，設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，則有m+n=2a=14，m2+n2=（2c）2=100，可得2mn=96，即mn=48，∴|PF1|?|PF2|=48，∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面積S=|PF1|?|PF2|=×48=24，由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=r?（2a+2c）=12r（r為內(nèi)切圓的半徑），由12r=24，解得r=2，則所求內(nèi)切圓的面積為4π．故答案為：4π．【點(diǎn)評(píng)】本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形為直角三角形，求它的面積，著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．16.已知：f（x）＝，設(shè)f1（x）＝f（x），fn（x）＝fn－1[fn－1（x）]（n>1，n∈Ｎ*）則f3（x）的表達(dá)式為_(kāi)______，猜想fn（x）（n∈N*）的表達(dá)式為

。參考答案：17.如圖，扇形的弧的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，且若，，則的取值范圍是__▲

_．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】向量的減法運(yùn)算，向量的數(shù)量積【答案解析】解析：解：設(shè)OC=x，則BD=2x，顯然0≤x≤1，=.【思路點(diǎn)撥】在向量的運(yùn)算中通常把所求的向量利用向量的加法與減法轉(zhuǎn)化為用已知向量表示，再進(jìn)行解答.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形．（Ⅰ）證明：∥平面；（Ⅱ）證明：平面平面．參考答案：（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．…………?分（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以．因?yàn)榈酌?，所以．?，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?/p>

……………7分19.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列問(wèn)題：(1)求3a＋b－2c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k.參考答案：(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)．∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.··········1420.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點(diǎn)，點(diǎn)P到直線BC的距離是該點(diǎn)到直線AB，AC距離的等比中項(xiàng)。（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；（Ⅱ）若直線L經(jīng)過(guò)的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率k的取值范圍。參考答案：解析：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為。點(diǎn)到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè)，，即，化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為圓S：

......5分（Ⅱ）由前知，點(diǎn)P的軌跡包含兩部分圓S：

①與雙曲線T：

②因?yàn)锽（－1，0）和C（1，0）是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)P的軌跡上，且點(diǎn)P的軌跡曲線S與T的公共點(diǎn)只有B、C兩點(diǎn)。的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過(guò)D，且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為

③（i）當(dāng)k=0時(shí)，L與圓S相切，有唯一的公共點(diǎn)D；此時(shí)，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。......10分（ii）當(dāng)時(shí)，L與圓S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí)，L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況：

情況1：直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C，此時(shí)L的斜率，直線L的方程為。代入方程②得，解得。表明直線BD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)B、E；直線CD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)C、F。故當(dāng)時(shí)，L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。

......15分

情況2：直線L不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和C（即），因?yàn)長(zhǎng)與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以L與雙曲線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡(jiǎn)得該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是

④或

⑤解方程④得，解方程⑤得。綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。

......20分21.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，PA是四棱錐的高，AP=AB=2，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，E是BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：PE⊥AF；（2）若BC=2BE=4，求直線AP與平面PDE所成角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BE=a，證明：，即可證明PE⊥AF；（2）求出平面PDE的法向量，即可求直線AP與平面PDE所成角的大?。窘獯稹浚?）證明：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BE=a則A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1），E（a，2，0）于是，，，則，所以AF⊥PE．（2）解：由，得，，，=（2，2，﹣2）設(shè)平面PDE的法向量為=（x，y，z），由，得：，令x=1，則，于是，而，設(shè)AP與平面PDE所成角為θ，所以，所以AP與平面PDE所成角θ為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查線線垂直，考查線面角，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．22.某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．（1）求圖中a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分．參考答案：【考點(diǎn)】用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布；頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均數(shù)加權(quán)公式可得平均