稀奇古怪的數(shù)學(xué)題目-(1)省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

怎樣解題清華中學(xué)康貴生第1頁(yè)學(xué)會(huì)學(xué)解題第2頁(yè)1．1數(shù)學(xué)解題

解題是找出數(shù)學(xué)問(wèn)題答案活動(dòng)．例題講解、習(xí)題求解、定理證實(shí)以及實(shí)際問(wèn)題建模處理等都是解題．解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容和一個(gè)最基本活動(dòng)形式．?dāng)?shù)學(xué)解題又是掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”基本路徑，概念掌握、技能熟練、定理了解、能力培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)態(tài)度養(yǎng)成等都離不開(kāi)解題實(shí)踐(沒(méi)有勤奮而得法解題訓(xùn)練，談不上掌握數(shù)學(xué))；數(shù)學(xué)解題還是評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)主要伎倆第3頁(yè)

2．3．1學(xué)解題三步驟程式及其反思三步驟程式

第1步：簡(jiǎn)單模仿第2步：變式練習(xí)第3步：自發(fā)領(lǐng)悟第4步：自覺(jué)分析第4頁(yè)前3步表達(dá)了“接收記憶知識(shí)——練習(xí)鞏固知識(shí)——頓悟形成了解”這么一個(gè)逐步深化認(rèn)識(shí)過(guò)程，是傳統(tǒng)教學(xué)所熟悉．

解題思維需要有“第二過(guò)程”暴露第5頁(yè)數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程暴露是一個(gè)不停分析解題過(guò)程、循環(huán)提升了解能力探究活動(dòng)．在過(guò)程上，現(xiàn)有“第一過(guò)程”暴露又有“第二過(guò)程”暴露，是解題思維全過(guò)程暴露；在內(nèi)容上，既包含數(shù)學(xué)家思維、又包含教師思維、學(xué)生思維（教室里應(yīng)是這三種思維同時(shí)暴露）．第6頁(yè)（1）弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》（文[5]）“致讀者”中，分析學(xué)生解了大量題但還“不開(kāi)竅”時(shí)指出：“這些學(xué)生沒(méi)有在應(yīng)有程度上分析所解習(xí)題，不能從中分析出解題普通方式和方法，解題經(jīng)常只是為了得個(gè)答案．”第7頁(yè)波利亞《怎樣解題》一書(shū)正是經(jīng)過(guò)剖析經(jīng)典例題解題過(guò)程來(lái)展開(kāi)“解題表”和“教會(huì)年輕人去思索”，而且在解題表中專(zhuān)設(shè)了一個(gè)步驟“回顧”，為每一道題自覺(jué)分析都留下了時(shí)間和空間．他在書(shū)中指出：“一個(gè)好教師應(yīng)該知道而且傳授給學(xué)生下述看法：沒(méi)有任何問(wèn)題是能夠處理得十全十美，總剩下些工作要做．經(jīng)過(guò)充分探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提升自己對(duì)這個(gè)解答了解水平．”這就又深入說(shuō)明，分析解題過(guò)程不但能“改進(jìn)”解答，而且總能提升“了解”水平．波利亞在《數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)》序言中還詳細(xì)指出解題分析最正確時(shí)機(jī)：“可能是讀者解出一道題時(shí)候，或是閱讀它解法時(shí)候”．第8頁(yè)主要解題理論①波利亞《怎樣解題》②弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》③元認(rèn)知理論認(rèn)④數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論⑤分析經(jīng)典例題或自己解題，也是一個(gè)“案例分析”，它是“案例數(shù)學(xué)”在解題教學(xué)中移植解題差異論認(rèn)為，解題過(guò)程就是消除已知（條件）與未知（結(jié)論）之間差異過(guò)程．第9頁(yè)什么是數(shù)學(xué)問(wèn)題處理呢？

1．問(wèn)題處理是心理活動(dòng)．

2．問(wèn)題處理是一個(gè)過(guò)程．

3．問(wèn)題處理是一個(gè)目標(biāo)．

4．問(wèn)題處理是一個(gè)能力．

第10頁(yè)數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)教育中主要性波利亞在《數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)》中認(rèn)為：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力訓(xùn)練”（參見(jiàn)文[5]序言），解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有不容置疑主要性:1．?dāng)?shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺關(guān)鍵內(nèi)容，數(shù)學(xué)解題思維實(shí)質(zhì)是發(fā)生數(shù)學(xué)．2．?dāng)?shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可替換實(shí)質(zhì)活動(dòng)，解題活動(dòng)關(guān)鍵價(jià)值是掌握數(shù)學(xué)．3．?dāng)?shù)學(xué)解題是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)能力時(shí)不可減弱主體組成，解題測(cè)試基本理念是展現(xiàn)數(shù)學(xué)．第11頁(yè)數(shù)學(xué)解題就是解題者在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，利用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)基本技能分析、處理問(wèn)題過(guò)程．

第12頁(yè)波利亞怎樣解題表：搞清問(wèn)題確定計(jì)劃實(shí)現(xiàn)計(jì)劃回顧第13頁(yè)第14頁(yè)第15頁(yè)第16頁(yè)第17頁(yè)第18頁(yè)第19頁(yè)第20頁(yè)第21頁(yè)第22頁(yè)第23頁(yè)第24頁(yè)第25頁(yè)第26頁(yè)第27頁(yè)第28頁(yè)解題化歸論解題化歸論認(rèn)為，解數(shù)學(xué)題過(guò)程，就是將未知數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)處理問(wèn)題過(guò)程．這是一個(gè)關(guān)于解題很流行觀點(diǎn)，笛卡兒（公元1596～1650）在《指導(dǎo)思維法則》一書(shū)提出“通用方法”有化歸思想明確表示：●將所論問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題（數(shù)學(xué)化），●將數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題（代數(shù)化），●將代數(shù)問(wèn)題化歸為方程求解（計(jì)算化）．即使這種方法不是萬(wàn)能，但所表示化歸思想確實(shí)是非常有價(jià)值．第29頁(yè)1波利亞《怎樣解題表》喬治·波利亞（GeorgePolya1887～1985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家．在解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法(指關(guān)于發(fā)覺(jué)和創(chuàng)造方法和規(guī)律，亦譯為探索法)當(dāng)代研究先軀．

第30頁(yè)波利亞（公元1889-1985）《怎樣解題》一書(shū)表達(dá)了解題化歸論，波利亞著作利用化歸思想十分熟練、實(shí)施化歸路徑非常豐富（當(dāng)然波利亞解題思想不但僅是化歸）．第31頁(yè)第32頁(yè)第33頁(yè)第34頁(yè)第35頁(yè)第36頁(yè)第37頁(yè)第38頁(yè)第39頁(yè)第40頁(yè)第41頁(yè)第42頁(yè)第43頁(yè)第44頁(yè)數(shù)學(xué)解題美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P·R·Halmos）認(rèn)為，問(wèn)題是數(shù)學(xué)心臟．他說(shuō)：“數(shù)學(xué)終究是由什么組成？定理嗎？證實(shí)嗎？概念？定義？理論？公式？誠(chéng)然，沒(méi)有這些組成部分，數(shù)學(xué)就不在,這些都是數(shù)學(xué)必要組成部分，不過(guò)，它們中任何一個(gè)都不是數(shù)學(xué)心臟,這個(gè)觀點(diǎn)是站得住腳，數(shù)學(xué)家存在主要理由就是解問(wèn)題．所以，數(shù)學(xué)真正組成部分是問(wèn)題和解．”第45頁(yè)引例——經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)積累．例2-1已知求證．經(jīng)測(cè)試，學(xué)生普遍都能找到各種解法，但對(duì)哪種解法更反應(yīng)問(wèn)題本質(zhì)或深層結(jié)構(gòu)，認(rèn)識(shí)是不一致．證實(shí)１（從結(jié)論出發(fā)，用配方法）證實(shí)２（從結(jié)論出發(fā)，用基本不等式）

第46頁(yè)證實(shí)３（用柯西不等式）

證實(shí)4（兩次用基本不等式）

相乘第47頁(yè)在同學(xué)們各抒己見(jiàn)基礎(chǔ)上，我們不表態(tài)，請(qǐng)大家繼續(xù)思索下題：例2-2已知求證．這時(shí)，不一樣解法難度、長(zhǎng)度和技巧表現(xiàn)出差異．證實(shí)１（配方法）第48頁(yè)證實(shí)2（柯西不等式法）

第49頁(yè)證實(shí)3（三次用基本不等式法）

相乘

．同學(xué)們體會(huì)到，當(dāng)字母增加時(shí)，三次用基本不等式法更反應(yīng)題目標(biāo)結(jié)構(gòu)，并馬上推廣得例2-3已知是個(gè)正數(shù)，滿(mǎn)足求證

第50頁(yè)原題目：在橢圓上求一點(diǎn)，使它與倆焦點(diǎn)連線(xiàn)相互垂直。伴隨新課程改革深入，處理好教材上習(xí)題，挖掘它潛在教育價(jià)值功效。注意題目標(biāo)引伸、變式、推廣等，落實(shí)學(xué)生“三維”目標(biāo)和創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)。比如高中《數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）》第132頁(yè)第6題來(lái)進(jìn)行剖析說(shuō)明。原題目：在橢圓上求一點(diǎn)，使它與倆焦點(diǎn)連線(xiàn)相互垂直。第51頁(yè)（04湖南）已知是橢圓C：兩個(gè)焦點(diǎn)，在C上滿(mǎn)足點(diǎn)P個(gè)數(shù)為_(kāi)________.（年天津、江西）、橢圓焦點(diǎn)為點(diǎn)P為其上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)取值范圍是____________.（年福州）已知P點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是兩個(gè)焦點(diǎn)，且=，則面積_______________.第52頁(yè)已知橢圓：兩個(gè)焦點(diǎn)分別為點(diǎn)P是橢圓上任意點(diǎn)，它橫坐標(biāo)為x，普通地有：

第53頁(yè)

雙關(guān)圖第54頁(yè)這種畫(huà)有不止一個(gè)效果，假如你按通常方式去看它，它是一個(gè)圖像，可是假如你轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置再換一個(gè)特殊方式去看它，那么另一個(gè)圖像就會(huì)突然閃現(xiàn)在你面前，并對(duì)第一個(gè)圖像發(fā)表一些詼諧評(píng)論．

第55頁(yè)我們可能會(huì)一下子看出隱藏在塞滿(mǎn)了畫(huà)面里真正圖形，也可能是逐步地把它認(rèn)了出來(lái)．我們可能是在努力解題過(guò)程中，也可能是在一些次要、非實(shí)質(zhì)性機(jī)會(huì)中到達(dá)了它．

第56頁(yè)波利亞強(qiáng)調(diào)