山東省煙臺(tái)市芝罘區(qū)高中協(xié)同聯(lián)考2023屆高三三模數(shù)學(xué) 含解析

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)模擬試題

本試卷共5頁(yè)，共22小題，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷的指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆將答

案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

U=|xeN*|y=V5-x|M=[xeU\4x<161&M-

1.已知全集111,集合1?則0/一（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{3,4,5}D.{1,2,3,4,5）

【答案】C

【解析】

【分析】解相應(yīng)不等式，化簡(jiǎn)集合，后由補(bǔ)集定義可得答案.

【詳解】由題，y=,5-xnxW5,則。={1,2,3,4,5}；

4、416=4,<4?ox<2，貝ijM={1,2}廁={3,4,5}

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z—|z|=-8+12i,則z的實(shí)部是（）

A.9B.7C.5D.3

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)z="+bi（a,beR）,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，列出方程組求解，即可得到本題答案.

【詳解】設(shè)2="+從（。乃61^,則目=，/+/,

由z一目=-8+12i,得a+歷一Ja2+護(hù)=-8+12i,

所以“一1/+/=一8,b=l2,

則a-J/+i44=—8,解得a=5，

所以z的實(shí)部是5.

故選：C

3.已知a,b,/是三條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，a，=/,aua，bu/,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.若a〃/，則a〃/B.若。J,all,則

C.若a則a_L尸D.a,b■—定是異面直線

【答案】A

【解析】

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,利用線面平行的性質(zhì)即可判斷出結(jié)果的正誤；對(duì)于選項(xiàng)BCD,利用長(zhǎng)方體中的點(diǎn)

線面的位置關(guān)系，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】選項(xiàng)A,因?yàn)閍〃尸，aua,a/?=/,所以a〃/,所以選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B,如圖，在長(zhǎng)方體中，取平面ABC。為平面平面48cq為平面尸，則a/3=BC,取直線

A6為“，直線A4為人，

顯然有:，力，aA.1,但a與夕不垂直，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,如圖，取平面ABCO為平面a,平面AA8瓦為平面,，則cp=AB,取直線。。為

此時(shí)有a_L尸，但a//〃，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,如圖，取平面ABC。為平面a,平面AABg為平面夕，則aB=AB,取直線A8為“，

直線A￡為力，此時(shí)。//從所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：A.

4.為了解高中學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某市教育局分別從身體形態(tài)、身體機(jī)能、身體素質(zhì)等方面對(duì)該市高

中學(xué)生的體質(zhì)健康水平進(jìn)行綜合測(cè)評(píng)，并根據(jù)2018年版的《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》評(píng)定等級(jí)，經(jīng)過(guò)統(tǒng)

計(jì)，甲校有30%的學(xué)生的等級(jí)為良好，乙校有60%的學(xué)生的等級(jí)為良好，丙校有50%的學(xué)生的等級(jí)為

良好，且甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的學(xué)生人數(shù)之比為5:8:7.從甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的

學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，則該學(xué)生的等級(jí)為良好的概率為（）

A.0.40B.0.47C.0.49D.0.55

【答案】C

【解析】

【分析】記“該學(xué)生來(lái)自甲校”為事件4，“該學(xué)生來(lái)自乙?！睘槭录?“該學(xué)生來(lái)自丙?！睘槭录?/p>

4,記“該學(xué)生的等級(jí)為良好”為事件3,利用全概率公式可求得P（8）的值.

【詳解】從甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，

記“該學(xué)生來(lái)自甲?！睘槭录嗀,“該學(xué)生來(lái)自乙?！睘槭录?,“該學(xué)生來(lái)自丙校”為事件43，

CQ7

則P（A）=---=0.25,P（A,）=---=0.4,P（A）=-----=0.35.

\"5+8+7,5+8+7,*5+8+7

記“該學(xué)生的等級(jí)為良好”為事件5,則「（5|A）=O3,P（B|A）=0.6,P（B|A）=0.5,

所以p（8）=尸（A）尸（MA）+P（4）尸國(guó)甸+尸（4）P（B|A3）

=0.25x0.3+0.4x0.6+0.35x0.5=0.49.

故選：c.

5.若x>0,y>0,貝『x+y<4”的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.x2+y2<SB.6<J4-yC.孫<4D.-+-<1

xy

【答案】c

【解析】

【分析】利用基本不等式和充分條件，必要條件的判斷逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.

/\2

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若V+y2<8,則（x+y）2=f+y2+2肛<8+2肛<8+2”上，所以

、2，

（x+yj<16,又x>0,y>0,所以0<x+y<4,所以+/<8”是“x+y<4”的充分條件，故

選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：若?<斤斤，則<（斤］『，所以x<4-y,即x+y<4,所以

“G<斤亍”是“x+y<4”的充要條件，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

2

對(duì)于選項(xiàng)C：由x+y<4得孫<［三'J<4,

另一方面取x=L,y=8,滿(mǎn)足孫<4,但x+y>4,

4

所以“孫<4”是“x+y<4”的一個(gè)必要不充分條件，故選項(xiàng)C正確;

111,11,

對(duì)于選項(xiàng)D：取8=—，y=3,滿(mǎn)足x+y<4,但一+—>1,所以“一+一<1”不是“x+y<4”的必要

5xyxy

條件，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

3s1

6.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，」+〃=34+1,則%=（）

n3

A.20B.19C.18D.17

【答案】B

【解析】

【分析】由a“=S“-S,i（〃N2）,可得數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式，即可求得本題答案.

3s

【詳解】因?yàn)閖+〃=34+1,所以3s“+〃2=3〃a“+〃①，

n

當(dāng)時(shí)，3sl②,

①-②得,3（S〃+=3w〃—3（〃—I）%?」+1,

2

所以=2（〃-1）,又〃22,得

21

所以｛4｝是等差數(shù)列，公差"=§,又4=一］，

22

所以勺=§〃一1，則。3。=§*30—1=19.

故選：B

31

7.已知。=sinl,b=-，c=;----,貝ijq,b,c的大小關(guān)系為（）

itlog37T

A.a>obB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】令/（x）=sinx—3x,利用其單調(diào)性比較大小，令g（x）=也，利用其單調(diào)性比較b,c大小.

71X

33

【詳解】令/(x)=sinx——x,則洋(九)=cosx——,

7171

當(dāng)外時(shí)，cosxe0,孚,且=L一2<0,

U2)y2J7271

所以當(dāng)時(shí)，/'(x)<0，〃x)單調(diào)遞減，

33

所以/(l)=sinl-己<即sinlv—,則。<從

7171

令g(x)=也,則g'(x)=^~y—>當(dāng)xe(e,+oo),l-lnjc<l-lne=0.

所以g'(x)<0在(e,+8)上恒成立，

所以g(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減,

”，，ln3lore?1、3,

所以一>——，a即?;----所以c>人.

3Ttlog,7171

綜上c>b>a,

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于不同類(lèi)型的數(shù)值比較大小問(wèn)題，我們可以先把數(shù)值進(jìn)行等價(jià)變形化同構(gòu)，再構(gòu)

造相應(yīng)的函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，最后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

22

8.已知雙曲線斗—5=1(。>0力>0)的上、下焦點(diǎn)分別為耳，居，過(guò)耳的直線與雙曲線的上支交于

M,N兩點(diǎn)，若|MN|,|班|成等差數(shù)列，且則該雙曲線的離心率為()

A回RMr75nV6

3222

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)|MgI，|MN|,|Ng|成等差數(shù)列，并結(jié)合雙曲線的定義得到|MN|=4a,再設(shè)

\MF\=x,在RJMN心中利用勾股定理得到x=。，進(jìn)而在Rt△6M乙中利用勾股定理得到

2c2=5/,從而得到雙曲線的離心率.

【詳解】由雙曲線的定義知閭=2。+|"耳|,|N閭=2a+|N用，

A\MF2\+\NF2\^4a+\MFi\+\NF]\^4a+\MN\,

?.［叫+質(zhì)|=2|孫，：.\MN\^4a,

令=則|NF；|=4"X,

在區(qū)1加%中，...四用2+眼甘=加用2,.\(2。+力2+(4。)2=(64—》)2,

解得x=a,|M耳|=a,|Mg|=3a,

所以在中，/+(3a)2=(2c)2,

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知點(diǎn)4(1,2),5(3,1),C(4,m+l)(m€R),則下列說(shuō)法正確的是()

A.卜3卜石B.若4B_LBC，則加=-2

C.若A6〃5C，則〃i=-JD.若84，8c的夾角為銳角，則根＜2且加。一:

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)，垂直，平行和夾角大小的定義，對(duì)下列各項(xiàng)逐一判斷，即可得到本題答案.

【詳解】因?yàn)锳(l,2),5(3,1),C(4,m+l)(/neR),

所以A8=(2,—1),BC=(l,m)(meR),

選項(xiàng)A：網(wǎng)=百+㈠)?=亞,所以A正確；

選項(xiàng)B：因?yàn)锳BL8C，所以AB.8C=0,所以2—機(jī)=0,所以加=2,所以B錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C：因?yàn)锳6〃8C，所以2x〃?=(-l)xl,所以加=—g,所以C正確；

BA-BC=-2+m>0

選項(xiàng)D：因?yàn)閰^(qū)4,BC的夾角為銳角，且區(qū)4=(-2,1),所以(im，解得

1-21

m>2,所以D錯(cuò)誤.

故選：AC

10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)N((),2)的距離等于2,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為「，直線/：

(1+4)x+y-+義)-1=0(義wR),則()

A./可能是「的切線B」與「可能沒(méi)有公共點(diǎn)

C」與「可能有兩個(gè)公共點(diǎn)D.r上的點(diǎn)到/的距離的最大值為4

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡「的方程為f+(y-2)2=4,另外直線方程

/：(l+/l)(x—@+y—l=0(/leR)過(guò)定點(diǎn)產(chǎn)(61),且尸在「上，由此逐項(xiàng)分析，即可得到本題答案.

【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)N((),2)的距離等于2,

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡「的方程為r+(y-2)2=4,

易知/：(l+2)(x-73)+y-l=0(AeR),所以直線/過(guò)定點(diǎn)P("l),

因?yàn)椤?)2=4,所以點(diǎn)P在「上，

對(duì)于選項(xiàng)A,B,C,易知/可能是「的切線，/與「不可能沒(méi)有公共點(diǎn)、可能有兩個(gè)公共點(diǎn)，故A正確，B

錯(cuò)誤，C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,易知「上的點(diǎn)到/的距離的最大值為圓的直徑4,故D正確.

故選：ACD

11.底面為直角三角形的三棱錐P-ABC的體積為4,該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，點(diǎn)P在

底面ABC上的射影為K,PK=3,則下列說(shuō)法正確的是()

A.若點(diǎn)K與點(diǎn)A重合，則球O的表面積的最小值為257r

B.若點(diǎn)K與點(diǎn)4重合，則球O的體積的最小值為一

24

)69兀

C.若點(diǎn)長(zhǎng)是_鈣。的斜邊的中點(diǎn)，則球。的表面積的最小值為一h

2]977r

D.若點(diǎn)K是ABC的斜邊的中點(diǎn)，則球。的體積的最小值為[k

162

【答案】AD

【解析】

【分析】設(shè)ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為x,?根據(jù)題意求得W=8,然后分點(diǎn)K與點(diǎn)A重合和點(diǎn)K是

ABC的斜邊的中點(diǎn)兩種情況進(jìn)行求解即可判斷.

【詳解】設(shè)_ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為x,y,球。的半徑為R.因?yàn)槿忮FP-ABC的體積為4,

PK=3,所以lx現(xiàn)x3=4,解得切=8.

32

對(duì)于選項(xiàng)A,B：由題意知平面ABC,所以

2R=7^2+/+32=7%2+/+9V^+9=72x8+9=5（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=20時(shí)取等號(hào)），解

得

2

41257r

所以球。的表面積5=4兀/?2225兀，球。的體積丫=一兀內(nèi)2——，故A正確，B錯(cuò)誤；

36

（/2~~2V

對(duì)于選項(xiàng)C,D：若點(diǎn)K是uWC斜邊的中點(diǎn)，則（3-/?了+義~匚=R2,（球0的球心位于直

\7

線PK上）

所以6R=9+*+）"29+也=9+3=13（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=20時(shí)取等號(hào)），即

4446

169冗421977r

所以球。的表面積S=4兀代2*士,球。的體積V=—兀代之__上，故c錯(cuò)誤，D正確.

93162

故選：AD

【點(diǎn)睛】方法技巧

求解此類(lèi)題要過(guò)好三關(guān)：一是構(gòu)造關(guān)，即會(huì)構(gòu)造長(zhǎng)方體模型快速求解外接球的直徑，長(zhǎng)方體的外接球的

直徑等于共點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的平方和的開(kāi)方；二是方程關(guān)，即會(huì)利用三棱錐的底面三角形的外接圓的圓心、

球心與三棱錐的頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形，用勾股定理得關(guān)于球半徑的方程；三是最值關(guān)，利用基本不等

式求最值，要注意“一正二定三相等”.

12.已知函數(shù)/（x）=ln（27tex-ex2）—2cos彳，則（）

A.f（27i-x）=-f（x）B.“X）的圖象關(guān)于直線龍=兀對(duì)稱(chēng)

C.詈）D./（x）僅有一個(gè)極值點(diǎn)

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性和極值點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷

即可求解.

【詳解】因?yàn)?(6=缶(20一2一28525的定義域?yàn)?0,2兀)，所以

/(x)=ln(2?-%2)+1-2cos2楙=In(2TIX-X2)-cosx=In(27i-x)+lnLX-cosjc.

對(duì)于選項(xiàng)A：/(2K-x)=Inx+In(2n-x)-cos(2TI-x)=ln(2兀-x)+hu-co&x,即

/(2K-X)=/(X),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：由A知"2兀-x)=/(x),所以/(x)的圖象關(guān)于直線工=兀對(duì)稱(chēng)，(結(jié)論：若

f{x+a)=f[b-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線》=皇對(duì)稱(chēng))故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：f'(x]^~~—+-+sinx^\+sinx,

2n-xxX[2TI-X)

當(dāng)0＜x＜兀時(shí),用x)＞0,所以在(0,兀)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒(2兀-X)=/(%),所以/信)=/(2兀一周=/(引，

因?yàn)樨＃編r＞系＞0，所以/[署)＞/(葛)=，傳故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?(x)的圖象關(guān)于直線X=71對(duì)稱(chēng)，且/(x)在(0,兀)上單調(diào)遞增，所以/(x)在

(兀,2兀)上單調(diào)遞減，所以/(x)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，故D正確.

故選：BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.3石+2)的展開(kāi)式中尤的系數(shù)為.

【答案】4860

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為1,求出廠的值，將廠=2的值代入通項(xiàng),

求出系數(shù).

的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)=C；(3?廣(2)=C；36-r2r?-r,

【詳解】+r+i

令3—r=l，得r=2，

所以展開(kāi)式中x的系數(shù)為C；x34x22=4860.

故答案為：4860.

14.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=(x+2)e*的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

【答案】一1+百或一1一6

【解析】

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(%,%),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將(0,0)代入，即可求得本題答案.

【詳解】由y=(x+2)e'可得y'=(x+3)e*,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(玉),%)，

所以切線斜率k=+3)e*>,又因?yàn)?=(/+2)e%,

則切線方程為丁一(為+2)e*=(x0+3)e'"(x-x0),

把(0,0)代入并整理可得片+2%-2=0,解得毛=一1+6或毛=一1一6.

故答案為：一1+6或一1一百

15.己知拋物線八/=2px(p>0)焦點(diǎn)為尸(1,0),點(diǎn)K在「上且在第一象限，直線FK與「的準(zhǔn)線

交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M且與x軸平行的直線與廠交于點(diǎn)H,若2HF=HM+HK，則|印什.

【答案】4

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)K作準(zhǔn)線的垂線，垂足為G,利用拋物線的定義，結(jié)合題意可得為等邊三角形，

進(jìn)而求解即可.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€「y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸(1,0),所以臺(tái)1,解得，=2.

過(guò)點(diǎn)K作準(zhǔn)線的垂線，垂足為G,則|KF|=|KG.

因?yàn)?HF=HM+HK，

所以點(diǎn)尸為線段MK的中點(diǎn)，所以NKMG=30°,又MH與x軸平行,

所以NFMH=6（）。.由拋物線的定義知\HM\=\HF\,

所以_月0”為等邊三角形，所以q=|w|=2x2|Of|=4.

故答案為：4.

16.已知函數(shù)/(x)=|2sin?x+8)+l|0>0,網(wǎng)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,2）,若/（x）在區(qū)間

2兀3兀

上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是,

T,T

4

9-

【解析】

【分析】將（0,2）代入/（x）的解析式，求仍的值，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)列關(guān)于“的不等式組，即

可得解.

【詳解】由題意得/（0）=怪皿0+1|=2,；.5皿8=，，又冏＜二，二，

226

/兀、

/（元）=2sincox+—+1,

k6）

（27r37rA

?.?/（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0,2）,且/（x）在區(qū)間一石,彳J上單調(diào)遞增，

???作出/（X）的大致圖象如圖所示，

其中4為“X）在y軸左邊的第一個(gè)零點(diǎn)，巧為了（X）在y軸右邊的第一個(gè)極大值點(diǎn),

2sin|coxx+—|+1=0

兀<2兀

3,得o<@<3,0的取值范圍是.

3兀兀9V9_

--￡---

I4-3。

故答案為：（°）§

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.電視劇《狂飆》顯示了以安欣為代表的政法人員與黑惡勢(shì)力進(jìn)行斗爭(zhēng)的決心和信心，自播出便引起巨

大反響.為了了解觀眾對(duì)其的評(píng)價(jià)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了10位觀眾對(duì)其打分（滿(mǎn)分為10分），得到如下表

格：

觀眾序號(hào)12345678910

評(píng)分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1

（1）求這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)；

（2）將頻率視為概率，現(xiàn)從觀眾中隨機(jī)抽取3人對(duì)《狂飆》進(jìn)行評(píng)價(jià)，記抽取的3人中評(píng)分超過(guò)9.0的

人數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.

【答案】（1）9.1

（2）分布列答案見(jiàn)解析，E（X）=0.9,D（X）=0.63.

【解析】

【分析】（1）先將數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合百分位數(shù)的計(jì)算公式，即可求解；

（2）根據(jù)題意，求得評(píng)分超過(guò)9.0的概率，得出X的所有取值，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求出概率,

得出分布列，進(jìn)而求出期望和方差.

【小問(wèn)1詳解】

將這組數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排列，

7.4,7.8,8.3,8.5,8.5,8.6,8.9,9.1,9.5,9.9,

因?yàn)?5%xl0=7.5,所以第8個(gè)數(shù)據(jù)為所求，

所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.1.

【小問(wèn)2詳解】

樣本中評(píng)分超過(guò)9.0有3個(gè)，

所以評(píng)分超過(guò)9.0的概率（頻率）為0.3,

依題意，X的所有可能取值為0』,2,3,且X8（3,0.3）,

則P（X=0）=C；x0.73=0.343,

P（X=l）=C；xO.3xO.72=0.441,

P（X=2）=Cfx0.32x0.7=0.189,

p（X=3）=C；xO.33=0.027,

所以X的分布列為

X0123

P0.3430.4410.1890.027

所以￡（X）=3x0.3=0.9,

￡＞（%）=3x03x0.7=0.63.

18.一ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.己知（/?一（?屈113=加出（4一。）

（1）求角A；

（2）若一ABC為銳角三角形，且的面積為S,求°0”的取值范圍.

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到cosA=g,再結(jié)合Ae（O,〃），即可得

到A;

（2）根據(jù)A=）和三角形面積公式將+°?整理為2+￡]一逑,再根據(jù)銳角三角形和

3S3｛cb）3

b

正弦定理得到一的范圍，最后用換元法和函數(shù)單調(diào)性求范圍即可.

C

【小問(wèn)I詳解】

（b-c）sin6=/?sin（A—C）,所以?xún)H一c）sin/?=/?（sinAcosC-cosAsinC）,

而zG.,?,.a1+b2-c2b2+c2-a2

明以Z?-be-abcosC-bccosA=-----------------------a~2—c2,

22

又/=從+。2-2bccosA，所以cosA=^,

2

因?yàn)锳w（0,〃），所以A=..

【小問(wèn)2詳解】

i巧

由（1）可知S=—hesinA=—，er=kr+C1—be-

24

則（2+匕2+（2_46cr+b2+c24732^+2c2一歷_86僅?c]4后

一_1be_be_~l~｛c*bJ---

<C<

因?yàn)橐?8C銳角三角形，所以，°cf,整理得二<C<7.

n2nCn62

132

m4bsinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC,31山?1b

因?yàn)?一=----=—------乙=------------------=———+—，所以一〈一<2

csinCsinCsinC2tanC22c

令?=f,則函數(shù)y=（+；在上單調(diào)遞減，在（1,2）上單調(diào)遞增，所以ye2,1],即

故Y+〃+c?的取值范圍為為月.

sL3

19.已知首項(xiàng)不為0的等差數(shù)列｛q｝,公差"H0,《=0（，為給定常數(shù)），S,為數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和，且

=5叫（叫＜/4），｛2｝為加2一班所有可能取值由小到大組成的數(shù)列.

（1）設(shè)平面與平面PC。的交線為/,求證：UPE；

（2）若尸石〃3C,PE的中點(diǎn)為F，求平面BCF與平面COE所成二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）取C。的中點(diǎn)〃，連接證明CO_L平面可得CDLPE,再證明CD

平面AW，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得C￡>〃/,即可得證；

（2）連接AC,80交于點(diǎn)。，連接0P,以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,根據(jù)

PE〃8C以及正棱錐的結(jié)構(gòu)特征求出0P的長(zhǎng)度，再利用向量法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

取CO的中點(diǎn)連接

因?yàn)镻C=PO,CE=OE,所以MP_LCD,MELCD,

又皿「?。印?；=加,政3,加￡'0：平面PME，

所以CD_L平面PME，

又因PEu平面0ME,所以CD上PE,

因?yàn)锳8〃C￡）,A6u平面QA3，CC>（Z平面Q4B，

所以CD平面Q45，

又因平面MB與平面PC。的交線為/，CDu平面PC。，

所以CD〃/,

因?yàn)镃￡>J_P￡,所以PEU；

【小問(wèn)2詳解】

連接AC,BO交于點(diǎn)。，連接0P,

則OP±平面ABCD,ACLBD,

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)AB=2，則AC=BD=2&，

設(shè)0P=〃，則pc="￡=拉+〃2,

則B（V2,0,0）,C（0,A/2,0）,D（-V2,0,0）,P（0,0,/I）,

由「石〃BC,得E

由￡)￡=CD,得$￥5+可+代解得力=拒，

故尸倒,0,⑹,E(-"夜，⑹,

因?yàn)榉础˙C,PE的中點(diǎn)為尸，所以平面BCF與平面尸3CE重合,

CD=(-V2,-V2,0),C￡=(-V2,0,V2),CB=(V2,-^,0),

設(shè)平面PBCE的法向量為m=(x,y,z),

mCB-y/2x-yf2y=0

則有＜令x=l,則y=z=l,所以〃2=(1,1,1),

m-CE=一行x+V2z=0

設(shè)平面COE的法向量為〃=(a,6,c),

n-CD=-y/2a-y[2b=Q

則有<ll，令。=1,則人=-l,c=l,所以“=(1,-1,1),

n-CE=-yl2a+y/2c=0

所以平面Bb與平面CDE所成二面角的余弦值為;.

22

21.已知橢圓C：與+卓=1(。＞8＞0)的右焦點(diǎn)為E(2,0),且。卜2,&)是橢圓C上一點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)若過(guò)尸的直線4(與x軸不重合)與橢圓c相交于A3兩點(diǎn)，過(guò)尸的直線6與y軸交于點(diǎn)”，與

直線x=4交于點(diǎn)Na與4不重合)，記一例尸民..附5一可￡4,4￡加的面積分別為，,52,53,54,若

S,+S3).求直線4的方程.

22

【答案】（1）—+—=1

84

（2）x=±y+2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求出“，再根據(jù)。，4c之間的關(guān)系求出。2,即可得解;

（2）設(shè)直線AB的方程為*=加丁+2,A（玉,y）,3（工2，%），聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出M+%，,%，

根據(jù)直線x=4與V軸平行,可得|F）W|=|FN|,再根據(jù)何1=—（St+邑）化簡(jiǎn)即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

由已知可得耳（-2,0）為C的左焦點(diǎn)，

所以2a=|尸耳|+|PF|=40,即。=2日,

所以）2=儲(chǔ)一02=4，

22

故橢圓C的方程為二+—=1；

84

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)直線AB的方程為x=my+2,4（%,y）,B（x2,y2）,

則由?；2,得（加2+2）＞2+4%一4=0,

x+2y=8,'7

顯然A=（4m）2+16（1+2）＞0,

十4m4

于乂+%=--FT?，必必=--7—7,

m+2m+2

由直線x=4與y軸平行，

\FM\扁一2|2,...

可得局=曰=2=L所以1加值成|,

|FB\|FN\sinZBFN-11E4||FM|sinZAFM_

||FB||FM|sinNMF