貴州羅甸民族中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

貴州羅甸民族中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九上期末統(tǒng)考模擬試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，在平行四邊形A3CD中AE：BE=1：2.若5.=2,貝！|5厶。?=（）

A.18B.12C.10D.8

2.如圖，圓。是R3A8C的外接圓，ZACB=90°,NA=25。，過點(diǎn)C作圓。的切線，交A8的延長線于點(diǎn)。，則NO

A.25°B.40°C.50°D.65°

3.如圖，在RtZXABC中，NACB=90。，AC=24,AB=25,CD是斜邊A3上的高，貝（jcosNBC。的值為（）

E

724八724

A.—B.—C.—D.—

2525247

4.對(duì)于二次函數(shù)y=3（x—2）?+l的圖象，下列說法正確的是（）

A.開口向下B.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,1）

C.對(duì)稱軸是直線x=-2D.與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

5.拋物線.丫=-3f+12》-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(2,9)B.-9)

C.(-2,9)D.(-2,-9)

7.如圖，。。的半徑為1,點(diǎn)O到直線。的距離為2,點(diǎn)P是直線”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA切。O于點(diǎn)A,貝?。軵A的最

小值是（）

B.73C.2D.75

8.在公園內(nèi)，牡丹按正方形種植，在它的周圍種植芍藥，如圖反映了牡丹的列數(shù)（〃）和芍藥的數(shù)量規(guī)律，那么當(dāng)〃=11

時(shí)，芍藥的數(shù)量為（）

n=ln=2〃=3*n=4

釜釜為我*

為

￥**?

*??圣

**::*

***?.:*

*??**

~*

*n*

**

*

A.84株B.88株C.92株D.121株

9.如圖，已知正方形ABCD,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)F,連接BF,下列結(jié)論:

①SABF=SADF；②S<DF=4SCEF；③SADF=2SCEF；④SADF=2SCDF，其中正確的是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

10.半徑為6cm的圓上有一段長度為1.5萬cm的弧，則此弧所對(duì)的圓心角為（）

A.45B.75C.90D.150

11.關(guān)于x的一元一次方程2X“T+m=2的解為x=l,則的值為（）

A.5B.4C.3D.2

12.小思去延慶世界園藝博覽會(huì)游覽，如果從永寧瞻勝、萬芳華臺(tái)、絲路花雨、九州花境四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)

行參觀，那么他選擇的景點(diǎn)恰為絲路花雨的概率為（）

1111

A.-B.-C.-D.—

24816

二、填空題（每題4分，共24分）

13.化簡：Sin220-2J（cos600-l）2=

cos68°'

14.如圖AABC的頂點(diǎn)3在％軸的正半軸上，頂點(diǎn)A在，軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，AC交x軸于點(diǎn)￡,

過點(diǎn)E作丄BE交8c的延長線于點(diǎn)O.若反比例函數(shù)y=A經(jīng)過點(diǎn)。，且EC=8C,5M8￡=3,則左值等于

x

16.分解因式-18根=

17.將矩形紙片ABC。按如下步驟進(jìn)行操作:

DAD

E..............................FEF

圖1

（1）如圖1,先將紙片對(duì)折，使5c和重合，得到折痕EV；

（2）如圖2,再將紙片分別沿EC,80所在直線翻折，折痕EC和8。相交于點(diǎn)0.那么點(diǎn)。到邊AB的距離與點(diǎn)0

到邊CD的距離的比值是.

18.已知0。的半徑3c九點(diǎn)P在）0內(nèi)，則。尸3cm（填＞或=,＜）

三、解答題（共78分）

19.（8分）某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件成本40元，出于營銷考慮，要求每件售價(jià)不得低于40元，但物價(jià)部門要

求每件售價(jià)不得高于60元.據(jù)市場調(diào)查，銷售單價(jià)是50元時(shí)，每天的銷售量是100件，而銷售單價(jià)每漲1元，每天

就少售出2件，設(shè)單價(jià)上漲x元(x20).

(1)求當(dāng)x為多少時(shí)每天的利潤是1350元？

(2)設(shè)每天的銷售利潤為求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天利潤最大？最大利潤是多少？

20.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2—(2k+l)x+k2+k=0

(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若AABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為1.當(dāng)AABC是等腰三角形時(shí)，求k的

值

21.(8分)甲、乙、丙三個(gè)球迷決定通過抓閹來決定誰得到僅有的一張球票.他們準(zhǔn)備了三張紙片，其中一張上畫了

個(gè)五星，另兩張空白，團(tuán)成外觀一致的三個(gè)紙團(tuán).抓中畫有五角星紙片的人才能得到球票.剛要抓閹，甲問：“誰先

抓？先抓的人會(huì)不會(huì)抓中的機(jī)會(huì)比別人大？”你認(rèn)為他的懷疑有沒有道理？談?wù)勀愕南敕ú⒂昧斜砘虍嫎錉顖D方法說

明原因.

22.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=av2+〃x+c與x軸交于點(diǎn)4-2,0),點(diǎn)8(4,0),與)，軸交于點(diǎn)

C(0,2百)，連接BC,位于＞軸右側(cè)且垂直于x軸的動(dòng)直線/,沿x軸正方向從。運(yùn)動(dòng)到B(不含。點(diǎn)和B點(diǎn))，且

分別交拋物線、線段8c以及x軸于點(diǎn)P,D,E.連接AC,BC,PA,PB,PC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1,當(dāng)直線/運(yùn)動(dòng)時(shí)，求使得APE4和A4OC相似的點(diǎn)尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)如圖1,當(dāng)直線/運(yùn)動(dòng)時(shí)，求APC3面積的最大值；

(4)如圖2,拋物線的對(duì)稱軸交X軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)8作BG//AC交)'軸于點(diǎn)G.點(diǎn)H、K分別在對(duì)稱軸和＞軸上

A

運(yùn)動(dòng)，連接PH、HK.當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出P”+"K+^^KG的最小值.

2

23.(10分)教室里的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序，開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升10℃,加熱到100C停止加熱，水溫

開始下降，此時(shí)水溫》(℃)與開機(jī)后用時(shí)x(min)成反比例關(guān)系，直至水溫降至30℃,飲水機(jī)關(guān)機(jī)，飲水機(jī)關(guān)機(jī)

后即刻自動(dòng)開機(jī)，重復(fù)上述自動(dòng)程序.若在水溫為30'C時(shí)接通電源，水溫N(C)與時(shí)間x(min)的關(guān)系如圖所示:

（i）分別寫出水溫上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）怡萱同學(xué)想喝高于5O'C的水，請(qǐng)問她最多需要等待多長時(shí)間？

⑴操作發(fā)現(xiàn):如圖1,在中，ZACB=90°,以點(diǎn)C為中心，把A3C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AfC;再

以點(diǎn)A為中心，把A8C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到A&G.連接4G.則AG與AC的位置關(guān)系為平行;

（2）探究證明:如圖2,當(dāng)A8C是銳角三角形，NAC5=a（aH60。）時(shí)，將「ABC按照（1）中的方式，以點(diǎn)C為

中心，把.ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)“，得到44。；再以點(diǎn)A為中心，把一A3C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。，得到A82a.連接4G，

圖2

①探究A&與8C的位置關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并加以證明；

②探究4G；與AC的位置關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并加以證明.

25.（12分）如圖，已知：拋物線y=a（x+D（x—3）交x軸于A,C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)5,且O5=2CO.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、

"兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MN//G為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值；

(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得AAB尸為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

26.某籃球隊(duì)對(duì)隊(duì)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃測(cè)試，每人每天投籃10次，現(xiàn)對(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在五天中進(jìn)球數(shù)(單位：個(gè))進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

甲1061068

乙79789

經(jīng)過計(jì)算，甲進(jìn)球的平均數(shù)為8,方差為3.2.

(1)求乙進(jìn)球的平均數(shù)和方差；

(2)如果綜合考慮平均成績和成績穩(wěn)定性兩方面的因素，從甲、乙兩名隊(duì)員中選出一人去參加定點(diǎn)投籃比賽，應(yīng)選誰？

為什么？

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、A

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD,AB〃CD,再計(jì)算出AE：CD=1：3,接著證明△AEFsaCDF,然

后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】:?四邊形ABCD為平行四邊形，

AAB=CD,AB/7CD,

VAE:EB=1:2,

：?AE:AB=1:3,

???AE:CD=1:39

VAE#CD,

；?AEFsCDF,

?SAEF_（AE2_J_

9

?'SCDF-CD~9

：?SDFC-9>5說=9x2=18（cW）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵.

2、B

【分析】首先連接OC,由NA=25。，可求得NBOC的度數(shù)，由CD是圓O的切線，可得OC丄CD,繼而求得答案.

【詳解】連接。C,

,.咽。是RtAA5c的外接圓，NAC8=90。，

是直徑，

VZA=25°,

:.N3OC=2NA=50°,

是圓。的切線，

：.OCLCD,

:.N￡>=90"NBOC=40。.

故選B.

3、B

【分析】根據(jù)同角的余角相等得NBCD=NA,利用三角函數(shù)即可解題.

【詳解】解：在中，

VAC=24,AB=25,C。是斜邊AB上的高，

.,.ZBCD=ZA（同角的余角相等），

/.cosZBCD=cosZA=,

AB25

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的余弦值，屬于簡單題，利用同角的余角相等得NBCD=NA是解題關(guān)鍵.

4、B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)基本性質(zhì)逐個(gè)分析即可.

【詳解】A.a=3,開口向上，選項(xiàng)A錯(cuò)誤

B.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,1）,B是正確的

C.對(duì)稱軸是直線x=2,選項(xiàng)C錯(cuò)誤

D.與x軸有沒有交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考核知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)基本性質(zhì)：頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、交點(diǎn).解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記二次函數(shù)基本性質(zhì).

5、A

【分析】把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求得答案.

【詳解】Vy=-3x2+12x-3=-3（x-2）2+9,

二頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,9）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考査了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解答此題的關(guān)鍵，即在y=a（x-〃）2+左中，對(duì)稱軸為x=h,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）.

6、B

【解析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念和各撲克牌的花色排列特點(diǎn)的求解.

解答：解：A、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B、是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

C、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

D、不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意.

故選B.

7、B

【分析】因?yàn)镻A為切線，所以AOPA是直角三角形.又OA為半徑為定值，所以當(dāng)OP最小時(shí)，PA最小.根據(jù)垂線

段最短，知OP=1時(shí)PA最小.運(yùn)用勾股定理求解.

【詳解】解：作OP丄a于P點(diǎn)，則OP=1.

根據(jù)題意，在R3OPA中，

AP=[OP?-。代=V22-12=V3

故選:B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了切線的性質(zhì)及垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，如何確定PA最小時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，難度中等偏上.

8、B

【解析】解：由圖可得，芍藥的數(shù)量為：4+x4,.?.當(dāng)〃=11時(shí)，芍藥的數(shù)量為：

4+(2x11-1)x4=4+(22-1)x4=4+21x4=4+84=88,故選B.

點(diǎn)睛：本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中圖形的變化規(guī)律.

9、C

【解析】試題解析：①A3尸和AOE的底分別相等，高FP,FN也相等，所以它們的面積也相等，故正

確.

②_CD尸和VCB尸的底CD,CB分別相等，高/也相等，所以它們的面積也相等，并不是4倍的關(guān)系.故錯(cuò)誤.

③由于E是的中點(diǎn)，所以4)/和的相似比為2:1,所以它們的面積之比為4:1.故錯(cuò)誤.

④.尸和CD廠的底A。,C。相等，高FN和則是2:1的關(guān)系，所以它們的面積之比為2:1.故正確.

綜上所述，符合題意的有①和④.

故選C.

10、B

【分析】根據(jù)弧長公式，即可求解.

n冗r

【詳解】vzTso

y)jrxO

.??2.5乃=竺、，解得：n=75,

180

故選B.

【點(diǎn)睛】

ri7[r

本題主要考查弧長公式，掌握/=——是解題的關(guān)鍵.

180

11、D

【分析】滿足題意的有兩點(diǎn)，一是此方程為一元一次方程，即未知數(shù)x的次數(shù)為1；二是方程的解為x=l,即1使等式

成立，根據(jù)兩點(diǎn)列式求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，

a-l=l,2+m=2,

解得，a=2,m=0,

a-m=2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查一元一次方程的定義及方程解的定義，對(duì)定義的理解是解答此題的關(guān)鍵.

12、B

【分析】根據(jù)概率公式直接解答即可.

【詳解】???共有四個(gè)景點(diǎn)，分別是永寧瞻勝、萬芳華臺(tái)、絲路花雨、九州花境，

,他選擇的景點(diǎn)恰為絲路花雨的概率為丄；

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考査了概率的知識(shí).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、0

【分析】根據(jù)cos(90°-A)=sinA,以及特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行化簡，即可.

【詳解】原式=c°s(90

cos68°

cos68°

2x

cos68°-i

=0.

故答案是：0

【點(diǎn)睛】

本題主要考査三角函數(shù)常用公式以及特殊角三角函數(shù)值，掌握三角函數(shù)的常用公式，是解題的關(guān)鍵.

14、6

npnA

【分析】可證二得到靑==，

BEDE

因此求得OEDE=OABE=6

【詳解】解：設(shè)。(x,y),

根據(jù)題意，點(diǎn)。在第一象限,

OE-x,DE-y,

EC=BC,

：.ZCEB=ZCBE

又ZCEB=ZOEB

NOEA=NCBE

又/EOA=DEB=90。

：.^OEAEBD

OE0A

因此——=—,OEDE=OABE

BEDE

SMBE=；0ABE=3

OEDE=OABE=6

k=xy=6

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì).

15、1

【解析】原式=2(m2+2/n/i+w2)-6,

=2(A7J+/1)2-6,

=2x9-6,

=1.

16、2m(m-3)(m+3)

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解.

【詳解】2m3-18m=2m(m2-9)=2m{m-3)(m+3)

故答案為：2w(w-3)(777+3).

【點(diǎn)睛】

此題主要考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解的方法.

1

17、-

2

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到砕=丄A3,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到A5=CZ),△BOEsXDOC,再根據(jù)相似三角形的性

2

質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得到

2

,??四邊形A8C。是矩形，

：.AB=CD,ABOEsADOC,

AABOE與△OOC的相似比是丄，

2

:.點(diǎn)O到邊AB的距離與點(diǎn)O到邊CD的距離的比值是丄.

2

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換(折疊問題)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，還考查了操作、推理、

探究等能力，是一道好題.

18、<

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：。的半徑為3cm,

點(diǎn)尸在：0內(nèi)，

OP<3cm.

故答案為:<.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

三、解答題(共78分)

19、(1)x=5時(shí)，每天的利潤是1350元；(2)單價(jià)為60元時(shí)，每天利潤最大，最大利潤是1600元

【分析】(1)根據(jù)每天的利潤=單件的利潤x銷售數(shù)量列出方程，然后解方程即可；

(2)根據(jù)每天的利潤=單件的利潤x銷售數(shù)量表示出每天的銷售利潤，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.

2

【詳解】⑴由題意得(50—40+x)(l00—2x)=1350,BPx-40x+175=0.

解得：％=5,*2=35,

???物價(jià)部門要求每件不得高于60元，

.?.x=5,即x=5時(shí)每天的利潤是1350元；

22

(2)由題意得：y=(50-40+x)(100-2x)=-2x+80x+1000=-2(x-20)+1800(0<x<10),

?.?拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x=20,在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，且04xW10,

...當(dāng)x=10時(shí)，=X=1600(元)，當(dāng)x=10時(shí)，售價(jià)為50+x=60(元)，

單價(jià)為60元時(shí)，每天利潤最大，最大利潤是1600元.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握一元二次方程的解法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20、(5)詳見解析

(4)k=4或k=5

【分析】(5)先計(jì)算出4=5,然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；

(4)先利用公式法求出方程的解為xs=k,x,=k+5,然后分類討論：AB=k,AC=k+5,當(dāng)AB=BC或AC=BC時(shí)△ABC為等腰

三角形，然后求出k的值.

【詳解】解：(5)證明：,/△=(4k+5)，-4(k4+k)=5>0,

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(4)解：一元二次方程X，-(4k+5)x+k4+k=O的解為x=丄土生"，即x$=k,x?=k+5,

2

Vk<k+5,

.?.ABKAC.

當(dāng)AB=k,AC=k+5,且AB=BC時(shí)，AABC是等腰三角形，則k=5；

當(dāng)AB=k,AC=k+5,且AC=BC時(shí)，AABC是等腰三角形，則k+5=5,解得k=4,

所以k的值為5或4.

【點(diǎn)睛】

5.根的判別式；4.解一元二次方程-因式分解法；5.三角形三邊關(guān)系；4.等腰三角形的性質(zhì).

21、甲的懷疑沒有道理，先抓后抓抓中的機(jī)會(huì)是一樣的，圖表見解析

【分析】先正確畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖求出每人抓到五星的概率即可解答.

【詳解】答：甲的懷疑沒有道理，先抓后抓抓中的機(jī)會(huì)是一樣的.

用樹狀圖列舉結(jié)果如下：

幵始

空

丙

空

空

22五五2

從圖中發(fā)現(xiàn)無論三個(gè)人誰先抓閹，抓到五星紙片的概率都是一樣的，各為

【點(diǎn)睛】

本題考査了游戲的公平性：判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否

則就不公平.

22、(1)y=--x2+—X+2A/3;(2)(3)26；(4)1.

42，

【分析】(1)待定系數(shù)法即可求拋物線的表達(dá)式；

(2)由ACOP4E得到普=華，從而宿AE=6PE,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為k,則=0左，找到P點(diǎn)橫縱

PEAE

坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入二次函數(shù)的表達(dá)式中即可求出k的值，從而可求P的橫坐標(biāo)；

(3)先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后設(shè)點(diǎn)「(加,—日加？+日加+26),。(加,-停加+2百)，從而表

示出Spa，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可；

(4)通過構(gòu)造直角三角形將由KG轉(zhuǎn)化，要使PH+/7K+且KG取最小值，P,H,K應(yīng)該與KM共線，通過驗(yàn)證發(fā)

22

現(xiàn)K點(diǎn)正好在原點(diǎn)，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求值即可.

【詳解】(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為^=62+/^+。

將A(-2,0),8(4,0),C(0,2百)代入拋物線的表達(dá)式中得

a出=-----

4

4。-2b+c=0

,百

16o+4/?+c=0解得<b=——

2

c=2\/3

c=2A/3

???拋物線的表達(dá)式為y=-去￡+今+26

(2)?.?直線1丄x軸

/.NPE4=NCQ4=90°

ZACO^ZAPE

：.ZACO=ZPAE

:.^ACOPAE

.AOCO

'~PE~~AE

2,0),C(0,2V3)

:.AO=2,CO=2y/3

.2

"PE~AE

AE=&E

設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為k,則=左

二OE=y/3k-2

將P(6女-2/)代入二次函數(shù)表達(dá)式中，解得

k=W四或4=0(舍去)

9

此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為百x曳I-2=§

93

(3)設(shè)直線BC的解析式為)，="+匕

將8(4,0),C(0,2g)代入得

L-_vi

4攵+A=0

解得J2

。=26

b=2y/3

；.直線BC的解析式為y=一走x+2百

2

設(shè)點(diǎn)P{m,-^-tTT+-^-m+2\/3),D(m,-^-m+2\f3)

:.S.PCB=|PP.(4-0)=2PD

PO=(-3疝+也加+26)一(—3機(jī)+26)=一3疝+有m=一走(加一2y+G當(dāng)機(jī)=2時(shí)，PD取最大

42244

值，最大值為百

APC3面積的最大值為2G

(4)將y軸繞G點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,作KM丄GM于M,則NKGM=60°，連接OP

要使PH+"K+蟲KG取最小值，P,H,K應(yīng)該與KM共線，此時(shí)NCKP=NMKG=30°

2

而此時(shí)APCB面積的最大，點(diǎn)P（2,2石）

tanACOP--2尸=

2733

:.ZCOP=30°

說明此時(shí)K點(diǎn)正好在原點(diǎn)O處

：.PK=4

AC//BD

「._AOC_BOD

■_A_O—_C_O_

BO~DO

即2=2^

4DO

：.DO=4^3

:至KG=KD=2x4拒=6

22

APH+HK+—KG的最小值為4+6=1

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考査二次函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定及性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10x+30,0<x<7

23、（1）y與X的函數(shù)關(guān)系式為：y=,700r70，）'與X的函數(shù)關(guān)系式每一分鐘重復(fù)出現(xiàn)一次；（2）她

——，7<x<—3

Ix3

34

最多需要等待二分鐘；

3

【解析】（1）分情況當(dāng)噫Ik7,當(dāng)x>7時(shí)，用待定系數(shù)法求解；（2）將y=50代入y=10x+30,得x=2,將y=50

代入>=82,得％=14,可得結(jié)果.

x

【詳解】（1）由題意可得，

cz=(100-30)4-10=70-10=7,

當(dāng)怎!k7時(shí)，設(shè)）'關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,

7J=30任=10

《，得*!，

7k+b=lOQb=3Q

即當(dāng)倭Ik7時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=10x+30,

當(dāng)尤>7時(shí)，設(shè)丫=@,

x

100=-,得a=700,

7

即當(dāng)x>7時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為〉=?,

X

70

當(dāng)y=30時(shí)，》=號(hào)，

10x+30,0<x<7

...y與X的函數(shù)關(guān)系式為：y=4700r7070

y與x的函數(shù)關(guān)系式每——分鐘重復(fù)出現(xiàn)一次;

——,7<x<——3

(2)將y=50代入y=10x+30,得x=2,

將y=50代入y=亠，得x=14,

x

70?34

V14-2=12,——12=——

33

34

二怡萱同學(xué)想喝高于50℃的水，她最多需要等待了分鐘；

【點(diǎn)睛】

考核知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用.根據(jù)實(shí)際結(jié)合圖象分析問題是關(guān)鍵.

24、①ACJ/BC,證明詳見解析；②AG//AC,證明詳見解析.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義即可得到NC4C；=NAC6=a,即可證得AC；與BC的位置關(guān)系.

（2）過點(diǎn)4作4E//AG，交AC于點(diǎn)E，證明四邊形AEAG為平行四邊形即可解決問題.

【詳解】①AC"BC.

證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知NC4￡=a.

又XACB=a>

ZCACt=ZACB.

:.ACJ!BC.

②AG//AC.

證明:過點(diǎn)A作AE//AG，交AC于點(diǎn)E.

Z-\EC-NCAC]=a.

又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，NAC4=NC4G=a，4C=AG

Z-A^EC—NACA]=a.

A^E-A^C.

AC,=A^E.

又AE//AG

四邊形AE4G為平行四邊形.

AG//AC.

【點(diǎn)睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)變換，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25(1)y-x~H—x+2；(2)——；(3)(1?-3)或(1,—)或(1,1+)或(I，1-V^)

3332

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出A、B、C的坐標(biāo)，然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a(x+l)(x—3),求出a的值，并化簡

二次函數(shù)式即可；

2,424

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(機(jī)，--m2+-m+2'),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2-機(jī)一二，/+彳〃?+2),可得

3333

24

MN=m-2+m^2m-2,GM=一一nr+-m+2,利用矩形MNHG的周長=2MN+2GM,化簡可得

33

-^(7?-1)2+^,即當(dāng)龍=2時(shí)，C有最大值，最大值為

32323

(3)分三種情況討論：①點(diǎn)P在AB的下方，②點(diǎn)P在AB的上方，③以AB為直徑作圓與對(duì)稱軸交，分別討論得出

結(jié)果即可.

【詳解】(1)對(duì)于拋物線y=a(x+1)(x-3),

令y=0，得到a(x+1)(x-3)=0,

解得x=-l或3,

：.C(-1,0),A(3,0),

AOC=1,

VOB=2OC=2,

AB(0,2),

2

把B(0,2)代入y=a(x+1)(x-3)中得：2=-3a,a=-y

2

，二次函數(shù)解析式為y=--(x+1)(%-3)

224c

=—XH-X+2

33

2c4

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,一一相~+—加+2),

33

則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2-m,一z+