2023-2024學(xué)年江西省高一下冊(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江西省高一直升班下冊(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z=工(其中i為虛數(shù)單位)，貝”的共規(guī)復(fù)數(shù)虛部為()

?.B-，C.?D.

【正確答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，共甑復(fù)數(shù)的定義與運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】依題意,

ii(l-i)i(l-i2)1i

因?yàn)閆=TTrG?=?-+-

22

所以六其虛部為T

故選：D.

2.已知角ɑ頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與X軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P

..ITt

貝IJtan(π-a)-cosI?+σ()

?328e29

?-15bC.D.——

??1515

【正確答案】A

【分析】通過(guò)三角函數(shù)定義得出角。的三角函數(shù)值，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)表達(dá)式后求出數(shù)值.

/34、344

【詳解】角α終邊與單位圓交于點(diǎn)尸卜丁"，則COSa=sina=-,tana=—；.

*/、(兀14432

tan(π-a)-cos—+α=-tanα+sι∏6Z=-+—=—.

12)3515

故選：A.

3.已知向量α=(2,T,2),6=(1,2,3),則向量0在向量〃上的投影向量為()

4221212]

^3,3"?jB.^3,3,^3j

4_242?2}

3,^3,3D.3^3,3j

【正確答案】C

a?ba`b

【分析】向量匕在向量α上的投影為口，投影向量為"P,其中e為與α同向的單位向

ab

量，分別計(jì)算開，e,代入即可.

H

【詳解】因?yàn)?(2,T,2),6=(1,2,3),所以α∕=6?

a?b6C

向量6在向量”上的投影為而=§=2

設(shè)e為與“同向的單位向量，則e=||=:(2，T，2)

ab2/c,c、/424

向量方在向量α上的投影向量為Ue=§(2,-1,2)=

故選：C

4.已知兩點(diǎn)A(l,-2),8(2,1),直線/過(guò)點(diǎn)P(O,T)且與線段AB有交點(diǎn)，則直線/的傾斜角

的取值范圍為()

π3π

B.2,T

πππ3π

D.

4,22,T

【正確答案】C

【分析】作出圖形，求出PAPB的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線/的斜率的取值范圍，再由斜

率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.

【詳解】如圖所示，直線R4的斜率心,，=：?=-1,直線M的斜率%s===l.

1—02—0

由圖可知，當(dāng)直線/與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，直線/的斜率左e[-Ll],

因此直線/的傾斜角的取值范圍是O,-u—,πl(wèi).

故選：C

W、

5.已知函數(shù)/(x)=ASm(S+e)(其中A>0,<y>0,O<0<])的部分圖象如圖所不,

則下列說(shuō)法正確的是()

B./(x)圖象的對(duì)稱軸方程為刀與+桁，keZ

C./(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為C

D.當(dāng)函數(shù)“X)取得最大值時(shí)，x=?+2E,keZ

【正確答案】C

【分析】法一：根據(jù)圖象求出函數(shù)A48,可得函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判

斷A；求出函數(shù)的對(duì)稱軸方程即可判斷B；求出函數(shù)的對(duì)稱中心可判斷C；求出函數(shù)取得最

大值時(shí)對(duì)應(yīng)的X的值，可判斷D.

法二：根據(jù)函數(shù)圖象求得函數(shù)解析式中的參數(shù)，可得函數(shù)解析式，采用特殊值法或者代入驗(yàn)

證的方法一一判斷各選項(xiàng)，即可判斷出答案.

【詳解】法一：設(shè)函數(shù)/(x)的最小正周期為7,由題圖可知A=2,-V)=I7,即

3π3τ

—=-/，

44

?JT

所以T=π,所以。=竽=2,所以/(x)=2sin(2x+0.

因?yàn)?，?=2sin|2x9+夕)=-2,所以2、V+9=-弓+2也，kεZ,

即G=-T+2E,kS又因?yàn)?<°<],所以0=],所以"x)=2sin(2x+1J.

>TVl^Γ

2

令---1-2kπ≤2x÷—≤—+2kπ,AeZ,得一——?-kπ<x<?-kπ,AeZ,

2321212

5π7Γ5JtJr

當(dāng)Z=O時(shí)，一e+E≤x≤M+E即為一二≤x≤N,

12121212

而γ≤v≤m但，笈]不是[_*勺的子集，

12412L46」1212

所以函數(shù)/(x)在器上不是單調(diào)遞增的，故A不正確；

AA7T兀，_√-,TrkuL

令2xH—=—h?7Γ,kWZ,得rX=—I----,kIeZW,

32122

所以函數(shù)“X)圖象的對(duì)稱軸方程為X=展+g,ZeZ,故B不正確；

令2x4—=E,ZeZ,得X=-----1---->keZ,令A(yù)=I,則χ=?,

3623

所以函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(方，0),故C正確；

TTTTTT

當(dāng)2x+§=1+2E,ZeZ,即X=丘+E,&eZ時(shí)，函數(shù)取得最大值，故D不正確.

故選：C.

法二：設(shè)函數(shù)/(x)的最小正周期為T.由題圖可知，A=2,

V-[-g]=]τ,即號(hào)==T,所以T=π,所以0=§=2,

12?6J444T

所以/(x)=2sin(2x+c).

7π=2sin∣2×-+?t>j=-2,所以2x“7π+。Tl

因?yàn)?-----F2E,k￡Z,

^12I12；122

所以9=-1+2E,JteZ,又因?yàn)镺<0<],所以e=T，所以f(x)=2sin(2x+]).

ππππ

令X哈一找,因?yàn)?2sin—+—=2,

46?63

TrTT

即函數(shù)/(x)在-1天上有最大值且不是在端點(diǎn)處取到，故A不正確；

由題圖可知，直線X=W是函數(shù)"X)圖象的一條對(duì)稱軸，但不滿足X=^l+E,kwZ,故

B不正確；

當(dāng)Y時(shí),噌)=2Si吟++=0,故/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為停0),C正確;

當(dāng)X=看+兀時(shí)，f[+π=2sin2信+兀+g=2,此時(shí)函數(shù)/(x)取得最大值，但不滿

Tl

足X=五+2E,k^Z,故D不正確.

故選：C.

6.已知圓（7:（》-6）2+（），-8）2=1和兩點(diǎn)/1（0,—加），B（0,㈤（加>0）.若圓C上存在點(diǎn)尸，使

得ZAPB=90。，則，"的最大值為（）

A.12B.IlC.IOD.9

【正確答案】B

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以AB為直徑的圓。與圓C有公共點(diǎn)的問(wèn)題來(lái)列不等式，解不等式求

得，"點(diǎn)的取值范圍，由此求得加點(diǎn)的最大值.

【詳解】解：以AB為直徑的圓。的方程為/+V=m2,圓心為原點(diǎn)，半徑為｛=機(jī).

圓。：0-6尸+（丫-8）2=1的圓心為（6,8）,半徑為弓=1.

要使圓C上存在點(diǎn)P,使得NAPB=90。，則圓。與圓C有公共點(diǎn)，

所以hγ∣≤∣oq≤k+目，即一Il≤j6,+82≤w+[,

∣m-l∣≤10

所以,M+l∣≥10,解得9≤m≤ll,

m>0

所以機(jī)的最大值為11.

故選：B.

7.我國(guó)古代《九章算術(shù)》將底面為矩形的棱臺(tái)稱為芻童.若一芻童為正棱臺(tái)，其上、下底

面分別是邊長(zhǎng)為夜和2夜的正方形，高為I，則該芻童的外接球的表面積為（）

A.16ττB.18%C.20πD.25π

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)該芻童外接球的球心為O,半徑為七分兩種情況討論，

分別根據(jù)條件列出方程組，即可求出外接球半徑，代入球的表面積公式計(jì)算即可求解.

【詳解】設(shè)該芻童外接球的球心為。，半徑為R，上底面中心為。一下底面中心為。2,則

由題意，O1O2=1,AO2=2,A0=l,OA=OAi=R.

如圖，當(dāng)。在。o?的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)。Q=人，則在?Aoa中，於=川+4①,

在ΔΛ∣O。中，爐=（∕z+iy+l②，

聯(lián)立①②得/7=1,R2=5,所以芻童外接球的表面積為20TΓ.

同理，當(dāng)O在線段a。上時(shí)，設(shè)。。產(chǎn)3

則有K?=必+1,Λ2=(l-Λ)2+4,解得〃=2,不滿足題意，舍去.

綜上所述，該芻童外接球的表面積為20幾

22

8.已知耳,寫是橢圓C:=+與=l(a>6>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)月的直線與橢圓C交于M,N兩

ab^

點(diǎn)，∣M段TM用=RM用+∣N用=IN周，則橢圓C的離心率為()

A?2B??c?姮D.史

5554

【正確答案】B

【分析】由已知條件和橢圓定義，將IMNIjM巴|,|用耳∣,∣N鳥I用。表示，在MN心中求出

CoSNNMF"在月寫用余弦定理，建立4。等量關(guān)系，即可求解.

【詳解】由橢圓的定義可得四用+IM用=2α,

Q1

結(jié)合IM勾TM用=α可得IM圖=^”,∣MZ∣=]α,

由ξ∣+W周=IN段可得;α+1N用=,

由橢圓的定義可得IA閭+∣MJ∣=24,所以IN周=%,∣N6=乎,

92

cos心=MF+"I叫F?=?

在；MN6中,

2?MN??MF2?155

4

2

在Z?Mf;E中，I耳乃F=4/=IM耳『+1MgI-21MF1∣∣MF2?cosZNMF2,

42/1、2/3、2C1338

4c=(—α)+(—6z)-2×-<7×-^?(7×-=-?2,

2

?—c=—2?e=√-I-0.

"a25'"5

故選：B

方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）,

常見(jiàn)有兩種方法：

①求出α,c,代入公式e=￡；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于α,b,C的齊次式，結(jié)合從=/_。2轉(zhuǎn)化為“，C的齊次式，

然后等式（不等式）兩邊分別除以“或。2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可

得e（e的取值范圍）.

二、多選題

9.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.直線χ+y+2=0在y軸上的截距是一2

B.直線x+gy+l=0的傾斜角是60°

C.直線/^7+m+2=0（“?€14）恒過(guò)定點(diǎn)（-1,2）

D.過(guò)點(diǎn)（1,2）且在X.軸、＞軸上的截距相等的直線方程為x+y-3=O

【正確答案】AC

【分析】對(duì)于A,令x=0,求出y,即可判斷；對(duì)于B,求出直線的斜率，進(jìn)而可得傾斜

角，即可判斷；對(duì)于C,直線方程可化為（x+l）m-y+2=0,再令x+l=0即可判斷；對(duì)于

D,分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,令X=0,則產(chǎn)-2,

所以直線χ+y+2=0在y軸上的截距是-2,故A正確；

對(duì)于B,直線x+√5y+l=0的斜率為-半，所以其傾斜角為150。，故B錯(cuò)誤；

又寸于C,直線/71￥—'+機(jī)+2=0（〃2€氏）化為（工+1）加一），+2=0,

所以直線爾-y+機(jī)+2=0（∕n∈R）恒過(guò)定點(diǎn)（-1,2）,故C正確;

對(duì)于D,當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=2x,

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為2+2=1,

aa

將(1,2)代入解得a=3,

止匕時(shí)直線方程為χ+y-3=o,

所以過(guò)點(diǎn)(1,2)且在X.軸C軸上的截距相等的直線方程為x+y-3=O或y=2x,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.下列說(shuō)法中正確的是()

A.非零向量α和》滿足同=W=,叫，則α與α+O的夾角為60。

B.向量備=(2,-3),?2=(；,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.若CiHb，則。在。方向上的投影向量的模為Ial

D.若α=(l,2),b=(l,l),且α與〃+勸的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是(-|，+8)

【正確答案】BC

【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得入〃=3,］，再求出門+可，最后根據(jù)夾角公式計(jì)算即可

判斷A,由q=4e)即可判斷B,根據(jù)投影的定義判斷C,根據(jù)“?(α+×?)>0且〃與α+2b不

能同向，即可得到不等式組，解得即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：由M=W=Ia-.，卜—q=yj(a?~b)=?∣a-2a?b+b=^|?|—2α??+∣?∣,

所以時(shí)=W=∣α∣-2α?fc+∣?∣,即“?6=g,,

所以卜+N=J(α+/?)=V?2+2a?b+b-+2α?Z>+∣?∣=6M'

7

f?a?a-?-b?~k∣C

所以cos(α,α+A)=丁s一4=二=空，所以0與4+6的夾角為30。，故A錯(cuò)誤；

'/剛。+目√3∣β∣2

對(duì)于B：由q=(2,-3),所以《=色，則“與與共線，不能作為平面向量的

基底，故B正確；

對(duì)于Ca∕∕b.則?&=0或("&=兀，則￡在1方向上的投影向量的模為W-cos?,9=W，

故C正確;

對(duì)于D：由α=(l,2),Z?=(1,1),則α+4b=(l+4,2+4),

若“與4+a的夾角為銳角，則”?(“+超)＞。且“與〃+4不能同向，

(7‰+Λ?)=l+2+4+2∕l=5+3λ＞05

即',，解得4＞一;且；IwO,故D正確；

2(l+λ)≠2+λ3

故選：BC.

JT

II.如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=1,圓心角NPOQ=工，C是扇形弧PQ上的動(dòng)點(diǎn)，矩

O

形ABa＞內(nèi)接于扇形，記NPOC=α.則下列說(shuō)法正確的是()

TT

B.扇形0P。的面積為Z

6

C.當(dāng)Sina=!時(shí)，矩形ABa)的面積為拽二立

39

D.矩形ABa)的面積的最大值為三叵

2

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可判斷A；根據(jù)扇形的面積公式可判斷B；解直角三角形求得AB,BC

的長(zhǎng)，即可求出矩形ABCr)的面積的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換化筒求值，可判斷C,

D.

TT

【詳解】由題意知，在扇形OPQ中，半徑OP=I,圓心角NPOQ=2，

O

TTTT

故弧PQ的長(zhǎng)為^xl=z,A正確；

66

扇形OPQ的面積為I1XEJrXl=與TrB錯(cuò)誤；

在RtΔOBC中，OB=OC'COSa=cosa,BC=OCSina=Sina,

在RtZ?OAO中，04==√5BC=Gsinα,AB=OB-OA=cosa一GSina,

則ABC。的面積S=AB?BC=(cosɑ-?/?sina)sina

1.??v??√3.cj、G

=—sin2a+——cos21------=sιn(22+—)-------,

22232

當(dāng)Sina=!時(shí)，XO<cr<y,故CoSa=

363

則sin2a=2sinacosa=4ecos2a=1-2sin2ɑ=?,

99

π,l.吟?Cπ,.π4√217√34√2+7√3

則sin2a+-=sιn2αcos-÷cosz2αsιn-=------×-+—×——=---------------,

∣k3J33929218

則S=Sin（2α+3-旦坦史-與巫史，

321829

即矩形ABC。的面積為速二叵，c正確；

9

由C的分析可知矩形ABCD的面積S=Sin（2α+工）-正，

32

當(dāng)sin（2α+母）=1,即α==時(shí);矩形ASc。的面積取最大值紀(jì)叵，D正確，

3122

故選：ACD

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵C,D選項(xiàng)的判斷，解答時(shí)要結(jié)合解直角三角形，表示出邊4B,BC

的長(zhǎng)，從而表示出矩形ABC。的面積，再結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，即可判斷這兩個(gè)選項(xiàng)的

正誤.

12.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符

號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.平面直角坐標(biāo)系中，

曲線C：V+V=IXl+∣yI就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，給出如下結(jié)論，其中結(jié)論

正確的有（）

A.曲線C圍成的圖形的面積是2+兀

B.曲線C圍成的圖形的周長(zhǎng)是2√^π

C.曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)2

D.若P（見(jiàn)〃）是曲線C上任意一點(diǎn)，則|3加+4〃-121的最小值是0-5&

2

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)方程分析曲線C的性質(zhì)以及圖象，根據(jù)曲線C的性質(zhì)和圖象結(jié)合直線與圓的

相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于曲線C:f+y2=IX∣+∣）,|上任一點(diǎn)p（租,〃）,則加+n2=?m?+?n?,

點(diǎn)P（W）關(guān)于）軸對(duì)稱的點(diǎn)為A（T7?,n）,則（-zn）?+n2=m2+n2^ιn?+?n?=]-m?+?n?,

即點(diǎn)片（-加,〃）在曲線C上，故曲線C關(guān)于軸對(duì)稱；

點(diǎn)P(∕H,")關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)為6(m,-w),則M+(_”)？=a2+”2=),"∣+∣"I=Im|+|_川,

即點(diǎn)6(一見(jiàn)〃)在曲線C上，故曲線C關(guān)于X軸對(duì)稱；

點(diǎn)P(m,n)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為Q(f4f),則

(-m)^+(-ft)=m2+n2=∣/?i∣+1w∣=∣-m|+1-/2|,

即點(diǎn)6(-"4-〃)在曲線C上，故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

綜上所述：曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱.

對(duì)于方程X1+y1^x?+?y?=x+y,

令)，=0,則χ2=∣χ∣,解得χ=0或X=±1,即曲線C與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

4(1,0),0(0,0),C(TO),

同理可得：曲線C與＞軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為8(o,ι),o(o,o),o(o,τ),

當(dāng)X≥θ,yN0時(shí)，則f+y2=IXl+∣y∣=χ+y,整理得(Xf丫一;=

故曲線C在第一象限內(nèi)為以為圓心，半徑r=乎的半圓，

由對(duì)稱性可得曲線C為四個(gè)半圓外加坐標(biāo)原點(diǎn)，

//-\2-1

對(duì)A：曲線C圍成的圖形的面積S=4—×1×1+-π×-?-=2+π,A正確；

對(duì)B：曲線C圍成的圖形的周長(zhǎng)是L=4χ1χ2兀XYz=2&兀，B正確；

22

y-x

即曲線C與直線y=χ在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(I,I),由對(duì)稱可知曲線C與直線y=χ在

第三象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為N(T,T),

22

則?MN?=5∕(1+1)+(1+1)=2√2>2,C錯(cuò)誤;

對(duì)D：由圖結(jié)合對(duì)稱性可知:當(dāng)尸(孫〃)在第一象限時(shí)，點(diǎn)尸(見(jiàn)〃)到直線，：3x+4y-12=0的

13//2+4n-12113m+4n-121

距離d=相對(duì)較小,

5

到直線/：3x+4y—12=0的距離∣3×2+4×2-12117,

l22j4=5=記

則點(diǎn)P(S力到直線/：3X+4)，-12=0的距離d≥4_r=□-變，

'102

.?.13機(jī)+4〃-121=51≥I"普

故|3加+4〃-12|的最小值是"V拉,D正確.

2

故選：ABD.

×

D

方法點(diǎn)睛：

(1)通過(guò)方程研究曲線的對(duì)稱性時(shí)，往往通過(guò)點(diǎn)的對(duì)稱證明曲線的對(duì)稱性;

(2)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過(guò)圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位

置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較.

三、填空題

13.在空間直角坐標(biāo)系中，記點(diǎn)例(1,2,T)關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為P,N(1,-1,2)關(guān)于平面WZ的

對(duì)稱點(diǎn)為。，則IPa=.

【正確答案】√6

【分析】利用對(duì)稱性求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用空間兩點(diǎn)距離公式求∣PQ∣?

【詳解】依題意，知(1,2,-1)關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)為2(1,—2,1),

N(1,T,2)關(guān)于yθz平面的對(duì)稱點(diǎn)為Q(T,-1,2),

所以IPQI=√(l+l)2+(-2+l)2+(1-2)2=√6.

故指

14.直線∕∣：X+y-1=O關(guān)于直線l2:3x-y-3=O的對(duì)稱直線方程為.

【正確答案】x-7y-l=0

【分析】先求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后在4"+y-ι=o任取一點(diǎn)，求得其關(guān)于直線

33x-y-3=O的對(duì)稱點(diǎn)，即可求得答案.

【詳解】聯(lián)立4"+"=0和直線/2：3》7_3=0,

求得它們的交點(diǎn)為A(LO),

在直線，：x+y-1=0取點(diǎn)在0,1),設(shè)其關(guān)于l2?.3χ-y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)為Cab),

121

,解得C(M，7,

故直線lt：x+y-l=0關(guān)于直線l2-.3x-y-3=0的對(duì)稱的直線為AC,

1

其斜率為τ5-=:，直線方程為y=?(χ-i),即x-7y-l=0,

__177

5

故x-7y-l=0

15.在AΛBC中，G滿足G4+GB+GC=0,過(guò)G的直線與AB,AC分別交于例，N兩點(diǎn).若

AM=mAB(m>0),AN=nAC(n>0),貝∣J3〃?+”的最小值為.

【正確答案】4+演

3

【分析】根據(jù)題意可知G為三角形的重心，利用三點(diǎn)共線可得，-+4=1,再由均值不等

3m3n

式即可求最值.

【詳解】取BC中點(diǎn)O,連接G。，如圖，

由GA+GB+GC=0可得成+2Gb=()，S|JGA=-2GD-

所以AG。三點(diǎn)共線且AG=2GD,即G為..45。的重心，

→2-2Irf→A1<1→1→A

所以AG=-AO=-X-AB+AC?=-?-AM+-AN,

332V）3（機(jī)n）

因?yàn)镸,GN三點(diǎn)共線,

所以—U

EC/c、/11^4nm八C

又3〃7+〃=（3加+〃）——+—=—+——+—,m>0,n>0

?3nι3n）33mnf

匚亡…-4Γn—m4+2百、…EW拄m

所以3m+〃≥-+2J----------———,當(dāng)且僅當(dāng)丁=一,

3?3mn33mn

即機(jī)=三正,"=￥電時(shí)，等號(hào)成立，

93

故3

3

16.在正四棱柱ABCQ-A4G。中，AB=LΛ4,=4,E為DQ中點(diǎn),P為正四棱柱表

面上一點(diǎn)，且B1E,則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)為.

【正確答案】√5+√2∕√2+√5

【分析】過(guò)CJ故與直線BW垂直的平面α,則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)即為平面α與正四棱柱的交線

長(zhǎng).

【詳解】如圖，連接8Q,AC1,由題可知，ACl±B,Dl,EQj平面A4GR?

因AGU平面A1B1C1D1,則ED11AχCl.

又BQU平面EBQ,ED、U平EBA,EDaBn=則ACi平面EBQ.又B∣Eu平

面EBR,則GA1B1E;

如圖，過(guò)E做AG平行線，交CG于F,則尸為CG中點(diǎn).連接EF,S1F,

過(guò)Cl做BF垂線，交8用于G.

由題可得，AG，平面8cc∣4,又EF〃2G，則所/平面8cc4.

因C1GU平面BCC1B1,則C1G1EF.

又B∣Fu平面4FE,FEU平面B∣FE,FE∏BtF=F,則CQ_L平面B/E.

因qEU平面B/E,則GG1B1E5

因GGU平面GGA∣,GAU平面GGA,,ClAt∏ClG=C1,則B∣E，平面GGA∣.

連接A。，則點(diǎn)P軌跡為平面CGA與四棱柱的交線，即^AGG.

注意到NBClG+NGClF=ZGC1F+ZB1FC1=ZB1C1G=ZB1FC1,

ZCM=NFCg,則CEFFCiBl,故笑=,=2=80=；.

Γ>∣L7Cln.Z

則點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)為AG+C1G+Λ1C,=2?1+?+√2=√5+√2.

故答案為.石+&

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題為立體幾何中的軌跡問(wèn)題，難度較大.

本題關(guān)鍵為做出軌跡，即過(guò)定點(diǎn)做空間直線的垂面，因直接做出平面難度較大，故轉(zhuǎn)化為做

空間直線所在平面的垂線.

四、解答題

17.已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)戶(-2』)，且與直線x+y=O垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)若直線m與直線/平行且點(diǎn)P到直線m的距離為近,求直線m的方程.

【正確答案】(I)X-"3=0

⑵x-y+5=0或x-y+l=0.

【分析】(I)根據(jù)直線垂直的性質(zhì)設(shè)出直線/的方程為χ-y+"=o,將點(diǎn)P(-2,1)代入即可求解;

(2)設(shè)直線機(jī)的方程為χ-y+7=0,利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】(1)設(shè)直線/的方程為χ-y+"=o,

因?yàn)橹本€/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,l),所以—2-1+〃=0,解得：〃=3,

所以直線/的方程為χ-y+3=0.

(2)結(jié)合(1)設(shè)直線團(tuán)的方程為χ-y+r=0,

因?yàn)辄c(diǎn)P(-2,l)到直線m的距離為0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得:

公與畀S解得:

/=5或，=1,

直線加的方程為：x-y+5=O或x-y+l=O.

故x-y+5=0或x-y+l=O.

18.已知橢圓5+W?=l(4>b>O)焦點(diǎn)為6(-2,0),馬(2,0),且過(guò)點(diǎn)。(一2,3),橢圓第一象

cΓb~

限上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)Fi,F2的距離之差為2.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求△尸片居外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【正確答案】(1)E+^=1

1612

3Y25

2

(2)X+y-2=τ

【分析】(1)由條件列關(guān)于。力,c的方程，解方程求〃力,c,由此可得橢圓方程;

(2)由條件結(jié)合橢圓定義求IP制根據(jù)勾股定理證明尸K，KE,由此確定外接圓的

圓心和半徑，由此確定圓的方程.

22

【詳解】(1)橢圓?→m=l(α>O>O)過(guò)點(diǎn)。(―2,3),且焦點(diǎn)為E(-2,0),Z?(2,0),

c=2

49

則—+γj?=1f解得：精=16,=12,

c2=a2-b2

所以橢圓方程為：—+^=1.

1612

H囂:,得:陶=5,I明=3,

(2)由，

又∣^∣=4,..PF2LFiF29

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),

故外接圓圓心是PK的中點(diǎn)，圓心的坐標(biāo)為(Oq

半徑「=；歸用=|,

⑴求函數(shù)〃X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)f(x)圖像向右移動(dòng);個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

“(0<α<l)倍得到y(tǒng)=g(x)的圖像，若y=g(x)在區(qū)間上至少有4個(gè)最大值，求”的

取值范圍.

【正確答案】(1)若Sjr+加五Tr+E,keZ

【分析】(1)化簡(jiǎn)f(x)的解析式，利用整體代入法求得函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識(shí)求得g(x),根據(jù)對(duì)稱性以及最值列不等式，由此求得。

的取值范圍.

【詳解】(1)函數(shù)/(χ)=4sinXcosLv+—+√3=4sinx—cosx—sinx+?∣3

I?j(2

(]6

=i2"T+√3=2—sin2x+cos2x=2sin[2x+^J.

22

JΓ7Γ7ESτrπ

令——+2E≤2x+-≤-+2E,kwZ,國(guó)軍得一2——?-kπ<x<?-kπ,ZeZ,

2321212

所以單調(diào)遞增區(qū)間為T+E.+E,%eZ

(2)將函數(shù)〃力的圖像向右移動(dòng)￡個(gè)單位，可得>=2sin2x的圖像；

O

再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的α(O<α<l)倍，

r)V*

得到y(tǒng)=g(χ)=2si吟的圖像.

如果y=g(χ)在區(qū)間［T』上至少有4個(gè)最大值，

則y=g(χ)在區(qū)間［o,ι］上至少有2個(gè)最大值，在［TO］上至少有2個(gè)最大值，

2〉54

2

當(dāng)XW-1,1］時(shí)，—∈：7,??.o<"42,故實(shí)數(shù)〃的范圍為自；

lj

a\_aa］2<lπ7π7π

.a~2

20.如圖，直四棱柱ABCf)-A耳GR的底面是菱形，M=8,AB=4,ZBAD=60,E,M,N

分別是3C3張的中點(diǎn).

⑴證明：MN//平面CQE；

(2)求三棱錐N-GDE的體積.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵8石

【分析】(1)結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得四邊形MNZ汨為平行四邊形，根據(jù)線面平行的

判定可證得結(jié)論；

(2)結(jié)合平行關(guān)系和體積橋可知所求為%∕ME,由線面垂直的判定可證得。E為三棱錐

D-GME的高，結(jié)合棱錐體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】(1)連接ME,BC,

ME分別為期,BC中點(diǎn)，,?,ME為,B∣BC的中位線，.IMEaBCILME=JbC,

又N為Ao中點(diǎn)，ADHBC,AtD=BtC,.-.NDHBxC,ND=^B1C,

:,ME//ND,ME=MD四邊形MM)E為平行四邊形，

.?MN∕∕DE,又MNU平面GOE，OEu平面CQE,M/V〃平面6。七.

(2)由(1)得：MN〃平面C]DE,..V'.GDE=VM-GDE=^D-C1ME

連接GM,ME,

在I-1--矩/'I—形/1/BCe∣lB1l中∣^，SCC∣M.'V∕CF=S0U(.CCCIZ>B∣_SDBCFMM一SCrIoR∣MM~VC<C.∣CF~32—4—8—8=12，；

四邊形ABC。為菱形，ZBAD=GO,E為8C的中點(diǎn)，../)E_L5C,

DELCCi，BCnCCl=C,BC,CC∣u平面BCGBI,

DE上平面BCCIBI,則DE為三棱錐。-GEM的高，

22

DE=V4-2=26?Vo-ClMe=§S,C,ME?DE=-×?2×2?∣3=8也,

三棱錐N-C1DE的體積為8石.

21...ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為己

知條件，解答問(wèn)題.①2sinA-sinC-2SinBCOSC=()；@2S=√3AB-CB(其中S為ABC的

面積)；③〃2一氈〃CSin3+c2=".注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

3

(1)若b=4,ac=3f求α+c的值；

2+r2

(2)若一ABC為銳角三角形，求巴a/_的取值范圍.

【正確答案】⑴α+c=5.

Q)加.

【分析】對(duì)于①:由SinA=Sin(B+C)代入經(jīng)三角恒等變換得B=M

TT

對(duì)于②:由面積公式與數(shù)量積公式得B=-；

TT

對(duì)于③:使用余弦定理巨=a?+C2一2或cosB代入化簡(jiǎn)得8=].

在(1)中，使用余弦定理及其變形求得α+c的值；

在(2)中，使用正弦定理將邊化為角，用A=彳-C將A轉(zhuǎn)化為C的三角函數(shù)，使用三角恒等

變換化為一般式y(tǒng)=2SinkC-求范圍.

【詳解】(1)選擇①:2SinA-SinC-2sin8cosC=0,

在JAeC中，A=π-(B+C),所以SinA=Sin(B+C),

所以2sin(5+C)-Sine-2sinBcosC=O,

整壬里得2sinBCOSC+2CoSBSinC-SinC—2sinScosC=O,

即2cos3sinC=sinC,因?yàn)镺VCe%，sinC≠0,

故CoSB=g,而8w(0∕),從而B=q；

選擇②:25=6AB?C8,則αcsinB=6C4COSB,所以tanB=Ji,又B∈(θ,乃)，則B=。；

22

選擇③：〃一^^aCSin8+c?=/，由余弦定理〃=a+c-2accosB,

3

得馬叵sin8=2cos8,所以tan8=6,

3

jr

又B∈(0,萬(wàn))，則B=§；

若b=4,ɑc=3,由余弦定理O?="+Y-2αccos8,

得16=a2+c2-2αccos?=(?+c)2-3ac=(a+c)2-9,所以α+c=5.

(2)由ABC為銳角三角形及8=。，得A=與且C∈W5J,所以Ceππ

-ceHZ'5

ab