廣西陸川縣2023年數學九年級上冊期末考試試題含解析

廣西陸川縣2023年數學九上期末考試試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.下列事件中，是必然事件的是（）

A.兩條線段可以組成一個三角形

B.打開電視機，它正在播放動畫片

C.早上的太陽從西方升起

D.400人中有兩個人的生日在同一天

2.如圖，ZAOD=90°,OA=OB=BC=CD,以下結論成立的是（）

A./\OAB^/\OCAB.Z^OAB^Z^ODA

C./\BACD.以上結論都不對

3.如圖，在ZVLBC中，點D為AC邊上一點，N￡）BC=NABC=Jd,AC=3則CD的長為（）

22

1-ni

4.在反比例函數y二——的圖象的每一條曲線上，都隨x的增大而減小，則的取值范圍是（）

x

A.m>lB.m>1C.m<\D.m￡1

5.關于x的一元二次方程（a—I*?-2x+3=0有實數根，則整數a的最大值是（）

A.2C.0D.-1

6.如圖，A、B、C、D是。O上的四點，BD為。。的直徑，若四邊形ABCO是平行四邊形，則NADB的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.將拋物線y=3d如何平移得到拋物線y=3(x+2『-3()

A.向左平移2個單位，向上平移3個單位；B.向右平移2個單位，向上平移3個單位；

C.向左平移2個單位，向下平移3個單位；D.向右平移2個單位，向下平移3個單位.

8.如圖，在菱形ABCD中，AE_LBC于E,BE=EC,AC=2,則菱形ABCD的周長是（）

D.12

9.如圖，下列幾何體的俯視圖是如圖所示圖形的是（）

11.若x=2是關于x的一元二次方程x2-"=o的一個根，則”的值為（）

D.-2

12.已知一元二次方程2/一5x+3=0,則該方程根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.兩個根都是自然數D.無實數根

二、填空題（每題4分，共24分）

13.已知立VcosAVsin70。，則銳角A的取值范圍是

2

14.占和2的比例中項是4,則〃=_.

15.已知矩形ABCD,AB=3,AD=5,以點A為圓心，4為半徑作圓，則點C與圓A的位置關系為.

16.小明與父母國慶節(jié)從杭州乘動車回臺州，他們買到的火車票是同一排相鄰的三個座位，那么小明恰好坐在父母中

間的概率是.

17.二次函數y=4（x-3尸+7的圖象的頂點坐標是.

18.若關于x的一元二次方程2x2-x+m=0有兩個相等的實數根，則m的值為.

三、解答題（共78分）

19.（8分）已知，在AABC中，ZBAC=90°,ZABC=45°,點D為直線BC上一動點（點D不與點B,C重合）.以

（1）如圖1,當點D在線段BC上時.求證CF+CD=BC；

（2）如圖2,當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF,BC,CD三條線段之間的關系;

（3）如圖3,當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A,F分別在直線BC的兩側，其他條件不變；

①請直接寫出CF,BC,CD三條線段之間的關系；

②若正方形ADEF的邊長為2及，對角線AE,DF相交于點O,連接OC.求OC的長度.

20.（8分）如圖，梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD,E,F分別是AB,BC的中點.

（2）若DB=9,求BM.

21.（8分）如圖，在AABC中，AZ）是上的高.tcmB=cosNDAC.

求證：AC=BD.

22.(10分)問題發(fā)現：

(1)如圖1,ABC內接于半徑為4的。O,若NC=60°,貝！IAB=

(2)如圖2,四邊形ABCD內接于半徑為6的O,若Z5=120。，求四邊形ABC。的面積最大值；

解決問題

(3)如圖3,一塊空地由三條直路(線段AQ、AB、BC)和一條弧形道路CO圍成，點M是AB道路上的一個地

鐵站口，已知4)=3M=1千米，AM=BC=2千米，NA=/B=60°,8的半徑為1千米，市政府準備將這塊

空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點”處，另外三個入口分別在點C、D、P處，其中點尸在8上，并在公園中修

四條慢跑道，即圖中的線段DM、MC、CP.PD,是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度(即四邊形。例CP

的周長)最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由.

23.(10分)如圖1,在矩形ABCD中AB=4,BC=8,點E、F是BC、AD上的點，且BE=DF.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形.

(2)如果四邊形AECF是菱形，求這個菱形的邊長.

(3)如圖2,在⑵的條件下，取AB、CD的中點G、H,連接DG、BH,DG分別交AE、CF于點M、Q,BH分別交AE、

CF于點N、P,求點P到BC的距離并直接寫出四邊形MNPQ的面積。

圖2

24.(10分)已知關于x的一元二次方程尤2一加+加一1=().

(1)求證：方程總有兩個實數根;

(2)若方程有一個根為負數，求加的取值范圍.

k

25.(12分)如圖，RtAABO的頂點A是雙曲線y=一與直線y=-x-(k+l)在第二象限的交點，AB±x軸于B且SABO=

xA

3

2.

(1)求這兩個函數的解析式.

(2)求直線與雙曲線的兩個交點A,C的坐標和AAOC的面積.

26.如圖，直線%=&/+匕與雙曲線在第一象限內交于A3兩點，已知A。,%),8(2,1).

X

(1)求出2的值及直線AB的解析式.

(2)根據函數圖象，直接寫出不等式當〉X的解集.

9

(3)設點是線段AB上的一個動點，過點尸作軸于點。,石是)'軸上一點，當VPE。的面積為g時，請直接

O

寫出此時點P的坐標.

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、D

【解析】一定會發(fā)生的事件為必然事件，即發(fā)生的概率是1的事件.根據事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型

即可.

【詳解】解：4、兩條線段可以組成一個三角形是不可能事件；

8、打開電視機，它正在播放動畫片是隨機事件；

C、早上的太陽從西方升起是不可能事件；

D、400人中有兩個人的生日在同一天是不必然事件；

故選：D.

【點睛】

本題考查的是必然事件.不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在

一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

2、C

【分析】根據已知條件結合相似三角形的判定定理逐項分析即可.

【詳解】解：VZAOD=90",設OA=OB=BC=CD=x

:.AB=Ox,AC=^/5x,AD=y/lOx,OC=2x,OD=3x,BD=2x,

.ABBC=1=拒AC=也

?‘茄一三'AB~y/2~2'DA~2

.ABBCAC

:./\BACs/\BDA.

故答案為c.

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的判定，①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個

三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這

兩個三角形相似.

3,C

CD率代入求

【解析】根據NDBC=NA,NC=NC,判定ABCDSAACB,根據相似三角形對應邊的比相等得到

值即可.

【詳解】VZDBC=ZA,ZC=ZC,

.'.△BCD^AACB,

.CDBC

??---=---,

BCAC

.CD娓

??—=="—,

R3

.?.CD=2.

故選:c.

【點睛】

主要考查相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

4、C

【分析】根據反比例函數的性質，可得出Lm>0,從而得出m的取值范圍.

1-YY}

【詳解】:反比例函數——的圖象的每一條曲線上，y都隨X的增大而減小，

x

解得m<L

故答案為m<L

【點睛】

本題考查了反比例函數的性質，當k>0時，在每個象限內，y都隨x的增大而減?。划攌VO時，在每個象限內，y都

隨x的增大而增大.

5、C

【分析】根據一元二次方程的根的判別式可得答案.

【詳解】解：???關于x的一元二次方程(a-l)x2-2x+3=O有實數根，

a—1W0a#l

,，-{A=4-12(a-l)>0=><a<|，

4

即a的取值范圍是且awl.

???整數a的最大值為0.

故選C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程，熟練掌握根的判別式與根的關系是解題關鍵.

6、A

【解析】解：???四邊形ABCO是平行四邊形，且OA=OC,

二四邊形ABCO是菱形，

，AB=OA=OB,

.,.△OAB是等邊三角形,

.*.ZAOB=60o,

：8。是。0的直徑,

...點B、D、O在同一直線上,

.,.ZADB=-ZAOB=30°

2

故選A.

7、C

【分析】根據二次函數圖象的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可得出答案.

【詳解】根據二次函數的平移規(guī)律可知，將拋物線y=3/向左平移2個單位，再向下平移3個單位即可得到拋物線

-2)2-3,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查二次函數圖象的平移，掌握二次函數圖象的平移規(guī)律是解題的關鍵.

8、C

【解析】連接AC,根據線段垂直平分線的性質可得AB=AC=2,然后利用周長公式進行計算即可得答案.

【詳解】如圖連接AC,

BE=EC,AE1BC,

.-.AB=AC=2,

菱形ABCD的周長=4x2=8,

故選C.

【點睛】

本題考查了菱形的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，熟練掌握的靈活應用相關知識是解題的關鍵.

9、A

【分析】根據各選項幾何體的俯視圖即可判斷.

【詳解】解：?.?幾何體的俯視圖是兩圓組成，

.?.只有圓臺才符合要求.

故選：A.

【點睛】

此題主要考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵.注意所有的看到的兩圓形得出實際物體形狀是解決問題的關鍵.

10、D

【分析】由反比例函數y=K的圖象經過點（3,1）,可求反比例函數解析式，把點代入解析式即可求解.

X

【詳解】?.?反比例函數了=上的圖象經過點（3,1）,

X

3

?力=—,

把點一一代入，發(fā)現只有（-1,-3）符合.

故選

【點睛】

本題運用了待定系數法求反比例函數解析式的知識點，然后判斷點是否在反比例函數的圖象上.

11、C

【分析】將x=2代入原方程即可求出a的值.

【詳解】將x=2代入“2-ax=0,

.\4-2a=0,

:?a21

故選：c.

【點睛】

本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型.

12、A

【詳解】解:曾=2,b=-5,c=3,

A=b2-4ac=（-5）2-4x2x3=l>0>

???方程有兩個不相等的實數根.

故選A.

【點睛】

本題考查根的判別式，熟記公式正確計算是解題關鍵，難度不大.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、20°<ZA<30°.

【詳解】?.?走<cosA<sin70°,sin70o=cos20°,

2

cos300<cosAVcos20°,

/.20°<ZA<30°.

14、1.

【分析】根據題意力與2的比例中項為4,也就是b:4=4:2,然后再進一步解答即可.

【詳解】根據題意可得：

B:4=4:2,

解得b=l,

故答案為:1.

【點睛】

本題主要考查了比例線段,解題本題的關鍵是理解兩個數的比例中項，然后列出比例式進一步解答.

15、點C在圓外

【分析】由r和CA,AB、DA的大小關系即可判斷各點與OA的位置關系.

【詳解】解：：AB=3厘米，AD=5厘米，

AC=732+52=V34厘米，

???半徑為4厘米，

.,.點C在圓A外

A,--------1。

--------b

【點睛】

本題考查了對點與圓的位置關系的判斷.關鍵要記住若半徑為r,點到圓心的距離為d,則有：當d>i?時，點在圓夕卜;

當d=i'時，點在圓上，當dVr時，點在圓內.

1

16、-

3

【分析】根據題意列樹狀圖解答即可.

【詳解】由題意列樹狀圖：

第一個人：爸爸媽耕

/\/\

第二個人：小明媽媽爸爸媽媽爸爸小明

IIII

第三個人：媽媽小明媽媽爸爸小明爸爸

他們的座位共有6種不同的位置關系，其中小明恰好坐在父母中間的2種，

21

.?.小明恰好坐在父母中間的概率=-=

63

故答案為：

3

【點睛】

此題考查事件概率的計算，正確列樹狀圖解決問題是解題的關鍵.

17、(3,7)

【分析】由拋物線解析式可求得答案.

【詳解】Vy=4(x-3)2+7,

二頂點坐標為(3,7),

故答案為(3,7).

1

18>—

8

【解析】根據“關于x的一元二次方程2x2-x+m=0有兩個相等的實數根”，結合根的判別式公式，得到關于m的一元一

次方程，解之即可.

【詳解】根據題意得：

△=l-4x2m=0,

整理得：l-8m=0,

解得：m=-,

8

故答案為：

8

【點睛】

本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關鍵.

三、解答題(共78分)

19>(1)證明見解析；(1)CF-CD=BC；(3)①CD-CF=BC；②1.

【分析】(1)三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明ABADgaCAF,從而證得CF=BD,據此即可證得.

(1)同(1)相同，利用SAS即可證得△BADgZkCAF,從而證得BD=CF,即可得至ljCF-CD=BC.

(3)①同(1)相同，利用SAS即可證得△BADg^CAF,從而證得BD=CF,即可得至ljCD-CB=CF.

②證明△BADgaCAF,4FCD是直角三角形，然后根據正方形的性質即可求得DF的長，則OC即可求得.

【詳解】解：(1)VZBAC=90°,ZABC=45°,ZACB=ZABC=45°..\AB=AC.

,四邊形ADEF是正方形，；.AD=AF,ZDAF=90°.

VZBAD=90°-ZDAC,NCAF=90°-NDAC,/.ZBAD=ZCAF.

??在ABAD和4CAF中，AB=AC,ZBAD=ZCAF,AD=AF,

AABAD^ACAF(SAS).ABD=CF.

VBD+CD=BC,.\CF+CD=BC.

(1)CF-CD=BC；

理由：VZBAC=90°,ZABC=45°,

AZACB=ZABC=45°,

.*.AB=AC,

???四邊形ADEF是正方形，

AAD=AF,ZDAF=90°,

VZBAD=90°-ZDAC,ZCAF=90°-ZDAC,

/.ZBAD=ZCAF,

AB=AC

???在aBAD和4CAF中，

AD=AF

AABAD^ACAF(SAS)

ABD=CF

ABC+CD=CF,

.\CF-CD=BC；

(3)?VZBAC=90°,ZABC=45°,

AZACB=ZABC=45°,

AAB=AC,

:?四邊形ADEF是正方形，

AAD=AF,ZDAF=90°,

VZBAD=90°-ZBAF,ZCAF=90°-ZBAF,

AZBAD=ZCAF,

AB=AC

;在ABAD和ACAF中，＜ABAD=ZCAF,

AD=AF

AABAD^ACAF(SAS),

.\BD=CF,

???CD-BC=CF,

②???NBAC=90。，ZABC=45°,AZACB=ZABC=45°.AAB=AC.

:四邊形ADEF是正方形，；.AD=AF,ZDAF=90°.

VZBAD=90°-ZBAF,ZCAF=90°-ZBAF,/.ZBAD=ZCAF.

?.?在4BAD和4CAF中，AB=AC,ZBAD=ZCAF,AD=AF,

.'.△BAD^ACAF(SAS).AZACF=ZABD.

VZABC=45°,.,.ZABD=135°./.ZACF=ZABD=135°..*.ZFCD=90°.

...△FCD是直角三角形.

?.?正方形ADEF的邊長為2血且對角線AE、DF相交于點O,

.?.DF=0AD=4,O為DF中點.

.?.OC=-DF=1.

2

20、(1)證明見解析(2)3

【解析】試題分析：(1)要證明AEDMsAFBM成立，只需要證DE〃BC即可，而根據已知條件可證明四邊形BCDE

是平行四邊形，從而可證明相似；

(2)根據相似三角形的性質得對應邊成比例，然后代入數值計算即可求得線段的長.

試題解析：(1)證明：?.^AB="2CD”，E是AB的中點，.,.BE=CD,又；AB〃CD,...四邊形BCDE是平行四邊形，

.?.BC〃DE,BC=DE,/.AEDM^AFBM；

1D\fDC11

(2)VBC=DE,F為BC的中點，.'.BFu-DE,?.,△EDMs/\FBM,二一^-=——=-,又：DB=9,

2DMDE23

/.BM=3.

考點：L梯形的性質；2.平行四邊形的判定與性質；3.相似三角形的判定與性質.

21、證明見解析.

【分析】根據三角形的定義表示出tan8及cosND4C,根據=4c即可證明.

【詳解】是上的高，

ZADB=90°,ZADC=90°,

在RtAABD和HAZ5C中，

cAD/?八AD

tanB-----,cosNZ5AC------,

BDAC

且tan3=cosADAC,

ADAD

"~BD~~AC'

:.AC=BD.

【點睛】

此題主要考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟知三角函數的定義.

22、(1)473;(2)四邊形ABCD的面積最大值是36后；(3)存在，其最大值為26+2.

【分析】(1)連接OA、OB,作OH_LAB于H,利用NC=60°求出NAOH=，NAOB=60°,根據OA=4,利用余

2

弦公式求出AH,即可得到AB的長；

(2)連接AC,由Z5=120。得出AC=6百，再根據四邊形ABCD的面積=-AC(DH+BM),當DH+BM最大時,

四邊形ABCD的面積最大，得到BD是直徑，再將AC、BD的值代入求出四邊形面積的最大值即可；

(3)先證明△ADMgZ\BMC,得到aCDM是等邊三角形，求得等邊三角形的邊長CD,再根據完全平方公式的關系

得出PD=PC時PD+PC最大，根據CD、NDPC求出PD,即可得到四邊形周長的最大值.

【詳解】(1)連接OA、OB,作OHJ_AB于H,

VZC=60°,

.?.ZAOB=120°.

VOH1AB,

.,.ZAOH=-ZAOB=60°,AH=BH=-AB,

22

VOA=4,

.?.AH=QA.COS60°=4X且=2百，

2

；.AB=2AH=4百.

故答案為：4\/3?

圖1

(2),??NABC=120。,四邊形ABCD內接于O,

.?.ZADC=60°,

VO的半徑為6,

.,.由⑴得AC=6g,

如圖，連接AC,作DH_LAC,BMJ_AC,

四邊形ABC。的面積=-ACDH+-ACBM=-AC(DH+BM),

222

當DH+BM最大時，四邊形ABCD的面積最大，連接BD,貝！IBD是。的直徑,

D

B

ABD=2OA=12,BD±AC,

四邊形ABC。的面積=L-AC-BO='X6百xl2=36百.

22

四邊形ABCD的面積最大值是36石

(3)存在；

=1千米，AM=BC=2千米，乙4=/8=60°,

ADM=MC,ZAMD=ZBCM,

VZBCM+ZBMC=180o-ZB=120o,

:.ZAMD+ZBMC=120°,

.,.ZDMC=60°,

.,.△CDM是等邊三角形，

AC,D,M三點共圓，

?.?點P在弧CD上，

：.C.D、M、P四點共圓，

.?.ZDPC=180°-ZDMC=120°,

,:CD弧的半徑為1千米，ZDMC=60°,

:.CD=B

?:(PD-PC)2>0,

：.(PD+PC)2>4PDPC,

:.PD+PC>2^JPDPC,

.,.當PD=PC時，PD+PC最大，此時點P在弧CD的中點，交DC于H,

在RtZXDPH中，ZDHP=90°,ZDPH=60°,DH=-DC=—,

22

:.DP=DH=I,

sin60

，四邊形DMCP的周^：#>C<=DM+CM+DP+CP=2G+2.

此題是一道綜合題，考查圓的性質，垂徑定理，三角函數，三角形全等的判定及性質，動點最大值等知識點.（1）中

問題發(fā)現的結論應用很主要，理解題意在（2）、（3）中應用解題，（3）的PD+PC最大值的確定是難點，注意與所學

知識的結合才能更好的解題.

23、（1）見解析；（2）菱形AECF的邊長為5；（3）距離為必，面積為呦

1919

【分析】（1）根據矩形的性質可得AD〃BC,AD=BC,又BE=DF,所以AF〃EC,AF=EC,從而可得四邊形AECF

為平行四邊形；

（2）設菱形AECF的邊長為x,依據菱形的性質可得AE=EC=x,BE=8—x,在RtAABE中運用勾股定理可求解；

（3）先由中位線的性質得出CH=2,OH=1.5,再證明△PQHs^PCB,根據相似三角形的性質得出h的w的值，再

求出四邊形MNPQ的面積即可.

【詳解】（1）證明：：四邊形ABCD為矩形，BE=DF,

.?.AD〃BC,AD=BC,

，AF〃EC,AF=EC,

???四邊形AECF為平行四邊形.

（2）解：設菱形AECF的邊長為x,

,四邊形AECF為菱形，AB=4,BC=8,

，AE=EC=x,BE=8-x,

在RtAABE中，AE2=AB2+BE2BPx2=42+(8-x)2,

解得x=5,

菱形AECF的邊長為5.

（3）連接GH交FC于點O,設點P到BC的距離為h,

?；G、H分別為AB、CD的中點,

；.OH是ACDF的中位線，CH=2,

.,.△POH<^APCB,

VDF=8-5=3,

.?.QH=1.5,

1.52-h?32

:.--------,解得h=—>

8h19

3212HO

由P到BC的距離壽可得N到BC的距離為一^,四邊形NECP的面積為丁，菱形面積為5x4=20；

19191y

...四邊形MNPQ面積為=菱形AECF的面積-四邊形NECP的面積x2=20--x2=—

1919

【點睛】

此題考查了矩形的性質、菱形的判定與性質以及勾股定理.注意掌握對應關系是解此題的關鍵.

24、(1)見解析；(2)m<1

【分析】(1)計算方程根的判別式，判斷其符號即可；

(2)求方程兩根，結合條件則可求得m的取值范圍.

【詳解】(1)A=-4?c=(-m)2-4xlx(/?-l)=(wj-2)2,

V(m-2)2>0,

...方程總有實數根;

/o.-b±\Jb~—4tzc

.x=------------

2a

m+m-21m-m+2

:.x.=------------=m-l,x,=-------------=I,

22

??,方程有一個根為負數，

m—1<0,

m<1.

【點睛】

本題主要考查根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個數與根的判別式的關系是解題的關鍵.

3

25、(1)y=----；y=-x+1(1)4.

x

313

【解析】試題分析：(1)根據即5國,3=萬，所以國?|乂=3,又因為圖象在二四象限，所以xy=-3

即&=-3,從而求出反比例函數解析式將4=-3代入>=一%-(攵+1),求出一次函數解析式;

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(1)將兩個函數關系式y(tǒng)二-一和丁二-1+1聯立，解這個方程組，可求出兩個交點A,。的坐標；