天津市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

22

7.已知雙曲線*■-斗■=1（〃>0力>0）的兩條漸近線與拋物線V=4x的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn).。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A03的面積為則雙曲線的離心率為（）.

A.y/2B.2C.6D.3

8.陀螺又稱陀羅，是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)健身玩具之一，在山西夏縣新石器時(shí)代的遺址中就發(fā)現(xiàn)

了石制的陀螺.如圖所示的陀螺近似看作由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其中圓柱的底面半

徑為1,圓錐與圓柱的高均為1,若該陀螺由一個(gè)球形材料削去多余部分制成，則球形材料體積的

最小值為（）

32

B.一兀

3

125

D.---7T

48

9.已知函數(shù)/1）=328-疝（26+已（0>0）在［0,汨上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

（）

"7131

cj舞）

二、填空題

10.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)起=.

11.1/一^］展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

12.直線/：y=x與圓。:（X-1）2+（）-2）2=/（4>0）交A,B兩點(diǎn)，若/BC為等邊三角形，則。的

值為.

三、雙空題

13.袋中有3個(gè)紅球，加個(gè)黃球，〃個(gè)綠球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，即取出的紅球數(shù)為久若取出的

10

兩個(gè)球都是紅球的概率為一紅一黃的概率為則〃?-〃=,E(/=.

14.在梯形ABC。中，AB//CD,SLAB=2CD,M,N分別為線段DC和A3的中點(diǎn)，若A8=a,

AD=b>用a，b表示MN=,若MN工BC，則NZMB余弦值的最小值為.

四、填空題

/、|x2+x|,x<0/.

15.函數(shù)/(x)=4，］，關(guān)于x的方程/(x)=ar有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值

ln(x+l),x>0

范圍是.

五、解答題

16.己知a,b,c分別為ABC三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，且6acosC+asinC=.

⑴求A；

(2)若c?=4/-46，且a+b=3+.

2

(i)求c的值.

(ii)求sin(A+2B)的值.

17.如圖，在正四棱柱ABCO-ASCQ中，AB=2,M=4.點(diǎn)4,殳，C2,&分別在棱A4,

BB、,CCj,DD］上,Aa=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

GBi

DA

(1)證明：約G〃42；

(2)求點(diǎn)B1到平面A2cB的距離;

(3)點(diǎn)尸在棱B片上，當(dāng)二面角P-4G-&為150。時(shí)，求B』.

18.己知橢圓。:三+，=1(">%>0)的離心率為白，左頂點(diǎn)A與上項(xiàng)點(diǎn)B的距離為m.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)P在橢圓C上，且尸點(diǎn)不在x軸上，線段AP的垂直平分線與)，軸相交于點(diǎn)Q,若△PAQ為等

邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

19.設(shè)5”為正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，滿足2S”=片+?！?2.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若不等式24對(duì)任意正整數(shù)〃都成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍;

(3)設(shè)匕=力”"w(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求證：?+歲+…+冬〈半

〃n.n.4an.n%6

20.設(shè)函數(shù)/⑴--春…，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程為y=-x+1.

⑴求a力的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f\x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)求Ax)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

參考答案：

1.A

【詳解】：全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},

APn(［uQ)={1,2,3,4,5}CI{1,2}={1,2}.

故選A

2.A

【分析】判斷和“。+工>2”之間的邏輯推理關(guān)系，即得答案.

a

【詳解】當(dāng)。>1時(shí)，a+--2=a2~2a+l=^^>0,

aaa

故“H—>2,即a>l成立，則an—>2成立；

aa

當(dāng)a=L時(shí)，〃+工=1+2>2,但推不出a>l成立，

2a2

故“a>1”是“〃+,>2”的充分不必要條件，

a

故選：A

3.D

【分析】先由頻率之和為1解得。值，再分別計(jì)算各段學(xué)生人數(shù)，根據(jù)抽樣比得從

【詳解】由題得10x(0.005+0.035+4+0.020+0.010)=1,所以“=0.030.

在［120,130)之間的學(xué)生：100創(chuàng)00.030=30人，

在［130,140)之間的學(xué)生：100創(chuàng)00.020=20人，

在［120,140)之間的學(xué)生：50人，

又用分層抽樣的方法在［120,14())之間的學(xué)生50人中抽取5人，即抽取比為：木，

所以成績(jī)?cè)冢?20,130)之間的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為30x擊=3,即。=3.

故選：D.

4.B

14

【分析】先由指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，利用換底公式得到一+—=log,“4x34=2,從而得到

*y

>=4x34=324,計(jì)算出小.

【詳解】由4*=3〉=m>0得：x=log4m,y=\o^m,

由換底公式可得：-=log,?4,-=log?,3,

x)'

I2

則—+—=log,"4+2log,,,3=log,“4x32=2,所以/=4x3?=36,

xy

因?yàn)闄C(jī)＞0,所以m=6

故選：B

5.D

【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷f(x)的對(duì)稱性，并由/。)=0及y=f、y=lnx增長(zhǎng)速度關(guān)系，結(jié)

合排除法確定函數(shù)圖象.

【詳解】由/(-、)=/祟=竽=/(')且定義域?yàn)閧xlxwO},故/(x)是偶函數(shù)，又/⑴=0,排

除B、C；

當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)y=x?比y=lnx增長(zhǎng)得更快，排除A.

故選:D.

6.C

【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較。、人與。的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.

【詳解】a=log52<log5V5=—=log82>/2<log83=b,即

故選：C.

7.B

【分析】根據(jù)題意，分別求得雙曲線的漸近線和拋物線的準(zhǔn)線方程，結(jié)合AOB的面積為G，求

得2=6,結(jié)合離心率的定義，即可求解.

a

【詳解】由拋物線V=4x,可得其準(zhǔn)線方程為x=-1,

因?yàn)殡p曲線J-1=l(a>0/>0)的兩條漸近線的方程為y=±，x,

因?yàn)殡p曲線的漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于A,8兩點(diǎn)，且的面積為后,

可得2x4x1=75,即2=石,

2aa

所以雙曲線的離心率為e，=J1+(與=a+呵=2.

a\a

故選：B.

8.D

【分析】依題意當(dāng)該陀螺中圓錐的頂點(diǎn)及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時(shí)，球形材料體積

的最小，設(shè)此時(shí)球形材料的半徑為R,由勾股定理求出外接球的半徑，即可求出其體積.

【詳解】依題意當(dāng)該陀螺中圓錐的頂點(diǎn)及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時(shí)，球形材料體積

的最小，

設(shè)此時(shí)球形材料的半徑為R,由題意得（2-/?y+i2=店，解得/?=］,

所以球形材料的體積最小值為三兀R'=黑兀.

348

故選：D.

9.A

【分析】利用兩角和與差的正弦，余弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后根據(jù)變量的取值范圍和余弦函數(shù)的圖

像即可求解.

|7U）71兀

［詳解］fM=cos2a）x-sin2cox+—=cos2cox-sin2a）xcos——cos2cox-sin—

V6J66

=—cos2a）x----sm2d?x=cos2cox-\■一.

22I3）

TTTTTT

當(dāng)xe［O,兀］時(shí)，2a）x+-e-,2it（i）+-.

3133」

/（X）在［0,2內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，，=42兀。+三＜￥，

2321212

故選：A.

10.l-2z/-2i+l

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算即可.

【詳解】W(3-i)0-i)2-4i

=l-2i.

(l+i)(Ji)2

故答案為：1-2i.

11.15.

【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出.

【詳解】通項(xiàng)公式力+/=4（N）6“_Jy=（-1）rd；x^h,

X

令12-3r=0,解得r=4.

展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)=第=15.

故答案為15.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.回'娓

33

【分析】結(jié)合兒何關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離即可求解.

【詳解】由條件和幾何關(guān)系可得圓心C到直線/：y=x的距離為嶗1=F^,解得4=2^.

故答案為：回

3

13.1I

【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式以及組合數(shù)的計(jì)算公式，建立方程，可得空1;根據(jù)離散型

隨機(jī)變量的均值計(jì)算公式，可得空2.

［詳解】取出的兩個(gè)球都是紅球的概率6=---=石------1------;=1,

C"+“（3+〃?+”）（2+加+〃）5

C'c16m2

取出的兩個(gè)球是一紅一黃的概率P2==------7-：-----7=",

CLn+?（3+機(jī)+”）（2+機(jī)+〃）5

R11?61

由月=蔡=5'解得加=2,則"（5+〃）（4+〃）=丁解得"=1'故加一〃=1；

由題意，紅球一共有3個(gè)，黃球和綠球一共有3個(gè)，隨機(jī)變量4的所有可能取值為0,1,2,

P（€=0）=|1q,上=1）=等=|,P（^=2）=g=l,

則E?=0x（+lx|+2q=L

故答案為：1；1.

,.1、2&

14.-a-b——

43

【分析】空（1）使用向量線性運(yùn)算求解即可；

空（2）以4與6為基底，用數(shù)量積的形式表示出〃N_LBC，再由基本不等式求解即可.

如圖，由已知，MN=AN-AM=-AB—^AD+DM'j=—AB—AD——DC

=-AB-AD--x-AB=-AB-AD=-a-b.

22244

1_

MN-b.

4

設(shè)ND4B=。，即〃與b的夾角為6，

BC=BA4-AD+DC=—AB+AD+—AB=——AB+AD=——a+h,

若MNJ.BC，則MN-8C=0，

-“?（一；4+.）=->2+^a-b-b2=-"同一+-^|?||z?|cos0-|z?|=0,

又???同>0,忖>0,.?.由基本不等式，

H2+<__H,8K

2顯絲=逑

61aM6忖61a\6忖6a3

8石L一

當(dāng)且僅當(dāng)『\a\=—,即同=2及忖時(shí)，等號(hào)成立.

6W

故答案為：—a-b,2五.

43

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題第2空的關(guān)鍵，是用以2D4B為夾角的兩個(gè)向量作為基底，將垂直

關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的形式，再借助基本不等式求解.

15.。4一1或04a41

【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與直線y=冰的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)/(x)的圖象，分。=0、。>0、

a<0討論，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】〃x)=or有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=/(x)與直線產(chǎn)6的圖象有2個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)4=0時(shí)，函數(shù)y=/(x)與直線y=o的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由x=0是函數(shù)y=/(x)與直線尸?的圖象的1個(gè)交點(diǎn)，

只需函數(shù)/(x)=ln(x+l)(x>o)與直線產(chǎn)④有1個(gè)交點(diǎn)即可，

當(dāng)直線產(chǎn)以與函數(shù)/(x)=ln(x+l)(x>0)相切時(shí)，

設(shè)切點(diǎn)為(毛,%),可得/'(%>)='77=。，且%=ln(x0+l),y0=axu,

可得。一l=ln。，

因?yàn)閥=x-l與y=lnx的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)(1,0),

可得〃=1是?—1=In。的解,

所以0<a4l時(shí)直線產(chǎn)公與尸/(力的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意;

當(dāng)〃<0時(shí)，由―卜+』(xW0),可得12(%2+2%+1一6)=0,

y=ax

要使y=/(x)與尸儂的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

只需f+2x+l-/=0在x<0只有一解即可，

可得0+0+1-/《0,解得。4一1.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是。4-1或OWaWl.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與直線y="的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考

查了學(xué)生的抽象思維能力.

16.⑴Y

(2)(i)2；(ii)—

26

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)岳cosC+asinC=?，可得tanA

的值，即可求得答案；

(2)(i)由余弦定理可得/一從=。2一兒，結(jié)合C2=4L-462,推出6=3。，a=—c,再結(jié)合

44

〃+6=止叵，即可求得c；

2

(ii)求出4利用正弦定理求得sinB,進(jìn)而求得cosB,由二倍角公式求得sin2B,cos28,再根據(jù)

兩角和的正弦公式即可求得答案.

【詳解】(1)由題意知在.ABC中，、/5acosC+asinC=

故由正弦定理得A/3sin4cosc+sinAsinC=gsin8=Gsin(A+C)，

即GsinAcosC+sinAsinC=百(sinAcosC+cosAsinC),

所以sinAsinC=JicosAsinC，

因?yàn)镃e(0,兀),故sinA=乖》cosA,tanA=>/3，

又Ac（0,兀），故A』

(2)(i)由余弦定理得/=b2+c2-2Z?ccosA=/+c2-bc,

^a2-b2=c2-bc,又。2=4/一46，

故/=4(c2-he),得b=，,則/=Z?2+c2-be=(-c)2+c2--c2=—

44416

即a=---c,

4

-rj.34-\fi3r?y/]333+y/\3Anzec

又a+b=------,故」-c+—c=-------，解得。=2.

2442

/..、小/.、—i*zeA/T3y/\3?_3

(1])由(1)可得Q=---c=----，b=二,

422

3

工一，ab.八加in4263A/3

由正弦定理得二工sin8=------=—=x—=,

sinAsinZ?aJ1322A/13

F

由于〃<c,故3必為銳角,

故sin2B=2sinBcosB=2xx—,

2V132V1326

1

26

故sin(A+23)=sin[1十28=^^cos2B-l--sin2B

22

=與(」)+工地=拽

22622626

17.（1）證明見(jiàn)解析

⑵偵

3

(3)1

【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)表示證明;

（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)到平面的距離;

（3）利用空間向量與二面角的關(guān)系求解.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，S,CB,CG所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則C(0,0,0),G(0,0,3),8式0,2,2),D,(2,0,2),A(2,2,1),

■■-B2C2=(0,-2,1),42=(0，-2,1),

所以B2C2//AD2,

且82c24。2不在一條直線上，所以4G〃&&.

(2)設(shè)平面4G2的一個(gè)法向量為皿=(x,y,z),

4c2=(—2,—2,2),44=(。,—2,1),

AC??/%=-2x-2y+2z=0

所以,設(shè)z=2,則x=l,y=l,

24202m=-2y+2=0

所以〃7=(1,1,2),

又因?yàn)?(0,2,4),G4=(0,2,1),

所以點(diǎn)用到平面4G2的距離d==4=276

mV63

(3)設(shè)尸(0,2,2)(04244),

AC?=(-2,-2,2)代=(。，-2,3-乃,

設(shè)平面P&G的法向量為"=3氏0，

n?4G=一2〃—2Z?+2c=0

則

n-PC?=—2b4-(3—A)c=0

令c=2,b=3—=%—1,所以〃=(4—1,3-4,2),

所以"葉需=小胸可西

6==|cosl500|=—,

2II2

可得力一4彳+3=0，解得4=1或4=3,

所以B2P=1.

29

⑻⑴*1

⑵「

【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率以及頂點(diǎn)間的距離公式可解得“2=4,從=2,即可求出橢圓方程;

（2）設(shè)出直線叱方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可解出點(diǎn)尸的坐標(biāo)表示，再根據(jù)△PAQ為等邊

三角形即可解得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】（1）由題意可知離心率e=￡=1,即可得Y=2C2

a2

且+。2=&,又〃2=/+加，解得々2=4,=2；

所以橢圓C的方程為工+$=1.

42

（2）如下圖所示：

易知A（-2,0）,設(shè)直線AP的方程為丫=々"+2）,易知％=0,設(shè)尸（修,力）；

將直線y=/（x+2）與橢圓?+菅=1聯(lián)立可得（2二+1卜2+8%，+8公-4=0,

顯然x=-2是方程的一個(gè)根，由韋達(dá)定理可得/=-壬

所以》他”2）=藥，即十赤T，赤rj；

可得"的中點(diǎn)坐標(biāo)為M,

I2k+12k+\)

2k1(41cl

所以直線AP的垂直平分線方程為y--7x+-^-

2《+lk\2k~+\

令X"解得尸一品,即砸'一就｝

若△尸AQ為等邊三角形，則|M=|AQ|

3

整理得4公+公一3=0,解得&2=;或公=T(舍)；

4

代人可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸([,警]或尸仔,一羋

19.(1)an=n+\(2)-|,-2卜(-2,0](3)證明見(jiàn)解析；

【分析】(1)根據(jù)題中的關(guān)系式，利用q=$,-5,1(〃22)得出數(shù)列｛4,｝是等差數(shù)列，可得通項(xiàng)公

式；

(2)〃=1時(shí)，求出，的范圍，接著證明,的此范圍對(duì)〃22的正整數(shù)〃都成立，首先由〃+1+?>0,

放縮fi+—^―r'>fi+二一Y",然后結(jié)合二項(xiàng)式定理證明結(jié)論；

In+\+t)\n+\)

3

(3)根據(jù)(1)中的結(jié)論得到數(shù)列他,｝的通項(xiàng)公式，求出二-變形并放縮當(dāng)?」—!一.1?

""+2*[("+3)24

V211_22

=7(〃+3)金門(mén)再由當(dāng)"22時(shí)’FTk&+ka<(k-i)a+kg

=-1——苦匕—下,=2坐,出?).=2(放縮裂項(xiàng)相消法求和證明結(jié)論.

【詳解】(1)???2科=片+凡_2,

???2s小=〃3+4一「2522),

兩式相減，得2。n=an~an-\+?！?〃〃-1，

即an~an-\~an~M.I=。'

(a“+%-J(4「4iT)=。,

???{4}為正項(xiàng)數(shù)列，.?.4-4-=1(〃>2),

又由2sl=4；+q-2,解得4=2或％=-1(舍去),

an-n+l.

(2Y"(2Y+1

(2)\+-^->4,即1+——>4,

(a?+t)In+l+tj

1+2)-4,

當(dāng)〃=1時(shí),

Q

解得——〈I"0且"-2,

Q2Y+l

下面證明當(dāng)-且f7-2時(shí),1+^^“對(duì)任意正整數(shù)”都成立,

n+\+t）

當(dāng)〃22時(shí)，〃+l+f>0,

.小+-_『/+2『，

Vn+l+tJVn+\）

又當(dāng)〃=1時(shí)，上式顯然成立，

故只要證明（1+高]’24對(duì)任意正整數(shù)〃都成立即可,

:?實(shí)數(shù)，的取值范圍為-*-2）口（-2,0].

（3）證明：由題得勿=（〃+1）孤川，

..b.=(〃+1尸J_13

(〃+［嚴(yán)］1I"

.二一(“+3).「〔而而7

("+3嚴(yán)("+3)24

：4顯_____1一

2+24(〃+3)J〃+3

當(dāng)左22時(shí),

12________2_______

ky/k~kyfk+k4k(k-1)4+女

_________2__________2(〃_yr^T)

\jk—1-yfic(Jz-1+\[k)y/k—1?y/k

4上

一6

【點(diǎn)睛】本題考查已知S,與%關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查不等式恒成立問(wèn)題以及不等式的證

明.在利用〃“=￡,-S,i時(shí)，注意”22,數(shù)列不等式恒成立，可從特殊值出發(fā)，如鹿=1時(shí)成立得出

參數(shù)r的范圍，然后再考慮它對(duì)〃22時(shí)是否也成立.不等式的證明，根據(jù)不等式的形式首先考慮能

否求和，.由于是不等式可能考慮用放縮法，適當(dāng)放縮后再求和.本題對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的

能力，邏輯思維能力要求較高，屬于困難題.

20.

(2)答案見(jiàn)解析

(3)3個(gè)

【分析】(1)先對(duì)/(》)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到/⑴=。，/'⑴=-1,從而得到關(guān)于。力的

方程組，解之即可；

(2)由(1)得g(x)的解析式,從而求得g'(x),利用數(shù)軸穿根法求得g'(x)<0與g'(x)>0的解,

由此求得g(x)的單調(diào)區(qū)間：

⑶結(jié)合(2)中結(jié)論，利用零點(diǎn)存在定理，依次分類討論區(qū)間(--0),(0,演)，&，w)與(玉,物)

上尸(x)的零點(diǎn)的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系求得了(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】(1)因?yàn)?"(x)=x-x3e"+〃,xeR,所以/'(*)=1一(3/+小)

因?yàn)閒(x)在。,/⑴)處的切線方程為y=-X+1