天津市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)試卷

天津市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)

試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合4=｛x|y=lnx｝,3=卜]表=9+1｝,則Ac低3）=（）

A.（0,1）B.（0,1]C.[0,1）D.[0,1]

2.設(shè)數(shù)列｛?！埃墓葹?,貝『%>。且0<"1”是“｛。”｝是遞減數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2

3.函數(shù)〃x）=c°sx+x-的大致圖像為（）

eA-e'r

4.設(shè)Q=log52,b=]n2,C=0.542,則Q,b,。的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

5.設(shè)S"為正項(xiàng)等比數(shù)列｛外｝的前〃項(xiàng)和，％，3a3,%成等差數(shù)列，則名的值為（）

A.—B.—C.16D.17

1617

21

6.已知3“=5b且一+7=1,則〃的值為（）

ab

A.log315B.log515C.log345D.log545

7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺,

末廣八尺，無深，袤七尺.問積幾何?”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全等

的三角形圍成的五面體.在圖1所示羨除中，AB//CD//EF,AB=10,CD=8,EF=6,

等腰梯形A3CD和等腰梯形ABFE的高分別為7和3,且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互

相垂直.按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為()

圖1圖2

A.84B.66C.126D.105

8.記武見)表示區(qū)間上4]上的偶數(shù)的個(gè)數(shù).在等比數(shù)歹￡%-〃｝中，q=4,%=11,

貝1]r(%)=()

A.39B.40C.41D.42

9.將函數(shù)—也,+￡|圖象上的所有點(diǎn)向右平移;個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的

圖象，貝U()

A.g(x)為奇函數(shù)B.g(x)=cos(2x-亳

C.g(x)的最小正周期為2兀D.g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

5兀77C

一一-+hi,--+k,7i1,keZ

oo

二、填空題

10.設(shè)i是虛數(shù)單位，a+z=(1+2，)初(-R),貝！Jb-a=.

11.在13/一的展開式中，X的系數(shù)是.

三、雙空題

12.已知直線/：y=入一2(左>。)與圓龍2+丁=1相切，且被圓f+(y+o)2=4(a>0)截

得的弦長為26，則左=;a=.

試卷第2頁，共4頁

四、填空題

13.銳角a,夕滿足e+2￡=g,tanjtan^=2-V3,K>J?和口中的較小角等于

五、雙空題

14.。為ABC的邊AB一點(diǎn)，滿足AD=2￡>8.記“=。4,b=CB，用a,b表示

CD=；若=且，ABC的面積為g,則NACB的最小值為.

六、填空題

15.若二次函數(shù)”*)=/+。-％)?1在區(qū)間［2,3］上存在零點(diǎn)，則/+"的最小

值為?

七、解答題

16.在uABC中，A,8,C對(duì)應(yīng)的邊為a,b,c.已知acosC+；c=b.

(I)求A；

(II)若b=4,c=6,求cosB和cos(A+23)的值.

17.如圖，在直三棱柱ABC-A與。|中，AB1BC,AB=BC=BBt=2,。為棱A2的

中點(diǎn).又為線段BG的中點(diǎn).

⑴求證：BC"/平面ACD；

(2)求平面\CD與平面C.DC的夾角的余弦值;

⑶求點(diǎn)加到平面AC。的距離.

22

18.橢圓二+二=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,上頂點(diǎn)為C(0,2),左、右焦點(diǎn)分別為

a2b2

4,F2,且IA耳I，I耳可，閨同成等比數(shù)列.

(1)求橢圓的方程；

⑵過￡的直線/與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，直線CM,CN分別與X軸交于P,Q兩點(diǎn).若

SMMN~S^cPQ，求直線/的斜率.

19.已知數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列也J是公比不為1的等比數(shù)列，滿足

ax+a2=b2,a2+a3=b3,a4+a5=b4,

⑴求應(yīng)｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛。也｝的前〃項(xiàng)和S“；

(3)若數(shù)列｛4｝滿足4=1,dn+dn+l=bn,記I,=￡二》.是否存在整數(shù)加，使得對(duì)任

d

意的weN*都有14%北一廣＜2成立？若存在，求出優(yōu)的值；若不存在，說明理由.

20.已知函數(shù)/'(力="-"2,。＞0且owl.

⑴當(dāng)。=e時(shí)，求曲線y=〃x)在％=1處的切線方程；

(2)若。＞1,且/(x)存在三個(gè)零點(diǎn)A,X,,x3.

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

2e+l

(ii)設(shè)無1＜/＜彳3，求證：％+3工2+/＞—T=~.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求出A,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出8,再根據(jù)集合的運(yùn)算法

則計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)锳={乂丁=111耳=3?0},B=1_y|_y=x2+l}={y|y>l},

所以Q8={y|y<l},則A(^B)={X|0<X<1}=(0,1).

故選：A

2.A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別驗(yàn)證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.

nX

【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，an=acq=^-q\

q

當(dāng)％>0且0<4<1時(shí)，則幺>0,且y=4"單調(diào)遞減，則％=以0是遞減數(shù)列，故充分性

qq

滿足；

當(dāng)?！?幺是遞減數(shù)列，可得it?或故必要性不滿足；

q[0<4<1國>1

所以“4>。且。<4<1”是“{a?}是遞減數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A

3.A

【分析】根據(jù)奇偶性可排除CD,當(dāng)犬=兀時(shí)，/(x)>0,排除B.

2

【詳解】因?yàn)?(%)=；：X：：,xwo,

COS(f)+(-X)2cosx+x2

所以/(-%)==一十)，

e"e-S)e-e

故函數(shù)為奇函數(shù)，故排除CD,

_1冗2

當(dāng)x二兀時(shí)知/(兀)二〉0,可排除B.

e兀-e兀

故選：A.

4.B

【分析】根據(jù)題意，由條件可得ol,即可得到結(jié)果.

答案第1頁，共16頁

【詳解】因?yàn)椤?1嗎2="，b=ln2=A，且lg5>lge>0,所以〈用,

1g5Igelg5Ige

即a<6,且ln2<lne=l；

又c=0.5">0.5°=1,所以a<6vl<c.

故選：B

5.D

【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,q>0,運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,

解方程可得公比4,再由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求值.

【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列｛4"｝的公比設(shè)為q,q>0,3,3a3,加成等差數(shù)列,

可得6a3=as+O4,BP6ai^=aiq4+aiq3,

化為q2+q-6=0,解得q=2（-3舍去），

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查方程思想和

化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【分析】令3。=5"=4>0,利用指對(duì)數(shù)互化，換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得上=45,即得.

【詳解】令3"=5=>0,

11,c11,21

則a=log3左泊=1。85左，-=---r=1°g*3'7=-；-----T=l°gQ,又一+7=],

alog3kblog5kab

21og?3+logk5=log*45=1,即左=45,

/.a=log345.

故選：C.

7.A

【分析】由圖可知，中間部分為棱柱，兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，再由柱體和錐體的體積公

式可求得結(jié)果.

【詳解】按照?qǐng)D2中的分割方式，中間為直三棱柱，直三棱柱的底面為直角三角形，

兩條直角邊長分別為7、3,直三棱柱的高為6,

答案第2頁，共16頁

所以，直三棱柱的體積為K=gx7x3x6=63.

兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，

直角梯形的面積為5=止且g=3，四棱錐的高為=3,

22

121

所以，兩個(gè)四棱錐的體積之和為匕=2x5x5x3=21,

因此，該“羨除”的體積為V=K+%=84.

故選：A.

8.C

【分析】設(shè)｛鞏-科的公比為4,根據(jù)％和電求出4,從而得〃〃和久，再根據(jù)K*的定義可

求出結(jié)果.

(、a?—211—2_

【詳解】設(shè)｛4-科的公比為夕，則4=:7?=』=3,

所以%-1)-尸=(4_1)?3"一=3",則an=n+3",

所以&=4+3,=85,

所以落在區(qū)間［4,85］內(nèi)的偶數(shù)共有41個(gè)，故r(%)=41.

故選：C.

9.B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出g(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷A、C、

D,利用誘導(dǎo)公式判斷B.

【詳解】將函數(shù)y=sin［2x+；］圖象上的所有點(diǎn)向右平移;個(gè)單位長度得到

g(x)=sin，卜-：=sin］2x-：)

函數(shù)g(x)的最小正周期7號(hào)=兀，故C錯(cuò)誤；

xg(-x)=sin^-2x--sin+所以g(x)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

p23兀)吟兀］.(吟

又y=cos2x-----=cos2x————=sin2x——,

I4JLI4；2jI4；

所以g(x)=cos(2x-U故B正確；

答案第3頁，共16頁

令--F2kn<2x——<—+2kn,kwZ,

242

JT3TT

角軍得一3+EV%+E,k￡Z,

88

jr3冗

所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為-g+標(biāo),k+E,keZ,故D錯(cuò)誤;

|_OO_

故選：B

10.3.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，建立。1方程，求解即可.

【詳角軍】a,b￡R,a+i=（l+2i）bi=-2b+bi,

（a=-2b1a=-2

,,??11'b—a=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.-720

【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，令10-3r=1,求出人再代入計(jì)算可得.

【詳解】二項(xiàng)式0犬一jj=C；(3x2廣[一2]=c3TX(-2)r尤5

展開式的通項(xiàng)為（其

中0WrW5且reN),

令10-3r=1,解得r=3,所以7；=€：；32><(-2)，=一720%,

所以展開式中了的系數(shù)是-720.

故答案為：-720

12.V34

【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求出3即可求出直線/的方程，再由弦長求出圓

心到直線/的距離，即可求出

【詳解】因?yàn)橹本€/：y=刈—2（左>0）與圓尤2+3=1相切,

|-2|

所以圓心（0,0）到直線/的距離4==1解得左或左=-右（舍去）,

貝U直線/的方程為：y/3x-y-2=o,

又被圓x2+（y+4=4（a>0）截得的弦長為2石,

答案第4頁，共16頁

\a-/2/廠\2

所以圓心（O,F）到直線）的距離4=J㈣2+（_4二/一百3）,

解得〃=4或〃=0（舍去）.

故答案為：百；4

71

13,-/30°

6

【分析】根據(jù)題意，由正切的和差角公式代入計(jì)算，即可得到tan葭,tan4的值，即可得到

結(jié)果.

a八

tan——Ftanp

【詳解】由&+2/=三可得§+〃=所以tan?+尸7---=6

八

1y-tan—atanp

又tan￡tan尸=2-百，所以tan]+tan夕=3-g,

a

tan——Ftan/?=3-^3

2tan—=2-^3

由“,解得＜2

a

tan—tan/3=2-上tan=1

2

或2（舍去，此時(shí)。不為銳角），

tan/?=2-括

所以tan夕=1,夕為銳角，則￡=：-TT,又a+2尸=9今TT，則&=7^T.

436

所以a和2中的較小角為

0

故答案為：m

0

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可，設(shè)/408=2。€（0,兀），根據(jù)三角形的面積公

式可得必三，再利用向量化結(jié)合基本不等式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

4sm2。

【詳解】由AD=2O8，

^CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-（CB-CA\=-CA+-CB=-a+-b

33、73333f

設(shè)NAC5=2，w（O,兀），則6設(shè)的對(duì)邊分別為〃也

答案第5頁，共16頁

9199

由金。的面積他，得理，也2。二，所以加3

2(12-Y1-24-241,4,4

CD=\-CA+-CB=-CA+-CB+-CA-CB=-b2+-a2+-abcos20,

U3J999999

i444

故1=—Z?2+—tz2+—?/?cos2^>—tiZ?(l+cos2。)

4o1+cos20

=-x-------(1+cos2。)

94sin26>v7sin20

小、1l+cos262cos201

所以--------=----------=-----

sin202sin0cos0tan6

又戒咽，所以—所以常吟

14

當(dāng)且僅當(dāng)即％=2”時(shí)取等號(hào),

7T

所以NACB的最小值為;.

故答案為：ga+gb；

【分析】設(shè)/為/（x）在［2,3］上的零點(diǎn)，可得加2+（i一2力"。-1=0,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（“㈤在直線

（『-1）尤-20+/-1=0上，結(jié)合"十^的幾何意義，可得有解問題，利用

（產(chǎn)+1）一

導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和最值即得.

【詳解】設(shè)/為/（*=雙2+。一26卜—“—1在［2,3］上的零點(diǎn),可得：at2+（l-2b）t-a-l=0,

即：（廠—1）?！?tb+1—1=。，

從而可理解為點(diǎn)（“㈤在直線（』-l）x-2少+f-1=0上，而/+〃表示點(diǎn)（區(qū)協(xié)到原點(diǎn)的距離

的平方.

答案第6頁，共16頁

依題意，問題轉(zhuǎn)化為'片+°|r-H（"I）?

2NJe［2,3］有育軋即/+b2>Je[2,3]有

7（r2-D2+4r（戶+1）2

解,

（）

不妨設(shè)g（”H7—12，F(xiàn)2,3］,令人T則正,則有

hW=[

4+2+2

9

記夕⑷=4+7，易得：夕。）在［1,0］上遞減，在［0,2］上遞增，而夕（刃1^=破1）=夕（2）=3,故

Z

11

?。?

11

即：g⑺2石，故當(dāng)"2或3時(shí)，/+從的最小值為三.

故答案為：石.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)在定區(qū)間上存在零點(diǎn)問題常用的方法:

（1）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

（2）分離參數(shù)法：對(duì)于一個(gè)參數(shù)的問題，一般先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在給定區(qū)間上

的值域問題加以解決；

（3）反客為主法：對(duì)于含雙變量的零點(diǎn)問題，常設(shè)出零點(diǎn)，將方程轉(zhuǎn)化為雙變量為點(diǎn)坐標(biāo)

的軌跡問題，利用所求式的幾何意義求解.

n11

16.（1）A=?（II）-一

314

【分析】（I）先根據(jù)正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角和正弦公式化簡得結(jié)果，（II）根據(jù)余

G2

弦定理求。，代入條件求得sin8=工，解得cos8="，最后根據(jù)兩角和余弦定理得結(jié)果.

【詳解】（I）解：由條件acosC+：c=6,得sinAsinC+gsinCusinB,又由sinB=sin（A+C）,

得sinAcosC+gsinC=sinAcosC+cosAsinC.

1兀

由sinCw0,得cosA=—,故A=§.

jr

（H）解：在‘ABC中，由余弦定理及6=4,c=6,A=],

有〃=〃+/-26ccosA,故a=2幣.

答案第7頁，共16頁

62

因?yàn)楣蔆0S5=

由Z?sinA=asinB得sinB=萬萬

91

因此sin2B=2sinBcosB=cos23=2cosB—1=—.

77

所以cos(A+25)=cosAcos2B一sinAsin2B=---.

【點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件

靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.

17.(1)證明見解析;

⑵①

6

⑶亞

3

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.

（2）由（1）中坐標(biāo)系，利用面面夾角的向量求法求解即得.

（3）由（1）中坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算得解.

【詳解】（1）在直三棱柱ABC-A4G中，AB±BC,則BABC,明兩兩垂直,

以8為原點(diǎn)，直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由AB=BC=BB]=2,D,"分別為A3,BG中點(diǎn),

則8(0,0,0),4(0,2,0),C(2,0,0),4(022),4(0,0,2),C"2,0,2),0(0,1,0),M(l,0,1),

得BQ=(2,0,2),4。=(0,-1,-2),AC=(2,-2,-2),

答案第8頁，共16頁

nA,D=-y,-2z=0

設(shè)平面ACD的法向量為”=(占,%，4),則'''},令z=-l,得

[n-AlC=2xl-2y1-2zl=0

因?yàn)?cl"=2—2=0,則BC］」“，即3cl〃平面AC。，而平面

所以BC"/平面ACD.

(2)由(1)得，CD=(—2,1,0),CCj=(0,0,2),設(shè)平面CQC的法向量為"=(%,%,z?)，

，令％=1，得加=(1,2,0),而平面&C。的法向量為九=,

m-CD=-2X2+y2=0

lm.nl5、/3(

設(shè)平面CXDC與平面4c。的夾角為凡則cos0=1cos<m,〃〉|二=廠,廠=當(dāng)

\m\\n\V5xV66

所以平面AC。與平面GDC夾角的余弦值為我.

6

(3)由⑴知平面4CZ)的法向量為〃=(1,2,-1),MD=(-1,1,-1),

\MD-n\2、格

則點(diǎn)M到平面\CD的距離h==*=號(hào)?

尤2V2

18.(1)—+^-=1

54

⑵-；或0

【分析】(1)由題意，可知6=2,由|A4|耳司，⑶同成等比數(shù)列，得到“=5c"結(jié)合

a2=b2+c2即可求出橢圓方程；

(2)斜率為零時(shí)，符合題意；斜率不為零時(shí)，設(shè)其直線方程為x=-1,與橢圓方程聯(lián)立，

結(jié)合韋達(dá)定理，得至+%%=丁27,分別求出直線CM,CN的方程，

進(jìn)而求出P,Q兩點(diǎn)，利用三角形面積公式結(jié)合SACMNUSACPO求出優(yōu)，進(jìn)而得到直線/的斜

率.

【詳解】⑴設(shè)橢圓左，右焦點(diǎn)分別為耳(-c,0),6(c,o),

由題意可知，6=2,①

答案第9頁，共16頁

因?yàn)镮aI,陽用，忸邳成等比數(shù)列，

所以恒用2=|AR閨同,即4c2=（a—c）（a+c）,

整理得，a2=5c2,②

又。2=/+。2,③

由①②③解得，a=A/5,b=2,c=l,

22

所以橢圓方程為L+工=1.

54

（2）

由（1）可知，E（-LO）,

由題意知，當(dāng)直線/的斜率為。，M,尸重合，N,。重合，SACMN=SACPQ，符合題意;

當(dāng)直線斜率不為零時(shí)，設(shè)其直線方程為了=%-1,Af（占,yj,N（w，%）

x=my-1

由腐+匚1可得,（4加之+5）9—8my-16=0,

5

A=64m2+64x（4加2+5）〉0,

8m-16

則X+%=

4m2+54m2+5

因?yàn)镃（0,2）,所以CM的直線為了=（%；2）尤+2,

令y=0,貝產(chǎn)=/^,即P：

2-.V1^4

同理可得。,0,

2%1（2-%）-2々（2__I2（機(jī)M-1）（2一%）一2（my2T）（2一％）

所以阿H言-急（2-％）（2-%）|（2-％）（2-%）

答案第10頁，共16頁

2（"0-1）（2-%）-2（沖2-1）（2-%）2（%-%）（2"-1）

（2--）（2-%）4-（%+%）+%%

二12（%一%）（2加T）||2（。一%）（2他-1）|（4療+5）

4_8-16|16m2-8/n+4|

4m2+54m2+5

2

_1|2（y「%）（2mT）|（4療+5）|2（-j2）（2m-l）|（4m+5）

CPeX22

所以-2|16m-8m+4||16m-8m+4|

222

\MN\=7（-?2-）+（）=J（機(jī)%-加%『+（%-%『=\y2-yl\y/m+i,

點(diǎn)C（0,2）到直線x=my-l的距離為d=號(hào)g,

Vm+1

1I

所以S。。

又因?yàn)镾ACMN=S^CPQ，

2

|2（yi-y2）（2m-l）|（4m+5）_[y271||-2^+1|

所以_+4]-2，

解得，〃7=-2或相=；,

當(dāng)機(jī)=；時(shí)，直線/的方程為尤=；y-l,此時(shí)直線過點(diǎn)"（0,2）,不符合題意，舍去;

當(dāng)〃z=—2時(shí)，直線/的方程為元=一2、-1,即x+2y+l=0,符合題意.

綜上，所以直線/的斜率為或0.

19.（1）??=2/7-1,d=2"

⑵S“=（2〃-3>2角+6

（3）存在7〃=5,理由見解析

【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的基本量表示已知條件，解方程組得到基本量，利用等差等

比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到答案；

（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可；

（3）假設(shè)存在滿足要求的整數(shù)加，取w=L2,3得到機(jī)的范圍，進(jìn)而求得加的值為5,然后

答案第11頁，共16頁

證明當(dāng)相=5時(shí)，對(duì)任意的weN*,都有14機(jī)北一卜＜2成立.為止匕先要根據(jù)4+4血=我，

利用等比數(shù)列的求和公式，求得q+47；M=2_（g],結(jié)合7^=7；+，；]dn+x,求得

,然后利用作差法證明即可.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛1』的公差為d,等比數(shù)列｛勿｝的公比為q,

2+d=bxq

則2+3d=如2,所以2d=t\q(q—i)

4d=bq2(q-l)'

3l

2+7d=blq

因?yàn)閝wl,。，所以鄉(xiāng)=2,

2+d=2b,

所以2+3d=44,解得d=4=2,

2+7d=84

所以%=1+2(〃—1)=2〃—1,bn=2-2〃T=2〃；

(2)由(1)得a/“=(2〃—l12”,

則S“=2+3x22+5x23++(2”—1卜2”①，

25?=22+3X23+5X24++(2〃-1>2m②，

由①一②得-S“=2+2x22+2x23++2x2"-(2〃-l>2"+i

2(l-2")

7,!+1n+1

=2-2-2-(2?-1)-2=(3-27i)-2-6,

所以S“=(2〃—3)2向+6；

(3)假設(shè)存在滿足要求的整數(shù)機(jī)，

令〃=1,貝力不一不<2,解得5Kmv9；

b2b2

令〃=2,貝！+5<2,解得?《加〈當(dāng)；

令〃=3,則1〈租4+勺+3-《<2,解得曾

仇2區(qū)a2323

所以542〈考133，

答案第12頁，共16頁

又已知mEZ,故若存在，則根=5,

下證：當(dāng)機(jī)=5時(shí)，對(duì)任意的〃EN*,都有1?根（一9<2成立,

+&+［；）4+

4+［；）4+

++（4+4）+（；）@+4）++［；［?〃+d〃+J，

即北+4看+i=4+（；）（4+4）+（：）@+&）++（：）（4+九）

田上+疑+疑+…+3I2"

=1+「

所以7；+7；M=57；+0d用=2-1￡|,

則5「=2-（；）"

又因“cN*,所以2—2［g1<2-2-^<2,

即對(duì)任意的neN*都有145方-冬<2成立，得證.

答案第13頁，共16頁

所以存在整數(shù)相=5,使得對(duì)任意的〃eN*都有"機(jī)(-*<2成立.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：

(1)對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

(2)對(duì)于｛〃/”｝結(jié)構(gòu)，其中｛外｝是等差數(shù)列，抄“｝是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；

(3)對(duì)于｛%+4｝結(jié)構(gòu),利用分組求和法；

(4)對(duì)于［二一［結(jié)構(gòu)，其中｛〃“｝是等差數(shù)列，公差為d(d大0),則工一=。(工-1一］,

aaa

［,.n+iJA+i八4an+i)

利用裂項(xiàng)相消法求和.

20.⑴ex—e+y=0

2

⑵⑴l<a<eG(ii)證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得；

(2)(i)根據(jù)/(x)存在三個(gè)零點(diǎn)%,馬,鼻，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)最值可求.

(ii)根據(jù)三個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間，把要證明的式子分解為三個(gè)部分，分別求解后可得.

【詳解】(1)當(dāng)a=e時(shí)〃x)=e，—e?,則〃1)=8-exF=0,

又尸(x)=e,-2ex,所以/'(1)=8-2e=—e,

所以曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y=-e(x—1),即ex-e+y=0.

(2)(i)因?yàn)?(%)=優(yōu)-6X2,。>1且存在三個(gè)零點(diǎn)占,馬,退，

所以4，-改2=0有3個(gè)根，

當(dāng)x<0時(shí)，/(-l)=a-1-e<0,/(0)=a°>0,(x)="Ina-2ex>0,

所以在(-8,0)上是單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理，方程必有一個(gè)負(fù)根，

當(dāng)尤>0,xlna=1+21nx,即Ina=11tt有兩個(gè)根,

X

人(、l+21nx-r4心八位1./\l+21nx+H人-1

令f(x)=------,可轉(zhuǎn)化為y=lna與［x)=-------有兩個(gè)父點(diǎn)，

XX

,(X_2-(l+21iu:)_1-21HX

?)=-一==^'

可得xe(0,6)時(shí)即《%)在(0,&)單調(diào)遞增，

答案第14頁，共16頁

其中f=0,當(dāng)五，，（尤）>0,《Hmax