利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)

利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性第五章

函數(shù)應(yīng)用方程解法時(shí)間圖·中國(guó)公元50年—100年一次方程、二次方程和三次方程根11世紀(jì)·北宋·賈憲三次方程正根數(shù)值解法13世紀(jì)·南宋秦九韶特殊的高次方程正根解法7世紀(jì)·隋唐·王孝通三次或三次以上方程方程解法時(shí)間圖·西方

一次方程、二次方程的一般解法1541年·意大利塔爾塔利亞三次方程一般解法1802～1829挪威·阿貝爾證明了五次以上一般方程沒(méi)有求根公式記載了費(fèi)拉里的四次方程一般解法9世紀(jì)·阿拉伯花拉子米1545年·意大利卡爾達(dá)諾解方程的歷史思考：下列方程有解嗎？問(wèn)題引入有求根公式無(wú)求根公式

新知探究利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性探究一：方程的解和相應(yīng)函數(shù)有什么關(guān)系？

與之間的關(guān)系沒(méi)有交點(diǎn)(1,0)x2-2x+3=0x2-2x+1=0(-1,0),(3,0)x2-2x-3=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解x1=x2=1x1=-1,x2=3y=x2-2x+3y=x2-2x+1y=x2-2x-3函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)的圖像一元二次方程方程的解二次函數(shù)完成下列表格，思考一元二次方程的實(shí)數(shù)解與相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)有什么關(guān)系?問(wèn)題：方程的實(shí)數(shù)解就是相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。結(jié)論：yxoxyoyxo零點(diǎn)

問(wèn)題一零點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)嗎？

問(wèn)題二

函數(shù)都有零點(diǎn)嗎？舉例說(shuō)明。

不是

形數(shù)三個(gè)等價(jià)關(guān)系例題1.求下列函數(shù)的零點(diǎn).(1)f(x)＝x2＋7x＋6；（1）解解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x1＝－1或x2＝－6，所以函數(shù)的零點(diǎn)是－1，－6.(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；（2）解解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函數(shù)的零點(diǎn)是－1.題型一求函數(shù)的零點(diǎn)

典例導(dǎo)悟的(2)(1)探究活動(dòng)：觀察下列兩組畫面,哪一組畫面的小馬一定過(guò)河了？

探究活動(dòng)探究：怎樣判斷一個(gè)函數(shù)是否存在零點(diǎn)呢？將河流抽象為x軸，將小馬前后的兩個(gè)位置抽象為函數(shù)y=f(x)圖象上兩點(diǎn)A和B。f(a)·f(b)<0abx

oyA（a,f(a))B（b,f(b))問(wèn)題1：A、B兩點(diǎn)與x軸滿足怎樣的關(guān)系時(shí)它們之間的函數(shù)圖象與x軸一定會(huì)有交點(diǎn)？此時(shí)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足什么條件呢？abx

oyA（a,f(a))B（b,f(b))(2)(1)若只給條件f(a)·

f(b)<0能否保證y=f(x)在(a,b)有零點(diǎn)，即函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)？abx

oyA（a,f(a))B（b,f(b))問(wèn)題2:要求：

函數(shù)圖象連續(xù)Oyxba例如：不能f(a)·

f(b)<0至少有一個(gè)零點(diǎn)利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程在某個(gè)區(qū)間上有解的方法：歸納總結(jié)

零點(diǎn)存在定理1.正確使用定理，需滿足什么條件？若不滿足會(huì)如何？

零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).對(duì)照函數(shù)零點(diǎn)存在定理,每位同學(xué)先獨(dú)立思考后再小組討論下列幾個(gè)問(wèn)題：討論：2.定理中的至少有一個(gè)零點(diǎn)是什么意思？3.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，則一定有f(a)·f(b)<0嗎？分析：有兩個(gè)條件缺一不可:(1)函數(shù)

y=f(x)在[a,b]上的圖象連續(xù);(2)f(a)f(b)﹤0。

定理解讀1.正確使用定理，需滿足什么條件？若不滿足會(huì)如何？

零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).“閉區(qū)間連續(xù)”“端點(diǎn)值異號(hào)”

Oyxba定理解讀abOyxba結(jié)論：“連續(xù)”“異號(hào)”若不同時(shí)滿足，則函數(shù)可能有零點(diǎn)也可能沒(méi)有零點(diǎn)，但若“連續(xù)”“異號(hào)”都成立，則一定有零點(diǎn)！1.正確使用定理，需滿足什么條件？若不滿足會(huì)如何？①函數(shù)

y=f(x)在[a,b]上的圖象連續(xù);②f(a)f(b)﹤0。

零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

分析：滿足定理只能判斷零點(diǎn)存在，并不能確定有幾個(gè)零點(diǎn)。定理解讀給定理再加一個(gè)什么條件就能保證函數(shù)有唯一零點(diǎn)？2.定理中的至少有一個(gè)零點(diǎn)是什么意思？1個(gè)5個(gè)

零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).xyOxyO定理解讀分析：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)，則不一定有f(a)f(b)﹤0成立.

3.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，則一定有f(a)·f(b)<0成立嗎？

若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線，則f(a)·f(b)<0是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件.

零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).概念辨析典例導(dǎo)悟題型二判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間解：

變式鞏固題型二判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間解：

A課堂練習(xí)

課堂練習(xí)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？又學(xué)到了哪些重要的數(shù)學(xué)思想？課堂小結(jié)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)三個(gè)等價(jià)關(guān)系三