第二十章-數(shù)據(jù)的分析小結(jié)與復(fù)習(xí)

英格教育文化有限公司全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源學(xué)習(xí)方法報(bào)社第10頁共13頁第二十章數(shù)據(jù)的分析小結(jié)與復(fù)習(xí)知識梳理1.平均數(shù)定義：一般地，對于n個數(shù)x1，x2，…，xn，我們把＝(x1+x2+…+xn)叫做這n個數(shù)的______，簡稱平均數(shù).加權(quán)平均數(shù)：一般地，如果在n個數(shù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk出現(xiàn)fk次（這時(shí)f1+f2+…+fk＝______），那么這n個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)為＝.由此，平均數(shù)的計(jì)算方法有：（1）定義法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)比較______時(shí)，一般選用定義公式.（2）加權(quán)平均數(shù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)______時(shí)，一般選用加權(quán)平均數(shù)公式.（3）新數(shù)據(jù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)______時(shí)，一般選用簡化公式：＝+a.其中，常數(shù)a通常取______的較“整”的數(shù)，x1′＝x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a.那么＝(x1′+x2′+…+xn′)是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)（通常把x1，x2，…，xn叫做______，x1′，x2′，…，xn′叫做______）.2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按______的順序排列，把處在______位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間______數(shù)據(jù)的______）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)______的數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).4.極差：一組數(shù)據(jù)中的______與______的差，稱做這組數(shù)據(jù)的極差.5.方差：有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，各數(shù)據(jù)與它們的______的差的______的平均數(shù)稱為這n個數(shù)據(jù)的方差.若方差用s2表示，平均數(shù)用表示，那么s2＝______.6.標(biāo)準(zhǔn)差：方差的______叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)1算術(shù)平均數(shù)例1（2011年浙江溫州）某校藝術(shù)節(jié)演出中，5位評委給某個節(jié)目打分如下：9分，9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，則該節(jié)目的平均得分是分．解析：把5位評委的打分加起來然后除以5即可得到該節(jié)目的平均得分．由題意得，==9，所以該節(jié)目的平均得分是9分．點(diǎn)評：本題考查的是算術(shù)平均數(shù)的求法，熟記公式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2加權(quán)平均數(shù)例2（2011年福建龍巖）數(shù)名射擊運(yùn)動員第一輪比賽成績?nèi)缦卤硭荆涵h(huán)數(shù)78910人數(shù)4231則他們本輪比賽的平均成績是（）A．7.8環(huán)B．7.9環(huán)C.8.l環(huán)D．8.2環(huán)解析：考查加權(quán)平均數(shù)的算法.只要清楚平均成績=總環(huán)數(shù)÷總?cè)藬?shù)，就可以解決.因?yàn)椋?×4+8×2+9×3+10×1）=8.l（環(huán)）.故選C.點(diǎn)評：當(dāng)所給數(shù)據(jù)重復(fù)數(shù)據(jù)較多時(shí)，應(yīng)選擇加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).各個數(shù)據(jù)權(quán)的不同，體現(xiàn)了各個數(shù)據(jù)在這組數(shù)據(jù)中的重要程度不同.考點(diǎn)3中位數(shù)例3（2011年山東菏澤）在一次信息技術(shù)考試中，某興趣小組8名同學(xué)的成績(單位：分)分別是7，10，9，8，7，9，9，8，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．解析：先把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．按從小到大排列后為7，7，8，8，9，9，9，10．故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是×（8+9）=8.5．點(diǎn)評：找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序，然后再根據(jù)數(shù)據(jù)是奇數(shù)或偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則最中間的一個數(shù)即為所求；如果是偶數(shù)個，則中位數(shù)為最中間兩個數(shù)的平均數(shù)．考點(diǎn)4眾數(shù)例4（2011年貴州貴陽）某市甲、乙、丙、丁四支中學(xué)生足球隊(duì)在市級聯(lián)賽中進(jìn)球數(shù)分別為7，7，6，5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是()A.5B.6C.7D.6.5解析：找出這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為所求.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是7，故選C．點(diǎn)評：本題主要考查眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù).要注意眾數(shù)可以不止一個．考點(diǎn)5有關(guān)數(shù)據(jù)的代表的綜合考查例5（2011年湖南邵陽）某教師為了對學(xué)生零花錢的使用進(jìn)行教育指導(dǎo)，對全班50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零花錢數(shù)額進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下統(tǒng)計(jì)表：請根據(jù)圖表中的信息回答以下問題．(1)求a的值；(2)求這50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零花錢數(shù)額的眾數(shù)和平均數(shù)．解：(1)因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為50人，所以a=50-15-20-5=10（人）.(2)本周內(nèi)有20人的零花錢是15元，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)是15元；平均數(shù)為=12(元)．點(diǎn)評：解此類題目往往要先對已知條件和表格進(jìn)行分析，然后用所學(xué)的知識解決.考點(diǎn)6用樣本估算總體例6(2011年天津)在我市開展的“好書伴我成長”讀書活動中，某中學(xué)為了解八年級300名學(xué)生讀書情況，隨機(jī)調(diào)查了八年級50名學(xué)生讀書的冊數(shù)．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：冊數(shù)01234人數(shù)31316171（1）求這50個樣本數(shù)據(jù)的平均救，眾數(shù)和中位數(shù)；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該校八年級300名學(xué)生在本次活動中讀書多于2冊的人數(shù).解：（1）觀察表格，可知這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是；在這組樣本數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)了17次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3；將這組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個數(shù)都是2，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2．（2）在50名學(xué)生中，讀書多于2本的學(xué)生有18名，所以可以估計(jì)該校八年級300名學(xué)生在本次活動中讀書多于2冊的約有（名）.點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)有：用樣本估計(jì)總體、平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是牢記概念及公式．考點(diǎn)7極差例7（2011年福建泉州）一組數(shù)據(jù)：－3，5，9，12，6的極差是 .解析：根據(jù)極差的定義最大值與最小值的差來計(jì)算即可.這組數(shù)據(jù)的極差為12-(-3)=15.點(diǎn)評：根據(jù)極差的定義進(jìn)行計(jì)算即可.考點(diǎn)8方差例8（2011年江蘇宿遷）省射擊隊(duì)為從甲、乙兩名運(yùn)動員中選拔一人參加全國比賽，對他們進(jìn)行了六次測試，測試成績（單位：環(huán)）如下表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲10898109乙107101098（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出甲的平均成績是環(huán)，乙的平均成績是環(huán)；（2）分別計(jì)算甲、乙六次測試成績的方差；（3）根據(jù)（1）、（2）計(jì)算的結(jié)果，你認(rèn)為推薦誰參加全國比賽更合適，請說明理由．解：（1）甲的平均成績?yōu)椋?0+8+9+8+10+9）=9（環(huán)），乙的平均成績?yōu)椋?0+7+10+10+9+8）=9（環(huán)）.（2）s2甲＝＝（環(huán)2），s2乙＝＝（環(huán)2）．（3）推薦甲參加全國比賽更合適.理由：兩人的平均成績相等，說明實(shí)力相當(dāng)；但甲的六次測試成績的方差比乙小，說明甲發(fā)揮較為穩(wěn)定，故推薦甲參加比賽更合適．點(diǎn)評：本題考查了平均數(shù)與方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．誤區(qū)點(diǎn)撥一、混淆算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)例1甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行射擊練習(xí)，兩人在相同條件下各射靶5次.射擊成績統(tǒng)計(jì)如下：命中環(huán)數(shù)78910甲命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù)2201乙命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù)1211從射擊成績的平均數(shù)評價(jià)甲、乙兩人的射擊水平，則（）A.甲比乙高B.甲、乙一樣C.乙比甲高D.不能確定錯解：甲同學(xué)的射擊成績平均數(shù)為==8.5（環(huán)），乙同學(xué)的射擊成績平均數(shù)為==8.5（環(huán)）.故選B.剖析：錯解中將加權(quán)平均數(shù)誤算成算術(shù)平均數(shù).應(yīng)當(dāng)將兩同學(xué)命中環(huán)數(shù)的次數(shù)作為“權(quán)”，利用加權(quán)平均數(shù)求平均成績.正解：甲同學(xué)射擊成績的平均數(shù)為==8（環(huán)），乙同學(xué)射擊成績的平均數(shù)為==8.4（環(huán)）.故選C.二、誤將一個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)當(dāng)做眾數(shù)例2某校開展為地震災(zāi)區(qū)捐款活動，八年級（2）班第1組8名學(xué)生捐款（單位：元）如下：100，50，20，30，20，10，15，20，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_______.錯解：在這組數(shù)據(jù)中，因?yàn)?0出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3.剖析：錯解錯在把數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)當(dāng)成了眾數(shù)，而眾數(shù)實(shí)際上是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).正解：在這組數(shù)據(jù)中，因?yàn)?0出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是20.三、忽視眾數(shù)的不唯一性例3在一次數(shù)學(xué)競賽中，10名學(xué)生的成績（單位：分）如下：75，80，70，80，85，70，95，60，70，80，則這次競賽成績的眾數(shù)是多少？錯解：因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)中80出現(xiàn)了3次，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是80.剖析：根據(jù)眾數(shù)的意義可知，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).而在這組數(shù)據(jù)中70也出現(xiàn)了3次，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有兩個.正解：這次競賽成績的眾數(shù)是70分和80分.四、求中位數(shù)時(shí)沒有按順序排列例4五名同學(xué)在“愛心捐助”活動中，捐款數(shù)額（單位：元）為10，25，50，35，40，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_______元.錯解：這組數(shù)據(jù)共5個，處于中間的數(shù)據(jù)是50，所以中位數(shù)是50.剖析：求中位數(shù)的前提條件是：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到小）的順序排列，再求中位數(shù).錯解沒有將數(shù)據(jù)按從順序排列.正解：將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為10，25，35，40，50.因此，最中間的數(shù)為35，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為35.五、求極差時(shí)漏解例5已知一組數(shù)據(jù)0，-1，x，1，2的極差是4，求x的值.錯解：由題意得2-x=4，解得x=-2.剖析：錯解錯在受思維定勢的影響，考慮問題不周密，事實(shí)上，這組數(shù)據(jù)中的x有兩種取值情況，既有可能是這組數(shù)據(jù)中的最大值，也有可能是最小值，故應(yīng)分類討論.正解：當(dāng)x為最大值時(shí)，有x-（-1）=4，解得x=3；當(dāng)x為最小值時(shí)，有2-x=4，解得x=-2.故x=3或x=-2.六、題意理解不透徹例6甲、乙兩工人生產(chǎn)直徑為40mm的同一種零件，現(xiàn)各抽取兩人加工的5個零件，量得尺寸（單位：mm）如下：甲：42，41，40，39，38；乙：40.5，30.1，40，39.9，39.5.請問：哪位工人的零件質(zhì)量較好？錯解：甲、乙兩人生產(chǎn)零件尺寸的平均數(shù)分別為=×（42+41+40+39+38）=40（mm），=×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40（mm）.所以兩工人生產(chǎn)的零件質(zhì)量一樣好.剖析：錯在沒有真正理解題目的意思.本題考查的是波動大小問題，應(yīng)該用方差來衡量，而平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的平均水平.正解：=×（42+41+40+39+38）=40（mm），=×[（42-40）2+（41-40）2+···+（38-40）2]=2（mm2）.=×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40（mm）.=×[（40.5-40）2+（40.1-40）2+···+（39.5-40）2]=0.104（mm2）.因?yàn)榧?、乙的平均?shù)相同，且乙的方差比甲小，所以工人乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量較好.七、方差概念認(rèn)識不清例7一組數(shù)據(jù)的方差為s2，將這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘以2，所得新數(shù)據(jù)的方差是（）A.2s2B.s2C.4s2D.s2錯解：選A.剖析：錯解顯然是對方差的概念認(rèn)識不清，方差是一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，而錯解錯誤地認(rèn)為只要把原數(shù)據(jù)的方差乘以2就可以得到新數(shù)據(jù)的方差.正解：設(shè)原數(shù)據(jù)為x1，x2，x3，…，xn，其平均數(shù)和方差分別為和s2，則新數(shù)據(jù)為2x1，2x2，2x3，…，2xn，其平均數(shù)為2，根據(jù)方差的意義可知=[（2x1-2）2+（2x2-2）2+…+（2xn-2）2]=4×[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=4s2.故選C.新題展示例1閱讀并解答：甲、乙兩同學(xué)是鄰居，在某個季度里他們相約到一家商店去買若干次白糖，兩個人買糖方式不同，甲每次總是買1千克的糖，乙每次總是買一元錢白糖，而白糖的價(jià)格是變動的.若兩人買2次白糖，試問這兩位同學(xué)買白糖的方式誰比較合算？小明是這樣解答的：設(shè)兩次買白糖的價(jià)格分別是x1，x2，則甲的平均單價(jià)是，乙也是，所以兩人買白糖的方式一樣合算.親愛的同學(xué)，你認(rèn)為小明的解答正確嗎？請說明理由．解：小明的解答不正確.設(shè)兩次買白糖的價(jià)格分別是x1，x2，則甲的平均每千克白糖單價(jià)為a=，乙的平均每千克白糖單價(jià)為b==.∵x1≠x2，∴a-b=-=>0，即a>b.∴乙買白糖的方式比較合算.例2規(guī)律與探究：（1）觀察下列各組數(shù)據(jù)并填空：A.1，2，3，4，5，則=_______，s2A=_______；B.11，12，13，14，15，則=_______，s2B=_______；C.10，20，30，40，50，則=_______，s2C=_______；D.3，5，7，9，11，則=_______，s2D=_______．（2）分別比較A與B，C，D的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（3）若已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，方差為5，那么3x1+4，3x2+4，3x3+4，…，3xn+4的平均數(shù)為_______，方差為_______．解：（1）由平均數(shù)的公式可知=3，s2A=2；=13，s2B=2；=30，s2C=200；=7，s2D=8．（2）比較A和B，C，D的關(guān)系，再比較它們的平均數(shù)，可以得到=+10，s2B=s2A；=10，s2C=100s2A；=2+1，s2D=4s2A.由此可以猜想：若已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，那么①x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a的平均數(shù)為+a，方差為s2；②mx1，mx2，mx3，…，mxn的平均數(shù)為，方差為m2s2；③mx1+a，mx2+a，mx3+a，…，mxn+a的平均數(shù)為，方差為m2s2．（3）由上可知，平均數(shù)是19，方差為45．點(diǎn)評：本題特別說明：當(dāng)數(shù)據(jù)都加上（或減去）一個數(shù)時(shí)，數(shù)據(jù)的波動情況不變；一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都變?yōu)樵瓟?shù)的n倍，它的方差變?yōu)樵瓟?shù)據(jù)的n2倍．跟蹤訓(xùn)練1.8名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測試中的成績?yōu)?0，82，79，69，74，78，，81，這組成績的平均數(shù)是77，則x的值為（）A．76 B．75 C．74 D．732.2012年3月份，某市市區(qū)一周空氣質(zhì)量報(bào)告中某項(xiàng)污染指數(shù)的數(shù)據(jù)是31，35，31，34，30，32，31，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）A.32，31B.31，32C.31，31D.32，353.某校四個科技興趣小組在“科技活動周”上交的作品數(shù)分別為10，10，x，8，已知這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.8B.9C.10D.124.（2011年河南）在某次體育測試中，九年級（三）班6位同學(xué)的立定跳遠(yuǎn)成績（單位：m）分別為1.71，1.85，1.85，1.96，2.10，2.31，則這組數(shù)據(jù)的極差是（）A．0.21B．0.46C．0.60D．2.315.數(shù)據(jù)2，3，2，3，5的方差是.6.（2011年廣東省茂名)若一組數(shù)據(jù)1，1，2，3，x的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______.7.一組數(shù)據(jù)：-2，-1，0，x，1的平均數(shù)是0，則x=，方差s2=.8．閱讀下列材料：為了在甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加數(shù)學(xué)競賽，在相同條件下，對他們進(jìn)行了10次測驗(yàn)，成績（單位：分）如下：甲成績76849086818786828583乙成績82848589798091897479回答下列問題：（1）甲學(xué)生成績的眾數(shù)是_______分，乙學(xué)生成績的中位數(shù)是_______分．（2）若甲學(xué)生成績的平均數(shù)是甲，乙學(xué)生成績的平均數(shù)是乙，則甲與乙的大小關(guān)系是________．（3）經(jīng)計(jì)算知：s2甲=13.2，s2乙=26.36，這表明__________.（用簡明的文字語言表述）（4）若測驗(yàn)分?jǐn)?shù)在85分（含85分）以上為優(yōu)秀，則甲的優(yōu)秀率為________，乙的優(yōu)秀率為________．9．為了解某班學(xué)生每周做家務(wù)勞動的時(shí)間，某綜合實(shí)踐活動小組對該班50名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：每周做家務(wù)的時(shí)間（小時(shí)）011.522.533.54人數(shù)（人）2268121343根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，回答下列問題：（1）該班學(xué)生每周做家務(wù)勞動的平均時(shí)間應(yīng)是多少小時(shí)？（2）這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是多少？（3）請你根據(jù)（1）、（2）的結(jié)果，用一句話談?wù)勛约旱母惺埽?0.經(jīng)市場調(diào)查，某種優(yōu)質(zhì)西瓜質(zhì)量為（5±0.25）kg的最為暢銷.為了控制西瓜的質(zhì)量，農(nóng)科所采用A、B兩種種植技術(shù)進(jìn)行試驗(yàn).現(xiàn)從這兩種技術(shù)種植的西瓜中各隨機(jī)抽取20顆，記錄它們的質(zhì)量（單位：kg）如下：A：4.14.85.44.9