備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)第一輪題型歸納與解題 考點24 解三角形12種常見考法歸類（原卷版+解析）

考點24解三角形12種常見考法歸類考點一利用正弦、余弦定理解三角形（一）求邊或角（二）判斷三角形解的個數(shù)考點二正弦定理的應(yīng)用考點三余弦定理的應(yīng)用考點四判斷三角形的形狀考點五正余弦定理的綜合應(yīng)用考點六與角度、邊長有關(guān)的最值問題考點七三角形面積的計算及應(yīng)用（一）求三角形的面積（二）已知三角形面積求邊、角（三）三角形面積的最值問題考點八三角形周長的計算及應(yīng)用（一）求三角形的周長（二）三角形周長的最值問題考點九解三角形的實際應(yīng)用（一）測量距離問題（二）測量高度問題（三）測量角度問題（四）其他實際問題考點十正、余弦定理解決幾何問題考點十一解三角形與三角函數(shù)的綜合問題考點十二解三角形與平面向量的綜合問題1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，則正弦定理余弦定理文字語言在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)三角形的邊長之比等于對應(yīng)角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.(5)大邊對大角大角對大邊(6)合分比：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).，，2.三角形內(nèi)角和及三角形常見重要關(guān)系(1)內(nèi)角和定理：，進(jìn)而有eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A,2)等式子(2)三角函數(shù)關(guān)系：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；等差關(guān)系：若三角形三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2π,3)；若三角形三邊a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c?2sinB＝sinA＋sinC.(4)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．(5)角平分線定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例.即若AD為∠A的角平分線，則有比例關(guān)系：eq\f(BD,CD)＝eq\f(AB,AC).3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R，r.）(4)S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，即海倫公式，其中p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)為△ABC的半周長.(5)其中4．正弦定理、余弦定理的作用正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系．（1）已知兩角及任意一邊解三角形①正弦定理實際上是三個等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個.②因為三角形的內(nèi)角和為180°，所以已知兩角一定可以求出第三個角.（2）已知兩邊及其中一邊的對角解三角形①用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值；②用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角；③根據(jù)正弦定理求出第三條邊.其中進(jìn)行①時要注意討論該角是否可能有兩個值.（3）解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個數(shù)一解兩解一解一解無解（4）利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題(1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知兩邊和一邊的對角，可以用余弦定理解三角形．（5）利用正、余弦定理解三角形的注意點正余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，應(yīng)抓住兩個定理的特點：正弦定理“邊對角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關(guān)鍵．（6）當(dāng)條件中出現(xiàn)了余弦定理的局部或變形如a2＋b2，a＋b，ab，cosA等，可以考慮使用余弦定理或變形形式對條件進(jìn)行化簡變形.5．判斷三角形形狀的2種途徑判斷三角形的形狀，就是根據(jù)題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.(1)利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：①化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑)；eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)；②化角為邊，走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R為△ABC外接圓的半徑)；eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)，eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c).(2)利用余弦定理判斷三角形形狀的方法①利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩條思考路線先化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.先化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換(因式分解、配方等)，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系,統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解．②判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結(jié)論△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.若sin2A＝sin2B，則A＝B或A＋B＝.6．求三角形面積的方法(1)若已知三角形的一個角(角的大小或該角的正、余弦值)及該角的兩邊長度，代入公式求面積；(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，或直接代入海倫公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．7．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．8．解三角形中的最值或范圍問題的解決方法：解三角形中的最值或范圍問題主要有兩種解決方法：一是將問題表示為邊的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將問題用三角形某一個角的三角函數(shù)表示，利用三角函數(shù)的有界性，單調(diào)性再結(jié)合角的范圍確定最值或范圍．9.正弦定理之齊次式結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點：每一項中都有邊或sin角且次數(shù)一致，即可實現(xiàn)邊和對應(yīng)sin角的互化結(jié)構(gòu)示例：（1）整式齊次式：①邊的齊次式②sin角的齊次式（2）分式齊次式：注：在等式(不等式)或分式中出現(xiàn)邊或內(nèi)角的正弦同次，利用正弦定理可以實現(xiàn)邊、內(nèi)角的正弦轉(zhuǎn)化。如果在等式(不等式)或分式中出現(xiàn)邊或內(nèi)角的正弦同次且為一次(求角)時，一般情況要化為角的正弦，如出現(xiàn)二次，一般情況要化為邊，再利用余弦定理。10.拆角合角技巧1、化簡后的式子同時含有三個角時，解題思路是減少角的個數(shù)，方法主要有以下兩種①合角如：②拆角——拆單角（“單身狗角”）如：注：（1），，（2），（3）中①②（舍去）①②，則或11.余弦定理之不等式結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點：已知三角形一角及其對邊，求面積或周長的最值核心示例：已知△ABC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范圍（最值）求周長的最大值求周長的最大值求面積的最大值求面積的最大值12.解三角形中的常用術(shù)語(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①).(2)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②).(3)方向角：相對于某一正方向的水平角.北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③).北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向.南偏西等其他方向角類似.(4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角).坡度指坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度，i＝tanθ).坡度又稱為坡比.13.測量距離問題的求解策略(1)確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另外三角形中求解；(2)確定選用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．14.測量物體高度的求解策略高度也是兩點之間的距離，其解法同測量水平面上兩點間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解的高度(某線段的長度)納入到一個三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識求出該高度．(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．15.測量角度問題的求解策略測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．解決角度問題的注意事項(1)測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點．提醒：方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．16.與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計算問題，關(guān)鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系．具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果．[注意]做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題．17.解三角形與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟18.利用解三角形知識解決實際問題利用解三角形知識解決實際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進(jìn)行求解．考點一利用正弦、余弦定理解三角形（一）求邊或角1．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中）的三個內(nèi)角所對邊的長分別為，若，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省揚中高級中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，分別是內(nèi)角所對的邊，若，則邊（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·河南·許昌實驗中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．4．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┰谥?，角A，B，C所對的邊分別是，a，b，c，，，，則（

）A． B． C． D．5．（2023春·廣東東莞·高三東莞實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則角C＝（）A． B． C． D．6．（2023春·天津和平·高三?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，則BD等于（）A．1 B．2 C．3 D．（二）判斷三角形解的個數(shù)7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．8．（2023·廣西柳州·高三柳州高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的邊分別為，知，，則下列判斷中錯誤的是（

）A．若，則 B．若該三角形有兩解C．周長的最小值為12 D．面積的最大值9．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．考點二正弦定理的應(yīng)用11．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且，則（

）A． B． C． D．12．（2023·四川·高三統(tǒng)考對口高考）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，則（

）A． B． C． D．13．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在中，角，，的對邊分別為，，．若，則角的大小為（

）A． B． C． D．14．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（）A． B． C． D．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，，，若在上的投影長等于的外接圓半徑，則（

）A．4 B．2 C．1 D．16．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）三棱錐中，平面，直線與平面所成角的大小為，，，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．考點三余弦定理的應(yīng)用17．（2023春·北京·高三匯文中學(xué)?？计谥校┰谥?，角A，，的對邊分別為，，，且，則角的大小是（

）A． B． C． D．18．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）是單位圓的內(nèi)接三角形，角，，的對邊分別為，，，且，則等于（

）A．2 B． C． D．119．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，，的面積為，則等于（

）A．4 B． C． D．20．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）在中，滿足，且，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．621．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，，則（

）A． B．4 C． D．22．（2023春·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，為銳角，，且對于，的最小值為，則（

）A． B． C． D．考點四判斷三角形的形狀23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形26．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在中內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形28．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形考點五正余弦定理的綜合應(yīng)用29．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）在中，若，則（

）A． B． C． D．30．（2023秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）在中，角的對邊分別為，且．角A等于（

）A． B． C． D．31．（2023秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則C等于（

）A． B． C． D．32．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，且，，則（

）A．1 B． C．1或 D．33．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，已知，，則（

）A． B． C． D．34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，若，為的角平分線，且，，則的值為（

）A． B． C． D．考點六與角度、邊長有關(guān)的最值問題35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在銳角三角形中，角所對的邊分別為，，，若.則角A的取值范圍是（

）A． B． C． D．36．（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測）若的內(nèi)角A，B，C滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.39．（2023春·湖南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在銳角△ABC中，，，則BC的取值范圍是（

）A． B．C． D．40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，則的最小值（

）A．-4 B． C．2 D．41．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．42．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，，，.(1)求A；(2)若，求的取值范圍.43．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）在銳角△中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．44．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？级＃┰谥?，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．3645．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別a，b，c，若，，則，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點七三角形面積的計算及應(yīng)用（一）求三角形的面積46．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（

）A． B． C．12 D．1647．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）在中，已知，，，則的面積為（

）A． B． C． D．48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，分別是角的對邊，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．（二）已知三角形面積求邊、角49．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，，且的面積為，若，則（

）A． B．5 C． D．50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（

）A．4 B． C．8 D．51．（2023·四川成都·川大附中校考二模）如圖，在平面四邊形中，，，，，三角形的面積為，則（

）A．2 B．4 C． D．52．（2023·青海·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若成等差數(shù)列，且的面積為，則（

）A． B．2 C． D．（三）三角形面積的最值問題54．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）在中，角A，B，C所對邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．55．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．56．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角的對邊分別為a，b，c，滿足.若為銳角三角形，且a=3，則面積最大為（

）A． B． C． D．57．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）在中，角A，B，C所對邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．58．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）在中，若，則面積的最大值為（

）A． B． C．1 D．59．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若外接圓的面積為，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．考點八三角形周長的計算及應(yīng)用（一）求三角形的周長60．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，的面積為，則的周長為（

）A． B． C． D．61．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長是（

）A．4 B．6 C．8 D．1862．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，其中(1)求的周長；(2)求cosA的最小值.（二）三角形周長的最值問題63．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的面積為，則△ABC周長的最小值為（

）A． B．6 C． D．64．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，已知，且的面積為，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．65．（2023·河南安陽·安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，若內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線交AC于點D，且，則周長的最小值為（

）A．7 B． C． D．4考點九解三角形的實際應(yīng)用（一）測量距離問題66．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C，D，測得，，，，則A、B兩點的距離為___________m．67．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？级＃┗鸺鞓蚣夹g(shù)是我國首創(chuàng)在陡峭山區(qū)建橋的一種方法.由兩枚火箭牽引兩條足夠長的繩索精準(zhǔn)的射入對岸的指定位置，是建造高空懸索橋的關(guān)鍵.位于湖北省的四渡河大橋就是首次用這種技術(shù)建造的懸索橋.工程師們需要測算火箭攜帶的引導(dǎo)索的長度（引導(dǎo)索比較重，如果過長影響火箭發(fā)射），已知工程師們在建橋處看對岸目標(biāo)點的正下方地面上一標(biāo)志物的高為，從點處看點A和點俯角為，．求一枚火箭應(yīng)至少攜帶引導(dǎo)索的長度（

）A． B．C． D．68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某輪船以V海里/小時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏東60度，輪船從A處向北航行30分鐘后到達(dá)B處，測得油井P在南偏東15度，且海里．輪船以相同的速度改為向東北方向再航行60分鐘后到達(dá)C點．(1)求輪船的速度V；(2)求P，C兩點的距離．69．（2023·安徽合肥·二模）如圖，某地需要經(jīng)過一座山兩側(cè)的D，E兩點修建一條穿山隧道．工程人員先選取直線DE上的三點A，B，C，設(shè)在隧道DE正上方的山頂P處測得A處的俯角為，B處的俯角為，C處的俯角為，且測得，試求擬修建的隧道DE的長．70．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，為了在兩座山之間的一條河流上面修建一座橋，勘測部門使用無人機(jī)測量得到如下數(shù)據(jù)：無人機(jī)P距離水平地面的高度為，A，B兩點的俯角分別為45°，60°．則A，B兩點間的距離為（

）A． B．C． D．71．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)學(xué)符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點之間的距離為______米.（二）測量高度問題72．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，被列為第四批全國重點文物保護(hù)單位，其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美.如圖，小明為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點（三點共線）處測得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t小明估算索菲亞教堂的高度約為(取)（

）A． B． C． D．73．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）喜來登月亮酒店是浙江省湖州市地標(biāo)性建筑，某學(xué)生為測量其高度，在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，米，在點處測得酒店頂端的仰角，則酒店的高度約是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．91米 B．101米 C．111米 D．121米74．（2023·全國·高三專題練習(xí)）滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世．如圖，小明同學(xué)為測量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們的地面上的點M（B，M，D三點共線）測得樓頂A，滕王閣頂部C的仰角分別為和，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為，則小明估算滕王閣的高度為（

）（精確到）A． B． C． D．75．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風(fēng)格的中國傳統(tǒng)建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛經(jīng)、僧人遺體等的高聳型點式建筑，稱“佛塔”．如圖，為測量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得，，米，在C點測得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．13米 B．24米 C．39米 D．45米76．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某中學(xué)某班級課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機(jī)在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高_(dá)________m．

（三）測量角度問題77．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為.貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東，則下列說法正確的是（

）A．處與處之間的距離是 B．燈塔與處之間的距離是C．燈塔在處的西偏南 D．在燈塔的北偏西78．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．A、D之間的距離為海里C．A、B兩處島嶼間的距離為海里D．B、D之間的距離為海里79．【多選】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了解三角形的知識后，為了鍛煉實踐能力，某同學(xué)搞了一次實地測量活動他位于河?xùn)|岸，在靠近河岸不遠(yuǎn)處有一小湖，他于點處測得河對岸點位于點的南偏西的方向上，由于受到地勢的限制，他又選了點，，，使點，，共線，點位于點的正西方向上，點位于點的正東方向上，測得，，，，并經(jīng)過計算得到如下數(shù)據(jù)，則其中正確的是（

）A． B．的面積為C． D．點在點的北偏西方向上80．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，足球門框的長為，設(shè)足球為一點，足球與，連線所成的角為.(1)若隊員射門訓(xùn)練時，射門角度，求足球所在弧線的方程；(2)已知點到直線的距離為，到直線的垂直平分線的距離為，若教練員要求隊員，當(dāng)足球運至距離點為處的一點時射門，問射門角度最大可為多少？（四）其他實際問題81．（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，（1）若甲、乙都以每分鐘100的速度從點出發(fā)在各自的大道上奔走，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后到達(dá)，甲到達(dá)，求此時甲、乙兩人之間的距離；（2）甲、乙、丙所在位置分別記為點.設(shè)，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且，請將甲、乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離.82．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的，位于該市的某大學(xué)與市中心的距離km，且.現(xiàn)要修筑一條鐵路，在上設(shè)一站，在上設(shè)一站，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)，其中，，km.

(1)求大學(xué)與站的距離；(2)求鐵路段的長.83．（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中校考開學(xué)考試）某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，、為直線岸線，米，米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.(1)求岸線上點與點之間的直線距離；(2)如果線段上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）84．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）由于2020年1月份國內(nèi)疫情爆發(fā)，餐飲業(yè)受到重大影響，目前各地的復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作在逐步推進(jìn)，居民生活也逐步恢復(fù)正常．李克強(qiáng)總理在考察山東煙臺一處老舊小區(qū)時提到，地攤經(jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，也是中國的商機(jī)．某商場經(jīng)營者王某準(zhǔn)備在商場門前“擺地攤”，經(jīng)營“冷飲與小吃”生意．已知該商場門前是一塊扇形區(qū)域，擬對這塊扇形空地進(jìn)行改造．如圖所示，平行四邊形區(qū)域為顧客的休息區(qū)域，陰影區(qū)域為“擺地攤”區(qū)域，點P在弧上，點M和點N分別在線段和線段上，且米，．記．(1)當(dāng)時，求；(2)請寫出顧客的休息區(qū)域的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時，取得最大值．考點十正、余弦定理解決幾何問題85．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，AB邊上的高為，則（

）A． B． C． D．86．（2023·全國·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖所示，在中，，點D在線段AB上，且滿足，，則等于（

）A． B． C． D．87．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，的角平分線交于點，，，，則（

）A． B． C． D．88．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四邊形ABCD中，，，則的最大值為（

）A．25 B． C． D．89．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某園區(qū)有一塊三角形空地（如圖），其中，，，現(xiàn)計劃在該空地上劃分三個區(qū)域種植不同的花卉，若要求，則的最小值為（

）A． B． C． D．90．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD．已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min．若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為________m．A．50 B．50 C．50 D．5091．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則邊上的中線長為（

）A．49 B．7 C． D．考點十一解三角形與三角函數(shù)的綜合問題92．（2023秋·河北保定·高三?？计谀┮阎瘮?shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，設(shè)角、、所對的邊分別是、、，若且，求的取值范圍.93．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)已知銳角的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若，求的最大值.94．（2023春·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.95．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．96．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．考點十二解三角形與平面向量的綜合問題97．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知是單位向量，向量滿足與成角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．98．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，.已知，，，則線段的長的最大值為（

）A． B． C． D．99．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點為銳角的外接圓上任意一點，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．00．（2023·四川綿陽·?？寄M預(yù)測）中是外接圓圓心，是的最大值為（

）A． B． C． D．

考點24解三角形12種常見考法歸類考點一利用正弦、余弦定理解三角形（一）求邊或角（二）判斷三角形解的個數(shù)考點二正弦定理的應(yīng)用考點三余弦定理的應(yīng)用考點四判斷三角形的形狀考點五正余弦定理的綜合應(yīng)用考點六與角度、邊長有關(guān)的最值問題考點七三角形面積的計算及應(yīng)用（一）求三角形的面積（二）已知三角形面積求邊、角（三）三角形面積的最值問題考點八三角形周長的計算及應(yīng)用（一）求三角形的周長（二）三角形周長的最值問題考點九解三角形的實際應(yīng)用（一）測量距離問題（二）測量高度問題（三）測量角度問題（四）其他實際問題考點十正、余弦定理解決幾何問題考點十一解三角形與三角函數(shù)的綜合問題考點十二解三角形與平面向量的綜合問題1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，則正弦定理余弦定理文字語言在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)三角形的邊長之比等于對應(yīng)角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.(5)大邊對大角大角對大邊(6)合分比：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).，，2.三角形內(nèi)角和及三角形常見重要關(guān)系(1)內(nèi)角和定理：，進(jìn)而有eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A,2)等式子(2)三角函數(shù)關(guān)系：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；等差關(guān)系：若三角形三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2π,3)；若三角形三邊a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c?2sinB＝sinA＋sinC.(4)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．(5)角平分線定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例.即若AD為∠A的角平分線，則有比例關(guān)系：eq\f(BD,CD)＝eq\f(AB,AC).3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R，r.）(4)S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，即海倫公式，其中p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)為△ABC的半周長.(5)其中4．正弦定理、余弦定理的作用正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系．（1）已知兩角及任意一邊解三角形①正弦定理實際上是三個等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個.②因為三角形的內(nèi)角和為180°，所以已知兩角一定可以求出第三個角.（2）已知兩邊及其中一邊的對角解三角形①用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值；②用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角；③根據(jù)正弦定理求出第三條邊.其中進(jìn)行①時要注意討論該角是否可能有兩個值.（3）解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個數(shù)一解兩解一解一解無解（4）利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題(1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知兩邊和一邊的對角，可以用余弦定理解三角形．（5）利用正、余弦定理解三角形的注意點正余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，應(yīng)抓住兩個定理的特點：正弦定理“邊對角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關(guān)鍵．（6）當(dāng)條件中出現(xiàn)了余弦定理的局部或變形如a2＋b2，a＋b，ab，cosA等，可以考慮使用余弦定理或變形形式對條件進(jìn)行化簡變形.5．判斷三角形形狀的2種途徑判斷三角形的形狀，就是根據(jù)題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.(1)利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：①化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑)；eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)；②化角為邊，走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R為△ABC外接圓的半徑)；eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)，eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c).(2)利用余弦定理判斷三角形形狀的方法①利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩條思考路線先化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.先化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換(因式分解、配方等)，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系,統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解．②判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結(jié)論△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.若sin2A＝sin2B，則A＝B或A＋B＝.6．求三角形面積的方法(1)若已知三角形的一個角(角的大小或該角的正、余弦值)及該角的兩邊長度，代入公式求面積；(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，或直接代入海倫公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．7．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．8．解三角形中的最值或范圍問題的解決方法：解三角形中的最值或范圍問題主要有兩種解決方法：一是將問題表示為邊的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將問題用三角形某一個角的三角函數(shù)表示，利用三角函數(shù)的有界性，單調(diào)性再結(jié)合角的范圍確定最值或范圍．9.正弦定理之齊次式結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點：每一項中都有邊或sin角且次數(shù)一致，即可實現(xiàn)邊和對應(yīng)sin角的互化結(jié)構(gòu)示例：（1）整式齊次式：①邊的齊次式②sin角的齊次式（2）分式齊次式：注：在等式(不等式)或分式中出現(xiàn)邊或內(nèi)角的正弦同次，利用正弦定理可以實現(xiàn)邊、內(nèi)角的正弦轉(zhuǎn)化。如果在等式(不等式)或分式中出現(xiàn)邊或內(nèi)角的正弦同次且為一次(求角)時，一般情況要化為角的正弦，如出現(xiàn)二次，一般情況要化為邊，再利用余弦定理。10.拆角合角技巧1、化簡后的式子同時含有三個角時，解題思路是減少角的個數(shù)，方法主要有以下兩種①合角如：②拆角——拆單角（“單身狗角”）如：注：（1），，（2），（3）中①②（舍去）①②，則或11.余弦定理之不等式結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點：已知三角形一角及其對邊，求面積或周長的最值核心示例：已知△ABC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范圍（最值）求周長的最大值求周長的最大值求面積的最大值求面積的最大值12.解三角形中的常用術(shù)語(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①).(2)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②).(3)方向角：相對于某一正方向的水平角.北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③).北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向.南偏西等其他方向角類似.(4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角).坡度指坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度，i＝tanθ).坡度又稱為坡比.13.測量距離問題的求解策略(1)確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另外三角形中求解；(2)確定選用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．14.測量物體高度的求解策略高度也是兩點之間的距離，其解法同測量水平面上兩點間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解的高度(某線段的長度)納入到一個三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識求出該高度．(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．15.測量角度問題的求解策略測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．解決角度問題的注意事項(1)測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點．提醒：方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．16.與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計算問題，關(guān)鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系．具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果．[注意]做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題．17.解三角形與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟18.利用解三角形知識解決實際問題利用解三角形知識解決實際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進(jìn)行求解．考點一利用正弦、余弦定理解三角形（一）求邊或角1．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中）的三個內(nèi)角所對邊的長分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由以及余弦定理得,故選：D2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省揚中高級中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，分別是內(nèi)角所對的邊，若，則邊（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】先根據(jù)正弦定理算出，從而得到，繼續(xù)用正弦定理求.【詳解】依題意，由正弦定理：得,解得，故或，經(jīng)檢驗均符合題意.當(dāng)時，則，由正弦定理，得，解得；當(dāng)時，則，此時為等腰三角形滿足.綜上，或.故選：D3．（2023·河南·許昌實驗中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】由，得，所以．故選：C.4．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┰谥?，角A，B，C所對的邊分別是，a，b，c，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理可得，再結(jié)合倍角正弦公式即可求解.【詳解】由正弦定理得：.故選：C5．（2023春·廣東東莞·高三東莞實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則角C＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值．【詳解】由余弦定理可得，，．故選：．6．（2023春·天津和平·高三校考階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，則BD等于（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)及余弦定理可求解.【詳解】，，在中，由余弦定理可得，，，.故選：D.（二）判斷三角形解的個數(shù)7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.8．（2023·廣西柳州·高三柳州高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的邊分別為，知，，則下列判斷中錯誤的是（

）A．若，則 B．若該三角形有兩解C．周長的最小值為12 D．面積的最大值【答案】C【分析】對于ABC，根據(jù)正、余弦定理結(jié)合基本不等式即可解決；對于D，由面積公式及正弦定理得，根據(jù)基本不等式解決即可.【詳解】對于A，，，由正弦定理得，所以，故A正確；對于B，由正弦定理得得，所以，因為，則有兩個解，所以該三角形有兩解，故B正確；對于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時三角形周長最大為等邊三角形，周長為12，故C錯誤；對于D，由選項C知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故所以面積的最大值為，故D正確.故選：C.9．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦定理結(jié)合已知，可推得.進(jìn)而根據(jù)三角形解得個數(shù)推得，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，.要使有兩解，即有兩解，則應(yīng)有，且，所以，所以.故選：B．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理計算可得；【詳解】解：由正弦定理，即，所以，因為不唯一，即有兩解，所以且，即，所以，所以，即；故選：A考點二正弦定理的應(yīng)用11．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理化簡得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值.【詳解】因為，由正弦定理可得，、，則，所以，，所以，，故.故選：C.12．（2023·四川·高三統(tǒng)考對口高考）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再利用正弦定理求出，利用三角形內(nèi)角和可得答案.【詳解】因為，所以，因為，所以.因為，所以，所以或；因為，所以舍去，故，所以.故選：A.13．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在中，角，，的對邊分別為，，．若，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換得到，解得答案.【詳解】，即，即，，則，，則，故，，故，.故選：B14．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】運用正弦定理與和差公式求解.【詳解】因為，由正弦定理得：，，，即，，又，所以，即或，得或（舍），又，，，所以；故選：B.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，，，若在上的投影長等于的外接圓半徑，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由題知，，進(jìn)而得，即，再結(jié)合正弦定理求解即可.【詳解】∵是銳角三角形，在上的投影長等于的外接圓半徑，，又，，，，兩式相加得：，即，，即，又，，.故選：B.16．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）三棱錐中，平面，直線與平面所成角的大小為，，，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可求得，進(jìn)而得出.作圖設(shè)出球心以及外接圓的圓心為，則，且，根據(jù)正弦定理即可得出外接圓的圓心的半徑，進(jìn)而即可得出外接球的半徑，根據(jù)面積，即可得出答案.【詳解】由已知可得，即為直線與平面所成的角，所以.因為，所以，所以.如圖，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐的外接球的球心為，則，且.在中，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，所以，即.因為，所以，所以，三棱錐的外接球的半徑，所以，三棱錐的外接球的體積.故選：A.考點三余弦定理的應(yīng)用17．（2023春·北京·高三匯文中學(xué)?？计谥校┰谥校茿，，的對邊分別為，，，且，則角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用余弦定理計算即可.【詳解】，∵，∴.故選：C18．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）是單位圓的內(nèi)接三角形，角，，的對邊分別為，，，且，則等于（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦化簡給定等式，求出角A，再利用正弦定理求解作答.【詳解】在中，由已知及余弦定理得，即，由正弦定理邊化角得：，而，即，則，即有，又的外接圓半徑，所以.故選：C19．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，，的面積為，則等于（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】先利用面積公式求出，再利用余弦定理求出.【詳解】因為，，的面積為，所以,所以.由余弦定理得：.故選：D.20．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）在中，滿足，且，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡求出，再利用余弦定理即可求解AC.【詳解】解：，即，解得，由余弦定理可知，則，整理得，解得或（舍），故選：C.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，，則（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列等差中項的應(yīng)用可得、，利用余弦定理化簡計算即可求解.【詳解】由，得，由成等差數(shù)列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.則，，所以，故選：B.22．（2023春·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，為銳角，，且對于，的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合其最小值為，得到，再結(jié)合，得到，然后利用余弦定理即得.【詳解】因為，當(dāng)時，取最小值，則，所以，又為銳角，故，因為，所以，所以，得，所以．故選：D考點四判斷三角形的形狀23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】使用正弦定理和兩角和的正弦公式花間即可求解.【詳解】，所以由正弦定理可得所以，所以，所以，所以，在三角形中，所以，所以為鈍角，故選：C.24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】將化簡并結(jié)合余弦定理可得的值，再對結(jié)合正、余弦定理化簡可得邊長關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.【詳解】由，得，整理得，則，因為，所以，又由及正弦定理，得，化簡得，所以為等邊三角形，故選：B25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再根據(jù)正弦定理化角為邊，再結(jié)合已知求出，即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，因為，由正弦定理得，則，則，所以為有一個角為的直角三角形.故選：B.26．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在中內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理，余弦定理化角為邊，化簡已知等式可得，即可判斷的形狀．【詳解】由正弦定理，余弦定理及得，，即，則，即或為等腰三角形或直角三角形．故選：D.27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理或三角恒等變換，記得判斷的形狀.【詳解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理為，即，得，或,所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：D28．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)三角恒等變換得，再由余弦定理解決即可.【詳解】由題知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形狀為直角三角形，故選：A考點五正余弦定理的綜合應(yīng)用29．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等變換及余弦定理即可處理.【詳解】原式=化簡得：由正弦定理角化邊得：，由余弦定理得：故選：B.30．（2023秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）在中，角的對邊分別為，且．角A等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理角化邊化簡，可得，再根據(jù)余弦定理即可求得答案.【詳解】在中,,則,即，即，故，而,故，故選：B31．（2023秋·廣西欽州·高三校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則C等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理邊角關(guān)系有，結(jié)合已知、余弦定理求，即可確定角的大小.【詳解】由正弦定理邊角關(guān)系：化為，由余弦定理得：，而，故.故選：B32．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，且，，則（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】C【分析】利用可得到，然后分和兩種情況進(jìn)行討論即可求解【詳解】∵，∴，∴，①當(dāng)時，，為直角三角形．∵，，∴；②當(dāng)時，則有，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，綜上，或．故選：C．33．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理、余弦定理列方程來求得.【詳解】，，即，，，則故選：D34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，若，為的角平分線，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，然后由，結(jié)合三角形的面積公式可求得的值，進(jìn)而可求得的值，再利用余弦定可求得的值.【詳解】因為，由正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，因為，所以，，因為，由可得，即，解得，，由余弦定理可得，因此，.故選：B.考點六與角度、邊長有關(guān)的最值問題35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在銳角三角形中，角所對的邊分別為，，，若.則角A的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，在根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)分析運算.【詳解】∵，由正弦定理可得，則，在銳角三角形中，，則，∴，即，可得，解得.故選：C.36．（2023·河南·開封高中校考模擬預(yù)測）若的內(nèi)角A，B，C滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切化弦后，再由正余弦定理化為邊的關(guān)系，由余弦定理求出，再由均值不等式求最值即可.【詳解】，,，由正弦和余弦定理可得，，化簡得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，的最小值為，故選：C37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用正弦定理可得，進(jìn)而整理，并求的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)分析運算即可.【詳解】因為，由正弦定理可得，則，因為，，則，所以，即，則，因為，解得，所以，則，即的取值范圍是.故選：B.38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理,將角化邊,即可得到三邊關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成余弦定理形式求解.（2）用二倍角公式降冪，然后利用輔助角公式合并，根據(jù)角的范圍求解.【詳解】（1）及，，化簡得，，又，.（2）由（1）可得為銳角三角形，且，，.，，故的取值范圍為.39．（2023春·湖南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在銳角△ABC中，，，則BC的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理、兩角差的正弦公式和正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由正弦定理得，所以因為銳角△ABC中，，所以，所以，所以，所以，即．故選:B.40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，則的最小值（

）A．-4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用正弦定理將邊化角，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】在中，，所以，，所以，因為，所以，所以，，則的最小值為.故選：A41．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合已知求出邊b長的取值范圍，再借助平面向量用b表示出中線的長，求出函數(shù)值域作答.【詳解】令的內(nèi)角所對邊分別為，由正弦定理及得，即，銳角中，，即，同理，于是，解得，又線段為邊上的中線，則，又，于是，因此，當(dāng)時，，，所以中線的取值范圍是.故選：D42．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，，，.(1)求A；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換分析運算；（2）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再利用三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)分析運算.【詳解】（1）∵，即，由于，則，即，兩邊同乘以可得：，則，且，解得.（2）由題意及正弦定理，得，，則，由（1）可知，且為銳角三角形，則，解得，則，所以，故的取值范圍是.43．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）在銳角△中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，進(jìn)而有，再把化為并確定的范圍，應(yīng)用余弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】由，則，所以，則，所以或（舍），故，綜上，，且所以，，由銳角△，則，可得，則，所以，故.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：將條件由邊化角求角的關(guān)系，即，再把目標(biāo)式，由邊化角得求范圍.44．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？级＃┰谥?，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【分析】先利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理可求得，再利用等面積法結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因為，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為.故選：A.45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別a，b，c，若，，則，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得，進(jìn)而可得，根據(jù)向量的模長公式，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由題意知，由正弦定理知，，又，，故在中,．，，又由余弦定理可得：，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，的最大值為．又，故的取值范圍是，考點七三角形面積的計算及應(yīng)用（一）求三角形的面積46．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（

）A． B． C．12 D．16【答案】B【分析】由正弦定理及兩角和的正弦公式得，再利用余弦定理得，從而求出的面積.【詳解】由正弦定理及，得，所以，所以，即，所以.由正弦定理得.因為，所以，又，所以由余弦定理得，解得，所以的面積為.故選：B.47．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）在中，已知，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式和正弦定理，由可得，再在和中分別利用余弦定理列式，結(jié)合長度關(guān)系解得和，代入面積公式即可求解.【詳解】由可得，因為，所以，又因為，所以在中由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即①，在中，由余弦定理可得，即②，①②聯(lián)立解得，，所以，，所以，故選：D48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，分別是角的對邊，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用