函數(shù)的連續(xù)性

《數(shù)學(xué)分析》教案函數(shù)的連續(xù)性（10學(xué)時(shí)）引言在數(shù)學(xué)分析中，要研究種種不同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)，就是連續(xù)函數(shù)。從今天開(kāi)始，我們就來(lái)看看這類函數(shù)的特點(diǎn)。主要講以下幾個(gè)問(wèn)題：什么是“函數(shù)的連續(xù)性”？“間斷”或“不連續(xù)”有哪些情形？連續(xù)函數(shù)有哪些性質(zhì)？初等函數(shù)的連續(xù)性有何特點(diǎn)？§１連續(xù)性概念教學(xué)目的：使學(xué)生深刻掌握函數(shù)連續(xù)性的概念和連續(xù)函數(shù)的概念。教學(xué)要求：（１）使學(xué)生深刻理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)包括單側(cè)連續(xù)的定義，并能熟練寫(xiě)出函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的各種等價(jià)敘述；（２）應(yīng)使學(xué)生從分析導(dǎo)致函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)的所有可能的因素出發(fā)，理解函數(shù)在一點(diǎn)間斷以及函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，從反面加深對(duì)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)這一概念的理解力并能熟練準(zhǔn)確地識(shí)別不同類型的間斷點(diǎn)；（３）明確函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)是以函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念為基礎(chǔ)的，使學(xué)生清楚區(qū)分“連續(xù)函數(shù)”與“函數(shù)連續(xù)”所表述的不同內(nèi)涵。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)性概念。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)性概念。學(xué)時(shí)安排:2學(xué)時(shí)教學(xué)程序：引言“連續(xù)”與“間斷”（不連續(xù)）照字面上來(lái)講，是不難理解的。例如下圖１中的函數(shù)，我們說(shuō)它是連續(xù)的，而圖２中的函數(shù)在處是間斷的。由此可見(jiàn)，所謂“連續(xù)函數(shù)”，從幾何上表現(xiàn)為它的圖象是坐標(biāo)平面上一條連綿不斷的曲線。而所謂“不連續(xù)函數(shù)”從幾何上表現(xiàn)為它的圖象在某些點(diǎn)處“斷開(kāi)”了。當(dāng)然，我們不能滿足于這種直觀的認(rèn)識(shí)，因?yàn)閱螐膱D形上看是不行的，圖形只能幫助我們更形象地理解概念，而不能揭示概念的本質(zhì)屬性。例如，可以舉出這樣的例子，它在每點(diǎn)都連續(xù)但卻無(wú)法用圖形表示出來(lái)（如Rieman函數(shù)）。因此，為了給出“連續(xù)”的定義，需要對(duì)此作進(jìn)一步分析和研究。從圖２看出，在處，函數(shù)值有一個(gè)跳躍，當(dāng)自變量從左側(cè)的近傍變到右側(cè)的近旁時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值發(fā)生了顯著的變化。而在其它點(diǎn)處（如處），情況則完全相反。：當(dāng)自變量從向左側(cè)或向右側(cè)作微小改變時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也只作微小的改變；這就是說(shuō)，當(dāng)自變量靠近時(shí)，函數(shù)值就靠近，而當(dāng)時(shí)，。換句話說(shuō)，當(dāng)時(shí)，以為極限，即。根據(jù)這一分析，引入下面的定義：一函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義定義１（在點(diǎn)連續(xù)）設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義，若，則稱在點(diǎn)連續(xù)。注，即“在點(diǎn)連續(xù)”意味著“極限運(yùn)算與對(duì)應(yīng)法則可交換。２．例子例１．在處連續(xù)。例２．。例３．討論函數(shù)在點(diǎn)x=0處連續(xù)性。３．函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)定義記號(hào)：——自變量在點(diǎn)的增量或改變量。設(shè)，——函數(shù)在點(diǎn)的增量。注：自變量的增量或函數(shù)的增量可正、可負(fù)、也可為零。（區(qū)別于“增加”）。等價(jià)定義１：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。等價(jià)定義２：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，當(dāng)時(shí)，。注：一個(gè)定義是等價(jià)的，根據(jù)具體的問(wèn)題選用不同的表述方式。如用三種定義，可以證明以下命題：例４．證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，其中為Dirichlet函數(shù)。４．函數(shù)在點(diǎn)有極限與函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)之間的關(guān)系從對(duì)鄰域的要求看：在討論極限時(shí)，假定在內(nèi)不定義（在點(diǎn)可以沒(méi)有定義）。而在點(diǎn)連續(xù)則要求在某內(nèi)有定義（包括）。在極限中，要求，而當(dāng)“在點(diǎn)連續(xù)”時(shí)，由于x=時(shí)，恒成立。所以換為：.從對(duì)極限的要求看：“在點(diǎn)連續(xù)”不僅要求“在點(diǎn)有極限”，而且；而在討論時(shí)，不要求它等于，甚至于可以不存在?？偟膩?lái)講，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的要求是：①在點(diǎn)有定義；②存在；③.任何一條不滿足，在點(diǎn)就不連續(xù)。同時(shí)，由定義可知，函數(shù)在某點(diǎn)是可連續(xù)，是函數(shù)在這點(diǎn)的局部性質(zhì)。５．在點(diǎn)左（右）連續(xù)定義定義２：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)（內(nèi)有定義），若（），則稱在點(diǎn)右（左）連續(xù)。在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)刻劃定理4.1函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)既是右連續(xù)，又是左連續(xù)。如上例４：（右連續(xù)），（左連續(xù)）。例５．討論函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性。二區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)１．定義若函數(shù)在區(qū)間Ｉ上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱為Ｉ上的連續(xù)函數(shù)。對(duì)于閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間的端點(diǎn)，函數(shù)在這些點(diǎn)上連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù)。若函數(shù)在區(qū)間上僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則稱在上分段連續(xù)。２．例子（１）函數(shù)是Ｒ上的連續(xù)函數(shù)；（２）函數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。在處為左連續(xù)，在處為右連續(xù)，因而它在上連續(xù)。命題：初等函數(shù)在其定義區(qū)間上為連續(xù)函數(shù)。函數(shù)，在上是分段連續(xù)的在Ｒ上是分段連續(xù)嗎？在Ｒ上是分段連續(xù)嗎？三間斷點(diǎn)及其分類１．不連續(xù)點(diǎn)（間斷點(diǎn)）定義定義３設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義，若在點(diǎn)無(wú)定義，或在點(diǎn)有定義而不２，不則稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。注這個(gè)定義不好；還不如說(shuō)：設(shè)在內(nèi)不定義，如果在不連續(xù)，則稱是的不連續(xù)點(diǎn)（或間斷點(diǎn)）。由上述分析可見(jiàn)，若為函數(shù)的間斷點(diǎn)，則必出現(xiàn)下列情形之一：①在點(diǎn)無(wú)定義；②不存在；③。據(jù)此，對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)作如下分類：２．間斷點(diǎn)分類可去間斷點(diǎn)若，而在點(diǎn)無(wú)定義，或有定義但，則稱為的可去間斷點(diǎn)。例如：是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)?！翱扇ラg斷點(diǎn)”名稱何來(lái)？通過(guò)一定的手段，可以“去掉”。設(shè)是的可去間斷點(diǎn)，且。則是的連續(xù)點(diǎn)。例如，對(duì)，定義，則在連續(xù)。跳躍間斷點(diǎn)若存在，但，則稱點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)。例如，對(duì)，故是它的跳躍間斷點(diǎn)。再如是的跳躍間斷點(diǎn)?？扇ラg斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)，其特點(diǎn)的函數(shù)在該點(diǎn)處的左、右極限都存在。第二類間斷點(diǎn)函數(shù)的所有其它形式的間斷點(diǎn)（即使稱函數(shù)至少有一側(cè)極限不存在的點(diǎn)）稱為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)。例如，是函數(shù)，的第二類間斷點(diǎn)?！欤策B續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的：熟悉連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用。教學(xué)要求：（１）掌握連續(xù)的局部性質(zhì)（有界性、保號(hào)性），連續(xù)函數(shù)的有理運(yùn)算性質(zhì)，并能加以證明；熟知復(fù)合函數(shù)的連續(xù)和反函數(shù)的連續(xù)性。能夠在各種問(wèn)題的討論中正確運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的這些重要性質(zhì)；（２）掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的主要性質(zhì)，理解其幾何意義，并能在各種有關(guān)的具體問(wèn)題中加以運(yùn)用；（３）理解函數(shù)在某區(qū)間上一致連續(xù)的概念，并能清楚地認(rèn)識(shí)到函數(shù)在一區(qū)間上連續(xù)與在這一區(qū)間上一致連續(xù)這二者之間的聯(lián)系與原則區(qū)別。教學(xué)重點(diǎn)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)：一致連續(xù)的概念。學(xué)時(shí)安排:4學(xué)時(shí)教學(xué)程序：引言函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而有關(guān)函數(shù)極限的諸多性質(zhì)，都可以移到連續(xù)函數(shù)中來(lái)。一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)性質(zhì)１（局部有界性）若在連續(xù)。則在某有界。性質(zhì)２（局部保號(hào)性）若在連續(xù)，且則對(duì)任何正數(shù)，存在某有。注①在具體應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，取一些特殊值，如當(dāng)時(shí)，可取，則存在，使得當(dāng)有；②與極限相應(yīng)的性質(zhì)做比較可見(jiàn)，這里只是把“極限存在”，改為“連續(xù)”，把改為其余一致。性質(zhì)３。（四則運(yùn)算）若和在點(diǎn)連續(xù)，則也都在點(diǎn)連續(xù)。問(wèn)題兩個(gè)不連續(xù)函數(shù)或者一個(gè)連續(xù)而另一個(gè)不連續(xù)的函數(shù)的和、積、商是否仍舊連續(xù)？性質(zhì)４（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）若在點(diǎn)連續(xù)，記，函數(shù)在連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。注1)據(jù)連續(xù)性定義，上述定理可表為：.（即函數(shù)運(yùn)算與極限可以交換次序，條件是函數(shù)連續(xù)利用它可來(lái)求一些函數(shù)的極限。）求.2)若復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)當(dāng)時(shí)極限為a，又外函數(shù)在連續(xù)，上面的等式仍成立。（因此時(shí)若的話是顯然的；若，或在無(wú)定義，即是的可去間斷點(diǎn)時(shí)，只需對(duì)性質(zhì)４的證明做修改：“”為“”即可）。故可用來(lái)求一些函數(shù)的極限。例２求極限（１）;（２）.性質(zhì)５（反函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)并連續(xù)，則反函數(shù)在其定義域或上連續(xù)。二、初等函數(shù)的連續(xù)性１．復(fù)習(xí)（關(guān)于初等函數(shù)）（１）初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)。（２）基本初等函數(shù)：常量函數(shù)；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù)。２．初等函數(shù)的連續(xù)定理１任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。定理２一切基本初等函數(shù)都是其定義域上連續(xù)函數(shù)。３．利用初等函數(shù)的連續(xù)性可計(jì)算極限例３．設(shè)，，證明：。例４．求。例５求。三區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)引言閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)?，F(xiàn)將將基本的列舉如下。從幾何上看，這些性質(zhì)都是十分明顯的。但要嚴(yán)格證明它們，還需其它知識(shí)，將在第七章§２給出。先給出下面的關(guān)于“最大大值”的定義：定義１設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)，若存在，使得對(duì)一切都有（），則稱在Ｄ上有最大（?。┲?，并稱為在Ｄ上的最大（?。┲?。例如，。、。一般而言，在其定義域上不一定有最大（?。┲?，即使在Ｄ上有界。例如：無(wú)最大（小）值；在［０，１］上也無(wú)最大（?。┲怠＃保再|(zhì)性質(zhì)１（最大、最小值定理）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有最大值與最小值。性質(zhì)２（有界性定理）若在上連續(xù)，則在上有界。思考①考慮函數(shù)，上述結(jié)論成立否？說(shuō)明理由；②要存在最大（小）值或有界是否一定要連續(xù)？是否一定要閉區(qū)間呢？結(jié)論上述性質(zhì)成立的條件是充分的，而非必要的。性質(zhì)３（介值定理）設(shè)在上連續(xù)，且。若是介于和之間的任何實(shí)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)，使得。注表明若在上連續(xù)，又的話，則在上可以取得和之間的一切值。（如左圖）。性質(zhì)４（根存在定理）若在上連續(xù)，且和異號(hào)（），則至少存在一點(diǎn)，使得。幾何意義若點(diǎn)和分別在軸兩側(cè)，則連接Ａ、Ｂ的曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。２．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用舉例關(guān)健構(gòu)造適當(dāng)?shù)?；?gòu)造適當(dāng)?shù)拈]區(qū)間。例６．證明：若，為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù)，使得。例７．設(shè)在上連續(xù)，滿足。證明：存在，使得。四一致連續(xù)性引言在連續(xù)函數(shù)的討論和應(yīng)用中，有一個(gè)極為重要的概念，叫做一致連續(xù)。我們先敘述何謂一致連續(xù)。設(shè)在某一區(qū)間Ｉ連續(xù)，按照定義，也就是在區(qū)間Ｉ內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。即對(duì)時(shí)，就有。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)同一個(gè)，當(dāng)不同時(shí)，一般是不同的。例如圖左。中的曲線，對(duì)接近于原點(diǎn)的，就應(yīng)取小一些。而當(dāng)離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，取大一些。（對(duì)后者的值就不一定可用于前者。但在以后的討論中，有時(shí)要求能取到一個(gè)時(shí)區(qū)間Ｉ內(nèi)所有的點(diǎn)都適用的，這就需要引進(jìn)一個(gè)新概念——一致連續(xù)。１．一致連續(xù)的定義定義（一致連續(xù)）設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。若對(duì)任給的，存在一個(gè)，使得對(duì)任何，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間Ｉ上一致連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)的比較(1)區(qū)別：定義函數(shù)在Ｉ連續(xù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在Ｉ上一致連續(xù)，，當(dāng)，時(shí)，對(duì)的要求對(duì)于Ｉ上的不同的點(diǎn)，相應(yīng)的是不同的，換言之，的取值除依賴于外，還與有關(guān)，由此記為表示與和有關(guān)。的取值只與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)，或者說(shuō)，存在適合于Ｉ上所有點(diǎn)的公共的，記作，它對(duì)任意的都適用。性質(zhì)與區(qū)間中每一點(diǎn)及其附近的情形有關(guān)，即只要在區(qū)間中每一點(diǎn)，連續(xù)就行。也即在每一點(diǎn)中可有適合定義中的，這是局部性質(zhì)。要知在整個(gè)區(qū)間的情形，在整個(gè)區(qū)間內(nèi)來(lái)找適合定義中的，這種性質(zhì)稱為整體性質(zhì)。關(guān)系若在Ｉ上一致連續(xù)，則在Ｉ上連續(xù)；反之不成立（即若在Ｉ上連續(xù)，不一定在Ｉ上一致連續(xù)。問(wèn)題：如何判斷一個(gè)函數(shù)是否一致連續(xù)呢？有下面的定理：定理（康托Cantor定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。４．一致連續(xù)的例子例8證明在上一致連續(xù)。例9（１）證明函數(shù)在內(nèi)不一致連續(xù)。（２），證明在內(nèi)是一致連續(xù)的。例10證明在內(nèi)是一致連續(xù)的，而在內(nèi)連續(xù)但非一致連續(xù)。例11設(shè)區(qū)間的右端點(diǎn)為，區(qū)間的左端點(diǎn)也為（可分別為有限或無(wú)限區(qū)間）。試按一致連續(xù)性定義證明：若分別在和上的一致連續(xù)，則在上也一致連續(xù)?！欤吵醯群瘮?shù)的連續(xù)性教學(xué)目的：知道所有初等函數(shù)都是在其有定義的區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，并能夠加以證明。教學(xué)要求：深刻理解初等函數(shù)在其定義的區(qū)間上都是連續(xù)的，并能應(yīng)用連續(xù)性概念以及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)加以證明，能熟練運(yùn)用這一結(jié)論求初等函數(shù)的極限。教學(xué)重點(diǎn)：初等函數(shù)的連續(xù)性的闡明。教學(xué)難點(diǎn)：初等函數(shù)連續(xù)性命題的證明。教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)。學(xué)時(shí)安排:2學(xué)時(shí)教學(xué)程序：從前面兩節(jié)知道，在基本初等函數(shù)中，三角函數(shù)、反三角函數(shù)以及有理指數(shù)冪函數(shù)都是其定義域上的連續(xù)函數(shù)．本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與實(shí)指數(shù)冪函數(shù)的連續(xù)性，以及初等函數(shù)的連續(xù)性．一指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一章中，我們已定義了實(shí)指數(shù)的乘冪，并證明了指數(shù)函數(shù)在R上是嚴(yán)格單調(diào)的．下面先把關(guān)于有理指數(shù)冪的一個(gè)重要性質(zhì)推廣到實(shí)指數(shù)冪，然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性．定理4．10設(shè)，，為任意實(shí)數(shù)，則有．證不妨設(shè)，則由第一章§3（6）式所定義，即．任給，設(shè)為兩個(gè)有理數(shù)，且，使得．由的嚴(yán)格增性得．又有，故得．由的任意性推出．為證相反的不等式，設(shè)為有理數(shù)，且，使得．再取有理數(shù)，使，以及，則有，故得到.由的任意性推出．所以有．后一等式的證明可類似證出．定理4．11指數(shù)函數(shù)在R上是連續(xù)的.證先設(shè)．由第三章§2例4知,這表明在連續(xù)．現(xiàn)任取R．由定理4．10得令，則當(dāng)時(shí)有，從而有.這就證明了在任一點(diǎn)連續(xù)．當(dāng)時(shí)，令，則有，而可看作函數(shù)與的復(fù)合，所以此時(shí)亦在Ｒ上連續(xù)．利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，以及第三章§5例4中已證明的,可知的值域?yàn)闀r(shí)也是如此)．于是的反函數(shù)——對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)也連續(xù)．例1設(shè)，．證明.證補(bǔ)充定義，則在點(diǎn)連續(xù)，從而在連續(xù)，所以在連續(xù)．由此得.二初等函數(shù)的連續(xù)性由于冪函數(shù)(為實(shí)數(shù))可表為，它是函數(shù)與的復(fù)合，故由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，推得冪函數(shù)在其定義域上連續(xù)．前面已經(jīng)指出