2021年5月2021屆湖北省鄂東南省示范高中改革聯(lián)盟學(xué)校高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案

2021年5月2021屆湖北省鄂東南省示范高中改革聯(lián)盟學(xué)校高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷★祝考試順利★(含答案)一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．已知集合，集合，，則（）A． B． C． D．2．已知為實數(shù)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（）A． B． C． D．3．在等比數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去巴城老街、千燈古鎮(zhèn)、周莊游玩，每人只能去一個地方，周莊一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（）A． B． C． D．5．關(guān)于直線，有下列四個命題：甲：直線經(jīng)過點； 乙：直線經(jīng)過點；丙：直線經(jīng)過點； ?。海绻挥幸粋€假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．已知的外心為，，則的值是（）A． B． C． D．7．如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，線段與另一條漸近線交于點，且的面積是面積的倍，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．已知實數(shù)，滿足，，則（）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分．）9．已知，均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．10．如圖，在棱長為的正方體中，點在線段上運動，則下列判斷中正確的是（）A．三棱錐的體積是B．平面C．平面與平面所成的二面角為D．異面直線與所成角的范圍是11．已知函數(shù)的圖象上，對中心與對稱軸的最小距離為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．當(dāng)時，C．若，則D．若，，則的值為12．函數(shù)，若時，有，是圓周率，…為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．，，，，，，則最大三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．在的二項展開式中，的系數(shù)是．14．請寫出滿足條件“對任意的恒成立，且在上不是增函數(shù)”的一個函數(shù)：．15．已知拋物線，直線過拋物線的焦點與拋物線交于，兩點，以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的公共點是，則直線的斜率．16．無人偵察機在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中扮演著非常重要的角色，我國最新款的無人偵察機名叫“無偵-”．無偵-（如圖1所示）是一款以偵察為主的無人機，它配備了臺火箭發(fā)動機，動力強勁，據(jù)報道它的最大飛行速度超過馬赫，比大多數(shù)防空導(dǎo)彈都要快如圖2所示，已知空間中同時出現(xiàn)了，，，四個目標(biāo)（目標(biāo)和無人機的大小忽略不計），其中，，，且目標(biāo)，，所在平面與目標(biāo)，，所在平面滿足二面角的大小是，若無人機可以同時觀察到這四個目標(biāo)，則其最小偵測半徑為．圖1圖2四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．）17．設(shè)，，分別是中角，，的對邊，．（1）求；（2）若，求面積的最大值．18．已知數(shù)列的前項和為，滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項積為，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的最大值．19．已知中，，，，，為，上的動點，且，將三角形沿折起至如圖所示，使平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面和平面所成的銳二面角的余弦值的取值范圍．20．隨著我國互聯(lián)網(wǎng)的不斷發(fā)展，自媒體業(yè)飛速發(fā)展起來，抖音、快手、微信視頻號等等視頻自媒體APP，幾乎是全民參與．某中學(xué)社會調(diào)研社團研究抖音在生活中的普及程度，走向街頭巷尾、公園，各行各業(yè)辦公室，對市民進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有的人發(fā)過抖音小視頻．為進(jìn)一步研究，從這些被采訪的人中隨機抽取人進(jìn)行調(diào)查，假設(shè)每個人被選到的可能性相等．（1）記表示發(fā)過抖音視頻的人數(shù)，求的分布列；（2）隨著研究人群范圍的擴大，為提高效率，研究組在對某些行業(yè)人群集中調(diào)研時，先隨機抽取一人，如果他發(fā)過抖音小視頻，就不再對該群體中其他人進(jìn)行調(diào)查，如果沒有發(fā)過抖音小視頻，則繼續(xù)隨機抽取，直到抽到一名發(fā)過抖音小視頻的人為止，并且規(guī)定抽樣的次數(shù)不超過次，（其中小于當(dāng)次調(diào)查的總?cè)藬?shù)），在抽樣結(jié)束時，抽到的沒發(fā)過抖音視頻的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．21．已知拋物線的焦點為點，為上一點，若點到原點的距離與點到點的距離都是．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）動點在拋物線上，且在直線的右側(cè)，過點作橢圓的兩條切線分別交直線于，兩點．當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．22．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的導(dǎo)函數(shù)在上的零點個數(shù)；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．2021年5月2021屆湖北省鄂東南省示范高中改革聯(lián)盟學(xué)校高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1-8BBABCDCD9-12BCABBDABD13．14．【答案不唯一】15．16．17．解：（1），，，，．，．（2），，即．，，，．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．面積的最大值為．18．解：（1）由，得是首項為，公差為的等差數(shù)列，，．當(dāng)時，，符合上式，所以．（2），，，，．因為對任意的，恒成立，所以，即．19．解：（1）證明：由題意知，，而平面，平面，，平面，，平面．又平面，平面平面．（2）【解法一】延長，交于點，則為平面和平面的交線．過作于，連接．平面，，又，平面，所以即為平面與平面所成的角；設(shè)，則，，且，在中，，．令，則．【解法二】設(shè)，則，，且．由（1）知，，兩兩互相垂直，分別以，，為軸，軸，軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，．設(shè)平面的法向量為，則，解得．取，又平面的法向量為，所以，，所以．所以平面和平面所成的銳二面角的余弦值的取值范圍是．20．解：（1）由題意知，故的所有可能為，，，．，，，，的分布列為（2）依題意，的所有可能的值是，，，…，．當(dāng)時，；當(dāng)時，，，①，②由①②，得，，．21．解：（1）設(shè)，則，解得（負(fù)值舍去）．（2）不妨設(shè)，，，，．設(shè)過點作橢圓的切線方程為，①由，得，由得，所以，，在①中令得，，，解得，點的坐標(biāo)為．22．解：（1），，所以是的一個零點．令，則時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則．又，且，所以在上存在唯一零點，則在上亦存在唯一點．因為是奇函數(shù)，所以在上也存在唯一零點．綜上所述，當(dāng)時，的導(dǎo)函數(shù)在上的零點個數(shù)為．（2）不等式恒成立，即不等式恒成立．令，則等價于不等式……（1）恒成立，①若，即時，不等式（1）顯然成立，此時；②若時，不等式（