《現(xiàn)代通信原理與技術(shù)》課件第8章

8.1匹配濾波器8.2最小差錯概率接收準則8.3確知信號的最佳接收機8.4隨相信號的最佳接收機8.5最佳接收機性能比較8.6最佳基帶傳輸系統(tǒng)

第8章數(shù)字信號的最佳接收8.1匹配濾波器

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，濾波器是其中重要部件之一，濾波器特性的選擇直接影響數(shù)字信號的恢復。在數(shù)字信號接收中，濾波器的作用有兩個方面，第一是使濾波器輸出有用信號成分盡可能強；第二是抑制信號帶外噪聲，使濾波器輸出噪聲成分盡可能小，減小噪聲對信號判決的影響。通常對最佳線性濾波器的設(shè)計有兩種準則：一種是使濾波器輸出的信號波形與發(fā)送信號波形之間的均方誤差最小，由此而導出的最佳線性濾波器稱為維納濾波器；另一種是使濾波器輸出信噪比在某一特定時刻達到最大，由此而導出的最佳線性濾波器稱為匹配濾波器。在數(shù)字通信中，匹配濾波器具有更廣泛的應(yīng)用。

由第7章分析的數(shù)字信號解調(diào)過程我們知道，解調(diào)器中抽樣判決以前各部分電路可以用一個線性濾波器來等效，接收過程等效原理圖如圖8-1所示。圖中，s(t)為輸入數(shù)字信號，信道特性為加性高斯白噪聲信道，n(t)為加性高斯白噪聲，H(ω)為濾波器傳輸函數(shù)。由數(shù)字信號的判決原理我們知道，抽樣判決器輸出數(shù)據(jù)正確與否，與濾波器輸出信號波形和發(fā)送信號波形之間的相似程度無關(guān)，也即與濾波器輸出信號波形的失真程度無關(guān)，而只取決于抽樣時刻信號的瞬時功率與噪聲平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，錯誤判決的概率就越??；反之，信噪比越小，錯誤判決概率就越大。圖8–1數(shù)字信號接收等效原理圖因此，為了使錯誤判決概率盡可能小，就要選擇濾波器傳輸特性使濾波器輸出信噪比盡可能大的濾波器。當選擇的濾波器傳輸特性使輸出信噪比達到最大值時，該濾波器就稱為輸出信噪比最大的最佳線性濾波器。下面就來分析當濾波器具有什么樣的特性時才能使輸出信噪比達到最大。分析模型如圖8-1所示。設(shè)輸出信噪比最大的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù)為H(ω),濾波器輸入信號與噪聲的合成波為

r(t)=s(t)+n(t)

式中，s(t)為輸入數(shù)字信號，其頻譜函數(shù)為S(ω)。n(t)為高斯白噪聲，其雙邊功率譜密度為。(8.1-1)由于該濾波器是線性濾波器，滿足線性疊加原理，因此濾波器輸出也由輸出信號和輸出噪聲兩部分組成，即

y(t)=so(t)+no(t) (8.1-2)式中輸出信號的頻譜函數(shù)為So(ω)，其對應(yīng)的時域信號為濾波器輸出噪聲的平均功率為(8.1-3)(8.1-4)在抽樣時刻t0，線性濾波器輸出信號的瞬時功率與噪聲平均功率之比為由式(8.1-5)可見，濾波器輸出信噪比ro與輸入信號的頻譜函數(shù)S(ω)和濾波器的傳輸函數(shù)H(ω)有關(guān)。在輸入信號給定的情況下，輸出信噪比ro只與濾波器的傳輸函數(shù)H(ω)有關(guān)。使輸出信噪比ro達到最大的傳輸函數(shù)H(ω)就是我們所要求的最佳濾波器的傳輸函數(shù)。式(8.1-5)是一個泛函求極值的問題，采用施瓦茲(Schwartz)不等式可以容易地解決該問題。(8.1-5)式中，X(ω)和Y(ω)都是實變量ω的復函數(shù)。當且僅當

X(ω)=KY*(ω)時式(8.1-6)中等式才能成立。式(8.1-7)中K為任意常數(shù)。將施瓦茲不等式用于式(8.1-5)，并令

X(ω)=H(ω)(8.1-8)

Y(ω)=S(ω)ejωt0(8.1-9)施瓦茲不等式為(8.1-6)(8.1-7)可得根據(jù)帕塞瓦爾定理有(8.1-10)(8.1-11)式中E為輸入信號的能量。代入式(8.1-10)有式(8.1-12)說明，線性濾波器所能給出的最大輸出信噪比為根據(jù)施瓦茲不等式中等號成立的條件X(ω)=KY*(ω)，可得不等式(8.1-10)中等號成立的條件為

H(ω)=KS*(ω)e-jωt0

式中，K為常數(shù)，通?？蛇x擇為K=1。S*(ω)是輸入信號頻譜函數(shù)S(ω)的復共軛。式(8.1-14)就是我們所要求的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù)，該濾波器在給定時刻t0能獲得最大輸出信噪比。(8.1-12)(8.1-13)(8.1-14)

這種濾波器的傳輸函數(shù)除相乘因子Ke-jωt0外，與信號頻譜的復共軛相一致，所以稱該濾波器為匹配濾波器。從匹配濾波器傳輸函數(shù)H(ω)所滿足的條件，我們也可以得到匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)：(8.1-15)即匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為

h(t)=Ks(t0-t)

式(8.1-16)表明，匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)是輸入信號s(t)的鏡像函數(shù)，t0為輸出最大信噪比時刻。其形成原理如圖8-2所示。對于因果系統(tǒng)，匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)滿足:Ks(t0-t),t≥00,t＜0h(t)=(8.1-17)(8.1-16)圖8-2匹配濾波器單位沖激響應(yīng)原理

s(t0－t)=0,t＜0

(8.1-18)

s(t)=0,t0－t＜0或t＞t0

(8.1-19)上式條件說明，對于一個物理可實現(xiàn)的匹配濾波器，其輸入信號s(t)必須在它輸出最大信噪比的時刻t0之前結(jié)束。也就是說，若輸入信號在T時刻結(jié)束，則對物理可實現(xiàn)的匹配濾波器，其輸出最大信噪比時刻t0必須在輸入信號結(jié)束之后，即t0≥T。對于接收機來說，t0是時間延遲，通常總是希望時間延遲盡可能小，因此一般情況可取t0=T。為了滿足式(8.1-17)的條件，必須有：

若輸入信號為s(t)，則匹配濾波器的輸出信號為(8.1-20)令t0-τ=x,有(8.1-21)式中，R(t)為輸入信號s(t)的自相關(guān)函數(shù)。上式表明，匹配濾波器的輸出波形是輸入信號s(t)的自相關(guān)函數(shù)的K倍。因此，匹配濾波器可以看成是一個計算輸入信號自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器，其在t0時刻得到最大輸出信噪比romax=。由于輸出信噪比與常數(shù)K無關(guān)，所以通常取K=1。

[例8-1］設(shè)輸入信號如圖8-3(a)所示，試求該信號的匹配濾波器傳輸函數(shù)和輸出信號波形。 1,0≤t≤0,其他s(t)=解

(1)輸入信號為圖8-3信號時間波形匹配濾波器的傳輸函數(shù)為匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為

h(t)=s(t0－t)取t0=T，則有h(t)=s(T-t)輸入信號s(t)的頻譜函數(shù)為(2)由式(8.1-21)可得匹配濾波器的輸出為其他=匹配濾波器的輸出波形如圖8-3(c)所示?？梢?，匹配濾波器的輸出在t=T時刻得到最大的能量E=。8.2最小差錯概率接收準則8.2.1數(shù)字信號接收的統(tǒng)計模型

在數(shù)字信號的最佳接收分析中，我們不是采用先給出接收機模型然后分析其性能的分析方法，而是從數(shù)字信號接收統(tǒng)計模型出發(fā)，依據(jù)某種最佳接收準則，推導出相應(yīng)的最佳接收機結(jié)構(gòu)，然后再分析其性能。數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計模型如圖8-4所示。圖中消息空間、信號空間、噪聲空間、觀察空間及判決空間分別代表消息、發(fā)送信號、噪聲、接收信號波形及判決結(jié)果的所有可能狀態(tài)的集合。各個空間的狀態(tài)用它們的統(tǒng)計特性來描述。圖8–4數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計模型

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，消息是離散的狀態(tài)，設(shè)消息的狀態(tài)集合為

X={x1,x2,…,xm}(8.2-1)若消息集合中每一狀態(tài)的發(fā)送是統(tǒng)計獨立的，第i個狀態(tài)xi的出現(xiàn)概率為P(xi)，則消息X的一維概率分布為x1

x2

…

xm

P(x1)P(x2)…P(xm)

若消息各狀態(tài)x1,x2,…,xm出現(xiàn)的概率相等，則有

P(x1)=P(x2)=…=P(xm)=(8.2-3)

消息是各種物理量，本身不能直接在數(shù)字通信系統(tǒng)中進行傳輸，因此需要將消息變換為相應(yīng)的電信號s(t)，用參數(shù)S來表示。將消息變換為信號可以有各種不同的變換關(guān)系，通常最直接的方法是建立消息與信號之間一一對應(yīng)的關(guān)系，即消息xi與信號si(i=1,2，…，m)相對應(yīng)。這樣，信號集合S也由m個狀態(tài)所組成，即根據(jù)概率的性質(zhì)有(8.2-2)

S={s1,s2,…,sm}(8.2-4)同時也有并且信號集合各狀態(tài)出現(xiàn)概率與消息集合各狀態(tài)出現(xiàn)概率相等，即

P(s1)=P(x1)

P(s2)=P(x2)

P(sm)=P(xm)

……(8.2-5)

若消息各狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，則有

(8.2-6)

P(si)是描述信號發(fā)送概率的參數(shù)，通常稱為先驗概率，它是信號統(tǒng)計檢測的第一數(shù)據(jù)。信道特性是加性高斯噪聲信道，噪聲空間n是加性高斯噪聲。在前面各章分析系統(tǒng)抗噪聲性能時，用噪聲的一維概率密度函數(shù)來描述噪聲的統(tǒng)計特性,在本章最佳接收中，為了更全面地描述噪聲的統(tǒng)計特性，采用噪聲的多維聯(lián)合概率密度函數(shù)。噪聲n的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(n)=f(n1,n2,…,nk)(8.2-7)式中，n1,n2,…,nk為噪聲n在各時刻的可能取值。

根據(jù)隨機信號分析理論我們知道，若噪聲是高斯白噪聲，則它在任意兩個時刻上得到的樣值都是互不相關(guān)的，同時也是統(tǒng)計獨立的；若噪聲是帶限高斯型的，按抽樣定理對其抽樣，則它在抽樣時刻上的樣值也是互不相關(guān)的，同時也是統(tǒng)計獨立的。根據(jù)隨機信號分析，若隨機信號各樣值是統(tǒng)計獨立的，則其k維聯(lián)合概率密度函數(shù)等于其k個一維概率密度函數(shù)的乘積，即

f(n1,n2,…,nk)=f(n1)f(n2)…f(nk)

(8.2-8)

式中，f(ni)是噪聲n在ti時刻的取值ni的一維概率密度函數(shù)，若ni的均值為零，方差為σ2n，則其一維概率密度函數(shù)為噪聲n的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為根據(jù)帕塞瓦爾定理，當k很大時有(8.2-9)(8.2-10)(8.2-11)

信號通過信道疊加噪聲后到達觀察空間，觀察空間的觀察波形為式中，為噪聲的單邊功率譜密度。代入式(8.2-10)可得(8.2-12)由于在一個碼元期間T內(nèi)，信號集合中各狀態(tài)s1,s2,…,sm

中之一被發(fā)送，因此在觀察期間T內(nèi)觀察波形為

y(t)=n(t)+si(t)(i=1,2,…,m)

y=n+s

(8.2-13)

(y)稱為似然函數(shù)，它是信號統(tǒng)計檢測的第二數(shù)據(jù)。根據(jù)y(t)的統(tǒng)計特性，按照某種準則，即可對y(t)作出判決，判決空間中可能出現(xiàn)的狀態(tài)r1,r2,…,rm與信號空間中的各狀態(tài)s1,s2,…,sm相對應(yīng)。由于n(t)是均值為零，方差為σ2n的高斯過程，則當出現(xiàn)信號si(t)時,y(t)的概率密度函數(shù)fsi(y)可表示為(8.2-14)8.2.2最佳接收準則在數(shù)字通信系統(tǒng)中，最直觀且最合理的準則是“最小差錯概率”準則。由于在傳輸過程中，信號會受到畸變和噪聲的干擾，發(fā)送信號si(t)時不一定能判為ri出現(xiàn)，而是判決空間的所有狀態(tài)都可能出現(xiàn)。這樣將會造成錯誤接收，我們期望錯誤接收的概率愈小愈好。在噪聲干擾環(huán)境中，按照何種方法接收信號才能使得錯誤概率最??？我們以二進制數(shù)字通信系統(tǒng)為例分析其原理。在二進制數(shù)字通信系統(tǒng)中，發(fā)送信號只有兩種狀態(tài)，假設(shè)發(fā)送信號s1(t)和s2(t)的先驗概率分別為P(s1)和P(s2)，s1(t)和s2(t)在觀察時刻的取值分別為a1和a2，出現(xiàn)s1(t)信號時y(t)的概率密度函數(shù)fs1(y)為同理，出現(xiàn)s2(t)信號時y(t)的概率密度函數(shù)

為

(y)和

(y)的曲線如圖8-5所示。若在觀察時刻得到的觀察值為yi，可依概率將yi判為r1或r2。在yi附近取一小區(qū)間Δa，yi在區(qū)間Δa內(nèi)屬于r1的概率為(8.2-15)(8.2-16)(8.2-17)圖8-5

(y)和

(y)的曲線圖yi在相同區(qū)間Δa內(nèi)屬于r2的概率為可以看出，即yi屬于r1的概率大于yi屬于r2的概率。因此，依大概率應(yīng)將yi判為r1出現(xiàn)。由于

(y)和

(y)的單調(diào)性質(zhì)，圖8-5所示的判決過程可以簡化為圖8-6所示的判決過程。(8.2-18)圖8–6判決過程示意圖

根據(jù)

(y)和

(y)的單調(diào)性質(zhì)，在圖8-6中y坐標上可以找到一個劃分點y0′。在區(qū)間(-∞,y0′，q1＞q2；在區(qū)間(y0′,∞)，q1＜q2。根據(jù)圖8-6所分析的判決原理，當觀察時刻得到的觀察值yi∈(-∞,y0′)時，判為r1出現(xiàn)；若觀察時刻得到的觀察值yi∈(y0′,∞)時，判為r2出現(xiàn)。如果發(fā)送的是s1(t)，但是觀察時刻得到的觀察值yi落在(y0′,∞)區(qū)間,被判為r2出現(xiàn)，這時將造成錯誤判決，其錯誤概率為(8.2-19)同理，如果發(fā)送的是s2(t)，但是觀察時刻得到的觀察值yi落在(-∞,y0′)區(qū)間,被判為r1出現(xiàn)，這時也將造成錯誤判決，其錯誤概率為此時系統(tǒng)總的誤碼率為(8.2-20)(8.2-21)-P(s1)

(y0)+P(s2)

(y0)=0

(8.2-23)由此可得最佳劃分點將滿足如下方程:由式(8.2-21)可以看出，系統(tǒng)總的誤碼率與先驗概率、似然函數(shù)及劃分點有關(guān)，在先驗概率和似然函數(shù)一定的情況下，系統(tǒng)總的誤碼率Pe是劃分點y0′的函數(shù)。不同的y0′將有不同的Pe，我們希望選擇一個劃分點y0使誤碼率Pe達到最小。使誤碼率Pe達到最小的劃分點y0稱為最佳劃分點。y0可以通過求Pe的最小值得到。即(8.2-24)式中y0即為最佳劃分點。

如果觀察時刻得到的觀察值y小于最佳劃分點y0，應(yīng)判為r1出現(xiàn)，此時式(8.2-24)左邊大于右邊；如果觀察時刻得到的觀察值y大于最佳劃分點y0，應(yīng)判為r2出現(xiàn)，此時式(8.2-24)右邊大于左邊。因此，為了達到最小差錯概率，可以按以下規(guī)則進行判決:判為r1(即s1)判為r2(即s2)(8.2-25)以上判決規(guī)則稱為似然比準則。在加性高斯白噪聲條件下，似然比準則和最小差錯概率準則是等價的。

當s1(t)和s2(t)的發(fā)送概率相等時，即P(s1)=P(s2)時，則有上式判決規(guī)則稱為最大似然準則，其物理概念是，接收到的波形y中，哪個似然函數(shù)大就判為哪個信號出現(xiàn)。以上判決規(guī)則可以推廣到多進制數(shù)字通信系統(tǒng)中，對于m個可能發(fā)送的信號，在先驗概率相等時的最大似然準則為判為r1(即s1)判為r2(即s2)(8.2-26)判為si(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m;i≠j)(8.2-27)

最小差錯概率準則是數(shù)字通信系統(tǒng)最常采用的準則，除此之外，貝葉斯(Bayes)準則、尼曼-皮爾遜(Neyman-Pearson)準則、極大極小準則等有時也被采用。8.3確知信號的最佳接收機

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，接收機輸入信號根據(jù)其特性的不同可以分為兩大類，一類是確知信號，另一類是隨參信號。所謂確知信號是指一個信號出現(xiàn)后，它的所有參數(shù)(如幅度、頻率、相位、到達時刻等)都是確知的。如數(shù)字信號通過恒參信道到達接收機輸入端的信號。在隨參信號中，根據(jù)信號中隨機參量的不同又可細分為隨機相位信號、隨機振幅信號和隨機振幅隨機相位信號(又稱起伏信號)。本節(jié)討論確知信號的最佳接收問題。信號統(tǒng)計檢測是利用概率和數(shù)理統(tǒng)計的工具來設(shè)計接收機。所謂最佳接收機設(shè)計是指在一組給定的假設(shè)條件下，利用信號檢測理論給出滿足某種最佳準則接收機的數(shù)學描述和組成原理框圖，而不涉及接收機各級的具體電路。本節(jié)分析中所采用的最佳準則是最小差錯概率準則。8.3.1二進制確知信號最佳接收機結(jié)構(gòu)接收端原理圖如圖8-7所示。設(shè)到達接收機輸入端的兩個確知信號分別為s1(t)和s2(t)，它們的持續(xù)時間為(0,T)，且有相等的能量，即噪聲n(t)是高斯白噪聲，均值為零，單邊功率譜密度為n0。要求設(shè)計的接收機能在噪聲干擾下以最小的錯誤概率檢測信號。根據(jù)上一節(jié)的分析我們知道，在加性高斯白噪聲條件下，最小差錯概率準則與似然比準則是等價的。因此，我們可以直接利用式(8.2-25)似然比準則對確知信號作出判決。(8.3-1)圖8–7接收端原理發(fā)送s1(t)時發(fā)送s2(t)時

由上一節(jié)分析可知，當出現(xiàn)s1(t)或s2(t)時觀察空間的似然函數(shù)分別為在觀察時間(0，T)內(nèi)，接收機輸入端的信號為s1(t)和s2(t)，合成波為(8.3-2)(8.3-3)(8.3-4)其似然比判決規(guī)則為(8.3-5)判為s1(t)出現(xiàn)，而(8.3-6)則判為s2(t)出現(xiàn)。式中，P(s1)和P(s2)分別為發(fā)送s1(t)和s2(t)的先驗概率。整理式(8.3-5)和(8.3-6)可得判為s1(t)出現(xiàn)，而則判為s2(t)出現(xiàn)。式中：(8.3-7)(8.3-8)(8.3-9)

在先驗概率P(s1)和P(s2)給定的情況下，U1和U2都為常數(shù)。

根據(jù)式(8.3-7)和式(8.3-8)所描述的判決規(guī)則，可得到最佳接收機的結(jié)構(gòu)如圖8-8所示，其中比較器是比較抽樣時刻t=T時上下兩個支路樣值的大小。這種最佳接收機的結(jié)構(gòu)是按比較觀察波形y(t)與s1(t)和s2(t)的相關(guān)性而構(gòu)成的，因而稱為相關(guān)接收機。其中相乘器與積分器構(gòu)成相關(guān)器。接收過程是分別計算觀察波形y(t)與s1(t)和s2(t)的相關(guān)函數(shù)，在抽樣時刻t=T，y(t)與哪個發(fā)送信號的相關(guān)值大就判為哪個信號出現(xiàn)。

如果發(fā)送信號s1(t)和s2(t)的出現(xiàn)概率相等，即P(s1)=P(s2)，由式(8.3-9)可得U1=U2。此時，圖8-8中的兩個相加器可以省去，則先驗等概率情況下的二進制確知信號最佳接收機簡化結(jié)構(gòu)如圖8-9所示。圖8–8二進制確知信號最佳接收機結(jié)構(gòu)圖8-9二進制確知信號最佳接收機簡化結(jié)構(gòu)由8.1節(jié)匹配濾波器分析我們知道，匹配濾波器可以看成是一個計算輸入信號自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器。設(shè)發(fā)送信號為s(t)，則匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為若匹配濾波器輸入合成波為

y(t)=s(t)+n(t)h(t)=s(T-t)(8.3-10)(8.3-11)則匹配濾波器的輸出在抽樣時刻t=T時的樣值為(8.3-12)

由式(8.3-12)可以看出匹配濾波器在抽樣時刻t=T時的輸出樣值與最佳接收機中相關(guān)器在t=T時的輸出樣值相等,因此，可以用匹配濾波器代替相關(guān)器構(gòu)成最佳接收機，其結(jié)構(gòu)如圖8-10所示。在最小差錯概率準則下，相關(guān)器形式的最佳接收機與匹配濾波器形式的最佳接收機是等價的。另外，無論是相關(guān)器還是匹配濾波器形式的最佳接收機,它們的比較器都是在t=T時刻才作出判決，也即在碼元結(jié)束時刻才能給出最佳判決結(jié)果。因此，判決時刻的任何偏差都將影響接收機的性能。圖8-10匹配濾波器形式的最佳接收機8.3.2二進制確知信號最佳接收機誤碼性能最佳接收機結(jié)構(gòu)如圖8-8所示，輸出總的誤碼率為

其中,P(s1)和P(s2)是發(fā)送信號的先驗概率。Ps1(s2)是發(fā)送s1(t)信號時錯誤判決為s2(t)信號出現(xiàn)的概率；Ps2(s1)是發(fā)送s2(t)信號時錯誤判決為s1(t)信號出現(xiàn)的概率。分析Ps1(s2)與Ps2(s1)的方法相同，我們以分析Ps1(s2)為例。(8.3-13)設(shè)發(fā)送信號為s1(t)，接收機輸入端合成波為

y(t)=s1(t)+n(t)

(8.3-14)其中,n(t)是高斯白噪聲，其均值為零，方差為σ2n。若則判為s1(t)出現(xiàn)，是正確判決。若則判為s2(t)出現(xiàn)，是錯誤判決。(8.3-15)(8.3-16)將y(t)=s1(t)+n(t)代入式(8.3-16)可得代入，并利用s1(t)和s2(t)能量相等的條件可得(8.3-18)式(8.3-18)左邊是隨機變量，令為ξ，即(8.3-19)(8.3-17)式(8.3-18)右邊是常數(shù)，令為a,即(8.3-20)式(8.3-18)可簡化為

ξ＜a(8.3-21)判為s2(t)出現(xiàn)，產(chǎn)生錯誤判決。則發(fā)送s1(t)將其錯誤判決為s2(t)的條件簡化為ξ＜a事件，相應(yīng)的錯誤概率為(8.3-22)只要求出隨機變量ξ的概率密度函數(shù),即可計算出式(8.3-22)的數(shù)值。根據(jù)假設(shè)條件，n(t)是高斯隨機過程，其均值為零，方差為σ2n。根據(jù)隨機過程理論可知，高斯型隨機過程的積分是一個高斯型隨機變量。所以ξ是一個高斯隨機變量，只要求出ξ的數(shù)學期望和方差，就可以得到ξ的概率密度函數(shù)。ξ的數(shù)學期望為ξ的方差為(8.3-23)(8.3-24)式中E［n(t)n(τ)］為高斯白噪聲n(t)的自相關(guān)函數(shù)，由第2章隨機信號分析可知t=τt≠τ

(8.3-25)將上式代入式(8.3-24)可得(8.3-26)于是可以寫出ξ的概率密度函(8.3-27)至此,可得發(fā)送s1(t)將其錯誤判決為s2(t)的概率為

利用相同的分析方法，可以得到發(fā)送s2(t)將其錯誤判決為s1(t)的概率為(8.3-28)(8.3-29)系統(tǒng)總的誤碼率為式中b和b′分別為(8.3-30)(8.3-31)

由式(8.3-30)、式(8.3-31)和式(8.3-32)可以看出，最佳接收機的誤碼性能與先驗概率P(s1)和P(s2)、噪聲功率譜密度n0及s1(t)和s2(t)之差的能量有關(guān)，而與s1(t)和s2(t)本身的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。一般情況下先驗概率是不容易確定的，通常選擇先驗等概的假設(shè)設(shè)計最佳接收機。在發(fā)送s1(t)和s2(t)的先驗概率相等時，誤碼率Pe還與s1(t)和s2(t)之差的能量有關(guān)，如何設(shè)計s1(t)和s2(t)使誤碼率Pe達到最小，是我們需要解決的另一個問題。(8.3-32)

比較式(8.3-31)和式(8.3-32)可以看出，當發(fā)送信號先驗概率相等時，b=b′，此時誤碼率可表示為式中:

為了分析方便，我們定義s1(t)和s2(t)之間的互相關(guān)系數(shù)為(8.3-33)(8.3-34)(8.3-35)

E=E1=E2=Eb

(8.3-36)將Eb和ρ代入式(8.3-34)可得:上式即為二進制確知信號最佳接收機誤碼率的一般表示式。它與信噪比及發(fā)送信號之間的互相關(guān)系數(shù)ρ有關(guān)。式中,E是信號s1(t)和s2(t)在0≤t≤T期間的平均能量。當s1(t)和s2(t)具有相等的能量時，有此時，式(8.3-33)可表示為(8.3-37)(8.3-38)由互補誤差函數(shù)erfc(x)的性質(zhì)我們知道，互補誤差函數(shù)erfc(x)是嚴格單調(diào)遞減函數(shù)。因此，隨著自變量x的增加，函數(shù)值減小。由式(8.3-38)可知，為了得到最小的誤碼率Pe，就要使 最大化。當信號能量Eb和噪聲功率譜密度n0一定時，誤碼率Pe就是互相關(guān)系數(shù)ρ的函數(shù)?；ハ嚓P(guān)系數(shù)ρ愈小，誤碼率Pe也愈小，要獲得最小的誤碼率Pe

，就要求出最小的互相關(guān)系數(shù)ρ。根據(jù)互相關(guān)系數(shù)ρ的性質(zhì)，ρ的取值范圍為－1≤ρ≤1當ρ取最小值ρ=-1時，誤碼率Pe將達到最小，此時誤碼率為(8.3-39)上式即為發(fā)送信號先驗概率相等時，二進制確知信號最佳接收機所能達到的最小誤碼率，此時相應(yīng)的發(fā)送信號s1(t)和s2(t)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=-1。也就是說，當發(fā)送二進制信號s1(t)和s2(t)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=-1時的波形就稱為最佳波形。當互相關(guān)系數(shù)ρ=0時，誤碼率為(8.3-40)若互相關(guān)系數(shù)ρ=1，則誤碼率為若發(fā)送信號s1(t)和s2(t)是不等能量信號，如E1=0，E2=Eb，ρ=0，發(fā)送信號s1(t)和s2(t)的平均能量為 ，在這種情況下，誤碼率表示式(8.3-40)變?yōu)?8.3-41)圖8–11二進制最佳接收機誤碼率曲線

在第5章數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)誤碼率性能分析中我們知道，雙極性信號的誤碼率低于單極性信號，其原因之一就是雙極性信號之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=-1，而單極性信號之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=0。在第7章數(shù)字頻帶傳輸系統(tǒng)誤碼性能分析中，2PSK信號能使互相關(guān)系數(shù)ρ=-1，因此2PSK信號是最佳信號波形；2FSK和2ASK信號對應(yīng)的互相關(guān)系數(shù)ρ=0,因此2PSK系統(tǒng)的誤碼率性能優(yōu)于2FSK和2ASK系統(tǒng)；2FSK信號是等能量信號，而2ASK信號是不等能量信號，因此2FSK系統(tǒng)的誤碼率性能優(yōu)于2ASK系統(tǒng)。8.4.1二進制隨相信號最佳接收機結(jié)構(gòu)

二進制隨相信號具有多種形式，我們以具有隨機相位的2FSK信號為例展開分析。設(shè)發(fā)送的兩個隨相信號為式中，ω1和ω2為滿足正交條件的兩個載波角頻率；φ1和φ2是每一個信號的隨機相位參數(shù)，它們的取值在區(qū)間［0,2π］上服從均勻分布，即8.4隨相信號的最佳接收機0≤t≤T

其他0≤t≤T

其他(8.4-1)(8.4-2)s1(t,φ1)和s2(t,φ2)持續(xù)時間為(0,T)，且能量相等，即0≤φ1≤2π其他f(φ2)=0≤φ2≤2π其他假設(shè)信道是加性高斯白噪聲信道，則接收機輸入端合成波為

s1(t,φ1)+n(t),發(fā)送s1(t,φ1)時

s2(t,φ2)+n(t),發(fā)送s2(t,φ2)時y(t)=(8.4-6)式中，n(t)是加性高斯白噪聲，其均值為零，方差為σ2n，單邊功率譜密度為n0。(8.4-5)(8.4-4)(8.4-3)

在確知信號的最佳接收中，通過似然比準則可以得到最佳接收機的結(jié)構(gòu)。然而在隨相信號的最佳接收中，接收機輸入端合成波y(t)中除了加性高斯白噪聲之外，還有隨機相位，因此不能直接給出似然函數(shù)fs1(y)和fs2(y)。此時，可以先求出在給定相位φ1和φ2的條件下關(guān)于y(t)的條件似然函數(shù)fs1(y/φ1)和fs2(y/φ2)，即(8.4-7)(8.4-8)由概率論知識可得(8.4-9)式中(8.4-10)為常數(shù)。令隨機變量ξ(φ1)為(8.4-11)于是，式(8.4-9)可表示為式中，

K為常數(shù)，為零階修正貝塞爾函數(shù)。式中:(8.4-12)(8.4-13)(8.4-14)(8.4-15)代入M1和M2的具體表示式可得:

同理可得，出現(xiàn)s2(t)時y(t)的似然函數(shù)為(8.4-16)式中(8.4-17)(8.4-18)(8.4-19)(8.4-20)(8.4-21)

假設(shè)發(fā)送信號s1(t,φ1)和s2(t,φ2)的先驗概率相等，采用最大似然準則對觀察空間樣值作出判決，即

,判為s1

, 判為s2

將式(8.4-15)和式(8.4-16)代入上式可得:判為s2判為s1(8.4-22)(8.4-23)(8.4-24)(8.4-25)判為s2判決式兩邊約去常數(shù)K后有判為s1(8.4-26)(8.4-27)

根據(jù)零階修正貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)可知，I0(x)是嚴格單調(diào)增加函數(shù)，若函數(shù)I0(x2)＞I0(x1)，則有x2＞x1。因此，式(8.4-26)和式(8.4-27)中，根據(jù)比較零階修正貝塞爾函數(shù)大小作出判決，可以簡化為根據(jù)比較零階修正貝塞爾函數(shù)自變量的大小作出判決。此時判決規(guī)則簡化為判為s1

(8.4-28)判為s2

(8.4-29)判決式兩邊約去常數(shù)并代入M1和M2的具體表示式后有

M1＞M2,判為s1

M1＜M2,判為s2 (8.4-31)(8.4-30)即判為s1,而(8.4-32)(8.4-33)圖8–12二進制隨相信號最佳接收機結(jié)構(gòu)判為s2。式(8.4-32)和式(8.4-33)就是對二進制隨相信號進行判決的數(shù)學關(guān)系式，根據(jù)以上二式可構(gòu)成二進制隨相信號最佳接收機結(jié)構(gòu)如圖8-12所示。

上述最佳接收機結(jié)構(gòu)形式是相關(guān)器結(jié)構(gòu)形式?？梢钥闯?，二進制隨相信號最佳接收機結(jié)構(gòu)比二進制確知信號最佳接收機結(jié)構(gòu)復雜很多，實際中實現(xiàn)也較復雜。與二進制確知信號最佳接收機分析相類似，可以采用匹配濾波器對二進制隨相信號最佳接收機結(jié)構(gòu)進行簡化。由于接收機輸入信號s1(t,φ1)和s2(t,φ2)包含有隨機相位φ1和φ2，因此無法實現(xiàn)與輸入信號s1(t,φ1)和s2(t,φ2)完全匹配的匹配濾波器。我們可以設(shè)計一種匹配濾波器，它只與輸入信號的頻率匹配，而不匹配到相位。與輸入信號s1(t,φ1)頻率相匹配的匹配濾波器單位沖激響應(yīng)為h1(t)=cosω1(T－t),0≤t≤T(8.4-34)當輸入y(t)時，該濾波器的輸出為式中(8.4-36)(8.4-35)式(8.4-35)在t=T時刻的取值為可以看出，濾波器輸出信號在t=T時刻的包絡(luò)與圖8-12所示的二進制隨相信號最佳接收機中的參數(shù)M1相等。這表明，采用一個與輸入隨相信號頻率相匹配的匹配濾波器，再級聯(lián)一個包絡(luò)檢波器，就能得到判決器所需要的參數(shù)M1。同理，選擇與輸入信號s2(t,φ2)的頻率相匹配的匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為

h2(t)=cosω2(T-t),0≤t≤T

(8.4-37)(8.4-38)從而得到了比較器的第二個輸入?yún)?shù)M2，通過比較M1和M2的大小即可作出判決。根據(jù)以上分析，可以得到匹配濾波器加包絡(luò)檢波器結(jié)構(gòu)形式的最佳接收機如圖8-13所示。由于沒有利用相位信息，所以這種接收機是一種非相干接收機。該濾波器在t=T時刻的輸出為(8.4-39)圖8–13匹配濾波器形式的隨相信號最佳接收機結(jié)構(gòu)8.4.2二進制隨相信號最佳接收機誤碼性能

二進制隨相信號與二進制確知信號最佳接收機誤碼性能分析方法相同，總的誤碼率為

Pe=P(s1)Ps1(s2)+P(s2)Ps2(s1)當發(fā)送信號s1(t,φ1)和s2(t,φ2)出現(xiàn)概率相等時

Pe=Ps1(s2)=Ps2(s1) (8.4-40)因此只需要分析Ps1(s2)或Ps2(s1)其中之一就可以，我們以Ps1(s2)為例進行分析。在發(fā)送s1(t,φ1)信號時出現(xiàn)錯誤判決的條件是

M1＜M2,判為s2

此時的錯誤概率為

Ps1(s2)=P(M1＜M2) (8.4-41)其中，M1和M2如式(8.4-20)和式(8.4-21)。與7.2節(jié)2FSK信號非相干解調(diào)分析方法相似，首先需要分別求出M1和M2的概率密度函數(shù)f(M1)和f(M2)，再來根據(jù)式(8.4-41)計算錯誤概率。接收機輸入合成波為

y(t)=s1(t,φ1)+n(t)=Acos(ω1t+φ1)+n(t)

(8.4-42)X1和Y1的數(shù)學期望分別為在信號s1(t,φ1)給定的條件下，隨機相位φ1是確定值。此時X1和Y1分別為(8.4-43)(8.4-44)(8.4-45)(8.4-46)X1和Y1的方差為(8.4-47)

由此可知，X1和Y1是均值分別為cosφ1和sinφ1，方差為的高斯隨機變量。(8.4-48)根據(jù)ω1和ω2構(gòu)成兩個正交載波的條件，同理可得參數(shù)M2服從瑞利分布，其一維概率密度函數(shù)為(8.4-49)錯誤概率Ps1(s2)為總的誤碼率為(8.4-50)(8.4-51)由誤碼率表示式可以看出，二進制隨相信號最佳接收機是一種非相干接收機。誤碼率性能曲線如圖8-14所示。圖8–14二進制數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)誤碼率性能曲線

實際接收機和最佳接收機誤碼性能一覽表如表8-1所示。可以看出，兩種結(jié)構(gòu)形式的接收機誤碼率表示式具有相同的數(shù)學形式，實際接收機中的信噪比與最佳接收機中的能量噪聲功率譜密度之比相對應(yīng)。8.5最佳接收機性能比較

假設(shè)在接收機輸入端信號功率和信道相同的條件下比較兩種結(jié)構(gòu)形式接收機的誤碼性能。由表8-1可以看出，橫向比較兩種結(jié)構(gòu)形式接收機誤碼性能可等價于比較r與Eb/n0的大小。在相同的條件下，若r＞Eb/n0，實際接收機誤碼率小于最佳接收機誤碼率，則實際接收機性能優(yōu)于最佳接收機性能；若r＜Eb/n0，實際接收機誤碼率大于最佳接收機誤碼率，則最佳接收機性能優(yōu)于實際接收機性能；若r＜Eb/n0，實際接收機誤碼率等于最佳接收機誤碼率，則實際接收機性能與最佳接收機性能相同。下面我們就來分析r與Eb/n0之間的關(guān)系。由第7章分析我們知道，實際接收機輸入端總是有一個帶通濾波器，其作用有兩個：一是使輸入信號順利通過；二是使噪聲盡可能少的通過，以減小噪聲對信號檢測的影響。

信噪比r=S/N是指帶通濾波器輸出端的信噪比。設(shè)噪聲為高斯白噪聲，單邊功率譜密度為n0，帶通濾波器的等效矩形帶寬為B，則帶通濾波器輸出端的信噪比為可見，信噪比r與帶通濾波器帶寬B有關(guān)。對于最佳接收系統(tǒng)，接收機前端沒有帶通濾波器，其輸入端信號能量與噪聲功率譜密度之比為(8.5-1)(8.5-2)式中，S為信號平均功率，T為碼元時間寬度。比較式(8.5-1)和式(8.5-2)可以看出，對系統(tǒng)性能的比較最終可歸結(jié)為對實際接收機帶通濾波器帶寬B與碼元時間寬度T的比較。若B＜1/T，則實際接收機性能優(yōu)于最佳接收機性能；若B＞1/T，則最佳接收機性能優(yōu)于實際接收機性能；若B=1/T，則實際接收機性能與最佳接收機性能相同。

1/T是基帶數(shù)字信號的重復頻率，對于2PSK等數(shù)字調(diào)制信號，1/T的寬度等于2PSK信號頻譜主瓣寬度的一半。若選擇帶通濾波器的帶寬B≤1/T，則必然會使信號產(chǎn)生嚴重的失真，這與實際接收機中假設(shè)“帶通濾波器應(yīng)使輸入信號順利通過”條件相矛盾。這表明，在實際接收機中，為使信號順利通過，帶通濾波器的帶寬必須滿足B＞1/T。在此情況下，實際接收機性能比最佳接收機性能差。8.6最佳基帶傳輸系統(tǒng)8.6.1最佳基帶傳輸系統(tǒng)的組成在加性高斯白噪聲信道下的基帶傳輸系統(tǒng)組成如圖8-15所示。圖中，GT(ω)為發(fā)送濾波器傳輸函數(shù)；GR(ω)為接收濾波器傳輸函數(shù)；C(ω)為信道傳輸特性，在理想信道條件下C(ω)=1；n(t)為高斯白噪聲，其雙邊功率譜密度為。最佳基帶傳輸系統(tǒng)的準則是：判決器輸出差錯概率最小。由第5章基帶傳輸系統(tǒng)和本章最佳接收原理我們知道，影響系統(tǒng)誤碼率性能的因素有兩個：其一是碼間干擾；其二是噪聲。碼間干擾的影響，可以通過系統(tǒng)傳輸函數(shù)的設(shè)計，使得抽樣時刻樣值的碼間干擾為零。圖8–15基帶傳輸系統(tǒng)組成

對于加性噪聲的影響，可以通過接收濾波器的設(shè)計，盡可能減小噪聲的影響，但是不能消除噪聲的影響。最佳基帶傳輸系統(tǒng)的設(shè)計就是通過對發(fā)送濾波器、接收濾波器和系統(tǒng)總的傳輸函數(shù)的設(shè)計，使系統(tǒng)輸出差錯概率最小。設(shè)圖8-15中發(fā)送濾波器的輸入基帶信號為對于理想信道C(ω)=1，此時系統(tǒng)總的傳輸函數(shù)為

H(ω)=GT(ω)C(ω)GR(ω)=GT(ω)GR