重難點專項訓練-專題02 尺規(guī)作圖訓練（講義）（解析版）

專題02尺規(guī)作圖訓練核心知識點精講理解尺規(guī)作圖的定義．理解掌握基本作圖的方法；理解掌握復雜作圖點的方法；理解掌握應用與設計作圖的方法。1．作圖—尺規(guī)作圖的定義（1）尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．（2）基本要求它使用的直尺和圓規(guī)帶有想像性質，跟現(xiàn)實中的并非完全相同．直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側．只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度．圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度．它只可以拉開成你之前構造過的長度．作圖—基本作圖基本作圖有：（1）作一條線段等于已知線段．（2）作一個角等于已知角．（3）作已知線段的垂直平分線．（4）作已知角的角平分線．（5）過一點作已知直線的垂線．4.作圖—復雜作圖復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．5.作圖—應用與設計作圖應用與設計作圖主要把簡單作圖放入實際問題中．首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質和基本作圖的方法作圖．【題型1：作圖—尺規(guī)作圖的定義】【典例1】如圖，利用尺規(guī)，在△ABC的邊AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射線AE上截取AD＝BC，連接CD，并證明：CD∥AB（尺規(guī)作圖要求保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見試題解答內容【分析】利用尺規(guī)作∠CAE＝∠ACB即可，先證明△ACD≌△CAB，再證明CD∥AB即可．【解答】解：圖象如圖所示，∵∠EAC＝∠ACB，∴AD∥CB，∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，∴△ACD≌△CAB（SAS），∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD．【題型2：作圖—基本作圖（選擇題）】【典例2】（2023?南山區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點A、B為圓心，以適當的長為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC＝4，△ABC面積為10，則BM+MD長度的最小值為（）A．52 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】連接AD，交直線EF于點N，設EF交AB于點G，當點M與點N重合時，BM+MD長度最小，最小值即為AD的長，結合已知條件求出AD即可．【解答】解：連接AD，交直線EF于點N，設EF交AB于點G，由題意得，直線EF為線段AB的垂直平分線，∴AG＝BG，EF⊥AB，∴當點M與點N重合時，BM+MD長度最小，最小值即為AD的長．∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，∵BC＝4，△ABC面積為10，∴12×4×AD=解得AD＝5．故選：D．1．（2023?南山區(qū)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，點E在AB上．若AC＝6，CD＝2，AB＝7，當DE最小時，△BDEA．2 B．1 C．6 D．7【答案】B【分析】根據“垂線段最短”可得DE⊥AB，根據角平分線的性質得到DE＝DC＝2，根據全等三角形的性質得到AE＝AC，求得BE，根據三角形的面積公式計算即可．【解答】解：∵點E為線段AB上的一個動點，DE最短，∴DE⊥AB，由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝2，∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6，∴BE＝AB﹣AE＝1，∴△BDE的面積=12BE?DE=12×1故選：B．2．（2023?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，已知AB＝AC，BC＝6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據等腰三角形的性質即可得到答案．【解答】解：由題意，AB＝AC，BC＝6，∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD＝3，故選：B．3．（2023?龍崗區(qū)校級四模）如圖，已知a∥b，直線l分別與直線a，b相交于點A，B，現(xiàn)分別以點A和B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交直線b于點C，連接AC，若∠1＝40°，則∠ACBA．90° B．100° C．120° D．140°【答案】B【分析】利用基本作圖可判斷MN垂直平分AB，則利用線段垂直平分線的性質得到CA＝CB，所以∠CBA＝∠CAB＝40°，進而可得結果．【解答】解：∵a∥b，∴∠CBA＝∠1＝40°，根據基本作圖可知：MN垂直平分AB，∴CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝40°，∴∠ACB＝180°﹣2×40°＝100°．故選：B．【題型3：作圖—基本作圖（作圖題）】（2023?東莞市校級一模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°．（1）尺規(guī)作圖：作∠ACB的角平分線，交AB于點D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，延長CA至點E，使AE＝AD，連接BE．求證：CD＝BE，且CD⊥BE．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）利用基本尺規(guī)作圖作角平分線即可；（2）證明△BAE≌△CAD解題即可．【解答】解：（1）如圖，CD即為所作，（2）如圖，延長CD，交BE于F，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠EAB＝∠BAC＝90°，又∵AE＝AD，∴△BAE≌△CAD，∴CD＝BE，∠ABE＝∠ACD，∴∠ABE+∠E＝90°，∴∠ECF+∠E＝90°，∴∠EFC＝90°，即CD⊥BE．1.（2023?花都區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O；（1）尺規(guī)作圖：過點C作AB的垂線，垂足為E；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AC＝4，BD＝2，求cos∠BCE的值．【答案】（1）見解答；（2）45【分析】（1）利用基本作圖，過C點AB的垂線即可；（2）先根據菱形的性質得到OA＝OC＝2，OB＝OD＝1，AC⊥BD，AB＝BC，則利用勾股定理可計算出AB=5，則BC=5，再利用面積法計算出CE【解答】解：（1）如圖，CE為所作；（2）∵四邊形ABCD為菱形，∴OA＝OC=12AC＝2，OB＝OD=12BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OAB中，AB=O∵AB?CE=12AC?∴CE=1∵BC＝AB=5∴cos∠BCE=CE2．（2023?廣東模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°．（1）尺規(guī)作圖：作邊AB的垂直平分線DE，交AB于點D，交BC于點E．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）證明：BE＝2CE．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據線段垂直平分線的作圖方法作圖即可．（2）連接AE，結合線段垂直平分線的性質，求出∠CAE＝30°，即可得CE＝DE，再根據BE＝2DE，即可得出答案．【解答】（1）解：如圖，DE即為所求.（2）證明：連接AE，∵DE為線段AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠B＝30°，∠ADE＝∠C，∵∠C＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAE＝30°，∴AE＝2CE，∴BE＝2CE．【題型4：科學記數法】【典例4】（2023?南海區(qū)模擬）如圖，△ABC為銳角三角形．（1）請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，分別以點A和點B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線MN，交BC于點D，連接（2）在（1）的條件下，若△ADC的周長為10，AB＝7，則△ABC的周長為多少？【答案】（1）見解答；（2）17．【分析】（1）根據題中步驟作圖；（2）根據線段的垂直平分線的性質進行轉化求解．【解答】解：（1）如圖：（2）由作圖得：MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∵△ADC的周長為10，即：AC+CD+AD＝10，∴△ABC的周長為：AC+BC+AB＝AC+CD+BD+AB＝AC+CD+AD+AB＝10+7＝17，所以△ABC的周長為17．1．（2023?開平市二模）如圖，∠AOB＜60°．（1）以點O為圓心，任意長為半徑作MN，分別交射線OA、OB于點C、D，連結CD；（2）分別以點C、D為圓心，CD長為半徑作圓弧，兩弧交于點P，連接CP，DP；（3）作射線OP交CD于點Q．下列結論中錯誤的是（）A．∠AOP＝∠BOP B．CP＝2QC C．CD⊥OP D．CP∥OB【答案】D【分析】利用基本作圖得到OP平分∠AOB，OC＝OD，PC＝PD＝CD，則可對A選項進行判斷；先證明△PCD為等邊三角形得到∠CPD＝60°，再證明OP垂直平分CD，則可對C選項進行判斷；由于CQ＝DQ，則PC＝2CQ，于是可對B選項進行判斷；利用∠CPO＝30°，∠BOP＜30°可對D選項進行判斷．【解答】解：由作法得OP平分∠AOB，OC＝OD，PC＝PD＝CD，∴∠AOP＝∠BOP，所以A選項不符合題意；∵PC＝PD＝CD，∴△PCD為等邊三角形，∴∠CPD＝60°，∵OC＝OD，PC＝PD，∴OP垂直平分CD，所以C選項不符合題意；∴CQ＝DQ，∴PC＝2CQ，所以B選項不符合題意；∵∠CPO＝30°，∠BOP＜30°，∴PC與OB不平行，所以D選項符合題意．故選：D．2．（2023?禪城區(qū)三模）如圖，在△ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步驟作圖．第一步：作∠BAC的平分線AD交BC于點D；第二步：作AD的垂直平分線EF，交AC于點E，交AB于點F；第三步：連接DE．則下列結論正確的是（）A．DE∥AB B．EF平分AC C．CD＝DE D．CD＝BD【答案】A【分析】根據等腰三角形及平行線的性質判定求解．【解答】解：設AD、EF相交于點O，∵∠BAC的平分線AD交BC于點D；∴∠BAD＝∠CAD，∵AD的垂直平分線EF，交AC于點E，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE∴DE∥AB，故A是正確的；∵AB＞AC＞BC，∠BAC的平分線AD，∴CD≠BD，AD與BC不垂直，∴EF與BC不平行，∵點O是AD的中點，∴E不是AC的中點，故B、D是錯誤的；∵DE∥AB，AC＞BC，∴CD≠DE，故C是錯誤的；故選：A．3．（2023?南山區(qū)模擬）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步驟作圖．第一步：作∠BAC的平分線AD；交BC于點D；第二步：作AD的垂直平分線EF，交AC于點E，交AB于點F；第三步：連接DE．則下列結論正確的是（）A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD＝DE D．CD＝BD【答案】B【分析】根據作圖過程可得EF是線段AD的垂直平分線，AD平分∠BAC，進而可以解決問題．【解答】解：由作法可知：EF是線段AD的垂直平分線，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EDA＝∠BAD，∴DE∥AB，故選：B．4．（2022?香洲區(qū)校級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC=3，以點B為圓心，以BC長度為半徑作弧，交BA于點D，以點C為圓心，以大于12CD為半徑作弧，接著再以點D為圓心，以相同長度為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交CA于點F，以點B為圓心，以BF為長度作弧，交BA于點G，則陰影部分的面積為3【答案】3-【分析】根據S陰＝S△ABF﹣S扇形BGF，求解即可．【解答】解：由作圖可知，BE平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝90°﹣30°＝60°，∴∠CBF＝∠FBA＝30°，∵BC=3∴CF＝BC?tan30°＝1，AC＝BC?tan60°＝3，BF＝2CF＝2，∴S陰＝S△ABF﹣S扇形BGF=12×故答案為：3-5．（2023?中山市模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在線段BC上找一點D（與B，C不重合），使得△ABD和△ACD均為等腰三角形．（1）一同學的解法是，如圖1，以B為圓心，以BA的長為半徑畫弧與BC交于點D，請根據這種作法說明△ABD和△ACD均為等腰三角形；（2）請在圖2中用尺規(guī)作圖用另外一種方法找出點D（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】（1）見解答；（2）見解答．【分析】（1）根據三角形的內角和定理證明；（2）作AC的垂直平分線即可．【解答】解|：（1）連接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，由作圖得：AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝72°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝36°，∴∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴△ABD和△ACD均為等腰三角形；（2）如圖2：點D即為所求．【題型5：作圖—應用與設計作圖】【典例5】（2023?潮南區(qū)一模）如圖，∠CAD是△ABC的外角．（1）尺規(guī)作圖：作∠CAD的平分線AE（不寫作法，保留作圖痕跡，用黑色墨水筆將痕跡加黑）；（2）若AE∥BC，求證：AB＝AC．【答案】（1）作圖見解析部分．（2）證明見解析部分．【分析】（1）利用尺規(guī)作出∠CAD的角平分線即可．（2）欲證明AB＝AC，只要證明∠B＝∠C．【解答】（1）解：如圖，射線AE即為所求．（2）證明：∵AE平分∠CAD，∴∠EAD＝∠EAC，∵AE∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠EAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．1．（2023?福田區(qū)校級二模）圖①，圖②，圖③均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，在圖①，圖②，圖③給定的網格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖①中，在線段AB上畫出點M，使AM＝3BM．（2）在圖②中，畫出一個格點C，使△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形．（3）在圖③中，在線段AB上畫出點P，使tan∠BPH＝1．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理作出圖形即可；（2）構造等腰直角三角形即可；（3）根據tan∠BPH＝1，則∠BPH＝45°作出對應圖形即可．【解答】解：（1）如圖①中，點M即為所求；（2）如圖②中，點C即為所求；（3）如圖③中，點P即為所求；2．（2023?龍華區(qū)二模）隨著天氣轉暖，越來越多的市民喜歡到戶外活動，小明與同學約定周末帶帳篷到附近露營地開展活動．【買帳篷】經了解，某種帳篷有A、B兩種型號，已知A型帳篷的單價比B型帳篷的單價多30元，用1200元購買A型帳篷的數量和用900元購買B型帳篷的數量相同．小明買了A、B兩種型號帳篷各2個，共需多少錢？【擺帳篷】周末，小明與同學一起來到露營地，發(fā)現(xiàn)有一塊由籬笆圍繞的長20米，寬14米的矩形草地（抽象成如圖2的20×14的方格紙）可用來擺賬篷，經測量，每個帳篷占據的地面部分是半徑為3米的圓形（抽象成如圖1的圓），為保障通行，帳篷四周需要留有通道，通道最狹窄處的寬度不小于1米．小明將第一個帳篷按要求擺放在如圖所示的位置，此塊草地內最多還能擺下幾個同樣大小的帳篷呢？請在圖2中畫出符合要求的設計示意圖．（要求：圓心要畫在格點上，畫圓時要用圓規(guī)）【答案】（1）小明買了A、B兩種型號帳篷各2個，共需420元；（2）見解答．【分析】（1）根據題意列方程求解；（2）根據圓與圓之間的關系作圖．【解答】解：（1）設A種型號帳篷的單價分別是x元，則B型號的帳篷的單價為（x﹣30）元，由題意得：1200x方程兩邊同乘以x（x﹣30）得：1200（x﹣30）＝900x，解這個整式方程得：x＝120，經檢驗：x＝120是原分式方程的解，∴x﹣30＝90，∴2×（90+120）＝420（元），答：小明買了A、B兩種型號帳篷各2個，共需420元；（2）如圖：3．（2023?高要區(qū)二模）如圖是4×4的正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中作∠ABC的角平分線；（2）在圖2中過點C作一條直線l，使點A，B到直線l的距離相等．【答案】（1）（2）作圖見解析部分．【分析】（1）連接AC，取AC的中點P，作射線BP即可；（2）利用數形結合的思想畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖1中，射線BP即為所求；（2）如圖2中，直線l或直線l′即為所求．一．選擇題（共7小題）1．畫△ABC中BC邊上的高，下列四個畫法中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據三角形高的定義，畫BC邊上的高要過A點作BC的垂線，垂線段為BC邊上的高．【解答】解：畫△ABC中BC邊上的高，正確的為：故選：C．2．人教版初中數學教科書八年級上冊第48頁告訴我們一種作已知角的平分線的方法：如圖，（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點M，N．（2）分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C．（3）畫射線OC，射線OCA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【分析】利用基本作圖得到OM＝ON，CM＝CN，加上OC為公共邊，則根據全等三角形的判定方法可判斷△OMC≌△ONC．【解答】解：由作法得OM＝ON，CM＝CN，而OC為公共邊，所以根據“SSS”可判定△OMC≌△ONC，所以∠MOC＝∠NOC，即OC平分∠MON．故選：A．3．用直角三角板作△ABC的邊AB上的高，下列直角三角板位置擺放正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據高線的定義即可得出結論．【解答】解：A．是BC邊上的高，故此選項不合題意；B．是AC邊上的高，故此選項不合題意；C．不是三角形的高，故此選項不合題意；D．是△ABC的邊AB上的高，故此選項符合題意．故選：D．4．已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點P、Q，接著在射線MN上以點M為圓心，OP長為半徑畫弧l交射線MN于點N；以N為圓心，PQ長為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點，連MC，MD并延長．則∠CMD的度數為（）A．20° B．50° C．60° D．40°【答案】D【分析】利用基本作圖得到∠CMN＝∠DMN＝∠POQ，所以∠CMD＝2∠AOB．【解答】解：由作法得∠CMN＝∠DMN＝∠POQ，∵∠AOB＝20°，∴∠CMD＝2∠AOB＝40°．故選：D．5．作一個角等于已知角用到下面選項的哪個基本事實（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根據作一個角等于已知角可直接得到答案．【解答】解：作一個角等于已知角”用到了全等三角形的判定方法是：邊邊邊，故選：A．6．方方同學在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C和點D，則直線CD即為所求，根據他的作圖方法可知四邊形ADBCA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形【答案】B【分析】利用作法得到AC＝AD＝BC＝BD，然后根據菱形的判定方法進行判斷．【解答】解：連接AC、AD、BC、BD，如圖，由作法得AC＝AD＝BC＝BD，所以四邊形ADBC為菱形，所以CD垂直平分AB．故選：B．7．如圖所示，在△ABC中，按以下步驟作圖：①在AB，AC上分別截取AD，AE，使AD＝AE；②分別以點D，E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，兩弧相交于點F③作射線AF交BC于點M；④過點M作MN⊥AB于點N．下列結論一定成立的是（）A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA【答案】C【分析】根據題意可知，AM平分∠CAB，即可得出正確答案．【解答】解：由題意可知，AM平分∠CAB，∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A選項不符合題意；∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B選項不符合題意；∵AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠BAM，因此C選項符合題意；∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D選項不符合題意．故選：C．二．填空題（共5小題）8．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以點C為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交CB，CD于點E，F(xiàn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于12EF的長為半徑作弧，兩弧在∠BCD內交于點P，連接CP并延長交AD于點Q，連接BQ．若BQ＝7時，則△BQC與△DCQ的周長之差為5【答案】5．【分析】利用基本作圖得到CQ平分∠BCD，則∠BCQ＝∠DCQ，再根據平行四邊形的性質得到CD＝AB＝5，AD∥BC，接著證明∠DCQ＝∠DQC得到DQ＝DC＝5，然后利用三角形周長的定義計算△BQC與△DCQ的周長之差．【解答】解：由作法得CQ平分∠BCD，∴∠BCQ＝∠DCQ，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD＝AB＝5，AD∥BC，∴∠BCQ＝∠DQC，∴∠DCQ＝∠DQC，∴DQ＝DC＝5，∴△BQC與△DCQ的周長之差＝（BC+BQ+CQ）﹣（DC+DQ+CQ）＝8+7+CQ﹣5﹣5﹣CQ＝5．故答案為：5．9．已知：線段a，b，求作：線段AB，使得AB＝2a+b，小明給出了五個步驟：①作一條射線AE；②則線段AB＝2a+b；③在射線AE上作線段AC＝a；④在射線DE上作線段DB＝b；⑤在射線CE上作線段CD＝a；你認為正確的順序是①③⑤④②．【答案】見試題解答內容【分析】利用作一條線段等于已知線段，先分別截取AC＝CD＝a，然后截取線段DB＝b，從而得到線段AB．【解答】解：五個步驟正確的順序為：①③⑤④②．故答案為：①③⑤④②．10．如圖，在長方形ABCD中，連接BD，分別以B，D為圓心，大于12BD長為半徑畫弧，兩弧交于點E，F(xiàn)，作直線EF，交AD于點M．若AD＝4，AB＝2．則AM的長為3【答案】32【分析】連接BM，根據線段垂直平分線的性質得到BM＝DM，根據矩形的性質得到∠A＝90°，根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：連接BM，由作圖知，直線EF是BD的垂直平分線，∴BM＝DM，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB2+AM2＝BM2，∴22+AM2＝（4﹣AM）2，解得AM=3故答案為：3211．如圖，在平面直角坐標系中，?AOBC的頂點B在x軸上，點A的坐標為（2，3），以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E，再分別以點D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內交于點F，作射線OF交AC于點P．則點P的坐標是（2+13，【答案】（2+13，3【分析】由作圖知，OP平分∠AOB，再利用平行四邊形的性質說明AO＝AP，由點A的坐標得出OA的長，從而得出答案．【解答】解：由作圖知，OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，∵四邊形AOBC是平行四邊形，∴AC∥OB，∴∠APO＝∠POB，∴∠AOP＝∠APO，∴OA＝AP，∵A（2，3），∴OA=2∴P（2+13，3故答案為：（2+13，312．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按以下步驟作圖：分別以點A和點C為圓心，以大于12AC長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，直線MN交BC邊于點D．連接AD．若AC＝8，AD＝5，則AB的長為6【答案】6．【分析】設直線MN與AC交于點E，由作圖可知，直線MN為線段AC的垂直平分線，則可得AD＝CD＝5，DE∥AB，進而可得點D為BC的中點，則BC＝2CD＝10，再利用勾股定理可求出AB的長．【解答】解：設直線MN與AC交于點E，由作圖可知，直線MN為線段AC的垂直平分線，∴AD＝CD＝5，點E為AC的中點，∠CED＝90°，∵∠BAC＝90°，∴DE∥AB，∴點D為BC的中點，∴BC＝2CD＝10，∴AB=BC故答案為：6．三．解答題（共3小題）13．有這樣一道作圖題：“求作一個平行四邊形ABCD，使得點A與邊BC的中點E的連線平分∠BAD．”小明的思考過程是這樣的：在不明確如何入手的時候，可以先把圖描出來，接著倒過來想它有什么性質．例如，假設?ABCD即為所求作，則AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA．又AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE．∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE．∵E是邊BC的中點，∴…再倒過來，只要作出的平行四邊形ABCD滿足BC和BA的數量關系是（1）即可．（1）填空：BC＝2BA．（2）參考小明的思考方式，用直尺和圓規(guī)作一個?ABCD，使得點A與邊BC的中點E的連線與對角線BD垂直．（要求：只保留作圖痕跡，無需寫出文字說明）【答案】（1）BC＝2BA；（2）圖見解析．【分析】（1）根據等邊對等角，線段中點的性質解答即可；（2）先作線段BC，確定中點，再作平行四邊形，最后使得點A與邊BC的中點E的連線與對角線BD垂直．【解答】解：（1）BC＝2BA，理由如下：假設?ABCD即為所求作，則AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA．又AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE．∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE．∵E是邊BC的中點，∴BC＝2BA，故答案為：BC＝2BA；（2）方法一：①作線段BC的垂直平分線，取BC的中點E，以E為圓心，BE的長為半徑作⊙E，在圓上任取一點G，連接CG，BG，則CG⊥GB，②取EC的中點F，以FB為半徑，F(xiàn)為圓心作弧，交BG的延長線于點D，則FD＝FB，作B點的垂直平分線交BD于O，交AD于K，則FO⊥BD，OB＝OD，③以O為圓心OC長為半徑作⊙O，延長CO，交⊙O于點A，則OA＝OC，連接AB、AD、DC，則四邊形ABCD是平行四邊形，④連接AE，此時AE∥FK，F(xiàn)K⊥BD，即AE⊥BD；方法二：①作BE＝EC，任作射線BP（角度要?。谧鱁H⊥BP于點H，在射線EH上截HA＝2EH，③以點A為圓心作AD＝BC交BP于點D，④連接AB，CD即可；14．如圖，已知線段a、b，求作線段AB，使得AB＝2b﹣a（不寫作法）．【答案】見試題解答內容【分析】先作射線AM，再延長截取AC＝CD＝b，然后截取DB＝a，則線段AB的長為2b﹣a．【解答】解：如圖，線段AB為所作．15．如圖，有一張紙片，若連接EB，則紙片被分為矩形FABE和菱形EBCD，請你畫一條直線把這張紙片分成面積相等的兩部分，并說明理由．【答案】見試題解答內容【分析】根據矩形以及菱形的性質得出它們的中心，進而得出平分面積的直線．【解答】解：如圖所示：NO即為所求，連接BF，AE，交于點O，連接EC，BD交于點N，此時過點O的直線平分矩形FABE面積，過點N的直線平分菱形EBCD，故ON平分這張紙片面積．一．選擇題（共7小題）1．如圖，在?ABCD中，AB＝3cm，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B，F(xiàn)為圓心，大于12BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則四邊形A．12cm B．14cm C．16cm D．無法確定【答案】A【分析】利用基本作圖得到AB＝AF＝3cm，∠BAE＝∠FAE，根據平行四邊形的性質得BC∥AD，則∠BEA＝∠FAE，所以∠BAE＝∠BEA，從而得到BE＝BA＝3cm，于是可判斷四邊形ABEF為菱形，于是得到四邊形ABEF的周長．【解答】解：由作法得AB＝AF＝3cm，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠FAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝BA＝3cm，而BE∥AF，∴四邊形ABEF為菱形，∴四邊形ABEF的周長＝4×3＝12（cm）．故選：A．2．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，觀察尺規(guī)作圖的痕跡，則AD的長為（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】利用等腰三角形的三線合一的性質以及勾股定理求解．【解答】解：由作圖可知AD平分∠BAC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD=12BC＝∴AD=AB故選：B．3．如圖，已知銳角∠AOB，根據以下要求作圖．（1）在射線OA上取點C和點E，分別以點O為圓心，OC，OE的長為半徑畫弧，分別交射線OB于點D，F(xiàn)；（2）連結CF，DE交于點P．則下列結論錯誤的是（）A．CE＝DF B．點P在∠AOB的平分線上 C．PE＝PF D．若∠AOB＝60°，則∠CPD＝120°【答案】D【分析】由題意可得OC＝OD，OE＝OF，即可判斷A選項；連接OP，證明△DOE≌△COF，△CEP≌△DFP，△COP≌△DOP，即可判斷B，C選項，由此可得答案．【解答】解：由題意得，OC＝OD，OE＝OF，∴OE﹣OC＝OF﹣OD，即CE＝DF，故A選項正確，不符合題意；連接OP，∵OE＝OF，OC＝OD，∠COF＝∠DOE，∴△DOE≌△COF（SAS），∴∠OED＝∠OFC，CF＝DE，∵CE＝DF，∠OED＝∠OFC，∠EPC＝∠FPD，∴△CEP≌△DFP（AAS），∴CP＝DP，∴EP＝FP．∵OC＝OD，CP＝DP，OP＝OP，∴△COP≌△DOP（SSS），∴∠COP＝∠DOP，∴點P在∠AOB的平分線上，故B，C選項正確，不符合題意；若∠AOB＝60°，∠CPD＝120°，則∠OCP＝∠ODP＝90°，而根據題意不能證明∠OCP＝∠ODP＝90°，∴不能證明∠CPD＝120°，故C選項錯誤，符合題意．故選：D．4．如圖，在△ABC中，點D是BC上一點，連接AD，用尺規(guī)在AC上找一點N，使∠CBN＝∠CAD，關于作圖痕跡，下列觀點正確的是（）A．EF是以點C為圓心，AE長為半徑的弧 B．PQ是以點B為圓心，AF長為半徑的弧 C．GM是以點Q為圓心、EF長為半徑的弧 D．GM是以點P為圓心、BP長為半徑的弧【答案】B【分析】解析：根據作一個角等于已知角，可得EF是以點A為圓心、AE長為半徑的弧，故A錯誤；GM是以點P為圓心、FE長為半徑的弧，故C，D錯誤．【解答】解：根據作一個角等于已知角，可得EF是以點A為圓心、AE長為半徑的弧，故A錯誤，本選項不符合題意，PQ是以點B為圓心，AF長為半徑的弧，正確，本選項符合題意．GM是以點P為圓心、FE長為半徑的弧，故C，D錯誤．選項C，D不符合題意．故選：B．5．如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于12AC長為半徑畫弧，兩弧交于M、N，過點M和點N作直線，交BC、AC分別于D、E，若AE＝8，△ABD的周長是30，則△A．30 B．38 C．46 D．54【答案】C【分析】根據題中尺規(guī)作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，從而得到DA＝DC，AE＝CE，再由△ABD的周長是AB+BD+AD＝30，結合△ABC的周長為AB+BC+AC，代值求解即可得到答案．【解答】解：由題意可知MN是線段AC的垂直平分線，∴DA＝DC，CE＝AE＝8，∵△ABD的周長是30，∴AB+BD+AD＝30∴△ABC的周長為AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝AB+BD+DA+2AE＝C△ABD+2AE＝30+2×8＝46，故選：C．6．某公司準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離相等，則送奶站C的位置應該在（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接AB，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可知此點在AB的垂直平分線上．【解答】解：連接AB，使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離相等，所以此點在AB的垂直平分線上．觀察選項，只有選項B符合題意．故選：B．7．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點B，C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若CD＝AC，∠A＝56°．則∠A．74° B．84° C．86° D．96°【答案】D【分析】由作圖痕跡可知MN垂直平分BC，得出BD＝CD，∠B＝∠BCD，由CD＝AC，∠A＝56°，得出∠B＝∠BCD＝28°，∠ACD＝68°，即可得出答案．【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝56，∴∠ADC＝∠A＝56°，∴∠ACD＝180°﹣56°﹣56°＝68°，∵MN垂直平分BC，∴BD＝CD，∴∠B＝∠BCD=∠ADC2∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝68°+28°＝96°．故選：D．二．填空題（共5小題）8．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以點B為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB和BC于點P，Q，以點P，Q為圓心，大于12PQ的長為半徑畫弧，兩弧交于點H，作射線BH交邊AD于點E；分別以點A，E為圓心，大于12AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN交邊AD于點F，連接CF，交BE于點G，連接GD，若CD＝4，DE＝1，則S△DFGS【答案】625【分析】先由作圖得出BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，再根據三角形的面積公式求出△EFG和△DEG的面積關系，再根據相似三角形的性質求解．【解答】解：由作圖得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，∴∠ABE＝∠EBC，AF＝EF，在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD＝4，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝CD＝4，∴AF＝EF＝2，∴FD＝3DE，BC＝AD＝5，S△DEG＝x，則S△EFG＝2x，S△FDG＝3x，∵AD∥BC，∴△EFG∽△BCG，∴S△EFGS△BCG=（EFBC）2＝（S△BCG＝12.5x，∴S△DFG故答案為：6259．如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA、OB，使OA＝OB；分別以點A、B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為5cm2，則OC的長為5cm．【答案】5．【分析】四邊形OACB的四條邊都相等，則這個四邊形是菱形．AB和OC是菱形OACB的兩條對角線，則根據菱形的面積=12AB×【解答】解：根據作圖方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四邊形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四邊形OACB的面積為5cm2，∴12AB×OC=12×2×解得OC＝5（cm）．故答案為：5．10．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點D和E；②分別以點D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F；③作射線BF交AC于點G；④過點G作GH∥BC交AB于點H．若∠HGB＝36°，則∠ABG的度數是36【答案】36°．【分析】根據作圖可得，BG是∠ABC的角平分線，則∠ABG＝∠CBG，根據平行線的性質可得∠HGB＝∠CBG，根據三角形內角和定理，即可求解．【解答】解：根據作圖可得，BG是∠ABC的角平分線，則∠ABG＝∠CBG，∵∠HGB＝36°，∴∠CBG＝36°，∵GH∥BC，∴∠HGB＝∠CBG＝36°，∴∠ABG＝∠CBG＝36°，故答案為：36°．11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D．若AC＝3，AB＝5，△ABC的面積為6，則CD的長為3【答案】32【分析】先利用勾股定理計算出BC＝4，作DH⊥AB于H，如圖，設DH＝x，則BD＝4﹣x，利用作法得AD為∠BAC的平分線，則根據角平分線的性質得CD＝DH＝x，接著證明△ADC≌△ADH得到AH＝AC＝9，所以BH2，然后在Rt△BDH中利用勾股定理得到22+x2＝（4﹣x）2，最后解方程求出x即可得到結論．【解答】解：在Rt△ACB中，BC=AB作DH⊥AB于H，如圖，設DH＝x，則BD＝12﹣x，由作法得AD為∠BAC的平分線，∴CD＝DH＝x，在Rt△ADC與Rt△ADH中，CD=DHAD=AD∴Rt△ADC≌Rt△ADH（HL），∴AH＝AC＝3，∴BH＝5﹣3＝2，在Rt△BDH中，22+x2＝（4﹣x）2，解得x=3∴CD=3故答案為：3212．如圖，已知線段a，b，求作一條線段，使它等于2a﹣b．作法：①畫射線AM；②在射線AM上順次截取AB＝a，BC＝a；③在線段AC上截取CD＝b．那么所求作的線段是線段AD．【答案】AD．【分析】根據線段的和差求解．【解答】解：根據線段的和差的定義可得：AD＝2a﹣b，故答案為：AD．三．解答題（共3小題）13．作圖題，求作一點P，使PM＝PN，且到∠AOB的兩邊距離也相等．【答案】見試題解答內容【分析】利用角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法分別得出進而求出其交點即可．【解答】解：如圖所示：P點即為所求．14．如圖，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上．（1）請在圖1中的⊙O上作一點D（異于點B），使AD=AB，連接BD并延長交AC的延長線于點M，過A作BC的垂線交BM于點（2）在（1）中所作的圖形中，若AB＝12，AC＝9，則AG的長為10．（如需畫草圖，請使用圖2）【答案】（1）見解答；（2）10．【分析】（1）先以A點圓心，AB為半徑畫弧交⊙O于D點，再延長BD交AC的延長線于點M，然后過A點作BC的垂線即可；（2）過A點作AH⊥BD于H點，如圖1，先利用垂徑定理可判斷AH經過圓心O，再根據圓周角定理得到∠BAC＝90°，則利用勾股定理計算出BC＝15，接著證明Rt△ABH∽Rt△BCA，利用相似比計算出BH=365，所以BD＝2BH=725，然后證明∠ABH＝∠BAG得到AG＝BG，最后證明△BAG∽△BDA，利用相似比求出【解答】解：（1）如圖1，（2）過A點作AH⊥BD于H點，如圖1，∵AB=∴AB＝AD，∴AH垂直平分BD，∴AH經過圓心O，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∴BC=AB∵AB=∴∠ABH＝∠ACB，∴Rt△ABH∽Rt△BCA，∴BHAC=AH解得BH=36∴BD＝2BH=72∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABC＝90°，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠BAG＝∠ACB，∵∠ABH＝∠ACB，∴∠ABH＝∠BAG，∴AG＝BG，∵AB=∴∠ABH＝∠ADB，∵∠ABG＝∠DBA，∴△BAG∽△BDA，∴BA：BD＝BG：BA，即12：725=BG：解得BG＝10，∴AG＝10．故答案為：10．15．如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD．若△ABC周長為16，AB＝5，則△ACD的周長為11【答案】11．【分析】證明△ACD的周長＝BC+AC，可得結論．【解答】解：∵MN垂直平分線段AB，'∴AD＝DB，∴△ACD的周長＝AD+CD+AC＝BD+CD+AC＝BC+AC，∵△ABC周長為16，AB＝5，∴BC+AC＝16﹣5＝11．∴△ACD的周長為11．故答案為：11．一．選擇題（共2小題）1．（2020?深圳）如圖，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分別截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分別以點P，Q為圓心，以大于12PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點R，作射線AR，交BC于點D．若BC＝6，則BDA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】依據等腰三角形的性質，即可得到BD=12【解答】解：由題可得，AR平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD是三角形ABC的中線，∴BD=12BC=12故選：B．2．（2019?深圳）如圖，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B兩點為圓心，大于12AB的長為半徑畫圓弧，兩弧相交于點M，N，連接MN與AC相交于點D，則△BDCA．8 B．10 C．11 D．13【答案】A【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分AB，利用線段垂直平分線的定義得