【中考數(shù)學】2024屆九年級地理論復習《二次函數(shù)與菱形綜合壓軸題》含解析

【中考數(shù)學】2024屆九年級地理論專題復習

《二次函數(shù)與菱形綜合壓軸題》

典例引領：

例.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的:丫=好+^久+c經(jīng)過點力(―3,-4)和8(0,-1).

(1)求拋物線的的函數(shù)表達式；

(2)將拋物線的向右平移2個單位長度得到拋物線。2,平移后的拋物線與原拋物線的相交于點C,

點￡是平面直角坐標系內任意一點，原拋物線的的對稱軸上是否存在點。，使得以瓦C,D,E

為頂點的四邊形是以BC為邊的菱形，若存在，請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

答案：(1)、=%2+4%-1

(2)(-2,—1)或(一2八后-1)或(-2,-V6-1)

分析：(1)將點/、8的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

(2)拋物線y=/+4%-1的頂點坐標為(-2,-5),對稱軸為直線x=-2,平移后的拋物線為

y=%2-5,可得點C的坐標為(一1,-4),設點。坐標為(-2,。，分BC為菱形的邊、菱形的的

對角線兩種情況，分別求解即可.

解：(1)解：將點/、8的坐標代入拋物線表達式得「4；2二：。+0，

解得d，

故拋物線的表達式為：y=x2+4x-1；

(2)拋物線的表達式為：y=/+4久一1=0+2/一5,

則平移后的拋物線表達式為：y=/—5,

聯(lián)立上述兩式并解得：［二］；，

故點C(—1,—4).

設點D(-2即)、點E(s,t),而點8、C的坐標分別為(0,-1)、(-1,-4)；

當BC為菱形的邊時，

點C向右平移1個單位向上平移3個單位得到B,同樣D(E)向右平移1個單位向上平移3個單

位得到￡(。)，

即-2+1=$且根+3=t①或一2-1=5且小一3=/<g),

當點。在￡的下方時，則BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32③，

當點。在E的上方時，則BD=BC,即22+(爪+1)2=/+32④，

聯(lián)立①③并解得：s=—l,t=2或一4(舍去一4),

m=t—3=—1,

故點。(-2,-1)；

聯(lián)立②④并解得：s=-3,t=-4土迷，

=t+3=逐一1或一1一傷，

故點D(-2,V6—1)或(—2,—V6—1);

綜上，點。的坐標為：(一2,-1)或(-2,述一1)或(-2,一遙一1).

點睛：本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質、菱形的性質、圖形的平移等，

其中(2),要注意分類求解，避免遺漏.

跟蹤訓練：

1.如圖，拋物線y=ox2+bx+c與X軸交于/(-1,0)>B(3,0),交y軸于C(0,3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)P是直線3C上方的拋物線上的一個動點，設尸的橫坐標為3當四邊形O2PC的面積S

最大時;

(3)設點M是x軸上的動點，在平面直角坐標系中，存在點N,直接寫出所有符合條件的點

N坐標.

2.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=N-2x-3的圖象與x軸交于/、2兩點，與y軸交

于點C,點/在點3的左側

(1)求/、B、C三點的坐標.

(2)過點尸作x軸的垂線，交BC于點、E,過點E作y軸的垂線，求尸￡+2跖的最大值以及此

時P點的坐標.

(3)將拋物線沿C8方向平移&個單位，點〃是新拋物線的頂點，點M是平面內一點，若

以/、。、H、M為頂點的四邊形是菱形

如圖，拋物線y=-^x2+x+4與％軸交于/(點/在點B的左側)，與了軸交于點C，連接/C,

。為第一象限內拋物線上的一個動點，過點。作直線?！啊?C,交x軸于點￡.

(1)求點4,B,C的坐標，并直接寫出直線3c的函數(shù)表達式.

(2)在點。運動的過程中，求線段的最大值及此時點。的坐標.

(3)在(2)的條件下，設。是坐標平面內一動點，是否存在這樣的點0和點N,使以￡>,N,

B,請直接寫出點。的坐標；若不存在

4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+6x+c經(jīng)過點/(-1,0),B(-1,0),直線尸嗎_

與拋物線交于C、。兩點，垂足為G,2?！?gt;軸

(1)求拋物線的解析式；

(2)當&尸G+P0取得最大值時，求點尸的坐標和加；

(3)將拋物線向右平移空個單位得到新拋物線，M為新拋物線對稱軸上的一點(2)中

4

&PG+P。最大時，直接寫出所有使得以點P,M

5.如圖，拋物線y=-x2+6x+c與x軸交于點/(-1,0),B(4,0),與y軸交于點C,連接8C

(不與點C,B重合)，過點P作尸?！▂軸交拋物線于點。.

(1)求拋物線的表達式和對稱軸；

(2)設尸的橫坐標為3請用含f的式子表示線段的長，并求出線段尸。的最大值；

(3)已知點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N是平面直角坐標系內一點，當線段取得

最大值時，N,使得四邊形尸是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標，請說明理由.

yyy

ccc.

p

ABA

A/,B>

/O\x/O\x/O\x

圖i圖2備用圖

6.綜合與探究:

如圖，已知拋物線y二浮號x+6與x軸交于/(點N在點8的左邊)，與了軸交于點C.直

線5C與拋物線的對稱軸交于點及將直線5C沿射線C。方向向下平移〃個單位，平移后的直

(2)當△CD3是以2。為斜邊的直角三角形時，求出〃的值；

(3)直線3c上是否存在一點P,使以點。，E,F,P為頂點的四邊形是菱形？若存在；若不

存在，請說明理由.

7.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(存0)與x軸交于4、3兩點，與y軸交于點C(0,6),且。(1,

8).

y,

(2)若在線段3c上存在一點M,過點。作O〃_LOM交CB的延長線于〃，且A/O=〃O；

(3)點尸是＞軸上一動點，點0是在對稱軸上一動點，是否存在點尸，Q,Q,C,。為頂點

的四邊形是菱形？若存在，求出點。的坐標，請說明理由.

8.如圖，已知直線y=魚x+4與x軸交于點/，拋物線y=aN+6x+4經(jīng)過C兩點，且與x軸的

3

另一個交點為3

(1)求拋物線的表達式；

(2)。是第二象限內拋物線上的動點，設點。的橫坐標為加，求四邊形/BCD面積S的最大

值及此時D點的坐標；

(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點尸，Q,使以點4C,P,請求出P,。兩點的坐

(1)求該拋物線的解析式并寫出頂點M的坐標；

(2)點P是拋物線上一動點(不與/、3重合)，設點尸的橫坐標為人

①當點尸在直線3C下方時，如圖1,過點尸作尸G〃x軸交直線C2于點G,求線段PG的最

大值；并求此時△PC8面積；

②如圖2,直線/尸與y軸交于點尸，其中。/=",請求出所有符合條件的/的值;

(3)若將拋物線向右平移，新拋物線的頂點為N,點。為x軸上一點.若以點M、N、B、Q

為頂點的四邊形是菱形

另一個交點為3

(1)求拋物線的表達式；

(2)。是第二象限內拋物線上的動點，設點。的橫坐標為相，求四邊形面積S的最大

值及此時。點的坐標；

(3)若點P在拋物線對稱軸上，點。為任意一點，是否存在點P、Q,C,P,。為頂點的四

邊形是以NC為對角線的菱形？若存在，請直接寫出尸，若不存在，請說明理由.

11.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=工/+/+<?經(jīng)過點/(-4,0),點M為拋物線的頂

2

點，點3在〉軸上(2,6).

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接。C,點。是直線NC上不與/、3重合的點，若%囚2=25.這，請求出點。的坐

標；

(3)在x軸上有一動點X,平面內是否存在一點N,使以點/、H、C、N為頂點的四邊形是

菱形？若存在，若不存在，請說明理由.

12.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，若點/關于x軸的對稱點。在一次函數(shù)y=yx+b

的圖象上.

(1)求b的值；

(2)若一次函數(shù)y=-2x-1與一次函數(shù)y=-x交于B,且點B關于原點的對稱點為點C.求

過4,B,C三點對應的二次函數(shù)表達式；

(3)尸為拋物線上一點，它關于原點的對稱點為點。.

①當四邊形尸50c為菱形時，求點尸的坐標；

②若點尸的橫坐標為:(-當，為何值時，四邊形尸8QC的面積最大？請說明理由.

13.如圖1,拋物線y=aN+6x+3交x軸于點/(3,0)和點3(-1,0),交y軸于點C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)若點。是直線/C上方拋物線上一動點，連接8C,和8D,設△4DM的面積為

△BCM的面積為S2,當$-S2=1時，求點D的坐標；

(3)如圖2,若點尸是拋物線上一動點，過點P作軸交直線/C于。點，使以P,Q,

E,C為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點E的坐標；若不存在

0)，點初為拋物線的

頂點，點2在y軸上(2,6).

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點尸Cm,n)在拋物線上，當-4W—W2時;

(3)連接。C,點0是直線/C上不與/、3重合的點，若&ae=2SAoa,請求出點。的坐

標；

(4)在x軸上有一動點X,平面內是否存在一點N,使以點/、H、C、N為頂點的四邊形是

請說明理由.

15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線＞="2+及+3；與x軸交于點n和C,與了軸交于點

8.點P為直線上方拋物線上一動點，交線段于點已知點/(4,0)

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)求當〃■是P。中點時的尸點坐標;

(3)作PN_L4B,垂足為N,連接尸5

請從下列兩個問題中任選一個問題完成.若兩個問題都被做了，則按照第一個題給分.

問題①：求PN的最大值;

問題②：求△B48的面積最大值.

(4)連接。當x為何值時，四邊形0Mp3為平行四邊形？四邊形0MPB能為菱形嗎？若

能求出尸點坐標，說明理由.

參考答案

1.解：(1)拋物線》=QX2+6X+C與1軸交于4(-1,7),0),3).

a-b+c=8a=-l

:9a+3b+c=6，「?<b=8，

c=3c=3

???拋物線的表達式為y=-N+8x+3.

(2)設直線BC的表達式為：y=kx+3f代入B(8,k=-1,

??y—~x+3,

過尸作PQ〃歹軸交5C于點。，設尸(R+2X+3),Q(x,

**?PD=(-x8+2x+3)-(_x+6)=-N+3x,

?二S四邊形03尸c=S△尸5cH~品。§。=旦x3二尸Z)+81x3*(-x2+5x)+—x4><3=--x2+—x+——(x-—)

223234226

2+毀，

8

.?.當：=$時，s醐彩oac的最大值=旦3,此時P點的坐標(2,坨).

2824

(3)存在點N,使得以點/、C、M,滿足條件的N的坐標為(415百3，7)或(0,3)

A(-4,0),3)A/10，當/C作為菱形的一條邊時，N(V10Vl0，8)或(0.

當/C作為菱形的對角線時，設菱形的邊長為x,OC=3,OM^AM-OA^x-3,32+(x-8)

??x=7.

：.N(-5,3).

0=x6-2x-3,

解得x=5或x=-1,

：.A(-1,5),0),

在數(shù)y=N-7%-3中，令x=0得>=-8,

：.C(0,-3),

：.A的坐標為(-6,0),0),-7)；

由5(3,0),-7)得直線5c解析式為》=%-3,

設P(冽，m2-3m-3),則石1(m,

:.PE=m-3-(m3-2m-3)=-m5+3m,EF=m,

；?PE+2EF=-m2+3m+2m=-m2+5m=-(m-—)2+-^-,

84

???-3<0,

，當機=8時，PE+2跖取最大值空，

54

止匕時機3-2m-3=--,

4

：.P(區(qū),-工);

44

(3)把拋物線y=x4-2x-3=(x-5)2-4沿CB方向平移個單位，再向上平移1個單位,

，新拋物線解析式為y=(x-1-8)2-4+2=(x-2)2-8=x2-4x+3,

新拋物線頂點〃(2,-3),

設。(5,t),〃),

又/(-1,0),

①若HQ,M4為對角線,MA的中點重合,

2+2=m-l

-4+t=n,

,18=9+t2

/_/

m=3]m=7

解得，n=0或，n=-6(H,舍去),

.t=3t=-3

：.M(7,0)；

②若HM,0/為對角線,QA的中點重合,

2%1=2-1

-3+n=t

2

L18=(t+6)

m=-lm=-l

解得-n=8V2或＜n=-6V^,

,t=3V5-3lt=-3V2-3

：.M(-1,3&)或(-b./6);

③若4H,。加■為對角線，0M的中點重合,

’2-1=2加

-3=t+n

.9+t4=(t+3)2

m=-7

解得，n=-3，

t=0

:?M(-6,-3)；

綜上所述，M的坐標為(5,4&)或(-1")或(-1.

3.解：(1)令夕=0,

...—1-2+x+4.=4，

4x

解得：X1=-2,X6=4,

，點/(-2,8),0),

令x=0,則y=8,

...點C(0,4),

設直線BC的函數(shù)表達式為》=履+6,

把點3(6,0),4)分別代入＞=依+6中

(2k+b=0,

ib=4

解得」kf

lb=4

???直線8c的函數(shù)表達式為夕=-x+4,

即點/(-8,0),0),5)；

(2)如圖1,設直線DE交y軸于N,DE于H,

：.NDFM=ZFCO=NCOG,NFDM=ZCND=NOCG,

叢MDFs叢GCO,

?.?-M-D--G-C-,

DFCO

：GC和CO的長為定值，

???曲為定值，

DF

當。尸的長最大時，的長最大，

設。Cm,—^-m2+m+4-),則點尸(機，

5

：?DF=WnT+in+3+冽一4=-Am2+2m=—~(m-2)日+2,

當加=2時，。方有最大值,

此時點。的坐標為(5,4)

設直線AC的解析式為y=kx+b,

把點/(-2,5),4)代入y=fcv+6求出直線/C的解析式為y=2x+5,

..?直線。河可以看作是直線/C向右平移2個單位，

二直線DM的解析式為y=2(x-7)+4=2%,

由題意得：5x=-x+4,

解得：x=生

7

當x=2■時，7=—?

33

.?.點M(1,g),

83

DM=J(8《),+(41)*=-^/5，

即DM的最大值為看,此時點D的坐標為(2；

(3)存在.

由(2)知點。坐標為(5,4),

又,；點B(4,6),

5￡>=V(4-2)6+42=3V5>如圖2,DQ=BD=*^,

的坐標為(4+W^，2),Q的坐標為(2-8?,4),當3。作對角線時，2),

如圖4,當。。作對角線時,

，點。3的坐標為（8,-4）,

綜上所述，。點的坐標為（7,（8+2'而，＜6-275-（4.

4.解：(1)把N(-1,0),B(-L,oy+bx+c,

l-b+c=0

解得：;，

6

I2

??.該拋物線的解析式為尸N--5..

（2）如圖1,延長尸。交直線CD于點區(qū)

???直線y=x+」與坐標軸交于E.

：.E（二，6）,工），

22

:.OE=OF=L,

2

ZEOF=9Q°,

：.ZEFO=45°,

〃了軸，即尸0〃EF,

，ZPHG=NEFO=45。,

'JPGLCD,

.?.電=sin/PHG=sin45°=?,

PH2

:.PH=MPG,

設P(f,產(chǎn)--,t+—),3),

282

：.PH=t+--Ct3-—t-鼻2+2什37-3/-&+2當什

22222224

:?近PG+PQ=PH+PQ=-f2+旦什3+(-22+7什里=-2(-4)2+^-,

22222

：-5<0,

...當f=1時，47PG+PQ取得最大值手，點P的坐標為(1；

(3)存在點N,使以點/,P,M,理由如下：

'：A(-8,0)0),

5

???原拋物線的對稱為直線x=3,

8

???新拋物線的對稱軸為：直線x=4,并設對稱軸與x軸交于點T；

由(2)知尸(1,-4),

?1?^=V(-l-l)8+[0-(-3)]4二代

設點M的坐標為(4,s),w),

當/尸為菱形的邊時，

①以點尸為圓心，/尸長為半徑作圓1,MT，過點P作尸軸交直線x=4于點R,如圖所示,

此時PR=3,

由勾股定理可得可得，MiR=M1R=2,

:.M\T=5,M2T=5,

：.M4(4,-1),MT,(4,-5),

,：A(-7,0),-3),

???點A向下平移4個單位長度，向右平移2個單位長度可得到點P,

...點Mi(2,-1)向上平移3個單位長度6(2,2),

同理可得，外(2,-2)；

②以點/為圓心，/尸長為半徑作圓，

,：AT=6,且5>近§,

此圓與直線x=4無交點；此時不存在點N.

當4P為菱形的對角線時，為另一對角線，此時/尸的中點為(5,-3),

2

設MN與直線x=2的交點為法，

:點/(-1,5),-3),

/.直線AP的解析式為：y=-lx-

42

二直線AW的解析式為：j^=—.

36

：.Mi(4,—),

6

由中點坐標公式可知，M(-2,-空).

6

5.解：(1)設拋物線的表達式為：y=-(x-xi)(x-X2),

即y=-(x+4)(x-4)=-x2+8x+4,

則拋物線的對稱軸為直線x=-———^=立

3X(-1)6

(2)設直線8C的表達式為：y^kx+4,

將點8的坐標代入上式得：0=34+4,解得：k=-1,

故直線BC的表達式為：y=-x+6,

設點P(f,-什4),-祥+5什4),

則PQ=(-祥+8什4)-(-?+4)=-t5+4t,

V-1<3,故尸。有最大值，

當r=2時，P0的最大值為4；

(3)存在，理由：

當/=4時，點尸(2,

設點M(3,m),0)；

2

:四邊形PEW是菱形,

則2尸=5〃，即(4-6)2+26=(4-3)2+m2,

3

解得：加=+1,

一2

即點M的坐標為(3,丘)或(2,-近).

7224

6.解：(1)當歹=0時,--|-X2+|-X+6=0>

解得x=-3或x=8,

：.A(-2,3),0),

當x=0時，y=6,

：.C(0,6),

設直線AC的解析式為y=kx+3,

-2左+6=6,

解得左=3,

???直線AC的解析式為y=3x+4,

設直線BC的解析式為y=㈤x+6,

?,?8發(fā)+3=0,

解得ie=-3,

7

直線BC的解析式為y=-當+5；

???拋物線的對稱軸為直線x=3,

：.E(8,區(qū))，

4

平移后的直線解析式為尸--j-x+6-n,

：.D(3,-n),

3

；.CD2=9+(?+±)2,BD2=25+(^-n)2,B^lOO,

44

；ACDB是以BC為斜邊的直角三角形，

.?.100=9+(〃+且)2+25+(生-")6,

74

解得“=3+8&或n=3-4~/6.

44

(3)存在點P,使以點。，E,F,理由如下：

當4x+6=-—x+6-〃時-^-n,

515

：.F(-且"，-—w+8),

155

當EF、FD為鄰邊時,

：.ED±FP,

，尸尸〃x軸,

：.P(6+-^-n,-—n+6),

155

-—77+6=-工)+7,

5

解得"=工

2

：.P(8,3)；

當跖為菱形的對角線時，F(xiàn)P//ED,

：.P(-工—n+6),

158

:PE=ED=n,

:.E點向左平移居"個單位3"個單位得到P點,

35

：.P（2-&,尊+斗），

525

解得〃=至，

8

：.P（-烏，紅）；

48

綜上所述：P點坐標為（8,3）或（-3,至1）.

22

7.解：（1）?拋物線y="2+6x+c（存0）頂點為。，且。（5.

...拋物線解析式為y=a（x-1）2+6,

把點C(0,6)代入得0+8=6,

??6Z=2,

...拋物線的解析式為＞=-2(x-1)2+6=-2x2+7x+6；

(2)''y--2x2+4x+6,令y=82+4x+7=0,

解得x=3或-4,

：.A(-1,0),3),

設直線BC的解析式為y=kx+t,

:直線BC經(jīng)過點3(3,0),3),

.pk+t=0

"lt=2

解得(k=-2,

lt=6

,直線BC的解析式為y=-7x+6,

設點M的坐標為(m,-2m+8)(0<m<3),

如圖8,過點M作軸于點N,

則ZMNO=ZOKH=90°,

"：OHLOM,

：.ZMOH=90°,

'：MO=HO,

：.AMOH是等腰直角三角形，

VZMON+ZKOH=90°,ZOHK+ZKOH^9Q0,

：.ZMON=ZOHK,

:.△OMN"/\HOK(AAS),

：.MN=OK,ON=HK.

：.H(-2加+6,-m),

■1點H(-3冽+6,-m)在直線＞=-2x+8上，

-2(-2m+3)+6=-m,

解得：“=反，

6

把機=旦代入y=-8x+6得：y=后■,

55

...點M的坐標為（旦，歿）；

55

（3）分兩種情況討論：

VC(0,6),3),

CD=4]2+（4-6）2=&，

'.DQ=CD=y[s，

二。點的坐標為（1,2-辰,8+我）;

②當CA為菱形的對角線時，

如圖3,設點。（1,P（6,

VC(0,6),5),

加+〃=6+8=14,

14-m.

:?P(6,14-加)，

.*.PC=14-m-6=8-m,

?10*82+3-6)5,PC=CQ,

?'-8-m=Vl2+(m-6)2,

解得：m=—,

8

...點。的坐標為（1,—）；

4

綜上所述，點。的坐標為（775）或（1V2）或（1,空■）.

4

8.解：（1）對于丫=言*+3，當x=0時，當y=0時，

3

...點/的坐標為（-8,0）,4）,

:對稱軸是直線：x=-5,

=4

9a_3b+c=7a

3

c=4

二有：〈解得：b=V'

—^-=-2

2a

c=4

726,

拋物線的表達式為:y=~x-^x+4；

(2)對于y=—1-乂"--|_>+4，當》=4時，,4X+2=CH=5,切=1,

oOoO

...點5的坐標為(7,1),

又；點/(-3,8),4),

/.OA=3,08=7

...點。的坐標為(m,n),則門二三/-|■In+5，

33

：.OE=-m,DE=n,

.\AE=OA-OE=3-(-m)=m+3,

???QEJ_%軸，則四邊形。CQE為直角梯形，

811

S四邊形加(OC+DE)?OE=y(4+n)?(-m)=-^iun-2m，

OCDE/fD

S

又AADE^AE'DE^(m+3)n=^-nffHyn-SAB0C=^OB'OC=yX6X4=2,

u乙乙乙0乙

??S——S四邊形

又

R4-9R99

S吟(Vm吟m+4)-2m+8=-2m-8m+8=-2(m+2.5)+12.5,

Zo0

當機=-1.5時，S為最大，

止匕時n=-^m2《111+4=5

...點。的坐標為(-1.5,6).

(3)存在點尸和點°,使以點/,C,P,理由如下:

:點P在拋物線的對稱軸x=-1上，

...可設點P的坐標為：（-1,/）,

?.?以/,C,P,。為頂點的四邊形是以NC為對角線的菱形,

:.PA=PC=QA=QC,NC與尸?；ハ啻怪逼椒郑?/p>

設直線x=-6與x軸交于點凡過點尸作尸TUy軸，

，CM=3,C0=4,OT=PF=t,

：.AF=OA-0F=4-1=2,CT=OC-07=4-t,

在RtZUP/中，由勾股定理得：PA^PF^+AF6=t?+4,

在RtZXCPT中，由勾股定理得：PC2=PT1+CT2=6+(4—)2

.12+4=1+(6-力2,解得：占

8

二點尸的坐標為（-5,至），

8

設點K的坐標為（XK，>K），

:點K為/C的中點，

???XK^X（-3+0）=-7.5，Yv-yX（0+4）=3>

設點。的坐標為（XQ,歹0）,

???點K為尸。的中點，

5=,X（XQ+1），3^X仇喏），

解得：XQ—~2,=—7—>

二點。的坐標為（-3,號）.

9.解：（1）;拋物線與x軸交于/（1,0）,3）兩點,

???設所求拋物線的函數(shù)表達式為y=a（x-5）（x-1）,

把點C(8,5)代入,

解得。=1,

所求拋物線的函數(shù)表達式為y=(x-4)(x-1)=/-4X+5=(x-3)8-4,

.?.點M坐標為(3,-8)；

(2)①過點尸作尸軸，交8C于點￡,

圖1

,:B(5,0),7),

，直線3C的函數(shù)表達式為夕=-x+5.

,點尸的坐標為。，修-7什5),

...點￡的坐標為(/,-Z+5),

：PG〃x軸，

?■.點G的坐標為(-fi+6t>t2-2t+5),

??PG—XG_xp--t2+2t-t—-fi+5t--(t-—)2+-。」，

23

V-l<0,當片哇時坦，

24

：.P(2，-空)；

24

??PE=yE~yp—(-￡+4)-(P—6/+2)=-盧+5/,

S^PBC=—*PE*(XB-xc)——(-祥+5力=-—(/-—)2+125,

22268

???-2<0,

.?.當時，S.BC最大值為」?空；

68

@'：OA^OF,A(1,

：.F(6,-1),

，直線/尸解析式為：y=x-l,

如圖3,過點2作直線/尸的平行線/i交y軸于點￡,

圖2

二直線BE解析式為：y=x-5,

：.E(4,-5)

...點E關于點尸的對稱點X(0,3),

過點〃作/尸的平行線［2,

..?直線/2解析式為：y=x+7,

直線/1和/2與拋物線的交點即為符合條件的點P,

令爐-6x+5=x-2和N-6x+4=x+3,

解得x=2或x=2(舍)或x=和x=5-V^I

22

綜上所述，所有符合條件的/的值為2或墾退L或上返L；

24

(3)'：B(5,0),-8),

:.BM=2芯,

???。和8都是x軸上的點，N是M平移后的點，

：.QB//MN,且點N在"的右側，

若點M、N、B、。為頂點的四邊形是菱形

z)當點。在點3的右側時，如圖6?,

，新拋物線的表達式為y=(X-8-2V5)2-4；

zz)當點Q在點B的左側時，如圖4,

圖4

.'MB中點為(4,-2),

直線Affi解析式為y=2x-10,

設。Qq,2),

:?N(8-g,-4),

?；MN=QM,

???6-q-3=V(3-q)4+(-4)2>

解得q=8,

：.N(8,-4),

，新拋物線的表達式為y=(x-4)2-4；

綜上所述，滿足條件的拋物線解析式為y=(X-7-2V5)4-4或了=G-8)8-4.

10.解：(1)當x=0時，y=4,

：.C(4,4),

當。=0時,-1-x+4=8,

o

??x--~3,

：.A(-3,4),

???對稱軸為直線工=-1,

：.B(1,2),

「?設拋物線的表達式：y—ci(x-1),(x+3),

.*.2=-3〃，

?.?及二f4

b

..?拋物線的表達式為：y=—(x-7)*(x+3)=-^x2—1-x+4;

367

(2)如圖1,

作。于/，交AC于E,

?3237

，D(m,-77111+4)?E(in,—m+4)?

oo

?027

?，-DE=--m-77111+4-

'SzkADCADEQA吟.(Wm2_4m)=-3m2-6ir,

7SAABC號研式二方又4X4=5，

?,S=-2m2-3m+8=-2(m+^)^+^->

???當m=-|時，S最大普，

當m=-1■時，y=-|-XX(得+3)=5，

ZoDf

5)；

(3)設尸(-7,〃)，

..?以/,C,P,0為頂點的四邊形是以/C為對角線的菱形，

；.PA=PC,

即：R42=pc,

：.(-2+3)2+H8=1+(n-4)3,

p(-1>孕)，

o

*.*XP+XQ=XA+XC^yp+yQ=yA+ycf

=?:

?\XQ=-3-(-1)=-8,=4->蓑~^

圖1

11.解：(1)把/(-4,0),4)代入y=^x'

+bx+c，

得：p-4b+c=3；

l2+2b+c=7

解得(b=2,

lc=0

，拋物線的解析式為y=^x2+6x；

(2)-：A(-4,0),4),

SAOCA4X8X6=12,

SAOAQ=2SAOCA=24,

設直線AC的表達式為y=kx+d,

將點/(-7,0),6)代入得：<P=-4k+d

(6=6k+d

解得心口,

Id=4

?'?AC的表達式為歹=x+7.

設點。的坐標為(［，9+4),

SAO?4X4|<1+4|=24,

解得g=-16或q=5,

當q--16時，g+4=-12,

當4=8時，q+2=12.

.?.點。的坐標為0（-16,-12）或。（8；

（3）存在一點N,使以點/、H、C,理由如下:

①當/C為菱形的對角線時，如圖所示，

由（2）可知，04=08=4,

ZBAO=45°,

：.ZNAO=90°,

，菱形為正方形，

②如圖所示，當為菱形對角線時，C,

③，當/N為對角線時，^=^1（2+4）5+（6-0）5=672,

，CN=AC=5值，

...點N的坐標為（2+/，6）或（2-5加，6）.

綜上所示，點N的坐標為：N（6+672,7）或6）,6）或N（3.

12.解：（1）：一次函數(shù)了=-2x-1與y軸交于點/，點/關于x軸的對稱點。在一次函數(shù)y='x+b，

???點A坐標為（0,-4）,

???點。坐標為（0,1）,

:點。在一次函數(shù)y得X+b的圖象上，

5

???15xo+b，

:?b=8；

（2）由方程組產(chǎn)-2x7,解得卜=-6,

ly=-xIy=l

點坐標為（-1,7）,

又C點為8點關于原點的對稱點，

.??。點坐標為（1,-1）,

:一次函數(shù)y=-7x7與y軸交于點/,

：.A點坐標為（0,-7）,

設二次函數(shù)對應的函數(shù)表達式為y=aN+6x+c,

-l=c

把4B,C三點的坐標分別代入，得，3=a-b+c，

-l=a+b+c

a=l

解得b=-8-

Lc=-1

...二次函數(shù)對應的函數(shù)表達式為y=x2-x-4；

(3)①當四邊形尸2QC為菱形時，PQLBC,

?.?直線3c對應的函數(shù)表達式為y=-x,

二直線PQ對應的函數(shù)表達式為y=x.

Z

V=X

聯(lián)立方程組2

Ly=x-x-1

解得卜=8-噌或卜=1+即，

y=l-V7[y=6+v2

...尸點坐標為1飛歷)或(3/，1W7)；

②當f=0時，四邊形P3QC的面積最大

如圖，過P作PD_L3C,過尸作x軸的垂線，

易知S四邊形PBQC=2SAPBC=3XyBCPD=BCPD)

:線段3C的長固定不變，

...當PD最大時，四邊形尸80。的面積最大，

易知/P￡D=N/OC(固定不變)，

...當PE最大時，尸。也最大，

■:P點在二次函數(shù)圖象上，E點在一次函數(shù)y=-x的圖象上,

，尸點坐標為(r,-1-1),￡點坐標為(/,

:?PE=~t~(F-/-2)=-F+1,

.??當，=3時，依有最大值1,即四邊形尸5QC的面積最大.

13.解：(1)把點/(3,0)和3(-6.9a+3b+6=0

a-b+3=6

=-

解得:al

b=2

二拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

(2)設。(x,y)5+2X+3,令X=5,

：.C(0,3),

：S8-S2=l,

：.S8=S2+1,

S6+SAABM-S2+SAABM+1>即S^ABD=SA0BC+5,

.*._Lx8xy=工，

22

??—?y—3—,

2

-x2+6x+3=—，

4

解得X=1+返>或X=1-亞_；

58

...點。的坐標為(1+亞，工)或(3-巨，1)；

2222

(3)存在，理由如下：

設直線NC的解析式為：y=kx+b',

..J3k+b，=3,

"lby=3

解得,

lby=3

...直線NC的解析式為：y=-x+3；

"：A(3,4),3),

：.OA=OC=3f

：.ZOAC=ZOCA=45°f

此時四邊形CEQ尸是正方形.

^PQ=EQ.

設尸（加，-m2+2m+3）,貝!J。（冽，

??PQ-—m2+3m,

-m2+7m=m,解得加=0（不合題意舍去）或加=2,

止匕時OE=OC-m=3-2=1,

：.E（2,1）.

②當。。為菱形的邊時，作于點

沖

E、

設P（m,-m2+5m+3）j貝!J0（m,

：.HQ=\m\,PQ=\-m2+4m\,

VZOG4=45°,

:.CQ=?HQ=\?,

CE=PQ=\-/w6+3m|=|V2^|>

解得：加8=3-\反，〃%=3+&或加=6（舍）.

：.Ei（0,5-3揚，E5（0,