河北省邯鄲市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年度高二年級上冊期中數(shù)學(xué)試題【解析版】

河北省邯鄲市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年度高二上學(xué)期期中

數(shù)學(xué)試題【解析版】

注意事項:

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題

卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案

標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題

時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.雙曲線片-片=1的虛軸長為()

84

A.2B.272C.4D.4拉

2.已知平面ABC,AB±BC,BD=l,AB=2,BC=3,則空間的一個單位正

交基底可以為()

A.\-BC,BD,—AD

B.

35

C.，BC,BD,與ADD.\BC,BD,^BA

3.若尸為拋物線V=4x上一點，且尸到焦點廠的距離為9,則尸到,軸的距離為()

A.7B.10C.8D.9

4.在四面體。4SC中，。為BC的中點，E為AD的中點，則OE=()

A.-OA+-AB+-ACB.OA+-AB+-AC

24444

C.-OA+-AB+-ACD.OA+-AB+-AC

22222

_22

5.“相＞#”是“方程^—+工=1表示的曲線是橢圓”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.已知圓M：Y+(y+l)2=1與圓N：(x-2)一+(y-3)2=1關(guān)于直線/對稱，貝!J/的方

程為()

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.x+2y-3=0D.2%+y-3=0

7.某廣場的一個橢球水景雕塑如圖所示，其橫截面為圓，過橫截面圓心的縱截面為橢

圓，該橢圓的離心率為石.若該橢球橫截面的最大直徑為1.8米，則該橢球的高為()

2

A.3.2米B.3.4米C.4米D.3.6米

8.設(shè)A是拋物線C：上的動點，3是圓(x+8)?+/=1上的動點.則|明

的最小值為()

A.730-1B.4A/2-1C.2近-1D.27

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項

中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯

的得0分.

9.若直線依+2y=0與直線x+a(a+l)y+4=0垂直，則”的值可能是()

32

A.—B.—C.0D.1

23

22

10.已知橢圓C：一+2=1的兩個焦點為耳，尸2，尸是C上任意一點，貝IJ()

425

A.耳|+|尸閶=4B.閨局=2衣"

C.|尸耳歸5+eD.|尸耳卜|桃區(qū)25

11.在棱長為1的正方體ABC。-ABGA中，AP=tADl+(l~t)AB,Ze[0,1],則()

A.當(dāng)BA_L平面ACP時，t^-

3

B.APCP的最小值為-g

2

C.當(dāng)點O到平面AC尸的距離最大時，t=-

2

D.當(dāng)三棱錐O-AGP外接球的半徑最大時，t=-

22

12.已知雙曲線C：二-2=l(a>0,b>0)的右焦點為歹，過點歹作C的一條漸近線

ab

的垂線，垂足為A,該垂線與另一條漸近線的交點為8,若仁川則C的

離心率可能為（）

A-VI7IB-VrTIc-kD-

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直線＞也的傾斜角為.

33

14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A（5,2,l）,8（4,2,-1）,C（0,-l,0）,￡＞（1,0,1）,則直線

AB與CO所成角的余弦值為.

15.石城永寧橋，省級文物保護單位，位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)

格獨特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面L6m時，水面寬6.4m,

當(dāng)水面下降0.9m時，水面的寬度為m；該石拱橋?qū)?yīng)的拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距

離為m

16.若曲線［+石）（后-y-2）=o與圓*2+（打回2=蘇恰有4個公共點，則，〃的取

值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

17.已知直線/經(jīng)過直線4：x-y+l=。與直線4：2x+y-4=0的交點.

⑴若直線/經(jīng)過點（3,3）,求直線/在x軸上的截距；

⑵若直線,與直線4：4尤+5＞-12=0平行，求直線/的一般式方程.

2

18.已知雙曲線C的中心在原點，過點（2,0）,且與雙曲線爐-三=1有相同的漸近線.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知A,3是雙曲線C上的兩點，且線段4B的中點為加（3,3）,求直線4B的方程.

19.如圖，在正三棱柱A4G-A8C中，。，￡,尸分別為AC,CG,8c的中點，^=273,

AB=2.

(D證明：。尸〃平面A4E.

(2)若耳/_1■平面a,求平面a與平面4B4夾角的余弦值.

20.已知圓C與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切，且截直線x-y=0所得弦長等于2.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求圓C截直線3x-y=0所得弦長；

(3)若尸(x,y)是圓C上的一個動點，求z=x?+/+4尤+6y+18的最小值.

21.如圖1,在菱形ABCD中，ZABC=60°,將，ABC沿著AC翻折至如圖2所示的VA^C

的位置，構(gòu)成三棱錐瓦-ACD.

(1)證明：ACLB.D.

⑵若平面ACg,平面AC。，E為線段。上一點(不含端點)，且與￡與平面4耳。所

成角的正弦值為姮，求名的值.

10CD

22.已知橢圓C：[+1=1(。＞人＞0)的右焦點為尸(3,0),離心率為題.

ab10

⑴求C的方程.

(2)若A,8為C上的兩個動點，A,B兩點的縱坐標(biāo)的乘積大于0,M(TO),N(4,0),

且ZAFM=NBFN.證明：直線A3過定點.

1.c

【分析】根據(jù)雙曲線的虛軸定義求解.

22

【詳解】由土-匕=1可得。2=41=2,故虛軸長為給=4,

84

故選:C.

2.B

【分析】先得到A3,3C,3。兩兩垂直，再根據(jù)其長度得到空間的一個單位正交基底.

【詳解】因為2平面ABC,平面ABC,

所以BDLBC.

因為AB13C,即AB,BC,或）兩兩垂直，

又BD=1,AB=2,BC=3,

所以空間的一個單位正交基底可以為［BC&Z；氏”.

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)題意，由拋物線的定義，即可得到結(jié)果.

【詳解】根據(jù)拋物線的定義可得P到焦點F的距離等于P到準(zhǔn)線X=-I的距離，所以P到y(tǒng)軸

的距離為9-1=8.

故選：C

4.B

【分析】利用向量的線性運算可得答案.

【詳解】因為。為2C的中點，所以AD=g（A8+AC）.

因為E為A￡＞的中點，所以AE=；AD=；（AB+AC）,

所以O(shè)E=OA+AE=OA+%B+LAC.

44

故選：B.

0

5.C

【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，結(jié)合充分性和必要性的定義進行判斷即可.

22

【詳解】若方程^—+上=1表示的曲線是橢圓，則病-6＞0,加＞0,且病一6片小

m-6m

_22

所以〃?＞#且，”*3.故“7”＞遙，，是“方程^―+工=1表示的曲線是橢圓”的必要不充分條

m-6m

件.

故選：C

6.C

【分析】根據(jù)兩點的坐標(biāo)，求其中點坐標(biāo)以及斜率,根據(jù)對稱軸與兩對稱點連接線段的關(guān)系，

可得答案.

【詳解】由題意得M(OT),N(2,3),則MN的中點的坐標(biāo)為(1,1),

直線的斜率右、=言=2.

,-11

由圓M與圓N關(guān)于/對稱，得/的斜率勺=「=-3'

km2

因為肱V的中點在/上，所以=即x+2y—3=0.

故選：C.

7.D

【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)解題即可.

【詳解】由題意可知，-=Ai-4=-＞則。=勸，

a\a22

由該橢球橫截面的最大直徑為1.8米，可知幼=1.8米,

所以6=0.9米，a=1.8米，該橢球的高為2a=3.6米.

故選：D

8.C

【分析】根據(jù)兩點間距離公式、圓的幾何性質(zhì)，利用配方法進行求解即可.

【詳解】由（尤+8）2+y2=in"（_8,0）,半徑為1,

設(shè)A[_彌，m則++m2=^m4-3m2+64=^（m2-24）2+28,

當(dāng)機2=24時，「取得最小值28,所以141fM=2近,所以1mto=2、-1.

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用圓的幾何性質(zhì)和配方法.

9.AC

【分析】根據(jù)互相垂直的兩直線方程的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】依題意可得。+2。（。+1）=0,解得°=0或4=-3

故選：AC

10.BCD

【分析】根據(jù)橢圓的定義可判定A、B,根據(jù)橢圓方程及二次函數(shù)的性質(zhì)可判定C,根據(jù)基

本不等式可判定D.

【詳解】設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,26,2c,

因為4<25,所以4=25,〃=4,°2=25-4=21,

所以|P耳|+|尸閶=2a=10,忸司=2c=20I,故A錯誤，B正確；

設(shè)戶（x°,兒），耳（0,-c）,0<|y0|<5,

則青+興=0%2*_攀=[%+。

即|尸團=?%+5V01+5,當(dāng)為=5時取得最大值，故C正確；

由橢圓定義及基本不等式可知：歸周忖國4=25,故D正確.

故選：BCD

11.AB

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運算，對選項逐一判斷，即可

得到結(jié)果.

【詳解】

以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則3(1,0,0),2(0』」)，C(l,l,0),

則CP=C4+AP=(TJ_1J).

當(dāng)平面ACP時，BDlCP=t+t-l+t=0,解得f=g,故A正確.

AP-CP=-t(l-t)+t(t-l)+t2=3t2-2t=3^t-^-1,當(dāng)f時，APC尸取得最小值，且

最小值為-g,故B正確.

當(dāng)尸是的中點，即/=：時，平面ACPJ_底面ABC。，此時，點。到平面ACP的距離最

大，故C錯誤.

因為ADLCZ),所以過斜邊AC的中點作平面D4c的垂線，則ACP外接球的球心必在

該垂線上，所以球心0的坐標(biāo)可設(shè)為］Oj(0Kl),半徑為R,

因為|0尸卜|圖=凡所以小域

所以《3-2)=2M.在三棱錐?！狝GP中，20,所以&=+2.當(dāng)且僅當(dāng)

2

時，等號成立，故D錯誤.

故選：AB

12.AC

【分析】設(shè)出直線AF方程：y=-f(x-c),分別與兩漸近線聯(lián)立，求得AB兩點橫坐標(biāo),

b

代入仁川網(wǎng)(2>1),即可求解.

【詳解】不妨設(shè)C的一條漸近線的方程為y=2無，則直線"的斜率為-3,

ab

則心：y=-f(x-c).設(shè)3a),%),

b

聯(lián)立直線AF的方程與y=-9x,

a

.abac,ac

貝m!Ju---)x=~，可得％=—；——7

bbab02-b2

y=——xa

a

y=_巴(尤_<7)

，則4+即=與，得點A的縱坐標(biāo)為數(shù),

由，j

。babc

y=-x

a

因為,8卜川以|,所以產(chǎn)^=士彳或.

?1b—ac

因為e=￡c,

a

所以"或e=

VA+1

故選：AC

6

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系計算即可.

【詳解】因為直線y=也的斜率為趙，所以直線y=立的傾斜角為30.

33333

故答案為：30

14.J

5

【分析】利用空間向量求異面直線夾角即可.

【詳解】由題意可知：BA=(l,0,2),CD=(1,1,1),

nABACD_3V15

所以饃,姑,8二網(wǎng)網(wǎng)=反耳=守'

所以直線AB與。所成角的余弦值為巫.

5

故答案為：姮

5

15.83.2

【分析】(1)建立平面直角坐標(biāo)系，將點(32-1.6)代入解析式，求出p=3.2,得到焦點到

準(zhǔn)線的距離，水面下降0.9m時，>=-2.5,進而求出*=±4,得到水面寬度.

【詳解】如圖，以拱頂為原點0,建立直角坐標(biāo)系,

設(shè)拋物線方程為/=-2處(p>0),由題意可知拋物線過點(32-1.6),

得3.2?=—2p(-1.6),得2P=6.4,解得p=3.2,

所以拋物線方程為f=-6.4y,

所以該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為P=3.2m.

當(dāng)水面下降0.9m時，y=-1.6-0.9=-2.5,則d=-6.4*(-2.5),得了=±4,

所以水面的寬度為8m.

故答案為：8,3.2

16.(2,+<?)

【分析】根據(jù)直線和圓有兩個公共點可列出不等式，從而求出加的取值范圍.

【詳解】因為曲線1+⑹（后-y-2）=0與圓元2+（y_m）2二/恰有4個公共點，

所以直線x+6=0,6x-y-2=0均與圓爐+（j一根）2=加2相交，且兩直線的交點

14

(2,+oo).

y

(2)4.r+5y-14=0

【分析】（1）由兩點求出斜率，應(yīng)用點斜式求出直線方程；

（2）根據(jù)兩直線平行，得到平行的直線系方程，代點解出參數(shù)即可.

…fx-y+l=0,,fx=l,

【詳解】（1）由c',:解得；

即4和4的交點坐標(biāo)為（L2）,

因為直線/經(jīng)過點（3,3）,所以直線/的斜率為U=

所以直線/的方程為y-2=1（.r-l）,

令y=0,得了=-3,所以直線/在x軸上的截距為一3.

（2）因為直線/與直線上4x+5y-12=0平行，

所以可設(shè)直線/的方程為4x+5y+機=0,

又直線/經(jīng)過點（1,2）,所以4xl+5x2+zn=0,得加=—14,

所以直線/的一般式方程為4%+5〉-14=0.

Y22

18.（1）--^V=1

48

(2)2x—y—3=0

2

【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)方程尤2-5="彳30）,求出X,即可求解.

（2）設(shè)AB兩點坐標(biāo)，代入雙曲線方程，兩式作差，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，即可求出直線

的斜率，由直線的點斜式方程，求出直線A8的方程，與雙曲線聯(lián)立方程，滿足A>0,即可

得到直線A3的方程.

2

【詳解】（1）因為雙曲線C與雙曲線/-乙=1有相同的漸近線，

2

2

所以可設(shè)其方程為V-]=2（2H0）,

將點（2,0）的坐標(biāo)代入得2=4,則所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為9-=1.

（2）設(shè)4（%,%）,3（三,%）,因為A3的中點為“（3,3）,則%+%=6,%+%=6,

4Q11

因為《22,所以$（%+%）（>「%）=彳（芯+%乂西一元2）,

84

,48

即：x6x（%-y2）=；x6x（不一元2），貝4（%-%）=；（網(wǎng)一無2），所以=2，

o4o4AiA2

所以直線A3的方程為y—3=2（x—3）,即2x-y—3=0.

r22

土上=1

當(dāng)直線為2x—y—3=0時，聯(lián)立方程彳48,得2爐—12x+l=0,A=122-4x2xl>0,

2x—y—3=0

符合題意，故直線A8的方程為2尤->-3=0.

19.（1）證明見解析

C、3屈

\^）—-—

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，給合三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)進行證明即

可;

（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】（1）因為。，/分別為AC,8C的中點，所以。尸AB.

在正三棱柱ABC-中，AB//A用

所以。尸〃A山.

又平面ABE,A81U平面A4E,所以￡）尸〃平面4耳￡.

（2）取的中點0,連接。C.以0為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(-1,0,2①4(1,0,2月,￡(0,73,73),F

A￡=(1,73,-A/3),44=(2,0,0).

設(shè)平面A與E的法向量為〃=(x,y,z),

n-AB,=2x=0,

則rr

n-A^E=x+-J3z=0,

取y=i,則“=(0,1,1)

易知與尸=「J，T，-26］是平面a的一個法向量,

I22J

373

所以|cosjBG|=±K=H=/.

?'勺成即V2652

故平面a與平面A與E夾角的余弦值為上便.

52

20.(l)(x-+(y-1)2=1

⑵孚

(3)21

【分析】（1）設(shè)圓心為C（7%〃），貝!p〃>0,">。，m=n,半徑為加，且圓心在x-y=O,從

而求出m=1,得到圓的方程；

（2）設(shè)2=l+cos6,y=l+sinl,得到z=10sin（e+°）+31,得到最小值.

【詳解】（1）因為圓C與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切，設(shè)圓心為C（%〃），

則根>0,〃>0,m-n,半徑為m,

故圓C的方程為（1-租）2+（,一加）2="，

又加一m二0,圓心在％-丁=。上，故直徑為2,

故半徑m=l,所以圓C的方程為（x-l）2+（y-l）2=l；

（2）圓心。（1,1）到3x-y=。的距離為d=二比不，

貝U圓C截直線3x-y=0所得弦長為2a一/=2^1=半.

（3）P（x,y）是圓。上的一個動點，故設(shè)x=l+cose,y=l+sin。，

貝!Jz=Y+V+4%+6y+18=（x-1）。+（y_i）2+6%+8y+16

=l+6x+8y+16=6（l+cos夕）+8（1+sin，）+17=6cos9+8sin9+31

=10sin（9+e）+31,

3

其中tan（p=一,

4

當(dāng)sin（，+夕）=-1時，z=x2+y2+4%+6y+18取得最小值，

最小值為21.

21.（1）證明見解析

⑵T

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進行證明即可;

（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】(1)取AC的中點0,連接。與，0D.

TT

因為ABCD是菱形，ZABlC=~,所以.、ACq,ACD為等邊三角形，

所以。耳，AC,OD1AC.

又。瓦?i0D=Q04,0Du平面所以AC_L平面。耳。.

因為4Ou平面02Q,所以AC,耳。.

(2)因為平面AC4，平面ACD,且平面ACB|C平面ACD=AC,BtO1AC,

所以80，平面AC。

以。為坐標(biāo)原點，0D,0A,。與所在直線分別為x,>,2軸建立如圖所示的空間直角坐

設(shè)AC=2,則A（0,l,0）,C（0,-l,0）,。（6,0,0）,四（0,0,抬），B,C=（0,-1,-^）,

^^=（0,1,-73