2023-2024學(xué)年陜西省高二年級下冊綜合評價數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年陜西省高二下冊綜合評價數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知等差數(shù)列｛叫的前“項和為S,,,若&=9,S9=45,則數(shù)列｛叫的公差為（）.

A.2B.-2C.6D.4

【正確答案】D

【分析】由題可得Sg=9%=45,即得.

【詳解】：Sg=9%=45,

?二%=5,

.?.數(shù)列｛q｝的公差為6-%=4.

故選：D.

2.在,ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知A=60。，?=2√3,為使此

三角形有兩個，則。滿足的條件是（）

A.y∣3<a<3B.?/?<a<2?^3C.3<<z<2-s∕3D,?/?<a<4>∕3

【正確答案】C

【分析】為使此三角形有兩個，只需滿足AinA<α<6,即可求”范圍.

【詳解】為使此三角形有兩個，即6sinA<a<6,

/7

.?2√3×-<a<2√3,解得：3<a<2√3,

2

故選：C.

本題考查三角形解的情況，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

3.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文

化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總

和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0、2、4、8、

12、18、24、32、40、50,則此數(shù)列的第19項是（）

A.200B.182

C.180D.181

【正確答案】C

【分析】由已知數(shù)列可得〃為偶數(shù)時，?=y,〃為奇數(shù)時，a”=?，然后逐個分析判

斷即可.

【詳解】觀察此數(shù)列可知，當(dāng)〃為偶數(shù)時，4=［，當(dāng)"為奇數(shù)時，??=—1

IQ2-I

所以，%,==180,所以C正確，

2

故選：C.

4.已知S〃為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，且滿足/+^2+2%%=9,〃〃<。，則SK）等于（）

A.-9B.-11C.-13D.-15

【正確答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)利用q+q。=%+%，代入等差數(shù)列的求和公式即可.

6

【詳解】生2+0j+2。3〃8=（“3+?）2=9,an<0f

。3+%=-3,

,<_10（4+40）_10（四+為）_

???lA———??，

1022

故選：D

5.在AABC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別是α,b,c.已知A=45。，α=6,6=3夜，則8

的大小為（）

A.30oB.60°

C.30°或150°D.60°或120°

【正確答案】A

【分析］先由正弦定理求出SinB=可得8=30?；?=150。，再由得4>8,從而可求

出8=30°.

【詳解】由正弦定理得上a

sinSinA

即Rl=6,

sinBsin45°

解得sinβ=y,

又3為三角形內(nèi)角，所以8=30。或3=150。,

o

又因為a>bf所以A>5,即B=30.

故選：A.

6.在等比數(shù)列｛《,｝中，％=sinl5',則％外=（）

?2-6r2+√3r√6n√3

4434

【正確答案】A

【分析】根據(jù)等比中項性質(zhì)和二倍角的余弦公式即可求解.

1Br-

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得_2_?2∣<:JCOS30"_1一彳_2-6.

故選：A.

7.已知等差數(shù)列｛%｝的公差4*0,前〃項和為S,,,若\=12,則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.q：d=-17:2B.518=0

C.當(dāng)d>0時，a6+al4>0D.當(dāng)4<0時，∣?∣>∣0l4∣

【正確答案】D

【分析】因為｛%｝是等差數(shù)列，由$6=*2可得的+4。=0,利用通項轉(zhuǎn)化為《和"即可判斷

選項A；利用前〃項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項B；利用等差數(shù)列的性質(zhì)

必+44=a9+α∣0+d=d即可判斷選項C;由d<0可得4+44=d<0且必>0,q4<0即可

判斷選項D,進(jìn)而得出正確選項.

【詳解】因為｛%｝是等差數(shù)列，前"項和為S（I,由豆=兀得：

ssa+a+a+a

n-（,=ιs9w+?1,+?12=0,即3（t?+4o）=O,BP09+α10=0,

對于選項A：由%+4°=0得2q+17d=0,可得q:"=-17:2,故選項A正確；

對于選項B：SXl8（卬+48）=18（%+4。）=0,故選項B正確；

1822

對于選項C：ab+al4=a9+atl=av+at0+d=d,若d>0,則4+α∣4=d>0,故選項C正確；

β

對于選項D：當(dāng)d<0時，a6+al4=d<0,則%<-αμι,因為d<0,所以%>>。，∣4<θ.

所以同<|%|,故選項D不正確，

故選：D

8.若（α+b+c）S+c-α）=36。，且SinA=2sinBcosC,那么/3C是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【正確答案】B

【分析】化簡(α+%+c)S+c-α)=3bc,結(jié)合余弦定理可得A=?,再利用正余弦定理對

SinA=2sinBcosC化簡可得b=c,從而可判斷出..ABC的形狀

【詳解】由(α+b+c)(b+c-α)=3fec,得S+c『一〃=3A,

化簡得分=Oc,

所以由余弦定理得CoSA=生=J.,

IbcIbc2

因為Ae(OZ),所以A=q,

因為sinA=2sinBcosC,

所以由正余弦定理角化邊得a=26空Q≤,化簡得從=C?,

2ab

所以b=c,

所以ABC為等邊三角形，

故選：B

9.已知數(shù)列｛4｝的通項公式是4=(-1)"(3”一2),則4+%+…+t?=()

A.-3028B.-3027C.3027D.3028

【正確答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列｛叫的通項公式，

4+a2^l-----1^%)19=(4+%)+(。3+4)++(02OI7+?OI8)+β2OI9，利用并項求和法即可得出答

案.

【詳解】解：由q,=(T)"(3〃—2),

得ciy+α,H----1*“刈9=—1+4+(—7)+1()++(—6055)

≈(-l+4)+(-7+10)++(-6055)

=3×1009-6055=-3028.

故選：A.

10.銳角三角形ABe中，a、b、C分別是三內(nèi)角A、B、C的對邊，如果B=2A,則的取

值范圍是()

A.(-2,2)B.(0,2)C.(?^2>6)D.(√2,2)

【正確答案】C

【詳解】解：因為B=2A,故SinB=Sin2A,

sinBbsin2AC,，π?,_,乃

------=-=---------=2cosA,0<2A<-,0n<θz-3A<-

sinAasinA22

—<A<—――<cosA<——,,>∕2<2cosΛ<?/?

6422

故所求的范圍是選C

11.已知數(shù)列｛““｝是公差不為零的等差數(shù)列，｛〃,｝是正項等比數(shù)列，若％=瓦,a1=b7,則

()

A.aA=b4B.as<b5C.?>?D.a9<bv

【正確答案】D

由等差，等比數(shù)列的形式特征畫函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷選項.

【詳解】等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于"的一次函數(shù)，n∈N?圖象中的孤立的點在一條直線

上，

而等比數(shù)列｛"｝的通項公式是關(guān)于"的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點在指數(shù)函數(shù)圖象上，

如圖所示當(dāng)d>0時，如下圖所示，

如圖可知當(dāng)％=4,%=&時，a4>b4,a5>bs,?<?li,a9<?.

故選：D

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是判斷的方法，選擇圖象法可以比較快速的判斷選項.

12.我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長

求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的

數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜累并大斜累減中斜塞，余半之，自乘于上.以小斜募乘大斜

累減上，余四約之，為實.一為從隔，開平方得積若把以上這段文字寫成公式，即

S=βa2c2-(e,2+ζ~b2)2,其中以氏C分別為./WC內(nèi)角A、B、C的對邊.若6=2,

tanC=X?'-,則.ABC面積S的最大值為

I-GCOS8

B.√5C.√3D.√2

【正確答案】C

【分析】將已知等式進(jìn)行化簡并利用正弦定理可得c=g”,代入“三斜求積”公式即可計算

得解.

【詳解】TtanC=—=SinC,則SinC=后(SinBCoSC+cosBSinC)=GSin(β+C)

1-CCOSBcosC

=√3sinA,由正弦定理得?"=2,

∕?ABC的面積S=3√-(2α2-2)

,.?.當(dāng)/=4即α=2時，Z?ABC的面積S有最大值為G.

故選C.

本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查二次函數(shù)求最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題.

二、填空題

13.在一ABC中，A=60o,AB=2,且JIBC的面積S..=更，則邊BC的長為______.

Λo(.-2

【正確答案】√3

【分析】利用面積公式SABC=5A8?AC?sinA,可求解AC,再由余弦定理

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosA,可得解.

【詳解】由面積公式：S=-AB-AC-SinA=-

ΛaobCc22

.?.AC=I

由余弦定理：

BC?=A82+AC2-2A8?AC?COS4=4+1-2X2X1XL3

2

.?.8C=G

故G

本題考查了面積公式，余弦定理綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基

礎(chǔ)題.

14.已知等比數(shù)列｛q｝的前〃和為S“，若的,%，%成等差數(shù)列，且Sk=22,SN=-63,則

?+2的值為.

【正確答案】107

【分析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)題意列方程可得2α4=α4+qq4,從

而求出4=-2或q=l,再根據(jù)S*M=-63,確定“=-2,進(jìn)而求出

?+2=‰=-2X(-85)=170,代入記得.Sg=SZ+?+2=-63+170=107

【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為4,首項為4,

由4,%,%成等差數(shù)列可得：

2a3=a4+as,代入可得：

2i4

2alq=alq+alq,解得：q=-2或q=l,

又因為Sjw=-63,易知＜7=-2,

又因為&=22,

%=S*+∣Y=-85,

所以%2=外+產(chǎn)-2χ(-85)=170,

S"2=5*M+%=-63+170=107,

故107.

本題考查了等差中項和等比數(shù)列的通項公式，考查了巴和S”的關(guān)系，同時考查了計算能力,

屬于中檔題.

15.如圖，在離地面高20Om的熱氣球M上，觀察到山頂C處的仰角為15,山腳A處的俯

角為45,已知NBAC=60,則山的高度BC為m.

【正確答案】300m

【分析】首先在.AMD中，求得AM=2000，然后再4M4C,利用正弦定理求得

AC=200√3,最后在_A3C中，利用直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】在直角一中，可得的NM40=45,MD=200,所以AM=上3=2000,

sin45

因為^M4C中，ZAMC=45+15=60,ZMAC=ISO-45-60=75,

所以NMe4=180-ZAMC-ZMAC=45，

Onn/?,

—MASinNAMCxzV…G

由正弦定理，可得AC=.=——/-^-=200√3,

sinZMCA√2

T

在直角ASC中，因為NBAC=60，可得BC=ACSinNbAC=200Gx?=300m.

2

故30Om

16.已知如圖的一個數(shù)陣，該陣第”行所有數(shù)的和記作％,

a1=l,02≈l+→l,α3=l+→→→l,,數(shù)列｛叫的前〃項和記作S,,,則下列說法正確的

是.

I1

T4

T

II—I1

_-I

24842

1

I1IJI

_

48-4~

1682

?an=4--

3

②H“二牙

③_ST227

λ3

ΦS,,=4H-6+-

【正確答案】①②③

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式可求得為=”*?,判斷①；利用?！?4-向可求

出4+i-4r，判斷②；由=4-]γ可得S”=4〃-3（，+攝++Jq^）,繼而化簡求得S“，

繼而求得S5,判斷③④.

【詳解】由題意得

22

3

=4一產(chǎn)，①正確；

%-4=4-1一(4-Pr)=(，②正確；

3111

由。“=4-西可得。,=4〃-3(于+婷+西)，

1×[1-(?13?力

2

即S,,=4"-3x-------j-=4/7-6+—,則s.=20-6+m=言，③正確，④錯誤,

1_12216

2

故①?③

三、解答題

17.己知^ABC中，角A8,C所對的邊分別為。力,c,且S+2?CoSA_Sin(B+引=0,?8C

外接圓的半徑為4√7.

⑴求A的值；

(2)若Sabc=24√3,求_ABC的周長.

【正確答案】⑴A=g

(2)12√3+4√21

【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式即可求得CoSA=-g,

即得答案；

(2)根據(jù)三角形外接圓半徑和角A可求得“，再利用余弦定理求得b+c=12√5,即可求得

答案.

【詳解】(1)依題意由I''+2?C°SA_sin(B+^)=0,可得(b+2c)cos4+αcos8=0,

由正弦定理得(SinB+2SinC)CoSA+sinACOS8=O,則2sinCcosA+sin(A+β)=0,

故2sinCbosA+sinC=O,而C∈(0,π),.?.si∏C≠0,

故2cosA+l=0，則CoSA=—,

2

而A∈(O,7Γ),故A=g?

(2)因為.ΛBC外接圓的半徑為4√7,即R=4√7,A=y,

故由正弦定理，得α=2RsinA=4√ΣI，

XS=??esin—=—fee=24>∣3,解得6c=96,

234

由余弦定理，a2=b2+C2-2bccosA,^h2+c2+hc=(h+c)2-hc=336,

又6c=96,故(6+C)2=432,則Z>+C=12G,

則.ABC的周長為12√5+4jΣT.

2

18.已知數(shù)列｛4｝的前,項和為S“，S,,=n,數(shù)列也｝是等比數(shù)列，bi=3,b=27”.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛〃｝的通項公式；

(2)設(shè)q,=a,+bn,求數(shù)列｛%｝的前〃項和7；.

【正確答案】(1)a,,=2n-?,々=3"；(2)7；,=n2+∣(3,'-1).

【分析】(1)由題意，利用4=S,,-S,τ,求得數(shù)列｛q｝的通項公式0z,=2"-l,設(shè)等比數(shù)列

低｝的公比為4,根據(jù)題意列出方程求得4=3,進(jìn)而求得數(shù)列也｝的通項公式；

(2)由⑴知仇=3",根據(jù)%=0,,+2,結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即

可求解.

【詳解】(1)由數(shù)列｛為｝的前“項和為S,,SL),

當(dāng)“≥2時，a“=S“_S“_|=a?_(〃_]『=2“_],

當(dāng)〃=1時，4=S∣=1,適合上式，

所以數(shù)列｛%｝的通項公式4,=2"-l,

又由數(shù)列也｝是等比數(shù)歹IJ,設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為4,

因為々=3,?7=27?4,可得3∕=27x3q3,即如=27,解得4=3,

所以數(shù)列也｝的通項公式為"=M"τ=3x3"τ=3".

(2)由(1)知4=2〃—1,bn=T,又由任三上+知,

a

數(shù)列匕｝的前“項和4=(4+α2++,,)+(^i+b2++hιl)

”(l+2"-l)I3(1-3”)=Y(3T)

21-3

19.MBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知SinA+6COSA=O,α=2√7,?=2.

(1)求角A和邊長c；

(2)設(shè)。為5C邊上一點，且4。，人(7,求4題的面積.

【正確答案】(1)與，4;(2)√3.

【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出tanA=-g從而可得A的值，

再根據(jù)余弦定理列方程即可求出邊長C的值；（2）先根據(jù)余弦定理求出CoSC,求出CD的長,

可得CO=；BC,從而得到SMj?=；SAABc，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：（1）sinA+?/?cosA=0,.?.tanA=-?/?,0<A<π,:.A-^~,由余弦定理可得

a2=b2+c2-IbccosA,即28=4+c'-2χ2cx（-5），即<?+2<;-24=0,解得C=-6（舍去）

或c=4,故c=4.

（2）QC2=h2+a2-IabcosC,.?16=28+4-2×2>∕7×2×cosC,

.?.cosC=-?,∕.CD=-^^=-j-=√71

√7cosC2",:.CD=-BC9

萬2

SmbcABAC-sinZBAC=^×4×2×=2y∕3,：.SMBD=；SMBC=6

20.已知等差數(shù)列｛4｝和等比數(shù)列也｝滿足4=4,4=2,a2=2b2-l,a,=bi+2.

（1）求｛%｝和也｝的通項公式；

（2）數(shù)列｛α,,｝和｛2｝中的所有項分別構(gòu)成集合A,B,將AuB的所有元素按從小到大依

次排列構(gòu)成一個新數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛g｝的前60項和S60.

【正確答案】（1）%=3"+l,b,,=2n-（2）5014.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,等比數(shù)列｛4｝的公比為4,

j4+d=2?2q-1Jd=4q-5

由（4+2d=2?d+2∣J=q2—I

：?q=2,d=3,

/.?！?3〃+1,bll=2".

127

（2）當(dāng)匕｝的前60項中含有也｝的前6項時,^3n+l<27=128^n<-,

此時至多有41+7=48項（不符）.

當(dāng)｛g｝的前60項中含有｛仇｝的前7項時，令3∕I+1<28=256=>“<85,

且2。2326是｛可｝和也｝的公共項，則匕｝的前60項中含有也｝的前7項且含有血｝的

前56項，再減去公共的三項.

56×4+^∣^×3∣+2+23+25+27=4844+170=5014.

關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是分析新數(shù)列｛c,,｝是由｛4｝和｛〃｝中的哪些選項構(gòu)成的，還

要注意去掉公共項.

21.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下上至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到

C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從

A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為5()m∕min.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到8,

在8處停留Imin后，再從8勻速步行到C,假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m∕min,山

123

路AC長為1260加，經(jīng)測量CoSA=—,cosC=-.

135

(1)求索道A8的長；

(2)問：乙出發(fā)多少min后，乙在纜車上與甲的距離最短？