山東省濟(jì)南槐蔭區(qū)五校聯(lián)考2023年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

山東省濟(jì)南槐蔭區(qū)五校聯(lián)考2023年九上數(shù)學(xué)期末考試試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題(每題4分，共48分)

1.一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,1.若添加一個(gè)數(shù)據(jù)3,則下列統(tǒng)計(jì)量中，發(fā)生變化的是()

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差

2.已知二次函數(shù)y=^+bx+c(a*0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：?abc>0,?2a+b<0,?4a-2b+c<0,

@a+b+2c>0,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

3.如圖，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)A,8分別在x軸，J軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，且乙4PB=90，下列結(jié)論:

①PA=PB

②當(dāng)。4=03時(shí)四邊形OAPB是正方形

③四邊形OAPB的面積和周長(zhǎng)都是定值

④連接OP,AB,則//>OP,其中正確的有()

A.①②B.①@③C.①②④D.①②③④

4.如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A、C寬度,可以在小河邊AC的垂線CO上取一點(diǎn)則得3c=1()0加,

ZABC=5Q°,則小河的寬AC等于()

A.100sin50°mB.100cos50°/?tC.100tan50°/nD.100tan40°///

5.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=f—2x的圖象可能是（）

6.拋物線＞=%2-（2加-1）%+/2?一加與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.2個(gè)或3個(gè)C.3個(gè)D.不確定

7.二次函數(shù)y=-2（x+2）2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（-2,3）B.（-2,-3）C.（2,3）D.（2,-3）

8.如圖，四邊形A8CD為。。的內(nèi)接四邊形，E是3c延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，已知/8。。=130。，則NOCE的度數(shù)為（）

9.-3-(-2)的值是()

10.如圖,在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP,作射線PD,使/APD=60。，PD

交AC于點(diǎn)D,已知AB=a,設(shè)CD=y,BP=x,則y與x函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

11.如圖，在AABC中，DE〃FG〃BC,且AD：AF：AB=1：2；4,則SAADE:SHa?DFGE：SMOFBCG等于（）

A.1：2：4B.1：4：16C.1：3：12D.1；3：7

12.下列運(yùn)算正確的是()

A.J(—2)2=-2B.(2由『c.痣+百=道D.72x73=V6

二、填空題(每題4分，共24分)

k

13.如圖，四邊形ABC。的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，若A84CQ,405與.C0Z＞面積分別為8和18,若雙曲線了=一恰

x

好經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)E,則A的值為.

3

14.在RtZ\ABC中，ZC=90",若sinA=-,則cos8=.

4

15.如圖，“吃豆小人”是一個(gè)經(jīng)典的游戲形象，它的形狀是一個(gè)扇形，若開(kāi)口N1=60°,半徑為迷，則這個(gè)“吃

豆小人”(陰影圖形)的面積為.

16.一個(gè)不透明的袋子中裝有除顏色外其他都相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黃球，隨機(jī)摸出一個(gè)小球后，放回并搖勻，再隨

機(jī)摸出一個(gè)，則兩次都摸到黃球的概率為.

17.甲、乙兩人在10()米短跑訓(xùn)練中，某5次的平均成績(jī)相等，甲的方差是().12,乙的方差是().05,這5次短跑訓(xùn)練

成績(jī)較穩(wěn)定的是.(填“甲”或“乙”)

18.如圖，在一。中，弦A3=4,點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連結(jié)。C,過(guò)點(diǎn)C作CDLOC交。0于點(diǎn)。，則8的最

大值為.

BD

三、解答題（共78分）

19.（8分）如圖所示，在AABC中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=3,。是邊AC的中點(diǎn)，CE工BD交AB于息

E.

（1）求tan/ACE的值；

（2）求A￡:￡B.

20.（8分）如圖，在。ABC。中，點(diǎn)E是邊40上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)凡使Nf5C=NOCE,且尸5與AO相交于點(diǎn)

G.

（1）求證：NO=NF；

（2）用直尺和圓規(guī)在邊40上作出一點(diǎn)P,使△BPCS/XCOP,并加以證明.（作圖要求：保留痕跡，不寫(xiě)作法.）

21.（8分）如圖,尸是平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸作物_1_*軸于點(diǎn)4,以4尸為斜邊在右側(cè)作等腰曲/^1尸0,

已知直角頂點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為-2,連結(jié)。。交AP于8,BQ=2OB.

（1）求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)0P,求△0P。的面積與△04。的面積之比.

22.（10分）如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60。，沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰角為

45°,已知OA=100米，山坡坡度=1：2,且O、A、B在同一條直線上.求電視塔OC的高度以及此人所在位置P的

鉛直高度PB.（測(cè)傾器高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)形式）

23.（10分）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

托勒電定理

托勒情（Ptolemy）（公元90年一公元168年），??署名的天文家.他理學(xué)家.數(shù)學(xué)

家和光學(xué)家.在教學(xué)方面.他強(qiáng)*了四邊冊(cè)的轉(zhuǎn)性.即著名的托勤富定理.

托勃密定理

IW內(nèi)接四邊形中.兩條對(duì)角線的乘枳等于兩組對(duì)邊乘枳之和.

dliit如圖（1）中.四邊影A8CD內(nèi)接于。。，

求證，ACBD=ABCD+BCAD

下面是該結(jié)論的證明過(guò)程I

m（I）m（2）

*明I如圖（2）過(guò)C作交〃。于上使/l=/2,

又/5=/4,(依據(jù)I)

:.△ACI2&B(P.*.—=—HPAC?BP-AD?8('①

BCBP

又//(*NZXT.Z5-Z6,ZCBsUCP.(依據(jù)2)

二勺_=二即4C?DP-AB?IX'②

DCDP

①+"AC(BP+DP)=A/i?CD+AD?BC.

即AC*BUR?CD^-AD?BC.

任務(wù)：

（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別指什么？

依據(jù)1:________________________________________

依據(jù)2：_________________________________________________________

（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABC。是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理:（請(qǐng)寫(xiě)出定理名

稱）.

（3）如圖（3）,四邊形43c。內(nèi)接于。。，A5=3,40=5,ZBAD=60°,點(diǎn)C是弧80的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng).

24.（10分）如果某人滑雪時(shí)沿著一斜坡下滑了130米的同時(shí)，在鉛垂方向上下降了50米，那么該斜坡的坡度是

1：_______

25.（12分）（1016內(nèi)蒙古包頭市）一幅長(zhǎng)10cm、寬11cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬

度比為3：1.設(shè)豎彩條的寬度為xcm,圖案中三條彩條所占面積為ycM.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

2

（1）若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的,，求橫、豎彩條的寬度.

k------20---->

26.解方程：

(1)x2-2x-3=0(2)2x2-x-1=0

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、D

【解析】A.?.?原平均數(shù)是：（1+2+3+3+4+1）06=3;

添加一個(gè)數(shù)據(jù)3后的平均數(shù)是：（1+2+3+3+4+1+3）+7=3;

二平均數(shù)不發(fā)生變化.

B.?.,原眾數(shù)是：3；

添加一個(gè)數(shù)據(jù)3后的眾數(shù)是：3；

二眾數(shù)不發(fā)生變化；

CJ.?原中位數(shù)是：3；

添加一個(gè)數(shù)據(jù)3后的中位數(shù)是：3；

???中位數(shù)不發(fā)生變化；

D....原方差是：（3一1），+（3—2）2+（3—3）2x2+（3—4）2/:

63

成+n人*二貼士至旦（3-1）2+（3-2）2+（3-3）2X3+（3-4）2+（3-5）210

添加一個(gè)數(shù)據(jù)3后的方差是：1-----L_----L__L-------L----------1------L__1-------Z_=AY；

77

方差發(fā)生了變化.

故選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查的是眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)的，熟練掌握相關(guān)概念和公式是解題的關(guān)鍵.

2、B

【分析】由拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、與y軸的交點(diǎn)位置，可判斷a、b、c的符號(hào)，可判斷①，利用對(duì)稱軸可判斷

②，由當(dāng)x=-2時(shí)的函數(shù)值可判斷③，當(dāng)x=l時(shí)的函數(shù)值可判斷④，從而得出答案.

【詳解】解：,??拋物線開(kāi)口向下，與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，.?.aVO,c>0,

VO<--<1,r.b>0,且bV-2a,...abcVO,2a+b<0,故①不正確，②正確；

2a

?當(dāng)x=-2時(shí)，yVO,.,.4a-2b+c<0,故③正確；

,當(dāng)x=l時(shí)，y>0,.*.a+b+c>0,又c>0,.*.a+b+2c>0,故④正確；

綜上可知正確的有②③④，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3、A

【分析】過(guò)P作PMJLy軸于M,PN_Lx軸于N,易得出四邊形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=1,證得

△APM^ABPN,可對(duì)①進(jìn)行判斷，推出AM=BN,求出OA+OB=ON+OM=2,當(dāng)OA=OB時(shí)，OA=OB=1,然后可

對(duì)②作出判斷，由△APM^^BPN可對(duì)四邊形OAPB的面積作出判斷，由OA+OB=2,然后依據(jù)AP和PB的長(zhǎng)度變

化情況可對(duì)四邊形OAPB的周長(zhǎng)作出判斷，求得AB的最大值以及OP的長(zhǎng)度可對(duì)④作出判斷.

【詳解】過(guò)P作PM_Ly軸于M,PN_Lx軸于N,

NBx

VP(1,1),

.*.PN=PM=1.

?“軸_1丫軸,

二ZMON=ZPNO=ZPMO=90°,

則四邊形MONP是正方形,

.,.OM=ON=PN=PM=1,

VZMPN=ZAPB=90°,

/.ZMPA=ZNPB.

在△MPAgZkNPB中,

NMPA=/NPB

<PM=PN,

NPMA=NPNB

.,.△MPA^ANPB,

.?.PA=PB,故①正確.

,-,△MPA^ANPB,

，AM=BN,

.?.OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2.

當(dāng)OA=OB,即OA=OB=1時(shí)，

則點(diǎn)A、B分別與點(diǎn)M、N重合，此時(shí)四邊形OAPB是正方形，故②正確.

,.,△MPA^ANPB,

S四邊形OAPB_S四邊形AONP+SPNB=S四邊形AONP+'PMA-S正方形p^oN—4.

VOA+OB=2,PA=PB,且PA和PB的長(zhǎng)度會(huì)不斷的變化，故周長(zhǎng)不是定值，故③錯(cuò)誤.

VZAOB+ZAPB=180°,

.?.點(diǎn)A、O、B、P共圓，且AB為直徑，所以ABNOP,故④錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，圓周角定理，

關(guān)鍵是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON

4、C

【分析】利用NABC的正切函數(shù)求解即可.

【詳解】解：???AC_LCD,BC=100m,ZABC=50°,

二小河寬AC=BCtanZABC=100tan50°(m).

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意得基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)

學(xué)問(wèn)題.

5、A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)可得.

【詳解】解：二次函數(shù)y=f—2x與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，開(kāi)口方向向上.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象，解決本題的關(guān)鍵是二次函數(shù)的開(kāi)口方向和與x軸的交點(diǎn).

6、C

【分析】根據(jù)題意，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)，令y=0,利用根的判別式進(jìn)行判斷一元二次方程的根的情況，得到與x軸的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到答案.

【詳解】解：拋物線y=/一(2加-1)》+加2一加與y軸肯定有一個(gè)交點(diǎn)；

令y=0,貝(]y=dl)x+加2—加=0,

△=〃2-4ac-[-(2/zz-l)]2-4xlx(m2-in)

=4m2-4/w+l—4m2+4加

=l>0；

...拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；

...拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有3個(gè)；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況，以及一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，正確

得到與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

7、B

【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：???二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為y=-2(x+2)2-3,

...其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(-2,-3).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)特征是解答此題的關(guān)鍵.

8,C

【分析】根據(jù)圓周角定理求出NA,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NDCE=NA,代入求出即可.

【詳解】,：ZBOD=130°,

：.ZA=-ZBOD=65°,

2

V四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，

:.ZDCE=ZA=65。,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)

角.

9、A

【解析】利用有理數(shù)的減法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【詳解】-3-(-2)

=-3+2

=-1.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

10、C

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出NB=NC=60°,由等角的補(bǔ)角相等可得出NBAP=NCPD,進(jìn)而即可

證出△ABPsaPCD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出y=-,X2+X,對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出.

a

【詳解】??,△ABC為等邊三角形，

.*.ZB=ZC=60o,BC=AB=a,PC=a-x.

VZAPD=60°,ZB=60°,

,ZBAP+ZAPB=120°,ZAPB+ZCPD=120°,

AZBAP=ZCPD,

/.△ABP^APCD,

CDPCya—x

：.—=—3anP-=----，

BPABxa

?12

?.y=--xx+x.

a

故選C.

【點(diǎn)睛】

考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)找出y=-4x2+x是解題

a

的關(guān)鍵.

11,C

【分析】由于DE〃FG〃BC,那么AADEAAFGABC,根據(jù)AD：AF：AB=1：2：4,可得出三個(gè)相似三角形的

面積比，進(jìn)而得出△ADE、四邊形DFGE、四邊形FBCG的面積比.

DE//FG//BC

【詳解】.?.△AOEAAFGAABC

AD:AF:AB=1：2：4

-SADE：S&FG：=1：4：16

設(shè)AADE的面積為a,則4AFG和aABC的面積分別是4a、16a;

貝!ISp|邊形w和S四邊形FBCG分另1I是3a、12a;

則SAADE:S四邊形DFGE:SESS?FBCG=1：3：12

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察相似三角形，解題突破口是根據(jù)平行性質(zhì)推出4ADEAAFGABC.

12、D

【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式加法，乘法及乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】A：正斤=2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B：（2百產(chǎn)=12,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C：0與6不是同類二次根式，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D：根據(jù)二次根式乘法運(yùn)算的法則知本選項(xiàng)正確，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次根式的性質(zhì)及二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、1

【分析】由平行線的性質(zhì)得NOAB=NO。，ZOBA=ZODC,兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等證明OCD,其性質(zhì)得

竺=空，再根據(jù)三角形的面積公式，等式的性質(zhì)求出，〃=工，線段的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的性質(zhì)求出左的值為1.

ODOC3

【詳解】解：如圖所示：

,JAB//CD,

：.40AB=N0CD,ZOBA=ZODC,

0ABsOCD,

.OB_0A

0D0C

?OB0A

若——=—=機(jī)，

0D0C

由。8=，〃?。。，OA=m*OC,

又；^AOAB=-^OAOB,SAOCD=-0C-OD,

.S.B_20A0B_0A0B_m20C0D

??一t-------------------

S^OCD1OC-OD°C°DOCOD

又,；SA(MB=8,SAOCD=18,

22

解得：，"=一或"2=（舍去）,

33

設(shè)點(diǎn)A、5的坐標(biāo)分別為(0,a),(b,0),

..OAOB2

?----------——?

OCOD3

3

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,--a）,

2

又???點(diǎn)E是線段8c的中點(diǎn)，

1Q

點(diǎn)E的坐標(biāo)為（—,一~二a）,

24

又?.?點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=人（左＞0）上,

33

=—ab=——x(-16)=6,

88

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積公式

等知識(shí)，重點(diǎn)掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)根據(jù)三角形的面積求反比例函數(shù)系數(shù)的值.

【解析】根據(jù)一個(gè)角的余弦等于它余角的正弦，可得答案.

3

【詳解】解：由NC=90。，sinA=—,

4

3?3

得cosB=sinA—,

4

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了互余兩角的三角函數(shù)，利用一個(gè)角的余弦等于它余角的正弦是解題關(guān)鍵.

15、57r

【解析】VZ1=6O°,

二圖中扇形的圓心角為300。，

又：扇形的半徑為：

.0300萬(wàn).（木產(chǎn)

??3陰影=----------------------=371?

360

故答案為51.

1

16、-

9

【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到黃球的情況，然后利用概率公式求

解即可求得答案.

【詳解】畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

紅紅黃

/N/N/N

紅紅黃紅紅黃紅紅黃

由樹(shù)狀圖可知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到黃球的有1種結(jié)果，

.?.兩次都摸到黃球的概率為《；

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

此題考查列表法或樹(shù)狀圖法求概率.解題關(guān)鍵在于掌握注意畫(huà)樹(shù)狀圖與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)

果，列表法適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不

放回實(shí)驗(yàn).

17、乙

【分析】根據(jù)方差的意義可作出判斷.方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集

中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

【詳解】解：,甲的方差為0.14,乙的方差為0.06,

:.S#>Sz\

???成績(jī)較為穩(wěn)定的是乙；

故答案為：乙.

【點(diǎn)睛】

本題考查方差的意義.方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越

大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)

定.

18、2

【分析】連接OD,根據(jù)勾股定理求出CD,利用垂線段最短得到當(dāng)OCLAB時(shí)，OC最小，根據(jù)垂徑定理計(jì)算即可;

【詳解】如圖，連接OD,

VCDXOC,

.,.ZDCO=90°,

?*-CD=^ODr-OC2=yJr2-OC2，

當(dāng)OC的值最小時(shí)，CD的值最大，OCLAB時(shí)，OC最小，此時(shí)D、B兩點(diǎn)重合，

二CD=CB=-AB=2,即CD的最大值為2；

2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，掌握勾股定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共78分)

19、(1)-；(2)AE:EB=8:9

3

【分析】(1)首先證明NACE=NCBD,在△BCD中，根據(jù)正切的定義即可求解；

(2)過(guò)A作AC的垂線交CE的延長(zhǎng)線于P,利用平行線的性質(zhì)列出比例式即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：(1)由NACB=90°,CEA.BD,

得NACE=NC肛

在AfiCD中，BC=3,CD=-AC=2,ZBCD=90°,

2

得tan/C5O=2,

3

即tanNACE」.

3

(2)如圖，過(guò)A作AC的垂線交CE的延長(zhǎng)線于尸點(diǎn)，

2

則在ACAP中，C4=4,NC4P=90°,tanZACP^-,

3

2Q

AAP=4X_=2,

33

又??,ZAC8=90。，ZC4P=90°,

:.BC//AP,

：.AE:EB=AP:BC=8:9.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正切與平行線分線段成比例，熟練掌握正切的定義，作輔助線構(gòu)造平行是解題的關(guān)鍵.

20、(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)四邊形A3。是平行四邊形可得AO〃8C,NFGE=FBC,再根據(jù)已知NF6C=NOCE,進(jìn)而可得

結(jié)論；

(2)作三角形尸8c的外接圓交4。于點(diǎn)P即可證明.

【詳解】解：(1)???四邊形A8C。是平行四邊形，

.".AD//BC

:"FGE=NFBC

■:NFBC=NDCE,

：.NFGE=NDCE

'：NFEG=NDEC

:.ND=ZF.

(2)如圖所示：

*

點(diǎn)尸即為所求作的點(diǎn).

證明：作5c和B尸的垂直平分線，交于點(diǎn)0,

作△尸BC的外接圓，

連接B0并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)P,

二ZPCB=90°

'.,AD//BC

；.NCPD=NPCB=90。

由（1）得NF=N￡>

?:NF=NBPC

:.ND=NBPC

:ABPCSACDP.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)、外接圓的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì).

21、（1）點(diǎn)尸的坐標(biāo)（1,-4）；（2）△0PQ的面積與△04。的面積之比為1.

【分析】（1）過(guò)。作。CLx軸于C,先求得AC=QC=2、AQ=2m、AP=4,然后再由A8〃CQ,運(yùn)營(yíng)平行線等分

線段定理求得OA的長(zhǎng)，最后結(jié)合AP=4即可解答；

（2）先說(shuō)明△OABs/kocQ,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AB和PB的長(zhǎng)，然后再求出AOPQ和△OAQ的面積，

最后作比即可.

【詳解】解：（1）過(guò)。作。C_Lx軸于C,

V

是等腰直角三角形,

：.ZPAQ=ZCAQ=4109

：.AC=QC=29AQ=2桓,AP=4,

■:AB//CQ,

?_O_A___O__B___1

"AC-5g-2*

：.OA=—AC=l,

2

點(diǎn)尸的坐標(biāo)（1,-4）；

（2）'：AB//CQ,

:.△OABs^OCQ,

■_A_B___O__B___1

''~CQ~~OQ~3,

.12

??Ab=—CQ=-9

33

10

:?PB=—，

3

工SAQAQ=/OA<Q=:Xlx2=l,SAOPQ=:PB^OA+/PB*AC=1,

...△。尸。的面積與404。的面積之比=1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的圖像、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線等分線段定理以及三角形的面積，掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

22、OC=100&米；PB=1006T（）（）米.

3

【分析】在圖中共有三個(gè)直角三角形，即Rt^AOC、RtAPCF,RtAPAB,利用60°的三角函數(shù)值以及坡度，求出

OC,再分別表示出CF和PF,然后根據(jù)兩者之間的關(guān)系，列方程求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PF_LOC,垂足為F.

在R3OAC中，由NOAC=60。，OA=100,得OC=OA?tanNOAC=10oG（米）,

由坡度=1：2,設(shè)PB=x,則AB=2x.

.,.PF=OB=100+2x,CF=10073-x.

在RtAPCF中，NCPF=45。，

.\PF=CF,即100+2x=100百-x,

，x=100^-100#即PB=I°OGTOO米.

33

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解

直角三角形.

23、(1)同弧所對(duì)的圓周角相等；兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(2)勾股定理(3)AC=8叵

3

【分析】(D根據(jù)圓周角定理的推論以及三角形相似的判定定理，即可得到答案；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和托勒密定理，即可得到答案；

(3)連接8。，過(guò)點(diǎn)C作CEJL5O于點(diǎn)瓦由四邊形A8CD內(nèi)接于。。，點(diǎn)C是弧BO的中點(diǎn)，可得ABCD是底角為30。

的等腰三角形，進(jìn)而得M=2QE=^C。，結(jié)合托勒密定理，列出方程，即可求解.

【詳解】(1)依據(jù)1指的是：同弧所對(duì)的圓周角相等；

依據(jù)2指的是：兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

故答案是：同弧所對(duì)的圓周角相等；兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

(2)?.?當(dāng)圓內(nèi)接四邊形48。是矩形時(shí)，

.*.AC=BD,BC=AD,AB=CD,

,:由托勒密定理得：ACBD=ABCD+BCAD,

???AC2=AB2+BC