數學-天津南開中學2023-2024學年高三上學期第一次月考帶答案

南開中學2024屆高三第一次月檢測數學學科試卷第I卷A充要條件B.充分不必要條件.C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件f(x)=|x|sin2x的部分圖象可能是()AB.C.D.4.下列函數中，是奇函數且在(0,+構)上單調遞減的是()2e-e2e-eln2-log21+lg10+lne2+log48的值()A.0B.C.2D.320.9，c7.已知cosa--cosa=，則sin2a-=()第1頁/共5頁A.-B.C.D.8.將函數f(x)=3sin2x+的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數為y=g(x)，有下列命題：①函數g(x)的圖象關于直線x=π對稱②函數g(x)的圖象關于點,0對稱③函數g(x)在-,上單調遞增④函數g(x)在[0,2π]上恰有5個極值點其中正確的命題個數為()A.1B.2C.3D.410.已知i是虛數單位，化簡的結果為.11.在代數式-5的展開式中，常數項為______________.第2頁/共5頁13.在亞運會女子十米跳臺決賽頒獎禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度15。的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第一排A點和最后一排E點的距離為9米（如圖所示則旗桿的高度為米.f(x)，當xE[0,2)時，f(x)=16(1-x-1)，且對任意的實數xE[2n-2n+1-2)（nEN*，n≥2都有f(x)=f-1，若函數g(x)=f(x)-logax有且僅有五個零點，則a的取值范圍.（1）求f(x)的最小正周期及對稱軸方程；（2）當xE,時，求f(x)的最大值和最小值.218.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAl底面ABCD，ADlAB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，第3頁/共5頁E為棱PC的中點.（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（3）求點D到平面PBC的距離. （2）如圖，經過橢圓左頂點A且斜率為k(k子0)的直線l與C交于A，B兩點，交y軸于點E，點P為線段AB的中點，若點E關于x軸的對稱點為H，過點E作OP（O為坐標原點）垂直的直線交直線AH于點M，且ΔAPM面積為，求k的值.(x)有兩個不同的零點x1,x2，證明：2a22a<x2x1<第4頁/共5頁第5頁/共5頁1-1-cos2x南開中學2024屆高三第一次月檢測數學學科試卷第I卷【答案】B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，再根據補集、交集的定義計算可得.A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據充分性和必要性的定義結合同角三角函數的關系即可得出結論.所以“sinx=0”是“cosx=1”的必f(x)=|x|sin2x的部分圖象可能是()第1頁/共21頁A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據f(x)是奇函數，排除B，再取特殊值驗證.f(-x)=|-x|sin(-2x)=-|x|sin2x=-f(x)所以f(x)是奇函數，排除B，由f=0，排除A，由f=，排除D.【點睛】本題主要考查函數的圖象和性質，還考查了數形結合的思想和理解辨析的能力，屬于基礎題.4.下列函數中，是奇函數且在(0,+機)上單調遞減的是()【解析】【分析】根據奇偶性定義、對數函數、指數函數單調性，結合復合函數的單調性依次判斷各個選項即可.【詳解】A選項：f(-x)=2=f(x)，不是奇函數，故A選項錯誤；B選項：f(-x)====f(x)，不是奇函數，故B選項錯誤；C選項：因為f(x)的定義域為R，=0，∴f(x)是奇函22由復合函數單調性知，f(x)在(0,+機)上單調遞減，故C選項正確；第2頁/共21頁D選項：f(x)=ex-，因為y=ex,y=-在(0,+構)上都單調遞增，所以f(x)在(0,+構)上單調遞增，故D選項錯誤，ln2-log21+lg10+lne2+log48的值()A.0B.C.2D.32【答案】B【解析】【分析】根據指數及對數的運算法則計算可得；0.9，c【答案】A【解析】【分析】化簡得c=，構造函數f(x)=sinx-x,xe0,，通過導數可證得sinx<x,xe0,，可設f(x)=sinx-x,xe0,，則有f,(x)=cosx-1<0，f(x)單調遞減，從而f(x)<f(0)=0，所以sinx<x,xe0,，故sin<，即a<c，1>31>3第3頁/共21頁7.已知cosa--cosa=，則sin2a-=()A.-B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡已知條件，結合誘導公式、二倍角公式求得正確答案.(π)(π) cosa+sina-cosa=，，sin2a-(2π)「(π)1(2π)「(π)12-18.將函數f(x)=3sin2x+的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數為y=g(x)，有下列命題：①函數g(x)的圖象關于直線x=π對稱②函數g(x)的圖象關于點,0對稱③函數g(x)在-,上單調遞增第4頁/共21頁④函數g(x)在[0,2π]上恰有5個極值點其中正確的命題個數為()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根據函數圖象平移變換的特點，利用正弦弦函數的對稱性、單調性、最值，結合函數的極值點定義逐項判斷即可求解.【詳解】函數f(x)=3sin2x+的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數為對于③,當x=-,時，2x-=-,,故函數在該區(qū)間上單調遞增，故③正確；在[0,2π]上有4個極值點，故④錯誤.【答案】C【解析】【分析】分段函數分段處理，在x>1，0<x<1各有1個零點，所以-π≤x≤0有5個零點，利用三角函數求出所有的零點，保證-π≤x≤0之間有5個零點即可.【詳解】由題，當x>1時，f(x)=x+lnx-2，顯然f(x)在(1,+構)上單調遞增，且f(1)=-1<0，第5頁/共21頁當0<x<1時，f(x)=x-lnx-2，f,(x)=1-<0，所以f(x)在(0,1)上單調遞減，f()=+2-2>0，此時f(x)在(0,1)上只有一個零點；4解得x=π6π6山x=x=山2=-2π,x4=-2π;當k=2時，x5=-4π,x6=-4π;|-7π-4π【點睛】分段函數的零點問題點睛：根據函數的特點分別考慮函數在每段區(qū)間上的單調性，結合零點存在性定理，得到每一段區(qū)間上的零點的個數，從而得出函數在定義域內的零點個數.10.已知i是虛數單位，化簡的結果為.【答案】--i【解析】【分析】運用復數運算法則計算即可.第6頁/共21頁22=34=--i.故答案為：--i.11.在代數式-5的展開式中，常數項為______________.【答案】-5【解析】【分析】寫出二項式定理的通項，化簡后，使得x的指數冪為0，即可求得k的值.【詳解】-5的展開式的通項為：+1=Cx5-r-r=Cx-1)r=-5，-5的展開式中的常數項為-5.故答案為：-5【答案】【解析】【分析】根據函數f(x)的圖象結合正弦函數的圖象及性質，求得函數的解析式，再代入求值即可.所以f(x)=2sin2x-，第7頁/共21頁所以f=2sin2根-=2sin=.故答案為：.13.在亞運會女子十米跳臺決賽頒獎禮上，五星紅旗冉冉升起，在坡度15。的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第一排A點和最后一排E點的距離為9米（如圖所示則旗桿的高度為米.【答案】27【解析】【分析】根據已知可得人ECA=30。，在ΔEAC中由正弦定理可得AC，再利用RtΔABC中計算可得答案. 故答案為：27.f(x)，當x=[0,2)時，f(x)=16(1-x-1)，且對任意的實數x=[2n-2，n≥2都有f(x)=f-1，若函數g(x)=f(x)-logax有且僅有五個零點，則a的取值范圍.(1)【答案】|104(1)（)【解析】第8頁/共21頁【分析】寫出f(x)的解析式并畫出f(x)的圖象，結合已知條件將問題轉化為y=f(x)圖象與y=logax圖象在(0,+構)上有且僅有5個交點，結合圖象分析即可求得結果.【詳解】當xe[0,2)，f(x)=16(1-|x-1|)，當n=2時，xe[2,6)，此時-1e[0,2)，則f(x)=f(-1)=x16(1-|-2|)=8(1-|-2|)，當n=3時，xe[6,14)，此時-1e[2,6)，則f(x)=f(-1)=x8(1-|-|)=4(1-|-|)，f(x)=f(-1)=x4(1-|-|)=2(1-|-|)，……因為g(x)=f(x)-logax有且僅有5個零點，所以y=f(x)圖象與y=logax圖象在(0,+構)上有且僅有5個交點，如圖所示，由圖可知，當y=logax經過點A(10,4)時，兩函數圖象有4個交點，經過點B(22,2)時，兩函數圖象有6個交點，所以當y=f(x)圖象與y=logax圖象在(0,+構)上有且僅有5個交點時，則第9頁/共21頁【答案】##0.25【解析】【分析】由函數單調性性質及圖象變換可畫出f(x)的圖象，進而可得Mt(a,b)>f(t)，結合已知條件可知只需聯(lián)立兩者進而可求得結果.由單調性性質可知，g(x)在(0,+構)上單調遞增，設g(x0)=0，則g(x)的圖象如圖所示，所以f(x)的圖象如圖所示，則由圖象可知，f(x)max=Mt(a,b)=max{f(t),f(t+2)}=〈ft)2)，所以Mt(a,b)>f(t)，如圖所示，第10頁/共21頁-2所以所以b<-lnt-at-ln3-a，②由①②得<-lnt-at-ln3-a，故t的最大值為.故答案為：【點睛】恒成立問題解題方法指導：方法1：分離參數法求最值.(1)分離變量．構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.(2)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；a<f(x)恒成立?a<f(x)min；a>f(x)能成立?a>f(x)min；a<f(x)能成立?a<f(x)max.方法2：根據不等式恒成立構造函數轉化成求函數的最值問題，一般需討論參數范圍，借助函數單調性求解.第11頁/共21頁（1）求f(x)的最小正周期及對稱軸方程；（2）當xE,時，求f(x)的最大值和最小值.5πx=+(kEZ)【解析】【分析】（1）根據誘導公式以及二倍角公式化簡，再根據周期公式、對稱軸公式進行求解；（2）由x的取值范圍求出整體角的取值范圍，再結合正弦型函數圖像及性質得出結果.【小問1詳解】2x=sin2x-cos2x=2sin2x-，故周期為T=令2x-=+kπ,kEZ，解得x=+(kEZ)，對稱軸方程x=+(kEZ)，【小問2詳解】f(x)=2sin2x-第12頁/共21頁2【解析】化簡即可得出cosB=，即可得出答案；出a22公式得出答案；或將a2+4ac+4c2=12化簡為(a+2c)2=12，由三角形面積公式結合基本不等式得出【小問1詳解】(A+C)sinCcosA=2sinAcosBcosC，π3第13頁/共21頁22【小問2詳解】因為b22所以‘ABC面積的最大值為.因為b22第14頁/共21頁所以ΔABC面積的最大值為，18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL底面ABCD，ADLAB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，E為棱PC的中點.（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（3）求點D到平面PBC的距離.【解析】【分析】（1）以A為原點建立空間直角坐標系，利用向量法證明線面平行；（2）求出平面PBD的一個法向量，再由向量法求解；（3）求出平面PBC的法向量=(x1,y1,z1)，再由向量法求解.【小問1詳解】解：以點A為原點，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.第15頁/共21頁322322故.=0，又為平面PAD的一個法向量，所以BE//平面PAD.【小問2詳解】n.BE2n.BE2 6x2所以n.BE所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為333【小問3詳解】(x(x)為平面PBC的一個法向量，1lx12426BD426BD.nn則. 2,短軸長為219.已知橢圓2,短軸長為219.已知橢圓（2）如圖，經過橢圓左頂點A且斜率為k(k子0)的直線l與C交于A，B兩點，交y軸于點E，點P為線第16頁/共21頁段AB的中點，若點E關于x軸的對稱點為H，過點E作OP（O為坐標原點）垂直的直線交直線AH于點M，且ΔAPM面積為，求k的值.【解析】（2）設直線l的方程為y=k(x+2)，將其與橢圓方程聯(lián)立，得出EM斜率，聯(lián)立方程組得出M點的坐標，利用點到直線距離公式式，結合韋達定理以及三角形面積公式將面積表示為關于k的方程，解出即可得結果.【小問1詳解】2:橢圓C的方程為+=1.【小問2詳解】易知橢圓左頂點A(-2,0)，8k28k2-4第17頁/共21頁..:kOP==，:直