二項(xiàng)式定理（1）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.3.1二項(xiàng)式定理（1）

1.今天是星期一，從明天起的第天是星期幾？820新課引入2.某人投資10萬(wàn)元，年利率10％，按每年復(fù)利一次計(jì)算，10年后本息．這就得研究形如的展開(kāi)式．？探究：展開(kāi)下列式子，并回答下面的問(wèn)題

(a+b)1=

,

(a+b)2=__________________(a+b)3=__________________1、若把(a+b)3看成(a+b)(a+b)(a+b)，你能用排列組合的思想來(lái)解釋a3這一項(xiàng)是怎么得到的嗎？

其他的項(xiàng)呢？2、參照上題的思想，試展開(kāi)(a+b)4a2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3完成教材P29探究a+b那么，將展開(kāi)后，它的各項(xiàng)是什么呢？

容易看到，等號(hào)右邊的積的展開(kāi)式的每一項(xiàng)，是從每個(gè)括號(hào)里任取一個(gè)字母的乘積，因而各項(xiàng)都是4次式，即展開(kāi)式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：思考:現(xiàn)在來(lái)看一看上面各項(xiàng)在展開(kāi)式中出現(xiàn)的次數(shù)，也就是看展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)是什么？在上面4個(gè)括號(hào)中：每個(gè)都不取b的情況有1種，即種，恰有1個(gè)取b的情況下有種，恰有2個(gè)取b的情況下有種，恰有3個(gè)取b的情況下有種，4個(gè)都取b的情況下有種，所以a4的系數(shù)是；所以a3b的系數(shù)是；

所以a2b2的系數(shù)是；

所以ab3的系數(shù)是；

所以b4的系數(shù)是.

(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,a2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=____________________，a+b(a+b)n

=?……請(qǐng)同學(xué)們歸納、猜想

!?一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有

探究猜想：思考：的展開(kāi)式怎么寫呢？按所取b的個(gè)數(shù)分類：

(1)不取b，得(2)取1個(gè)b，得(3)取2個(gè)b，得…………(k+1)取k個(gè)b，得…………(n+1)取n個(gè)b，得

將這n+1個(gè)式子相加，可得(分成n+1類)

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，二項(xiàng)展開(kāi)式中的叫做二項(xiàng)式系數(shù).

它一共有n+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)用來(lái)表示，叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，

即通項(xiàng)為展開(kāi)式第r+1項(xiàng):一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有

1.系數(shù)規(guī)律：2.指數(shù)規(guī)律：（1）各項(xiàng)的次數(shù)均為n；（2）各項(xiàng)里a的指數(shù)由n降到0，

b的指數(shù)由0升到n.3.項(xiàng)數(shù)規(guī)律：兩項(xiàng)和的n次冪的展開(kāi)式共有n+1個(gè)項(xiàng).定理特征新知探究:二項(xiàng)式定理：公式通項(xiàng)公式:集中體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式中的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)的變化，是二項(xiàng)式定理的核心，特定項(xiàng)系數(shù)、以及數(shù)、式的整除方面有廣泛應(yīng)用.它在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)、注意：（2）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，（1）展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)（通項(xiàng)）其中它與第r+1項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念.它可表示二項(xiàng)展開(kāi)式中的任意項(xiàng)，只要n與r確定，該項(xiàng)也隨即確定；（3）表示的是第r+1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；（4）中a，b

的位置不能顛倒，且它們指數(shù)和一定為n.二項(xiàng)式定理對(duì)任意的數(shù)a、b都成立，當(dāng)然對(duì)特殊的a、b也成立！問(wèn)題1：根據(jù)二項(xiàng)式定理，(1＋x)n(n∈N*)等于什么？問(wèn)題2：(a－b)n(n∈N*)的展開(kāi)式是什么？例1.應(yīng)用探究求的展開(kāi)式．

解：根據(jù)二項(xiàng)式定理，

（1）求(1+2x)7的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)以及第4項(xiàng)的系數(shù)；（2）例2教材P30例2改編解：（1）(1+2x)7展開(kāi)式的第4項(xiàng)為∴第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

的展開(kāi)式中的三次項(xiàng).第4項(xiàng)的系數(shù)是280.展開(kāi)式中

的系數(shù)（3）求

（2）求的展開(kāi)式中的三次項(xiàng).例2教材P30例2改編由題意得∴

三次項(xiàng)是:解：應(yīng)用探究解:求的展開(kāi)式中的系數(shù)。的展開(kāi)式的通項(xiàng)：根據(jù)題意，得因此，的系數(shù)是例2(3)通項(xiàng)公式變式:求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

解：依題意故在的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是第9項(xiàng)，即（1）二項(xiàng)式定理是代數(shù)公式

和它是以多項(xiàng)式的乘法公式為基礎(chǔ)，以組合知識(shí)為工具，用不完全歸納法得到的，其證明可用數(shù)學(xué)歸納法．（2）對(duì)二項(xiàng)式定理的理解和掌握，要從項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指數(shù)、通項(xiàng)等方面的特征去熟悉他