2024年高考數學考前信息必刷卷01（新高考新題型）（含答案與解析）

第第頁高考數學;gksx1002024年高考考前信息必刷卷（新高考新題型）01數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）全國新高考卷的題型會有所調整，考試題型為8（單選題）＋3（多選題）＋3（填空題）＋5（解答題），其中最后一道試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及整除與算術基本定理、同余與著名數論定理、高階等差數列與線性遞推數列、函數迭代與數列不動點、函數方程、多項式理論與代數基本定理、常用不等式、矩陣與變換、極點極線與射影幾何、曲線系模塊，以解答題的方式進行考查。2023年全國新高考地區(qū)解答題中，結構中規(guī)中矩。但預測2024年新高考地區(qū)將以結構不良型方式整除與算術基本定理、同余與著名數論定理、高階等差數列與線性遞推數列、函數迭代與數列不動點、函數方程、多項式理論與代數基本定理、常用不等式、矩陣與變換、極點極線與射影幾何、曲線系模塊中的一個，出現在19題的可能性較大，難度中等偏上，例如本卷第19題。第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．某車間有兩條生產線分別生產號和號兩種型號的電池，總產量為個．質檢人員采用分層抽樣的方法隨機抽取了一個樣本容量為的樣本進行質量檢測，已知樣本中號電池有個，則估計號電池的產量為（

）A．個 B．個 C．個 D．個2．如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．3．已知為等差數列的前n項和，，則（

）A．60 B．120 C．180 D．2404．設是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，下列命題為假命題的是（

）A．若，則或B．若，則C．若，且，則D．若，則5．第19屆亞運會于2023年9月28日至10月8日在杭州舉行，本屆亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”，分別代表世界遺產良渚古城遺址、西湖和京杭大運河．某同學買了6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，現將這6個吉祥物排成一排，且名稱相同的兩個吉祥物相鄰，則排法種數共為（

）A．48 B．24 C．12 D．66．已知函數恰有2個不同的零點，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，過點的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標系中，經過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（

）A． B．C． D．8．已知雙曲線的左，右焦點分別為，過的直線與雙曲線分別在第一、二象限交于兩點，內切圓的半徑為，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數的部分圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．當時，的值域為C．將函數的圖象向右平移個單位長度可得函數的圖象D．將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數圖象關于點對稱10．已知是兩個虛數，則下列結論中正確的是（

）A．若，則與均為實數 B．若與均為實數，則C．若均為純虛數，則為實數 D．若為實數，則均為純虛數11．已知函數在上可導且，其導函數滿足：，則下列結論正確的是（

）A．函數有且僅有兩個零點B．函數有且僅有三個零點C．當時，不等式恒成立D．在上的值域為第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，若，則的最小值為．13．已知M，N是拋物線上兩點，焦點為F，拋物線上一點到焦點F的距離為，下列說法正確的是．（把所有正確結論的編號都填上）①；②若，則直線MN恒過定點；③若的外接圓與拋物線C的準線相切，則該圓的半徑為；④若，則直線MN的斜率為．14．如圖，在正方體，中，，分別為線段，上的動點.給出下列四個結論:①存在點，存在點，滿足∥平面；②任意點，存在點，滿足∥平面；③任意點，存在點，滿足；④任意點，存在點，滿足.其中所有正確結論的序號是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數.(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)對，恒成立，求a的取值范圍.16．（15分）我國老齡化時代已經到來，老齡人口比例越來越大，出現很多社會問題．2015年10月，中國共產黨第十八屆中央委員會第五次全體會議公報指出：堅持計劃生育基本國策，積極開展應對人口老齡化行動，實施全面二孩政策．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調查了100位育齡婦女，結果如下表．非一線一線總計愿生40y60不愿生x2240總計5842100(1)求x和y的值．(2)分析調查數據，是否有以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”？(3)在以上二孩生育意愿中按分層抽樣的方法，抽取6名育齡婦女，再選取兩名參加育兒知識講座，求至少有一名來自一線城市的概率．參考公式：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817．（15分）在直角梯形中，，，，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面．(1)求證：；(2)在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18．（17分）已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓上異于頂點的一動點，的角平分線分別交軸、軸于點．(1)若，求；(2)求證：為定值；(3)當面積取到最大值時，求點的橫坐標．19．（17分）已知數列為有窮正整數數列.若數列A滿足如下兩個性質，則稱數列A為m的k減數列：①；②對于，使得的正整數對有k個.(1)寫出所有4的1減數列；(2)若存在m的6減數列，證明：；(3)若存在2024的k減數列，求k的最大值.

2024年高考考前信息必刷卷（新高考新題型）01數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）全國新高考卷的題型會有所調整，考試題型為8（單選題）＋3（多選題）＋3（填空題）＋5（解答題），其中最后一道試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及整除與算術基本定理、同余與著名數論定理、高階等差數列與線性遞推數列、函數迭代與數列不動點、函數方程、多項式理論與代數基本定理、常用不等式、矩陣與變換、極點極線與射影幾何、曲線系模塊，以解答題的方式進行考查。2023年全國新高考地區(qū)解答題中，結構中規(guī)中矩。但預測2024年新高考地區(qū)將以結構不良型方式整除與算術基本定理、同余與著名數論定理、高階等差數列與線性遞推數列、函數迭代與數列不動點、函數方程、多項式理論與代數基本定理、常用不等式、矩陣與變換、極點極線與射影幾何、曲線系模塊中的一個，出現在19題的可能性較大，難度中等偏上，例如本卷第19題。第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．某車間有兩條生產線分別生產號和號兩種型號的電池，總產量為個．質檢人員采用分層抽樣的方法隨機抽取了一個樣本容量為的樣本進行質量檢測，已知樣本中號電池有個，則估計號電池的產量為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【解析】依題意樣本中號電池有（個），所以估計號電池的產量為（個）.故選：D2．如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，所以，所以，.故選：D.3．已知為等差數列的前n項和，，則（

）A．60 B．120 C．180 D．240【答案】B【解析】因為數列為等差數列，所以，所以，所以．故選：B.4．設是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，下列命題為假命題的是（

）A．若，則或B．若，則C．若，且，則D．若，則【答案】D【解析】對于A項，因，設,在平面過點作直線，過點作直線，則，由可得，，故垂直于由直線和直線組成的平面，由過一點有且只有一個平面與已知直線垂直的性質可知，故有或，故A項正確；對于B項，如圖，，設，由，則，同理，設構成平面，則，設,則，故得,故，B項正確；對于C項，如圖，因，，則；又，則，故得：，故C項正確；對于D項，如圖，取平面為平面，平面為平面，取為，為，因平面，平面,則，又,平面，故平面，因平面，故,即，但與不垂直，故D項錯誤.故選：D.5．第19屆亞運會于2023年9月28日至10月8日在杭州舉行，本屆亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”，分別代表世界遺產良渚古城遺址、西湖和京杭大運河．某同學買了6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，現將這6個吉祥物排成一排，且名稱相同的兩個吉祥物相鄰，則排法種數共為（

）A．48 B．24 C．12 D．6【答案】A【解析】由題意，因名稱相同的兩個吉祥物相鄰，分別看成一個元素共有種排法，相鄰元素內部再排共有種排法，故共有種排法，故選：A．6．已知函數恰有2個不同的零點，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知方程恰有2個不同的實數根．設，則直線與函數的圖象恰有2個不同的交點，因為，當時，，當時，，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，，當時，，當時，，當時，，∴可以作出的大致圖象，如圖所示，

易知直線過定點，當直線與函數的圖象相切時，設切點為，則，解得或，當直線與函數的圖象相切時，或，數形結合可知，實數a的取值范圍為.故選：D．7．我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，過點的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標系中，經過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據題意進行類比，在空間任取一點，則平面法向量為，故選：A．8．已知雙曲線的左，右焦點分別為，過的直線與雙曲線分別在第一、二象限交于兩點，內切圓的半徑為，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設內切圓與三邊切點分別為P，Q，R，所以，點A在雙曲線上，，又，，，點B在雙曲線上，，，，設內切圓圓心為I，連接，如圖所示，，，即，為等邊三角形，，在由余弦定理得：，即：，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數的部分圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．當時，的值域為C．將函數的圖象向右平移個單位長度可得函數的圖象D．將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數圖象關于點對稱【答案】AD【解析】由函數圖象可知，，的最小正周期為，A選項正確；，，，則，由，得，所以.當時，，，的值域為，B選項錯誤；將函數的圖象向右平移個單位長度可得函數的圖象，C選項錯誤；將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數的圖象，，函數的圖象關于點對稱，D選項正確.故選：AD10．已知是兩個虛數，則下列結論中正確的是（

）A．若，則與均為實數 B．若與均為實數，則C．若均為純虛數，則為實數 D．若為實數，則均為純虛數【答案】ABC【解析】設，．，．若，則，，所以，，所以A正確；若與均為實數，則，且，又，，所以，所以B正確；若，均為純虛數，則，所以，所以C正確；取，，則為實數，但，不是純虛數，所以D錯誤．故選：ABC．11．已知函數在上可導且，其導函數滿足：，則下列結論正確的是（

）A．函數有且僅有兩個零點B．函數有且僅有三個零點C．當時，不等式恒成立D．在上的值域為【答案】AC【解析】令，則，故（為常數），又，故可得，故，.對A：令，即，解的或，故有兩個零點，A正確；對B：，則，令，可得，故在和單調遞增；令，可得，故在單調遞減；又，，又，故存在，使得；又，故存在，使得；又當時，，故不存在，使得；綜上所述，有兩個根，也即有個零點，故B錯誤；對C：，即，，當時，，上式等價于，令，故可得，故在上單調遞增，，滿足題意；當時，，也滿足；綜上所述，當時，恒成立，故C正確；對D：由B可知，在單調遞減，在單調遞增，且，，故在上的值域為，D錯誤.故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，若，則的最小值為．【答案】【解析】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值為.故答案為：.13．已知M，N是拋物線上兩點，焦點為F，拋物線上一點到焦點F的距離為，下列說法正確的是．（把所有正確結論的編號都填上）①；②若，則直線MN恒過定點；③若的外接圓與拋物線C的準線相切，則該圓的半徑為；④若，則直線MN的斜率為．【答案】①④【解析】對于①：根據拋物線的定義得，解得，所以拋物線，，故①正確；因為直線MN，OM，ON的斜率必存在，設直線MN的方程為，，，聯立方程，相切y得，則，，，因為，所以，解得，滿足，所以直線MN恒過定點，故②錯誤；對于③：因為線段OF的垂直平分線，可知外接圓圓心的縱坐標為，所以外接圓半徑為，故③錯誤；對于④：因為，可知直線MN過焦點F，且，設直線MN的傾斜角為，不妨設M在第一象限，如圖，過點M，N分別向準線作垂線段MA，NB，過點N向MA作垂線段NC，設，則，，，則，，，，所以直線MN的斜率為，故④正確．故答案為：①④.14．如圖，在正方體，中，，分別為線段，上的動點.給出下列四個結論:

①存在點，存在點，滿足∥平面；②任意點，存在點，滿足∥平面；③任意點，存在點，滿足；④任意點，存在點，滿足.其中所有正確結論的序號是.【答案】①③【解析】對①，當，分別為，的中點時，取中點，連接，則根據中位線的性質可得，又平面，平面，故平面，同理平面，又，平面，故平面平面.又平面，故平面.故①正確.

對②，當在時，∥平面不成立，故②錯誤；對③④，以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，.設，，則，其中，故，則當時，即.故對任意的，存在滿足條件，即任意點，存在點，滿足.故③正確；當，即在點時，若，則，不滿足，即不在上，故④錯誤.

故答案為：①③四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數.(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)對，恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)遞增區(qū)間為；(2).【解析】（1）當時，函數的定義域為，求導得，令，求導得，當時，，當時，，則函數在上遞減，在上遞增，，即，，當且僅當時取等號，所以函數在上單調遞增，即函數的遞增區(qū)間為.（2）依題意，，則，由（1）知，當時，恒成立，當時，，，則，因此；當時，求導得，令，求導得，當時，，則函數，即在上單調遞減，當時，，因此函數在上單調遞減，當時，，不符合題意，所以a的取值范圍是.16．（15分）我國老齡化時代已經到來，老齡人口比例越來越大，出現很多社會問題．2015年10月，中國共產黨第十八屆中央委員會第五次全體會議公報指出：堅持計劃生育基本國策，積極開展應對人口老齡化行動，實施全面二孩政策．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調查了100位育齡婦女，結果如下表．非一線一線總計愿生40y60不愿生x2240總計5842100(1)求x和y的值．(2)分析調查數據，是否有以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”？(3)在以上二孩生育意愿中按分層抽樣的方法，抽取6名育齡婦女，再選取兩名參加育兒知識講座，求至少有一名來自一線城市的概率．參考公式：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)(2)有以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”(3)【解析】（1）由題意得，；（2）由，得，∴有以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”．（3）抽取6名育齡婦女，來自一線城市的人數為，記為1，2，來自非一線城市的人數為，記為a，b，c，d，選設事件A為“取兩名參加育兒知識講座，求至少有一名來自一線城市”，基本事件為：，，事件共有9個，或17．（15分）在直角梯形中，，，，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求證：；(2)在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【解析】（1）因為，且，可得，，又因為，可得，所以，則，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）因為平面，且平面，所以，如圖所示，以點為原點，建立空間直角坐標系，可得，，，，所以，．設平面的法向量為，則，令，可得，所以，假設存在點，使得與平面所成角為，設，（其中），則，，所以，整理得，解得或（舍去），所以在線段上存在點，使得與平面所成角為，此時．

18．（17分）已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓上異于頂點的一動點，的角平分線分別交軸、軸于點．(1)若，求；(2)求證：為