八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)章節(jié)重點(diǎn)復(fù)習(xí)考點(diǎn)講義(北師大版)專題19三角形的內(nèi)角和綜合題(原卷版+解析)

專題19三角形的內(nèi)角和（綜合題）易錯(cuò)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)01：三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為細(xì)節(jié)剖析：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出③求一個(gè)三角形知識(shí)點(diǎn)02：三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.細(xì)節(jié)剖析：(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是；③另一條邊是三角形三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是．所以三角形共有，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有2．性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于．（2）三角形的一個(gè)外角任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．細(xì)節(jié)剖析：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于細(xì)節(jié)剖析：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是易錯(cuò)題專訓(xùn)易錯(cuò)題專訓(xùn)一．選擇題1．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．55° B．35° C．25° D．20°2．（2022秋?荊州月考）如圖是一副三角尺拼成的圖案，則∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．90° C．75° D．60°3．（2022秋?東麗區(qū)期中）如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，則∠α的度數(shù)為（）A．80° B．60° C．90° D．45°4．（2022春?淇濱區(qū)期末）如圖，∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)，BE平分∠NBA，BE的反向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)C，則∠C的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．55° D．60°5．（2023秋?銅官區(qū)校級(jí)期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，則∠BA'C的度數(shù)為（）A．120° B．110° C．100° D．90°6．（2022秋?黃驊市校級(jí)期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為（）A．60° B．10° C．45° D．10°或60°二．填空題7．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，則∠DAE的度數(shù)是，∠BOA的度數(shù)是．8．（2022春?東海縣期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝68°，點(diǎn)D．E分別在AB、AC上，將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處．則∠BDF﹣∠CEF＝．9．（2023秋?肥西縣期末）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角β是另外一個(gè)內(nèi)角α的時(shí)，我們稱此三角形為“友好三角形”，α為友好角．如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為42°，那么這個(gè)“友好三角形”的“友好角α”的度數(shù)為．10．（2020秋?江津區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC邊上，連接DE交AC于點(diǎn)F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，則∠BED＝．11．（2023秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠MAN＝100°，點(diǎn)B，C是射線AM．AN上的動(dòng)點(diǎn)，∠ACB的平分線和∠MBC的平分線所在直線相交于點(diǎn)D，則∠BDC的大小為．12．（2020春?陽城縣期末）如圖，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，點(diǎn)D、E分別在線段AB、BC上，將△BDE沿直線DE翻折，使B落在B′處，B′D、B′E分別交AC于F、G．若∠ADF＝70°，則∠CGE的度數(shù)為°．13．（2020秋?綦江區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分別為AB，AC上一點(diǎn)，將△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，點(diǎn)A，B恰好重合于點(diǎn)P處，則∠ACP＝．三．解答題14．（2022秋?荊州月考）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分線CD交AB于點(diǎn)D，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖③，在△ABC中，BP，CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，若∠A＝63°，求∠BPC的度數(shù)．15．（2023秋?福田區(qū)校級(jí)期末）我們定義：【概念理解】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖1，∠MON＝72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與C、B重合點(diǎn)）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”；【應(yīng)用拓展】如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取一點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．16．（2022秋?渝北區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為∠ABC的平分線BD上一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，若AD⊥BD于點(diǎn)D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度數(shù)（用含α和β的代數(shù)式表示）．17．（2022春?綠園區(qū)期末）已知直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，點(diǎn)A在射線OQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、B均不與點(diǎn)O重合．【探究】如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，則∠ABI＝°．②在點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)過程中，∠AIB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出∠AIB的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．【拓展】如圖2，AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，BC的反向延長(zhǎng)線交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．在點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)過程中，∠ADB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，直接寫出∠ADB的度數(shù)；若變化，直接寫出∠ADB的度數(shù)的變化范圍．18．（2019秋?黃岡月考）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連接DE．（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度數(shù)；（2）猜想∠CDE與∠BAD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．19．（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖銳角∠EAF，B、C分別為AE、AF上一點(diǎn)．（1）如圖1，∠EAF＝50°，連接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分線與∠FCB的角平分線交于點(diǎn)P，則α+β＝°，∠P＝°；（2）Q為∠EAF內(nèi)部一點(diǎn)（Q不在CB上），連接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分線分別為BM、CN．①如圖2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM與CN交于點(diǎn)P，則∠BPC的度數(shù)為；②探究猜想，如圖3，若∠CQB和∠EAF相等，BM與CN有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；③BM與CN可能垂直嗎？若不能，說明理由；若能，寫出此時(shí)∠CQB與∠EAF的數(shù)量關(guān)系．20．（2023秋?錦州期末）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰BA三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC的度數(shù)為；（2）如圖③，在△ABC中，BP，CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰CB三分線，且∠BPC＝135°，求∠A的度數(shù)；【延伸推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的鄰BC三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m的代數(shù)式表示）專題19三角形的內(nèi)角和（綜合題）易錯(cuò)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)01：三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．細(xì)節(jié)剖析：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)02：三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.細(xì)節(jié)剖析：(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線．（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．2．性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．細(xì)節(jié)剖析：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.細(xì)節(jié)剖析：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°．易錯(cuò)題專訓(xùn)易錯(cuò)題專訓(xùn)一．選擇題1．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．55° B．35° C．25° D．20°【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】記AD和BC相交于點(diǎn)O，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖，記AD和BC相交于點(diǎn)O，在△AOB與△COD中，∵∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝∠COD，∠B＝25°，∴∠D＝∠B＝25°．故選：C．【考察注意點(diǎn)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角的性質(zhì)，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022秋?荊州月考）如圖是一副三角尺拼成的圖案，則∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．90° C．75° D．60°【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可．【規(guī)范解答】解：由圖可知∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，∵∠AEB＝∠DBC+∠ACB，∴∠AEB＝30°+45°＝75°．故選：C．【考察注意點(diǎn)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．要注意：一副三角尺的度數(shù)：30°，45°，60°，90°．3．（2022秋?東麗區(qū)期中）如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，則∠α的度數(shù)為（）A．80° B．60° C．90° D．45°【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可得，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，則∠1＝135°，∠3＝18°，根據(jù)折疊的性質(zhì)，翻折變換的特點(diǎn)即可求解．【規(guī)范解答】解：∵∠1：∠2：∠3＝15：3：2，∴∠1＝135°，∠3＝18°，∴∠DCA＝18°，∠EAB＝135°∵∠PAC＝360°﹣2∠1＝90°∴∠EPD＝∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠DCA＝72°．由翻折的性質(zhì)可知∠E＝∠3＝18°．∴∠α＝180°﹣72°﹣18°＝90°．故選：C．【考察注意點(diǎn)】本題通過折疊變換考查學(xué)生的邏輯思維能力，解決此類問題，應(yīng)結(jié)合題意，最好實(shí)際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關(guān)系．4．（2022春?淇濱區(qū)期末）如圖，∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)，BE平分∠NBA，BE的反向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)C，則∠C的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．55° D．60°【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，列式求出∠ABN，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE和∠BAC，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，列式計(jì)算即可得解．【規(guī)范解答】解：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，∵∠MON＝90°，∴∠AOB＝90°，∴∠C＝×90°＝45°．故選：B．【考察注意點(diǎn)】本題怎樣考查了三角形外角的性質(zhì)，以及角平分線的定義，解題時(shí)注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．5．（2023秋?銅官區(qū)校級(jí)期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，則∠BA'C的度數(shù)為（）A．120° B．110° C．100° D．90°【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，據(jù)此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝60°，根據(jù)BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．【規(guī)范解答】解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A，∵∠1+∠2＝120°，∴∠A＝60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°．故選：A．【考察注意點(diǎn)】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，屬于中考常考題型．6．（2022秋?黃驊市校級(jí)期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為（）A．60° B．10° C．45° D．10°或60°【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：分兩種情況：①如圖1，當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如圖2，當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，綜上，∠BCD的度數(shù)為60°或10°，故選：D．【考察注意點(diǎn)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，分情況討論是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題7．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，則∠DAE的度數(shù)是5°，∠BOA的度數(shù)是125°．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】因?yàn)锳D是高，所以∠ADC＝90°，又因?yàn)椤螩＝70°，所以∠DAC度數(shù)可求，因?yàn)锳E是角平分線，∠BAC＝50°，所以∠CAE＝25°，進(jìn)而可求∠DAE的度數(shù)；因?yàn)椤螧AC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分線，則∠ABO＝30°，故∠BOA的度數(shù)可求．【規(guī)范解答】解：如圖：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵AE是∠BAC的平分線，∠BAC＝50°，∴∠CAE＝∠BAO＝25°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°；∵∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．故答案為：5°，125°．【考察注意點(diǎn)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義．解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義．8．（2022春?東海縣期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝68°，點(diǎn)D．E分別在AB、AC上，將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處．則∠BDF﹣∠CEF＝44°．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】先利用平角用∠1表示出∠BDF，再利用三角形的內(nèi)角和定理及推論用∠1表示出∠CEF，兩式相減可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖：∵∠C＝90°，∠B＝68°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝22°．∵△DEF是由△DEA折疊成的，∴∠1＝∠2，∠3＝∠DEF．∵∠BDF+∠1+∠2＝180°，∴∠BDF＝180°﹣2∠1．∵∠CEF+∠CED＝∠DEF，∠CED＝∠1+∠A，∠3+∠1+∠A＝180°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠CED＝∠3﹣∠CED，＝180°﹣∠1﹣∠A﹣∠1﹣∠A＝180°﹣2∠1﹣44°＝136°﹣2∠1．∴∠BDF﹣∠CEF＝180°﹣2∠1﹣（136°﹣2∠1）＝180°﹣2∠1﹣136°+2∠1＝44°．故答案為：44°．【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握“三角形的內(nèi)角和等于180°”、折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023秋?肥西縣期末）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角β是另外一個(gè)內(nèi)角α的時(shí)，我們稱此三角形為“友好三角形”，α為友好角．如果一個(gè)“友好三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為42°，那么這個(gè)“友好三角形”的“友好角α”的度數(shù)為42°或84°或92°．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】分42°角是α、β和既不是α也不是β三種情況，根據(jù)希望角的定義以及三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【規(guī)范解答】解：①42°角是α，則友好角度數(shù)為42°；②42°角是β，則α＝2β＝84°，∴友好角α＝84°；③42°角既不是α也不是β，則α+β+42°＝180°，所以，α+α+42°＝180°，解得α＝92°，綜上所述，友好角度數(shù)為42°或84°或92°．故答案為：42°或84°或92°．【考察注意點(diǎn)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，讀懂題目信息，理解希望角的定義是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于分情況討論．10．（2020秋?江津區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC邊上，連接DE交AC于點(diǎn)F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，則∠BED＝102°．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】首先根據(jù)∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后設(shè)∠C＝∠D＝x°，根據(jù)外角與內(nèi)角的關(guān)系可得38+x+x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BED的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，設(shè)∠C＝∠D＝x°，則39+x+x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°﹣39°﹣39°＝102°．故答案為：102°．【考察注意點(diǎn)】此題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．11．（2023秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠MAN＝100°，點(diǎn)B，C是射線AM．AN上的動(dòng)點(diǎn)，∠ACB的平分線和∠MBC的平分線所在直線相交于點(diǎn)D，則∠BDC的大小為50°．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線定義得出∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，求出∠A＝2∠D，即可求出答案．【規(guī)范解答】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，∴∠A＝2∠D，∵∠A＝100°，∴∠D＝50°．故答案為：50°．【考察注意點(diǎn)】本題考查了三角形外角性質(zhì)和角平分線定義的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是求出∠A＝2∠D．12．（2020春?陽城縣期末）如圖，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，點(diǎn)D、E分別在線段AB、BC上，將△BDE沿直線DE翻折，使B落在B′處，B′D、B′E分別交AC于F、G．若∠ADF＝70°，則∠CGE的度數(shù)為50°．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】連接BB'，由翻折變換的性質(zhì)得：∠ABC＝∠DB'E＝60°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ADF+∠CEG＝60°+60°＝120°，進(jìn)而得出∠CEG＝50°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到△CEG中，∠CGE＝180°﹣50°﹣80°＝50°．【規(guī)范解答】解：如圖，連接BB'，由翻折變換的性質(zhì)得：∠ABC＝∠DB'E＝60°，∵∠ADF是△BDB'的外角，∠CEG是△BEB'的外角，∴∠ADF+∠CEG＝60°+60°＝120°，又∵∠ADF＝70°，∴∠CEG＝50°，又∵∠C＝80°，∴△CEG中，∠CGE＝180°﹣50°﹣80°＝50°，故答案為：50．【考察注意點(diǎn)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．13．（2020秋?綦江區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分別為AB，AC上一點(diǎn)，將△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，點(diǎn)A，B恰好重合于點(diǎn)P處，則∠ACP＝22°．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到AD＝PD＝BD，可得CD＝AB＝AD＝BD，根據(jù)∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，即可得出∠BCP＝2∠BCD＝112°，即可得出∠ACP＝112°﹣90°＝22°．【規(guī)范解答】解：由折疊可得，AD＝PD＝BD，∴D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，∴∠BCP＝2∠BCD＝112°，∴∠ACP＝112°﹣90°＝22°，故答案為：22°．【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，解題時(shí)注意：三角形內(nèi)角和是180°．三．解答題14．（2022秋?荊州月考）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分線CD交AB于點(diǎn)D，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖③，在△ABC中，BP，CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，若∠A＝63°，求∠BPC的度數(shù)．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）分BD是“鄰AB三分線”、BD是“鄰BC三分線”兩種情況，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB＝117°，根據(jù)“鄰三分線”的定義計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵∠A＝70°，∠B＝44°，∴∠ACB＝66°，①當(dāng)CD是“鄰AC三分線”時(shí)，∠ACD＝∠ACB＝22°，∠BDC＝∠ACD+∠A＝22°+70°＝92°；②當(dāng)CD是“鄰BC三分線”時(shí)，∠ACD＝∠ACB＝44°，∠BDC＝∠ACD+∠A＝44°+70°＝114°；綜上所述，∠BDC的度數(shù)92°或114°；（2）∵BP，CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵∠A＝63°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝117°，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝39°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝141°．【考察注意點(diǎn)】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，正確理解“鄰AB三分線”、“鄰BC三分線”的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋?福田區(qū)校級(jí)期末）我們定義：【概念理解】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖1，∠MON＝72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與C、B重合點(diǎn)）（1）∠ABO＝18°，△AOB是（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”；【應(yīng)用拓展】如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取一點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠ABO的度數(shù)，根據(jù)“完美三角形”的概念判斷；（2）根據(jù)“完美三角形”的概念證明即可；應(yīng)用拓展：根據(jù)比較的性質(zhì)得到∠EFC＝∠ADC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根據(jù)角平分線的定義得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根據(jù)“完美三角形”的定義求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB為“完美三角形”，故答案為：18；是；（2）證明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；應(yīng)用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“完美三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°．【考察注意點(diǎn)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、“完美三角形”的概念，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．16．（2022秋?渝北區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為∠ABC的平分線BD上一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，若AD⊥BD于點(diǎn)D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度數(shù)（用含α和β的代數(shù)式表示）．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠BAD的度數(shù)；（2）過點(diǎn)A作AG∥BC，則∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，依此即可求解．【規(guī)范解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝120°，∴∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，又∵∠BDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠BAD＝60°；（2）如圖2：過點(diǎn)A作AG∥BC，則∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，則∠FAD+∠C＝β﹣∠DBC＝β﹣∠ABC＝β﹣α．【考察注意點(diǎn)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．17．（2022春?綠園區(qū)期末）已知直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，點(diǎn)A在射線OQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、B均不與點(diǎn)O重合．【探究】如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，則∠ABI＝25°．②在點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)過程中，∠AIB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出∠AIB的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．【拓展】如圖2，AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，BC的反向延長(zhǎng)線交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．在點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)過程中，∠ADB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，直接寫出∠ADB的度數(shù)；若變化，直接寫出∠ADB的度數(shù)的變化范圍．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】【探究】①先利用直角三角形兩個(gè)銳角互余求出∠OBA，再利用角平分線的定義求出∠ABI即可；②不變，理由與①類似；【拓展】不變，利用三角形的外角求出∠ABM，再利用角平分線的定義求出∠ABC和∠BAD即可，可得∠ADB＝∠AOB．【規(guī)范解答】解：【探究】①∵M(jìn)N⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，∵BI平分∠ABO，∴∠ABI＝∠ABO＝25°；故答案為：25；②不變，∠AIB＝135°．∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴，，∴＝＝，∵直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，∴∠AOB＝90°，∴．【拓展】不變，∠ADB＝45°，理由如下：∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，∴點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ADB＝45°．【考察注意點(diǎn)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．18．（2019秋?黃岡月考）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連接DE．（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度數(shù)；（2）猜想∠CDE與∠BAD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，求出∠ADC和∠ADE，結(jié)合圖形計(jì)算即可；（2）設(shè)∠BAD＝x，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠ADC和∠ADE，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵∠BAD＝60°，∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝60°+∠B，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠B﹣60°＝120°﹣2∠B，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°+2∠B）＝30°+∠B，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝（60°+∠B）﹣（30°+∠B）＝30°；（2）∠BAD＝2∠CDE，理由：設(shè)∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，∴∠ADE＝∠AED＝∠C+x，∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+x）＝x，∴∠BAD＝2∠CDE．【考察注意點(diǎn)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵．19．（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖銳角∠EAF，B、C分別為AE、AF上一點(diǎn)．（1）如圖1，∠EAF＝50°，連接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分線與∠FCB的角平分線交于點(diǎn)P，則α+β＝130°°，∠P＝65°°；（2）Q為∠EAF內(nèi)部一點(diǎn)（Q不在CB上），連接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分線分別為BM、CN．①如圖2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM與CN交于點(diǎn)P，則∠BPC的度數(shù)為25°；②探究猜想，如圖3，若∠CQB和∠EAF相等，BM與CN有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；③BM與CN可能垂直嗎？若不能，說明理由；若能，寫出此時(shí)∠CQB與∠EAF的數(shù)量關(guān)系．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）由∠EAF＝50°，利用三角形內(nèi)角和定理可得角的度數(shù)；（2）①根據(jù)已知條件∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，結(jié)合角平分線定義求解∠FCQ+∠EBQ，再利用四邊形內(nèi)角和求∠BPC的度數(shù)；②延長(zhǎng)BQ交CN于H，設(shè)∠EAF＝∠CQB＝x°，利用外角性質(zhì)得∠CQB＝∠HCQ+∠CHQ＝x°，證明∠MBQ＝∠CHQ；③延長(zhǎng)BQ交AF于G，設(shè)∠EAF＝x°，∠CQB＝y(tǒng)°，證明∠ABQ+∠ACQ＝y(tǒng)°﹣x°，再利用平角，角平分線定義求解：∠QCD+∠QBD＝180°﹣（x°﹣y°），再利用四邊形內(nèi)角和求得y°+180°﹣（y°﹣x°）+90°＝360°，整理得出最后結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）解：∵∠EAF＝50°，∴α+β＝180°﹣50°＝130°，∴∠FCB+∠EBC＝360°﹣（α+β）＝230°，∵CP、BP分別平分∠FCB、∠EBC，∴∠PCB＝∠FCB，∠＝∠EBC，∴∠PCB+∠PBC＝115°，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝65°，故答案為：130°，65°．（2）①如圖2∵∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，∴∠ACQ+∠ABQ＝210°，∴∠FCQ+∠EBQ＝150°，∵CP、BP分別平分∠FCB、∠EBC，∴∠PCQ+∠PBQ＝75°，∴∠ACP+∠ABP＝285°，∴∠P＝25°，故答案為：25°.②如圖所示：猜想：BM與CN平行．證明：延長(zhǎng)BQ交CN于H，設(shè)∠EAF＝∠CQB＝x°，∴∠ACQ+∠ABQ＝360°﹣2x°，∴∠FCQ