2023-2024學年江蘇省蘇州市高一年級下冊期中數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年江蘇省蘇州市高一下冊期中數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知集合厶={1,2,3,4,5,6},8={x|lar>l},則AB=()

A.{1,2}B.{1,2,3,4}C.{3,4,5,6}D.{1,2,3,4,5,6}

【正確答案】C

【分析】先解出集合B,根據(jù)交集的運算，即可得出答案.

【詳解】解lnx>l,可得x>e=2.718,所以B={x|x>e).

所以，Ac8={3,4,5,6}.

故選：C.

2.實數(shù)蒼y滿足*+y=T,x>0,則x-工的最小值為()

X

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】運用代入法將代數(shù)式X-2轉換為只含有X的一元代數(shù)式，運用基本不等式求解.

X

【詳解】x+y=-1,y=-l-x,所以X_2=X+^=X+，+1N2+1=3,當且僅當x=l取

XXX

等號；

故選：C.

3.己知cos(0+；J=；,則sin26=()

3777

A.±-B.-C.——D.±-

8888

【正確答案】B

【分析】因為26=2,+：卜(即可推出sin26=-cos2(夕+胃，然后根據(jù)二倍角的余

弦公式，展開代入己知，即可得出答案.

【詳解】因為26=2(0+：］-1，

所以，sin20=sin2^+^--^=-cos2(6+：

1c2（n兀、1I7

=1-2cos26+—=1——=一.

I4丿88

故選：B.

4.1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了歐拉公式：ei°=cose+isin6>㈠是自然對數(shù)的底，i是

虛數(shù)單位），這個公式被譽為復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的“天橋”，在復變函數(shù)中占有非常重要

的地位，則復數(shù)e'在復平面內對應的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【正確答案】D

【分析】先用歐拉公式求出e'i得復數(shù)形式，再根據(jù)其坐標求解.

【詳解】e5i=cos5+isin5,其在復平面的坐標為（cos5,sin5）,又因為當<5<2兀,所以

5i

cos5>0,sin5<0,e對應的點在第四象限；

故選：D.

5.已知函數(shù)〃x）=sin2x-Gcos2x,貝ij（）

A.在恒）單調遞增，且圖象關于點惇°）中心對稱

B.“X）在單調遞增，且圖象關于點信0）中心對稱

C./（“在單調遞減，且圖象關于點信0）中心對稱

D.“X）在。弓）單調遞減，且圖象關于點與。］中心對稱

【正確答案】B

【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)/（x），結合正弦型函數(shù)的單調性與對稱性即可得答案.

【詳解】“x）=2sin（2x-。因為所以弋<2x-方苫，所以/（x）在（0,［單

調遞增，

又/（訐2sin0=0,所以/（x）得圖象關于點值,0）中心對稱.

故選：B.

6.函數(shù)y=sinxln（e*+eT）在區(qū)間［-兀,可上的圖象大致為（）

%

A._________4^—^B.二二

一兀\/1兀X_兀

VZ2,-O1?！?/p>

-1-

)八

c.?.一

-丿J71X

-1■

D.

少八

一兀O1兀X

-1-

【正確答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B、D,再取特值x=］排除C.

【詳解】對于函數(shù)〃x)=sinxln(e'+ef),

/(x)+f(-x)=sinxIn(e*+e-jr)+sin(-x)In(e-jr+ex)=sinxln(e'+e-r)-sinxln(ex+e-x)=0

J

故〃X)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，B、D錯誤；

乂：H=sin/n卜+e”=lne—),且e->0，

故f《)=lnF+e4>ln(e+0)=l,C錯誤；

故選：A.

7.己知銳角ABC中，角A,8,C的對邊分別為〃力,附巒=〃+歷,則tanAtanB的取值范圍

為()

A.(1,-KO)B.(1,K)C.(0,1)D.(G,+8)

【正確答案】A

【分析】根據(jù)余弦定理以及正弦定理結合已知條件找出角AB的關系式，然后利用正切的二

倍角公式化簡tan/Uan8,再根據(jù)角的范圍求出取值范圍即可.

a2=b2+hc

【詳解】由c-2bcosA=b,

cr=tr+C1-2匕cosA'

所以sinC-2sin3cosA=sinB，

所以sin[兀一(A+B)]-2sinBcosA=sinB,

=>sin(A+B)-2sinBcosA=sinB,

=>sinAcosB-sinBcosA=sinB,

nsin(A-8)=sin8,

在厶ABC中，由sin(A-B)=sinB=>A=2B,

所以tanAtanB=tan2BtanB=2⑶’?=-2+------

因為銳角三角形，

7T

0cAe一0<2B<-

22

所以。＜8苦n<0<B<—

2

71

0<Y0<n-3B<

2

所以丄<tan%<1,

3

2

所以tanAtanB=-2+-------->1.

1-tarrB

所以tanAtanb的取值范圍是：

故選：A.

8.已知實數(shù)。=上cos竽t)5,b=sinO.5,c=7J,則它們的大小關系為()

216

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

【正確答案】B

【分析】由三角函數(shù)線和正弦函數(shù)的圖象，結合扇形的面積公式和三角形面積公式，以及兩

點間的斜率公式，用排除法，即可得出.

【詳解】作單位圓及角a的三角函數(shù)線，如圖，

設扇形OAP面積為5,三角形OAT面積為邑，弧長為/,扇形圓心角為a,單位圓半徑r=l,

由三角函數(shù)線可知47=tana,

l=ar,S,=-lr=—ar-r=—ar12=—axl2=—a,S-,=—OAAT=—x1xtana=—tana,

'222222222

因為扇形0Ap面積M小于三角形OAT面積邑，

所以S1＜S2,所以詈，故avtana,

,sin-1

目口11cos0.5

即一<lan一,r-f>所以&<sinL即丁<sin0.5,

22

cos-22

故排除選項C,D.

在y=sinx在［0,；］的圖象取點A(2,sin!)和點8(扌，1)，

22262

sin--0--0

由丫=$皿*在［0,：］的圖象形狀可知，k0A＞kOB,則一―

2i-05一0

26

13133157

化簡得到sin：＞弓所以叱＞五＞

227r2x3.2一記述

7

所以sinOS>7,h>c,排除A.

16

故選：B

二、多選題

9.已知z「Z2eC,下列說法正確的是()

A.|zJeRB.L+ZZRZJ+EI

C.附上㈤閻D.|zj=目

【正確答案】ACD

【分析】分別設4=。+加，a,beR,z2=c+di,c,deR,根據(jù)復數(shù)的加法、乘法、模的

運算以及共駆復數(shù)，求解即可得出答案.

【詳解】設4=。+歷，a,b^R,z2=c+di,c,dGR.

對于A項，因為團=，？+6eR,故A對；

對于B項，因為卜z|="匸丁,

所以匕|+上|=從+，。2+4.

又Z1+Z2=a+c+(b+d)i,所以|Z|+Z2|=J(a+c￥+S+d)2,

所以區(qū)+多國zj+同,故B錯；

對于C項，因為4?Z2~(a+b\)(c+d\)-ac-bd+[ad+Zjc)i,

222222222222

所以|Z|z?|=y](ac-bd)+(cul+bc)=y/ac+bd+ad+hc=->Jc+d=|zj|z?|,

故C對；

對于D項，因為ZI=a-bi,所以閻=J—+4=㈤，故D對.

故選：ACD.

10.函數(shù)/l(xhtaMsinx+cos%),則下列說法正確的是()

A.〃x)的定義域為RB./(x)是奇函數(shù)

C./(x)是周期函數(shù)D./(x)既有最大值又有最小值

【正確答案】ACD

【分析】利用奇函數(shù)和周期函數(shù)的定義可判斷BC的正誤，利用正切函數(shù)的定義域可得A的

正誤，利用正切函數(shù)的單調性可判斷D的正誤.

【詳解】對于A,sinx+cosx=x/5sin(x+?)e[-竝，夜],

因為]＞應,所以對于任意實數(shù)x,“X)都有意義，所以A正確；

對于B,/(-%)=tan(-sinx+cosx),不與f(x)恒等，所以B錯誤；

對于C,/(x+2JI)=tan(sinr+cosx)=/(x),所以C正確；

對于D,siiw+cosx=&sin(x+￡一夜，回，y=tanx在[-&,用單調遞增，

所以/(%=/(：)Ax".=/(-,)，所以D正確.

故選：ACD.

11.給出下列四個關系式，其中正確的是()

A.sinasin夕=/[cos(a+￡)-cos(a-〃)]

B.sincrcosy?=g[sin(a+y?)+sin(a-77)]

C.cosacos/=-；[cos(a+/?)-cos(a一/)]

D.coscifsin/?=；[sin(a+/7)-sin(a-￡)]

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦以及余弦公式，展開化簡即可得出答案.

【詳解】對于A項，因為cos(a+/?)=cosacos/?-sinasin/7,

cos(a-/)=cosacos/3+sinasinp,

所以-cos(a+/)+cos(a-/?)=2sinasin〃,

所以sinasi”=；[cos(a-0-cos(a+/?)],故A項錯誤;

對于B項，因為sin(a+/?)=sinacos/+cosasin/7,sin(a-/?)=sincos[i-cosasinp,

所以sin(a+/7)+sin(a-〃)=2sinacos〃,

所以sinacos/7=g[sin(a+/)+sin(a—夕)],故B項正確；

對于C項，因為cos(a+4)=cosacos/y-sinasin/?,cos(tz-y0)=cosacosf3+sinsin/?,

所以cos(a+0+8s(a-/?)=2cosacos4,

所以cosacos尸=g[cos(a+/)+cos(a—〃)],故C項錯誤；

對于D項，因為sin(a+/)=sinacos/+cosasin/?,sin(6z-/7)=sin?cos/?-cosasin[3,

所以sin(a+〃)-sin(a-/7)=2cosasin尸,

所以cosasin/?=3[sin(a+/)-sin(a-77)],故D項正確.

故選：BD.

12.在dBC中，AC=3,A8=5,/A=120,點。是5c邊上一點，且AO=xAC+yA8,

則下列說法正確的是（）

A.BC=7

B.若x=y=0.5,則A￡>=?

2

C.若">=叵，則x=y=0.5

2

D.當AO取得最小值時，X=費

【正確答案】AB

【分析】運用余弦定理求出8C,運用平面向量的運算逐項分析.

由余弦定理得BC2=AB2+BC2-2AB.BCCOSNA=25+9-2x3x5x=49,.-.BC=1，故

A正確；

若x=y=0.5,則AZ)=g(A3+ACj,..AZ)2=；(A8，+4c2+2A8.Acj=巻,AD=~,

故B正確;

若厶。=巫，由上圖，以A為圓心，媽為半徑畫圓，則圓A與BC有2個交點，故C

22

錯誤；

BD=AD-AB=xAC+(y-l)AB,設

BD=ABC=AC—AB)=AAC—AAB9.\4=x,—A=y—i,.\x+y=l,

AD=xAC+yAB,AD"=9x2+25y2-15xy=9x2+25(l-x)2-15x(l-x)=49x2-65x+25,

當x=￡時取最小值，故D錯誤；

故選：AB.

三、填空題

13.在中，。=2力=1,8=29,則滿足此條件的三角形有個.

【正確答案】2

【分析】利用余弦定理建立方程，結合韋達定理和判別式，求方程正根的個數(shù)即為解的個數(shù).

【詳解】由余弦定理U="+c2—2accos8,

M1=22+C2-2X2C-COS29,

BPc1-4c-cos29+3=0,

其判別式A=16COS229-12,

因為△=16COS229-12>16COS230-12=0,

設c?_4c?cos29+3=0的兩根為。和c,,

q+。2=4cos29>0

由韋達定理，得

q.G=3>0

又因為△>(),

所以方程4LCOS29+3=0有兩個不等的正根,

所以滿足此條件的三角形有2個.

14.將d+2x+5在復數(shù)范圍內因式分解為.

【正確答案】(x+1-2i)(x+l+2i)

【分析】先求解判別式，再利用求根公式得出兩個根，寫出因式分解式即可.

【詳解】令/+2*+5=0,

-2+4i

A=4-20=-16=16i2,所以x=―^-=-l±2i,

即x2+2x+5=(x+l-20(x+l+2i).

故答案為：(x+l-2i)(x+l+2i).

15.如圖，某數(shù)學學習小組要測量地面上一棵大樹A3的高度(大樹A3垂直于地面)，在與

樹底8同一水平面內選取兩個測量基點。和O,在C點測得大樹頂部A的仰角是7T:，在。點

6

JTJT

測得大樹頂部A的仰角是工，測得水平面上的N8OC=7，OC=20米，則大樹的高度為

43

__________米.

【正確答案】10

【分析】設A3=X,在RtaABC以及中，求出8。=辰以及8￡>=x.在一8Z5C中,

根據(jù)余弦定理，得出方程，求解即可得出答案.

【詳解】由已知可得，NABC=NA8O=].

設

在RtAMC中，有tanNBCA=4^=且，所以8C=&.

BC3

在Rtz\ABD中，WtanZBDA=——=1,所以B￡)=x.

BD

在.BDC中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2-2BDxCDxcosZBDC,

BP3X2=400+X2-20X.解得X=10或X=-20(舍去負值).

故10.

16.在乂BC中，AB=\,AC=2,ZA=60,若的平面內有一點。滿足厶庁=AC4。，

則AD2+BD2的最小值為.

【正確答案】4-2道

【分析】建立直角坐標系，運用平面向量求出點D的運動軌跡，再利用幾何意義求解.

由題意，由余弦定理得BC?=AB2+AC2-2AB.ACCOSZA=1+4-2=3,

BC2+AB2=AC2，:.B=gBC=6,即以B為原點，84所在直線為y軸，BC所在直

線為x軸建立平面直角坐標系，

則B（O,O）,A（O,1）,C（6,O）,設Q（x,y）,則AC=（百,一1）,AO=（x,y-l）,

由已知A。？=AC-AO,x2+（y-l）2=屆+1-）\x—專+（丫一3）=1，

即點。是在以AC的中點。等,;為圓心，半徑為1的圓周上，

AD2+BZ）2=x2+（y-1）2+x2+j2=2x2+,即是求d+（y_gj的最小值，

其幾何意義為圓周上的一點。到AB的中點￡[0,g）的距離的平方的最小值，顯然當。E,

。共線時。E最?。ㄈ缟蠄D），即，

.-.AD2+BD2的最小值為2x（：-6）+g=4-2G；

故4-26-

四、解答題

17.已知平面向量a,b，Sl=2,\b\=2,且a與〃的夾角為

（1）求|〃+8|；

（2）若“-/?與〃+妨（ZeR）垂直，求左的值.

【正確答案】（1）26

（2）1

【分析】（1）先用平面向量運算法則求出（。+可;從而求出模長：（2）根據(jù)平面向量垂直

得到方程，求出女的值.

【詳角吊】（1）丨。+切2=（4+人）2=/+24吆+片=4+2忖?忸卜。$]+4=12,所以|〃+回=2相.

（2）由題意得：的）=/+仏_1）忖?忖8$三_?/=4+2信-1）_4（=0,解得.4二]

18.已知復數(shù)z=>匚）2±3±3i+2i

2-i

⑴求復數(shù)z；

（2）記復數(shù)z在復平面對的點為P,已知角a的終邊經(jīng)過點/>,若tan（a+0=-2,且

力?0,兀），求夕的值.

【正確答案】（l）l+3i

【分析】（1）利用復數(shù)的乘除運算進行化簡;

（2）先根據(jù)角a的終邊經(jīng)過點尸得到tana=3,結合tan（a+4）=-2,解方程可得答案.

【詳解】（1）z=（li）2+3+3i+2i=21i+2i=（3+i）（2+i）+2i=]+3i

2-i2-i5

(2)由(1)得*1,3),所以tana=3,

因為tan(a+0=:ana+t：叱=_2,所以解得tan/y=l；

l-tancrtan/7l-3tanp

jr

因為°<5,所以夕=不

19../BC的內角A,B,C的對邊分別為若asin8=G/?cosA.

⑴求A；

⑵若c=3,/3C的面積為邁.

2

(i)求。；

14

(ii)一ABC邊3C上一點。，記△M￡>面積為S?-AC。面積為S2,當m+不達到最小值

5d2

時，求AO的長.

【正確答案】(1)三

(2)(i)a=幣;(ii)

3

【分析】(1)由正弦定理可得sinAsinB=gsinBcosA,進而得出tanA=￡,即可得出答案;

(2)根據(jù)面積公式可推得b=2,然后根據(jù)余弦定理可求得a=曰設BD=?n,CD=@n,

推得!=費，!=費?代入J+U，根據(jù)“1”的代換，即可根據(jù)基本不等式得出取最

S19mS29/7%

小值時血〃的值，進而得出C￡>=2互.根據(jù)余弦定理，在A3C中，求出cosC=^.然后在

314

ACD中，根據(jù)余弦定理，即可求出AO的長.

【詳解】(1)由正弦定理以及asin3=JOcosA可得，sinAsinB=V3sinBcosA.

因為sinBwO,所以tanA=6.

又A?0,兀)，所以厶=宗

(2)(i)由已知可得，SVARC=—bcsinA=-bx3x^-=^^-,所以b=2.

由余弦定理可知，a2=h2+c2-2bccosA=4+9-2-2-3-=l,

所以，Cl=5/7.

(ii)設BD=5n,CD=y/ln,則加+差=1.

C

D

AB

所以孑=親=知則屮…》所以?茄十哈

同理可得’?六=等

所以

所以‘但手

宀+ca2+h2-c27+4-9幣

又在一A5C中，有cosC=-------------=--------尸=—，

lab2x27714

【2x2x"也小

在丄ACZ）中，有40?=AC2+CO2—2ACCOCOSC=4+

3149

所以,但乎

20.已知函數(shù)/(x)=Asin(&r+*)(o>0,0<s<2),有以下四個命題：甲：該函數(shù)的最大值

_2乃

為6；乙：該函數(shù)的周期與y=siar的周期相同；丙：該函數(shù)有一個零點為胃；T：該函

數(shù)像可以由y=sin2x-acos2x的圖像左右平移得到：以上四個命題中有且僅有一個命題是

假命題.

(1)請找出這個假命題，不需要說明理由，并求出f(x)的解析式;

⑵設函數(shù)/7(x)=gf(x-Wj+sin2x,求函數(shù)〃(x)的最小值.

(〃)：

【正確答案】1)假命題為丁，X=^Siinr?

⑵得

【分析】(1)對4個命題逐一推理找出矛盾所在;

(2)對〃(x)作恒等變換，運用換元法求解.

【詳解】(1)假命題為丁，理由如下:

由甲得4=石，由乙得<v=l,此時f(x)=Gsin(x+0)

由丙得/[/)=°，sin(/+9)=0,*=_/+E(&GZ),

又因為0<9<2,所以s=g，即/(x)=6sin[x+1)；

由丁可得：y=sin2x-V2cos2x=5/3—1-sin2x------cos2x=>/3sin(2x-a),

、33)

其中cosa=@,sina=Y^,若丁正確，則乙丙錯誤，不符合題意；

33

(2)/z(x)=g/(x-R)+sin2x=+sin2x=^

(sin%+cosx)+2siarcosx

3I4丿6

設r=sinx+cosx=0sin+［卜［-&,3］，則有2sinxcosx=1一1,

所以設H(r)=將「+r-1,當宀制j,“⑺取最小值-芥即〃(x)的最小值為；

綜上，(1)丁是假命題，(2)〃(力的最小值為-胃.

21.若函數(shù)/.(X)滿足：存在非零實數(shù)T,對任意定義域內的x,有/(n)=/(x)+T恒成立,

則稱〃x)為T函數(shù).

(1)求證：常數(shù)函數(shù)/(x)=c不是T函數(shù);

(2)若關于x的方程嚏4-彳=03>0且。#1)有實根，求證：函數(shù)g(x)=bg“x為T函數(shù);

(3)如果函數(shù)/〈X)為T函數(shù)，那么r(x)是否仍為T函數(shù)？請說明理由.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)尸(可不為T函數(shù)，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，求出/(*)=C+THC,即可得出證明;

（2）代入化簡可得g（Zr）=log〃x+k>g“T,然后根據(jù)題意知log）=7有解，即可得出證明;

（3）假設/lx）為T函數(shù)，根據(jù)T函數(shù)的定義可推出/（x）=[為常數(shù)函數(shù).根據(jù)（1）的

結論，即可得出矛盾，假設錯誤，即可得出結論.

【詳解】（1）由題意可知，/（八）=/。）+7=。+7人，故常數(shù)函數(shù)〃x）=c不是T函數(shù).

（2）因為g（公）=log。（公）=logflx+logflT,

由題意得log/=T存在解，

所以，存在T,使得g（7k）=k）g“x+log“T=10gtix+T=g（x）+T,

即函數(shù)g（x）=bg?x是T函數(shù).

（3）由題意“對=/（x）+T,則心（咐=[〃6+=2=/2㈤+2飴㈤+72

若尸（x）為T函數(shù)，則尸（△）=.『（x）+T,

則應有2V（X）+T2=7,

化簡得〃x）=q為常數(shù)函數(shù).

由（1）知，常數(shù)函數(shù)/（犬）=?不是T函數(shù)，

這與已知矛盾，所以假設錯誤，所以/2（x）不為T