數(shù)值積分方法

關(guān)于數(shù)值積分方法abf(x)數(shù)值積分的應(yīng)用背景:1)被積函數(shù)的原函數(shù)不能表示為初等函數(shù)某些實際問題僅有一些離散函數(shù)值,無法給出被積函數(shù)表達(dá)式3)被積函數(shù)過于復(fù)雜,難以求得其原函數(shù)借助于被積函數(shù)在一些點的函數(shù)值,推算出滿足一定精度的定積分近似值---數(shù)值積分方法第2頁,共36頁，2024年2月25日，星期天預(yù)備知識牛頓―萊布尼茲公式如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且原函數(shù)為F(x)，則可用牛頓―萊布尼茲公式來求定積分。第3頁,共36頁，2024年2月25日，星期天預(yù)備知識積分中值定理若f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則存在x∈[a,b]，使第4頁,共36頁，2024年2月25日，星期天預(yù)備知識廣義積分中值定理若f在[a,b]上連續(xù)，g在[a,b]上可積，且g(x)在[a,b]上不變號，存在x,x∈[a,b]，使第5頁,共36頁，2024年2月25日，星期天數(shù)值積分問題牛頓―萊布尼茲公式

找原函數(shù)很困難，有些原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示

原函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜

f(x)是由測量或計算得到的數(shù)據(jù)表第6頁,共36頁，2024年2月25日，星期天yy=f(x)xbaoxk+1xkxk-1數(shù)值積分問題第7頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.1插值型求積公式f(x)在這些節(jié)點的值f(xi)，求定積分第8頁,共36頁，2024年2月25日，星期天定義設(shè)有計算的求積公式如其求積系數(shù)，則稱此求積公式為插值型求積公式.定積分轉(zhuǎn)換成被積函數(shù)的有限個函數(shù)值的線性組合，無需求被積函數(shù)的原函數(shù).5.1插值型求積公式第9頁,共36頁，2024年2月25日，星期天兩點公式x0=a,x1=b,n=1梯形公式：5.1插值型求積公式一、梯形公式---兩點線性插值幾何意義：用梯形面積代替被積函數(shù)的曲邊梯形面積第10頁,共36頁，2024年2月25日，星期天梯形公式誤差5.1插值型求積公式廣義積分中值定理若f在[a,b]上連續(xù)，g在[a,b]上可積，且g(x)在[a,b]上不變號，存在x,x∈[a,b]，使

利用這一定理梯形與曲邊梯形面積的對比：正負(fù)決定

第11頁,共36頁，2024年2月25日，星期天三點二次拉格朗日插值積分--辛卜生公式x0x2x1y=f(x)L2(x)5.1插值型求積公式第12頁,共36頁，2024年2月25日，星期天辛卜生公式:取x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b,n=2辛卜生公式：5.1插值型求積公式誤差精度較梯形高第13頁,共36頁，2024年2月25日，星期天yxoy=f(x)

ab5.2復(fù)合梯形公式第14頁,共36頁，2024年2月25日，星期天分段線性插值--復(fù)合梯形法等分求積區(qū)間，比如取步長，分[a,b]為n等分，分點為

,k=0,1,2,…,n2.在區(qū)間[xk,xk+1]上求3.取和值，作為整個區(qū)間上的積分近似值第15頁,共36頁，2024年2月25日，星期天復(fù)合梯形公式誤差由各小區(qū)間梯形誤差累加小區(qū)間增多,誤差減小→控制第16頁,共36頁，2024年2月25日，星期天……x0x1x2xkxk+1xn-1xn復(fù)合梯形公式(節(jié)點加密)第17頁,共36頁，2024年2月25日，星期天復(fù)合梯形公式(節(jié)點加密)由遞推逐漸逼近，達(dá)到計算精度即停止。條件成立則終止計算并以T2n為定積分的近似值第18頁,共36頁，2024年2月25日，星期天教材P68--例5.1(1)牛頓-萊布尼茲公式—0.8670(2)梯形公式—0.75(3)辛卜生公式—0.8775(4)復(fù)合梯形公式T4=0.8617第19頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.3其它復(fù)合求積公式借用積分中值定理若f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則存在x∈[a,b]，使得將其用于積分的近似計算，取ξ=b,得---積分右矩形公式復(fù)合右矩形公式第20頁,共36頁，2024年2月25日，星期天如在區(qū)間[a,b]內(nèi)插入節(jié)點xj=a+jh(j=0,1,···,n),h=(b-a)/n得到復(fù)合右矩形求積公式：利用拉格朗日中值定理求右矩形公式的誤差估計復(fù)合右矩形公式第21頁,共36頁，2024年2月25日，星期天復(fù)合辛卜生公式記每2個節(jié)點間增加一個中值節(jié)點,節(jié)點數(shù)由n→2n.節(jié)距變?yōu)閔=(b-a)/2n.展開,得第22頁,共36頁，2024年2月25日，星期天利用數(shù)據(jù)表xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.76473.50683.20002.87642.46002.265492計算積分復(fù)合求積方法比較取n=8用復(fù)合梯形公式=第23頁,共36頁，2024年2月25日，星期天取n=4,用復(fù)合辛卜生公式復(fù)化求積方法第24頁,共36頁，2024年2月25日，星期天定義如果一個求積公式(a)對于次數(shù)不超過m的多項式均能準(zhǔn)確成立，但至少對一個m+1次多項式不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。定理對于求積公式(a)具有m次代數(shù)精度的充分必要條件為該公式對f(x)=1,x,…..xm

精確成立，而對f(x)=xm+1，不精確成立。5.4數(shù)值積分公式的代數(shù)精度第25頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求代數(shù)精度的階數(shù)--確定以下求積公式的代數(shù)精度5.4數(shù)值積分公式的代數(shù)精度?階代數(shù)精度1階代數(shù)精度?階代數(shù)精度第26頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.4數(shù)值積分公式的代數(shù)精度證明代數(shù)精度的階數(shù)第27頁,共36頁，2024年2月25日，星期天若求積節(jié)點xk任意選取，則求積公式中含有2n+2個待定參數(shù)xk和Ak(k=0,1,…n),適當(dāng)選取這些參數(shù)，可使求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，稱這種用n+1個求積節(jié)點而具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式為高斯求積公式，n+1個節(jié)點為高斯點。5.4高斯求積公式對于插值型求積公式第28頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例：求形如的兩點高斯求積公式。梯形公式：高斯公式：對求積公式中的四個待定系數(shù)A0,A1,x0,x1適當(dāng)選取，使求積公式對f(x)=1，x，x2，x3

都準(zhǔn)確成立3次代數(shù)精度5.4高斯求積公式第29頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.4高斯求積公式第30頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求三點高斯求積公式高斯公式：對求積公式中的6個待定系數(shù)A0,A1,A2,x0,x1,x2，使求積公式對f(x)=1,x,x2,x3,x4,x5都準(zhǔn)確成立代數(shù)精度階數(shù)(2n+1)=55.4高斯求積公式n+1個求積節(jié)點數(shù)為3→n=2得三點高斯求積公式:第31頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.4高斯求積公式高斯求積公式在定積分中的應(yīng)用構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)x(t)=k+jt,使x(-1)=a且x(1)=b

得k=(a+b)/2,j=(b-a)/2，相應(yīng)有第32頁,共36頁，2024年2月25日，星期天P75.例5.6(1)梯形公式—0.75(2)辛卜生公式—0.8775(3)復(fù)合梯形公式T4=0.8617第33頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求二重積分的四點高斯求積公式(了解)其中:將二點高斯求積公式直接應(yīng)用到二重積分的累次積分中第34頁,共36頁，2024年2月25日，星期天3.