九年級數(shù)學(xué)上冊同步講義（人教版）：第二十四章 圓單元檢測二

第30課圓單元檢測（二）

一、單選題

1.如圖，AB是。的切線，A切點(diǎn)，連接OA,OB,若NB=20。，則NAO8的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【分析】

根據(jù)切線的性質(zhì)可得NQ4B=90?,再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出

【詳解】

；AB是O的切線

,Nft4B=90?

ZB=20°

二ZAOB=1800-ZOAB—NB=70°

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的性質(zhì)，由切線得到直角是解題的關(guān)鍵.

2.設(shè)計(jì)一個(gè)商標(biāo)圖案，如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2BC,且AB=8cm,以A為圓心、AD的長為半

徑作半圓，則商標(biāo)圖案（陰影部分）的面積等于（）

C.(3兀+8)cn?D.(37t+16)cm2

【答案】A

【分析】

圖中陰影部分的面積可分為扇形、矩形、三角形的面積和與差，分別進(jìn)行計(jì)算后即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：,/矩形ABCD中，AB=2BC,AB=8cm,

???AD=BC=4cm,ZDAF=90°,

S同形ADF=—TTAD2=4zr（cm2）,SII；ABCD=AB-AD=4x8=32（cm2）,

4

乂AF=AD=4cm,

/.SABCF=-?F-BC=-X12X4=24（cm2）,

22

S%.=S財(cái)）KADF+S加彩ABCD-SABCF=（4兀+8）cm2.

即商標(biāo)圖案（陰影部分）的面積等于（4兀+8）cm2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了扇形面積計(jì)算、矩形的性質(zhì)等知識，掌握扇形面積計(jì)算公式及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，。。的半徑為5,弦A3的長為8,點(diǎn)M在線段A3（包括端點(diǎn)AB）上移動，則QW的取值范

圍是（）

A.3<OM<5B.3<OM<5C.3<OM<5D.3<OM<5

【答案】A

【解析】

試題分析：仔細(xì)分析圖形特征可得：當(dāng)M與A或B重合時(shí)，達(dá)到最大值；當(dāng)OMLAB時(shí)，為最小.

當(dāng)M與A或B重合時(shí)，達(dá)到最大值，即圓的半徑5

當(dāng)OMLAB時(shí)，為最小值=次二/=3

故0M的取值范圍是鬻上房*上￡

故選A.

考點(diǎn)：垂徑定理，勾股定理

點(diǎn)評：本題容易出現(xiàn)錯誤的地方是對點(diǎn)M的運(yùn)動狀態(tài)不清楚，無法判斷什么時(shí)候會為最大值，什么時(shí)候?yàn)?/p>

最小值.

4.如圖所示，“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題，“今有圓材，埋在壁中，

不知大小，以鋸鋸之，深兩寸，鋸道長八寸，間徑幾何？”用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言表述是：“C。為：。的直徑，

弦垂足為點(diǎn)E,CE=2寸，A8=8寸，求直徑8的長？”依題意。的長為（）

z>

B、-----J

A.6寸B.8寸C.10寸D.12寸

【答案】C

【分析】

連接AO,設(shè)直徑CD的長為2x寸，則半徑OA=OC=x寸，然后利用垂徑定理得出AE,最后根據(jù)勾股定理

進(jìn)一步求解即可.

【詳解】

如圖，連接AO,設(shè)直徑CD的長為2x寸,則半徑OA=OC=x寸,

「CD為。O的直徑，弦AB_LCD,垂足為E,AB=8寸，

.?.AE=BE=gAB=4寸，

在Rt^AOE中，根據(jù)勾股定理可知:

AO2^AE2+EO2，

X2-42+(X-2)2,

解得：x=5,

二2x=10,

即CD長為10寸.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了垂徑定理與勾股定理的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

5.如圖，已知P是。O外一點(diǎn)，Q是。O上的動點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M,連接OP,OM.若。O的半徑

為2,OP=4,則線段OM的最小值是（）

o

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】

試題分析：取OP的中點(diǎn)N,連結(jié)MN,0Q,如圖，；M為PQ的中點(diǎn)，；.MN為APOQ的中位線，，

MN=g0Q=gx2=1,.?.點(diǎn)M在以N為圓心，1為半徑的圓上，在AOMN中，1<OM<3,當(dāng)點(diǎn)M在ON

上時(shí)，OM最小，最小值為1,.?.線段OM的最小值為I.故選B.

考點(diǎn)：1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；2.三角形中位線定理；3.最值問題；4.軌跡.

6.一條弦把圓周分成1:4兩部分，則這條弦所對的圓周角為()

A.36B.144C.15()D.36或144

【答案】D

【分析】

根據(jù)圓周角定理，可證NAOB=72。,又由圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)知，Z￡=180°-ZF=144°.

【詳解】

如圖，A8把圓分成1:4兩部分,則/4。8=上、360=72。，

4+1

由圓周角定理知，ZF=1ZAOB=36°,

由圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)知,/E=l80。-/尸=144°

E

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題利用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，同圓或等圓中，圓周角等于它所對的弧上的圓心角的一半；

圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

7.如圖，AB.AC是。。的切線，B、C為切點(diǎn)，ZA=50°,點(diǎn)尸是圓上異于8、C的點(diǎn)，則NBPC的度數(shù)

是（）

A.65°B.115°C.115°或65°D.130°或65°

【答案】c

【分

根據(jù)切線的性質(zhì)得到OBLAB,OC1AC,求出/BOC,分點(diǎn)P在優(yōu)弧BC上、點(diǎn)P在劣弧BC上兩種情況,

根據(jù)圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】

解：:/18、AC是。。的切線，

：.OB.LAB,OC±AC,

AZOBA=90°,ZOCA=90°

VZA=50°,

???ZBOC=360°-90°一90°-50°=130°,

如圖，

＞公＞,

當(dāng)點(diǎn)。在優(yōu)弧8PC上時(shí)，N8PC=g/8OC=65。，

當(dāng)點(diǎn)P在劣弧BC上時(shí)，NBPC=180。-65。=115°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑及圓

周角定理是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

8.如圖，。的半徑為5,A8C為0的內(nèi)接三角形，且AC=BC,AB=8,點(diǎn)P在劣弧BC上運(yùn)動（不與

點(diǎn)C、3重合）,連接P3并延長，在P3的延長線上取一點(diǎn)E,使得NPAE=NC4B,則黑腔的最大值是

【答案】40

【詳解】

ZC=ZP,ZPAE=ZCAB.Z￡=ZABC,'：AC=BC,：.NCAB=ZABC,：.NPAE=ZE，：.AP=PE,

要使V"E的面積最大，則PE與PE邊上的高最大即可，當(dāng)AP為直徑時(shí)PE=AP最大，且PE邊上的高最

大，最大值為AB，如圖，為。的直徑，，。的半徑為5,.?.AB_LPE,AP=10,

S”版大=gA8/E=gx8xl0=4°?

C

9.如圖，EB,EC是。O的兩條切線，與。O相切于B,C兩點(diǎn)，點(diǎn)A,D在圓上.若/E=46。，NDCF=32。,

【答案】99

【解析】

試題分析：；EB,EC是。O的兩條切線,

.?.EB=EC,

/ECB=NEBC,

.\ZECB=1(180°-ZE)=gx(180°-46°)=67°,

/BCD=180°-ZECB-ZDCF=180。-67。-32。=81°,

四邊形ABCD為。O的內(nèi)接四邊形，

ZA+ZBCD=180°,

.?.NA=180°-81°=99°.

故答案為99.

考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

10.已知00/與002的半徑4、弓分別是方程X2-6*+8=()的兩實(shí)根，若00/與。02的圓心距d=5.則

00,與002的位置關(guān)系是.

【答案】相交

【解析】略

11.如圖，AB為。。的直徑，AB=AC,BC交。O于點(diǎn)D,AC交。。于點(diǎn)E,NBAC=45。，給出以下五個(gè)

結(jié)論：①/EBC=22.5。；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧片￡是劣弧30的2倍；⑤AE=BC,其中正確的序

號是.

【詳解】

連接AD,AB是直徑，則AD_LBC,乂:△ABC是等腰三角形，故點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即BD=CD,故②

正確；

：AD是NBAC的平分線，由圓周角定理知，ZEBC=ZDAC=|ZBAC=22.5°,故①正確；

■:ZABE=90°-ZEBC-ZBAD=45°=2ZCAD,故④正確；

VZEBC=22.5°,2EC/BE,AE=BE,/.AE/2CE,③不正確；

：AE=BE,BE是直角邊，BC是斜邊，肯定不等，故⑤錯誤.

綜上所述，正確的結(jié)論是：①②④.

故答案為①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了1.圓周角定理；2.等腰三角形的判定與性質(zhì)；3.弧長的計(jì)算.

12.（2016廣西賀州市第25題）如圖，在AABC中，E是AC邊上的一點(diǎn)，且AE=AB,

/BAC=2NCBE,以AB為直徑作。O交AC于點(diǎn)D,交BE于點(diǎn)F.

（1）求證：BC是。O的切線；

（2）若AB=8,BC=6,求DE的長.

【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、1.6

【解析】

1

試題分析：（1）、由AE=AB,可得/ABE=90。-2/BAC,又由/BAC=2NCBE,可求得NABC=/ABE+

NCBE=90。，繼而證得結(jié)論；（2）、首先連接BD,易證得AABDs^ACB,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比

例，求得答案.

試題解析：（1）、：AE=AB,.?.△ABE是等腰三角形，

111

/.ZABE=2（180°-ZBAC=）=90°-2ZBAC,=ZBAC=2ZCBE,ZCBE=2ZBAC,

11

/.ZABC=ZABE+ZCBE=（90°-2ZBAC）+2/BAC=90。，即AB_LBC,；.BC是（DO的切線：

（2）、連接BD,：AB是。O的直徑，.,.ZADB=90°,VZABC=90°,AZADB=ZABC,

ADAB,--------

VZA=ZA,.?.△ABD^AACB,AAB=AC,?在RIAABC中，AB=8,BC=6,AAC=VAB2+BC=10,

AD_8

A8-10,解得：AD=6.4,：AE=AB=8,.*.DE=AE-AD=8-6.4=1.6.

考點(diǎn)：切線的判定

13.兩圓內(nèi)切，其中一個(gè)圓的半徑為5,兩圓的圓心距為2,則另一個(gè)圓的半徑是.

【答案】3或7

【解析】

試題分析：當(dāng)半徑為5的圓是大圓時(shí)，此時(shí)小圓半徑為「=5-2=3,當(dāng)半徑為5的圓是小圓時(shí)，此時(shí)大圓

半徑為「=5+2=7

考點(diǎn)：兩圓內(nèi)切的掌握

點(diǎn)評：題目難度不大，考查學(xué)生對于兩圓內(nèi)切時(shí)的認(rèn)識和掌握，兩元內(nèi)切時(shí)，圓心距等于大圓半徑與小圓

半徑之差，做此題時(shí).，學(xué)生要注意，題目中沒有說明哪個(gè)是大圓哪個(gè)是小圓，所以需要分類討論

14.如圖中（1）、（2）、…（加）分別是邊長均大于2的三角形、四邊形...凸〃邊形.分別以它們的各

頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫弧與兩鄰邊相交，得到3條弧、4條弧…、〃條弧.

（1）3條弧的弧長的和為：

（2）4條弧的弧長的和為

（3）求圖（〃?）中〃條弧的弧長的和（用〃表示）.

4

【答案】兀2兀（n-2）it

【解析】

【分析】

（1）（2）利用弧長公式和三角形和四邊形的內(nèi)角和公式代入計(jì)算;

（3）利用多邊形的內(nèi)角和公式和弧長公式計(jì)算.

【詳解】

解：(1)?.?也+〃2+〃3=180°

利用弧長公式可得：+%四+烏四=

n

180180180

（2）?.?因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為360度;

?E、lTT/〃「乃J凡?乃J"a?乃J

..四邊形：—----+工-----+—-----+-----=2萬

180180180180

,?、qrm&皿1??萬n,?TTA(〃一2)?汗?1

(3)n條弧=-^----+d---+—---+----十一+------(-〃-------2--)乃

180180180180180

故答案為：it；27t；(n-2)n.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了多邊形的內(nèi)角和和弧長公式的應(yīng)用.關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式和弧長計(jì)算公式.

三、解答題

15.如圖，。。是^ABC的外接圓，F(xiàn)H是。0的切線，切點(diǎn)為F,FH〃BC,連結(jié)AF交BC于E,ZABC

的平分線BD交AF于D,連結(jié)BF.

(1)證明：AF平分NBAC：

(2)證明：BF=FD；

(3)若EF=4,DE=3,求AD的長.

21

【答案】⑴見解析；⑵見解析；⑶彳

【詳解】

證明(1)連結(jié)OF

H

???FH是。0的切線

.\OF±FH

,.，F(xiàn)H〃BC,

?,?OF垂直平分BC

:.BF=FC

AZ1=Z2,

；?AF平分NBAC

(2)證明：:NABC的平分線BD交AF『D,

??.Z4=Z3,

Z1=Z2,

/.Z1+Z4=Z2+Z3

Z5=Z2

AZ1+Z4=Z5+Z3

.\ZFDB=ZFBD

:.BF=FD

(3)解：在^BFE和AAFB中

VZ5=Z2=Z1,ZAFB=ZEFB

二△BFES/XAFB

.BFAF

'?標(biāo)一定'

???BF?=FE-FA

；.FA=Q

FE

,:BF=DF=EF+DE=7

di

44

4921

???AD=——7=—

44

16.如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)E,且DC=DE.

（2）連接OE,交CD于點(diǎn)F,OE1CD,求證：AABE是等邊三角形.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得44+=180。，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得

LDCE+/.BCD=180°,進(jìn)而得到=然后利用等邊對等角可得/CCE=進(jìn)而可得

Z.A=Z.AEB.

（2）首先證明△赤￡是等邊三角形，進(jìn)而可得〃EB=60。，再根據(jù)"1=44醺，可得AABE是等腰三角

形，進(jìn)而可得4ABE是等邊三角形.

試題解析：（1）???四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形,

.??LA+LBCD=180°,

?/ZDCE+ZBCD=180°,

/.LA=乙DCE,

VDC=DE,

/.￡.DCE=乙AEB,

/.LA=LAEB.

（2）=Z-AEB,

???△ABE是等腰三角形,

VEO±CD,

/.CF=DF,

???EO是CD的垂宜平分線,

:.ED=EC,

?:DODE,

ADC=DE=EC,

???△DCE是等邊三角形，

/.ZJ1=ZJ1EB,

???△ABE是等邊三角形.

考點(diǎn)：（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；（2）等邊三角形的判定與性質(zhì)；（3）圓周角定理.

17.如圖，相交兩圓的公共弦AB長為120cm,它分別是一圓內(nèi)接正六邊形的邊和另一圓內(nèi)接正方形的邊,

求兩圓相交弧間的陰影部分的面積.

【答案】420071-3600-3600^

【解析】

試題分析：

如圖，連接OQ?，OiA,OBO2A,ChB,則可得OQ2垂直平分AB,由題意可得AC=BC=60,ZAOiB=60°,

NAC）2B=90°,由此可得AAOIB是等邊三角形，AAOZB是等腰直角三角形，再由S*g=S切AOIB+S*巾

AO2B-SAAOIB-SAAO2B?即可求得所求面積.

試題解析：

如圖，連接OQ2,OiA,OiB,O2A,O?B；

則O1O2垂直平分AB,

VAB=120,

/.AC=BC=60；

由題意得：ZAOiB=360*1=60,NAChB=90°,

XVOIA=OIB,02A=ChB,

AAOiAB,AO2AB分別是等邊三角形和等腰直角三角形,

/.OiA=AB=120,C)2C=AC=60,O2A=&ChC=60五

2

.c607rxi2()2..nn090^-x(60>/2)1onn

??'質(zhì)形AOlB=---------------------=24UU4,b而形AO2B=------------------------------=1800乃,

360360

S,\OIB=—3600A/3,AO2B=—XX

Axl20xl20xsin60=SA12060=3600,

22

?*?S明帝二S扇形AO1B+S或形AO2B?S^AOIB-SAAO2B

=2400乃+1800萬-3600石-3600

=42001-3600-3600夜(cm2).

點(diǎn)睛：本題的解題要點(diǎn)是：SBU；=SM?AO1B+SAO2B-SA/\OIB-SAAO2B.然后根據(jù)已知條件圍繞這四個(gè)圖形的面

積進(jìn)行計(jì)算即可.

18.如圖，AC是00的直徑，BC是OO的弦，點(diǎn)尸是OO外一點(diǎn)，連接PB,AB,NPBA=NC.

(1)求證：PB是。。的切線;

【分析】

(1)連接OB,由圓周角定理得出乙48c=90。，得出NC+/BAC=90。，再由04=03,得出NH4c=NO8A,

證出NP84+NOBA=90。，即可得出結(jié)論;

(2)由勾股定理即可求。8的長.

【詳解】

(1)證明：連接08,如圖所示:

〈AC是。。的直徑，

???乙480=90。，

???NC+NB4C=90。，

?.?04=03,

，/BAC=NOBA,

■:4PBA=4C,

：.ZPBA+ZOBA=90%

即PBLOB,

???P8是。。的切線；

(2)解：???。0的半徑為2,

???。8=2,

■:PB10B,

???NOBP=90。,

,:0P=6,

,PB=yloP2-OB2=A/62-22=472?

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，以及勾股定理等知識，熟練掌握切線的證明方

法是解答本題的關(guān)鍵.

19.如圖，已知〈。的半徑為1,AC是。的直徑，過點(diǎn)。作。的切線8C,￡是8C的中點(diǎn)，A8交

于。點(diǎn).

(1)直接寫出ED和EC的數(shù)量關(guān)系：；

(2)DE是：。的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；

(3)填空：當(dāng)BC=時(shí)，四邊形是平行四邊形，同時(shí)以點(diǎn)。、。、E、C為頂點(diǎn)的四邊

形是.

【答案】(1)ED=EC；(2)是，理由見解析；(3)2,正方形

【分析】

(1)如圖，連接8,由圓周角定理得到WC=90。，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線直線得到

DE=CE=BE；

(2)如圖，連接利用切線性質(zhì)得N2+N4=90。，再利用等腰三角形的性質(zhì)得4=N2,Z3=Z4,所

以Nl+N3=N2+N4=90。，根據(jù)切線的判定定理知OE是］。的切線；

(3)要判斷四邊形4OED是平行四邊形，DE=OA=\,BC=2,當(dāng)5c=2B寸，八48為等腰直角三角形,

則N8=45。，又可判斷△BCD為等腰直角三角形，得到E)E_L8C,DE=；BC=1,四邊形AOEQ是平行

四邊形，OD=OC=CE=DE,NXE=90°判斷四邊形OCED為正方形.

【詳解】

解：(1)如圖，連接CD,

：AC是1。的直徑，

ZADC=90°,

：.ZBDC=90°,

；E是的中點(diǎn)，

DE=CE=BE；

故答案為：ED=EC；

(2)OE是〈。的切線.

理由如下：如圖，連接。。,