山東省濟(jì)南市2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用并使用完畢前

2023—2024學(xué)年高中三年級(jí)摸底考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x..2},6=-x-6”o},則4]B=()

A.1x|x...-21B.1x|x.3jC.{x|2熱3}D.2}

2.已知復(fù)數(shù)z=如，則|z|=()

1+i11

A.A/3B.75C.3D,5

3.已知平面向量a=(3,2),8=(—2,1),若+丄方，則4=()

4334

A.B.—C.-D.一

5555

4.某班計(jì)劃從3位男生和4位女生中選出2人參加辯論賽，并且至少1位女生入選，則不同的選法的種數(shù)為

()

A.12B.18C.21D.24

5.過點(diǎn)(—2,0)與圓元2十/一4%一加=。相切的兩條直線垂直，貝|]加=()

A.—4B.—2^2C.2行D.4

6.“曲線y=ev+a怛在直線y=x—1上方”的一個(gè)充分不必要條件是()

A.—1<。<0B.④-2C.—c<Q<—2D.a>—2

7.已知a為銳角，若sin(2a+竺券)=

-——，則cosa=()

4

73-1V3-1cV3+1V3+1

A.--------B.-------C.-------D.-------

8484

8.記S〃為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若§4=5邑，06=21,貝|J§8=（)

A.-120B.-85C.85D.120

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）=asinx+cosx（a>°）的最大值為2，則（）

A.a=6B.y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（看,0卜稱

C.x=3■是y=圖象的一條對(duì)稱軸D.>=“X）在（0,?）上單調(diào)遞增

10.已知非零實(shí)數(shù)a,8滿足時(shí)>網(wǎng)+1,則下列不等關(guān)系一定成立的是（）

A..a>b+\B.lna?>ln(/?2+])c.a2>4b

IL如圖，棱長為1的正方體中，點(diǎn)￡,尸分別是棱用C-8乃的中點(diǎn)，則（）

厶.直線40丄平面4瓦）

B.直線政〃平面AG2

]_

cV

3

9

D.過E,F,Q三點(diǎn)的平面截正方體的截面面積為一

116

12.已知拋物線C：y2=4x,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/交拋物線于A（玉，y）,B（w，%）兩點(diǎn)，若。4。8=-4,

則（）

AJ%=-8B.直線/過定點(diǎn)（2,0）

C.S^OB的最小值為2血D.丄+4的最小值為2

王

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則圓錐的體積為.

14.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，并記錄正面向上的點(diǎn)數(shù)，記事件4為“第一次的點(diǎn)數(shù)大于第二次的點(diǎn)數(shù)”,

記事件B為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，則P（B\A）的值為.

15.已知橢圓C：]+親?=1（。>A>0）的上頂點(diǎn)為B,兩個(gè)焦點(diǎn)為大，鳥，線段8工的垂直平分線過點(diǎn)FP

則橢圓的離心率為.

16.若函數(shù)=—0任+以+。）卜C（CHO）的圖象關(guān)于直線x=—2對(duì)稱，且/（x）有且僅有4個(gè)零點(diǎn),

則a+人+c的值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知△ABC中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,h,。，且bcosC+ccosB=2asinA,a=l.

（1）求△ABC外接圓的半徑；

(2)若^+°2=4,求△ABC的面積.

18.（12分）隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購成了人們購物的重要選擇，并對(duì)實(shí)體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了一定影響.為了解實(shí)體經(jīng)濟(jì)

的現(xiàn)狀，某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了一個(gè)大商場(chǎng)2018-2022年的線下銷售額如下:

年份編號(hào)X12345

年份20182019202020212022

銷售額y（單位：萬元）1513146512021060860

（1）由表中數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合銷售額y與年份編號(hào)元的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;

（2）建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年該商場(chǎng)的線下銷售額.

“---

Xx：y：-nxy

a=y-hxf

19.（12分）等差數(shù)列｛a“｝滿足%=5,“+%=8,正項(xiàng)等比數(shù)列也｝滿足打=。2,a是片和44的等比中

項(xiàng).

（1）求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）記=an+bn,求數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和Sn.

20.（12分）如圖，在四棱錐P—A3。中，底面ABCO是正方形，PA丄底面ABC。，Q4=AD=3,點(diǎn)

產(chǎn)是棱PO的中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱OC上一點(diǎn).

（1）證明：AFLEF-.

（2）若直線8P與平面AEE所成角的正弦值為叵，求點(diǎn)8到平面A￡F的距離.

11

21.（12分）已知雙曲線C：鼻一方=1（。＞0力＞0）的一條漸近線方程為x+0y=O,點(diǎn)A（2,l）在。上.

（1）求。的方程；

（2）過C右焦點(diǎn)的直線/交C于P,。兩點(diǎn)，若左”+左順=0,求/的方程.

22.（12分）已知函數(shù)f（x）=Qlnx+l-x.

（1）若求a的值；

、、丁皿“l(fā)In2In3In4Inn1

(2)證明：當(dāng)〃EN且〃..2時(shí)，——x——x——xx——<一.

223242n2n

數(shù)學(xué)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

題號(hào)12345678

答案CBDBDADC

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

題號(hào)9101112

答案ADBCDABCABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

V321

13.一7t14.-15.-16.39

352

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）【解析】（1）因?yàn)閎cosC+ccosB=2asinA,

所以sin3cosC+sinCeosB=2sinAsinA,

所以sin（5+C）=2sinAsinA,

因?yàn)閟in（3+C）=sinA,

所以2sinA=l,即sinA=」

2

所以2R=」一=5=2,即R=1

sinA丄

2

I57r

（2）由（1）可知：sinA=—，A=—或一,

266

因?yàn)?2+。2=4,。=1

TC

所以A=上,

6

由余弦定理得"=b2+c2-2bccosA,

所以灰?=6,

所以ABC=—Z?csinA-—x

22MT

5

功6ioo

18.（12分）【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可得，了=3,歹=且一=叫、=1220,

55

5___

所以，％?—5盯=16589—5x3x1220=—1711,

1=1

-1711

所以‘??-0.9856

1736

因?yàn)镹非常接近1，所以可用線性回歸模型擬合銷售額y與年份編號(hào)x的關(guān)系

(2)由已知數(shù)據(jù)可得，2>,2=12+22+32+42+52=55,

i=\

5__

-盯16589-5x3x1220

所以｝二R------------171.1,

55—5x3?

E-X,2一5元2

1=1

?=y-^x=1220-(-171.1)x3=1733.3,

所以，y關(guān)于x的回歸方程為9=—171.1x+1733.3

令尤=6,則$=—171.1x6+1733.3=706.7(萬元)

所以預(yù)測(cè)2023年該商場(chǎng)的線下銷售額為706.7萬元.

%=q+4d=5

19.（12分）【解析】（1）法一：由題意可得:

%+%=2a]+6J=8

解得，%=d=l,

所以，an=ciy+（H-1）J=H；

法二：由題意可得，4+%=2。4=8,所以%=4,

則d=%—%=1，

所以卬=〃4+(九一4)d-n.

又切>0且％=%=2,%=Jq%=8，

所以打二打“吃二？〃）

(2)因?yàn)閝?=?！?b〃=〃+2'1,

所以S,=(l+2°)+(2+2)+(3+22)++(〃+2'i)

=(1+2+3++H)+(2°+21+224-+2'i)

_〃(1+〃)2。(1-2")_/2+

一十一十N—1

21-22

20.（12分）【解析】（1）在正方形ABC。中，有A。丄C。,

又丄底面ABC。，CDu平面ABC。，

所以Q4丄CO,又ADAP=A,

所以CO丄平面PAD,又Abu平面PAD,所以CD丄AF,

又Q4=AT）,點(diǎn)尸是棱PO的中點(diǎn)，所以有A尸丄PD,

又CDPD=D,所以AF丄平面PDC,

又EFu平面POC,所以AF丄EF.

（2）如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以A6,AD,A尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，B（3,0,0）,P（（）,0,3）,

尸（0,3,1）,設(shè)點(diǎn)E（肛3,0）,硼3,

設(shè)平面AER的法向量”=(x,y,z),

n-AE=0"nx+3y=0

<ni,

n-AF=0[y+z=0

令X=3,可得“=(3,-〃2,〃2),

又8P=(-3,0,3),

所以直線BP與平面AER所成角的正弦值sin。=TI一^I門H=—11

化簡可得加2-22m+21=0,即（加一1）（加一21）=0,

所以〃?=1或/%=21（舍），

即點(diǎn)七（1,3,0）,由加=1可得，n=（3,-l,l）,AB=（3,0,0）,

\n-AB\9布

所以點(diǎn)B到平面AEF的距離d==二一.

加

一

b_夜

2a-

所

21.(12分)【解析】(1)由題J。以-

丄b1

4"=

故雙曲線的方程為5―y2=l.

(2)顯然直線/的斜率不為0,

設(shè)/：x=my+s/3,P(%,y),。(/,必)，

則聯(lián)立雙曲線得：2一2)9+26加)，+1=0,故厶>0,%+%=-屮2,乂必=二一

、丿m-2tn-2

..M-1%—1

kAP+kA0=-------------=0,

”AQxI-2.Aro-2

化簡得：2mMy2一(〃?+2-6)(乂+%)+4-26=0,

故為￡++2-向豐+4-26=。，

即(機(jī)+1)加一(2—0)]=0,帆=一1或加=2—G

當(dāng)初=2-百時(shí)，直線/過A點(diǎn)，不合題意，舍去，

所以直線/的方程x+y—6=0.

22.(12分)【解析】(1)方法一：由題意知，xe(0,+