排列數(shù) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

6.2.2排列數(shù)一、知識(shí)回顧1.一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.兩個(gè)排列相同的充要條件是:兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.

前面給出了排列的定義，下面探究計(jì)算排列個(gè)數(shù)的公式.二、排列數(shù)

符號(hào)

中的A是英文arrangement(排列)的第一個(gè)字母.

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)

表示.

例如:

問(wèn)題1是求從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，表示為

.已經(jīng)算得

=3×2=6.

問(wèn)題2是求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)，表示為

.已經(jīng)算得

=4×3×2=24.

從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)

(m≤n)是多少?

可以先從特殊情況開(kāi)始探究，例如求排列數(shù).根據(jù)前面的求解經(jīng)驗(yàn)，可以這樣考慮:

現(xiàn)在來(lái)計(jì)算有多少種填法.完成“填空”這件事可以分為兩個(gè)步驟完成:

第1步，填第1個(gè)位置的元素，可以從這n個(gè)不同元素中任選1個(gè)，有n種選法；

第2步，填第2個(gè)位置的元素，可以從剩下的(n-1)個(gè)元素中任選1個(gè)，有(n-1)種選法.

假定有排好順序的兩個(gè)空位，如左下圖所示，從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列；反之，任何一種排列總可以由這種填法得到.

因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)

.第1位第2位n種(n-1)種

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)空位的填法種數(shù)為n(n-1)三、探究新知三、探究新知

同理，求排列數(shù)

可以按依次填3個(gè)空位來(lái)考慮，則=？n(n-1)(n-2)

一般地,求排列數(shù)

可以按依次填m個(gè)空位來(lái)考慮:

假定有排好順序的m個(gè)空位，如下圖所示，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上一個(gè)元素，每一種填法就對(duì)應(yīng)一個(gè)排列.因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)

.

填空可以分下面m個(gè)步驟完成:第1位第2位第3位第m位…三、探究新知n種(n-1)種第1位第2位第3位第m位…(n-2)種(n-m+1)種

第1步，從n個(gè)不同元素中任選1個(gè)填在第1個(gè)位，有n種選法；

第2步，從剩下的(n-1)個(gè)元素中任選1個(gè)填在第2位，有(n-1)種選法；

第3步，從剩下的(n-2)個(gè)元素中任選1個(gè)填在第3位，有(n-2)種選法；……

第m步，從剩下的[n-(m-1)]個(gè)元素中任選1個(gè)填在第m位，有(n-m+1)種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，m個(gè)空位的填法種數(shù)為:n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

這樣，我們就得到:四、排列數(shù)公式

排列數(shù)公式:(m、n∈N*，并且m≤n)

你能說(shuō)出排列數(shù)公式的特點(diǎn)嗎?

特別地，把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列.這時(shí)，排列數(shù)公式中m=n，即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1

也就是說(shuō)，將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．于是，n個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫(xiě)成

規(guī)定：0!=1

根據(jù)排列數(shù)公式，我們就能方便地計(jì)算出從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù).例如：5×4=20，8×7×6=336.五、精典例題例1計(jì)算：

由例3可以看到，

觀察這兩個(gè)結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎?=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

事實(shí)上，因此，排列數(shù)公式還可以寫(xiě)成例2用0～9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?五、精典例題解法1：例2用0～9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?五、精典例題解法2：例2用0～9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?五、精典例題解法3：

對(duì)于例4這類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，從不同的角度就有不同的解題方法.

解法1根據(jù)百位數(shù)字不能是0的要求，按分步乘法計(jì)數(shù)原理完成從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事；

解法2是以0是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，按分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成這件事；

解法3是一種間接法，先求出從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)的排列數(shù)，然后減去其中百位是0的排列數(shù)（不是三位數(shù)的個(gè)數(shù))，就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).

從上述問(wèn)題的解答過(guò)程可以看到，引入排列的概念，歸納出排列數(shù)公式，我們就能便捷地求解“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”這類(lèi)特殊的計(jì)數(shù)問(wèn)題.六、課堂小結(jié)1.排列數(shù)2.排列數(shù)公式

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)

數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)

表示.(m、n∈N*，m≤n)

規(guī)定：0!=1=n!=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1

特別地，

全排列3.對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，必須遵循“特殊元素優(yōu)先考慮，