高等數(shù)學(xué)不定積分課件

第四章微分法:積分法:互逆運算不定積分

1二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)2一、原函數(shù)與不定積分的概念引例:

一個質(zhì)量為m

的質(zhì)點,下沿直線運動,在變力試求質(zhì)點的運動速度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)牛頓第二定律,加速度因此問題轉(zhuǎn)化為:已知求3機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在區(qū)間

I

上的一個原函數(shù).定義1.

若在區(qū)間I

上定義的兩個函數(shù)F(x)及f(x)滿足則稱F(x)為f(x)問題:

1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?4

定理.

存在原函數(shù).初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束5定理.

原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束—積分號;—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;定義2.

在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中記作常數(shù)C不能丟掉若則(C為任意常數(shù))6不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的積分曲線

.7例1.設(shè)曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束8第二節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)9二、基本積分表p170-171從不定積分定義可知:或或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束10例2.求例3.

求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束11三、不定積分的性質(zhì)推論:

若則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束12例4.求解:

原式

=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束13例5.

求解:

原式=例6.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束14例7.

求解:

原式

=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束15內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束16思考與練習(xí)1.

若提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束172.

若是的原函數(shù),則提示:已知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束183.

若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個原函數(shù)是().提示:已知求即B??或由題意其原函數(shù)為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束194.

求下列積分:提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束205.

求不定積分解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束216.

已知求A,B.解:

等式兩邊對x

求導(dǎo),得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束22二、第二類換元法第三節(jié)一、第一類換元法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束換元積分法

第四章

23第二類換元法第一類換元法基本思路

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)可導(dǎo),則有24一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束25例1.

求解:

令則故原式

=注:

當(dāng)時機動目錄上頁下頁返回結(jié)束26例2.求解:令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束27例3.求解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束28例4.求解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似29例5.求解:∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3031例6.求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束32例7.求解:

原式=例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束33例9.求解法1解法2兩法結(jié)果一樣機動目錄上頁下頁返回結(jié)束34例10.

求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束35例11.

求解:

原式

=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束36例12.求解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束37例13.

求解:∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束38例14.求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:

391.

求提示:法1法2法3作業(yè)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)40二、第二類換元法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，41定理2.

設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有換元公式42例16.求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束43例17.求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束44例18.求解:令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束45令于是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束46原式例19.求解:

令則原式當(dāng)

x<0時,類似可得同樣結(jié)果.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束47解:

原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例20.

求48例21.求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束49例22.求解:

令得原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束50思考與練習(xí)下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便?令令令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束51第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束分部積分法

第四章

52例1.求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束53例2.

求解:

令則原式

=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束54例3.求解:

令則∴原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束55例4.求解:

令,則∴原式再令,則故原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束56解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,則原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)57例6.求解:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令58例7.已知的一個原函數(shù)是求解:說明:

此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束5960思考與練習(xí)下述運算錯在哪里?應(yīng)如何改正?得

0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.求此積分的正確作法是用換元法.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束61第四節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束有理函數(shù)的積分

第四章

62一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理函數(shù)相除多項式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和機動目錄上頁下頁返回結(jié)束63例1.將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束64(2)用賦值法故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束65(3)混合法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束原式=66四種典型部分分式的積分:

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束變分子為再分項積分67例2.求解:

已知例1(3)目錄上頁下頁返回結(jié)束68例3.求解:

原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束69例4.求解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

將有理函數(shù)分解為部分分式進行積分雖可行,但不一定簡便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法.70例5.求解:原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束71二.簡單無理函數(shù)的積分被積函數(shù)為簡單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令令令72例6.求解:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束73例7.求解:

為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令機動目錄