第4講函數(shù)的概念與性質(zhì)課件2024年高二數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料

第4講函數(shù)的概念與性質(zhì)高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)教材核心知識(shí)課標(biāo)要求學(xué)業(yè)水平評(píng)價(jià)要求函數(shù)的概念用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫(huà)函數(shù),建立完整的函數(shù)概念,體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用,了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域了解、理解函數(shù)的表示在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù),理解函數(shù)圖象的作用,了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)并能簡(jiǎn)單應(yīng)用理解、應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與最值借助函數(shù)圖象,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求最值,理解它們的作用和實(shí)際意義理解、應(yīng)用函數(shù)的奇偶性結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義理解、應(yīng)用1.函數(shù)的概念及其表示(1)函數(shù)的概念:設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f

,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y=f(x),x∈A.其中x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的值域.(2)函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域.(3)函數(shù)的表示:解析法、圖象法、列表法.2.函數(shù)的單調(diào)性與最值(1)增函數(shù)、減函數(shù):設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)

x1<x2

時(shí),都有

f(x1)<f(x2)

,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù);當(dāng)

x1<x2

時(shí),都有

f(x1)>f(x2)

,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).(2)函數(shù)的最值:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:①對(duì)于任意的x∈I,都有

f(x)≤M(或f(x)≥M)

;②存在x0∈I,使

f(x0)=M

.那么稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值(或最小值).3.函數(shù)的奇偶性(1)定義:如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有

f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫作偶(奇)函數(shù).(2)性質(zhì):偶函數(shù)的圖象關(guān)于

y軸對(duì)稱,奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.函數(shù)的概念及其表示◆角度1.函數(shù)的定義域、值域A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)C.[-3,-2)∪(-2,+∞) D.[-3,2)∪(2,+∞)答案

C

解析

由題可得,要使函數(shù)有意義,則

解得x≥-3且x≠-2,所以函數(shù)的定義域?yàn)閇-3,-2)∪(-2,+∞).故選C.例2函數(shù)f(x)=2x的值域是(

)A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.(-∞,+∞)答案

B

解析

由題可得,x∈R,因?yàn)?x>0,所以可知函數(shù)的值域?yàn)?0,+∞).故選B.(1)函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)有意義的自變量的取值集合,因此可以根據(jù)如何使函數(shù)有意義來(lái)建立不等式或不等式組,通過(guò)解不等式(組)來(lái)求得函數(shù)的定義域,求解過(guò)程中要注意函數(shù)在實(shí)際背景下定義域的可能限制.(2)對(duì)于一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō),當(dāng)其對(duì)應(yīng)關(guān)系與定義域確定時(shí),其函數(shù)的值域也隨之確定.因此函數(shù)的值域要根據(jù)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)處理.常見(jiàn)的求函數(shù)值域的方法有觀察法、配方法、換元法等,有時(shí)也可以根據(jù)函數(shù)的圖象直接得到函數(shù)的值域.◆角度2.分段函數(shù)例3已知函數(shù)f(x)=若f(x)=4,則x的值為(

)A.2或-2 B.2或3C.3 D.5答案

C

解析

當(dāng)|x|≤1時(shí),f(x)=x2=4,解得x=±2,不滿足條件;當(dāng)|x|>1時(shí),f(x)=x+1=4,解得x=3,滿足條件.所以x的值為3.故選C.例5設(shè)函數(shù)f(x)=若f(x0)>1,則x0的取值范圍是(

)A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案

D解析

當(dāng)x0≤0時(shí),f(x0)=-1>1,解得-x0>1,所以x0<-1,所以此時(shí)有x0<-1;當(dāng)x0>0時(shí),f(x0)=>1,解得x0>1,所以此時(shí)有x0>1.綜上可知,x0<-1或x0>1.故選D.分段函數(shù)的求解策略:(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間,其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.函數(shù)的基本性質(zhì)◆角度1.函數(shù)的單調(diào)性例6給定下列函數(shù),其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(

)A.y=-x2

B.y=|x2-2x|答案

B

解析

由題可得,函數(shù)y=-x2在(0,1)上單調(diào)遞減,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;函數(shù)y=()x+1是減函數(shù),所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;函數(shù)y=x+在(0,1)上單調(diào)遞減,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤;函數(shù)y=|x2-2x|在(0,1)上單調(diào)遞增,所以可知選項(xiàng)B正確.故選B.例7已知函數(shù)f(x)=是R上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(-∞,1]C.(0,1) D.(0,1]答案

D

解析

因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù),所以

解得0<a≤1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1].故選D.熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性的定義以及常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法,能夠判斷給出函數(shù)的單調(diào)性及其單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義建立不等式(組),求解不等式.◆角度2.函數(shù)的奇偶性例8用列表法將函數(shù)f(x)表示為x123f(x)-101則(

)A.f(x+2)為奇函數(shù)

B.f(x+2)為偶函數(shù)C.f(x-2)為奇函數(shù)

D.f(x-2)為偶函數(shù)答案

A

解析

由題可得,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(2,0)對(duì)稱,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)f(x+2)的圖象,其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x+2)為奇函數(shù).故選A.例9已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+,則f(-1)=(

)A.1 B.2 C.-1 D.-2答案

D

解析

方法一

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.故選D.方法二

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù),所以有f(-x)=-f(x).判斷函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)方法有定義法、圖象法及性質(zhì)法;利用函數(shù)的奇偶性求解析式的步驟:先在相應(yīng)區(qū)間設(shè)定x,然后轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,并代入已知的解析式,從而得到函數(shù)的解析式.◆角度3.函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合例10設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是(

)A.f(π)<f(-3)<f(-2) B.f(-2)<f(-3)<f(π)C.f(-3)<f(-2)<f(π) D.f(π)<f(-2)<f(-3)答案

B

解析

因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).又因?yàn)楫?dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)2<3<π時(shí),有f(2)<f(3)<f(π),即有f(-2)<f(-3)<f(π).故選B.例11設(shè)偶函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=log2(x+2)-2,則滿足f(a)>0的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(2,+∞)C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)答案

D

解析

因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),所以有f(-x)=f(x).設(shè)x<0,則-x>0,所以f(x)=f(-x)=log2(-x+2)-2.當(dāng)a≥0時(shí),f(a)=log2(a+2)-2>0,解得a>2,此時(shí)有a>2;當(dāng)a<0時(shí),f(a)=log2(-a+2)-2>0,解得a<-2.綜上可知,a<-2或a>2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2)∪(2,+∞).故選D.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性綜合問(wèn)題的解題思路:(1)解決比較大小、最值問(wèn)題應(yīng)充分利用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(2)解決不等式問(wèn)題時(shí)一定要充分利用已知條件,把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,列出不等式(組),要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)的影響.◆角度4.利用函數(shù)的性質(zhì)考查圖象例12函數(shù)f(x)=|x|·sinx的圖象大致是(

)答案

A

解析

對(duì)于函數(shù)f(x)=|x|·sin

x